• Author / Uploaded
• Juan Carlos

Citation preview

1

Trabajo Colaborativo El Trasporte Aéreo

Cardona Rios Juan Carlos Betancur Giraldo Fernanda

14 de julio de 2020

Universidad Politécnico Grancolombiano Calculo I Grupo 15

2

Tabla de contenido Desarrollo del trabajo colaborativo: ........................................................................................... 3 Ejercicio #1 .................................................................................................................................... 3 La ley de los cosenos ..................................................................................................................... 4 Ejercicio #2 .................................................................................................................................... 5 Respuesta: ...................................................................................................................................... 5 ¿Hallar el costo de combustible por vuelo? ................................................................................ 6 Ejerció #3 ....................................................................................................................................... 7 Ejercicio #4 .................................................................................................................................. 11 Referencias................................................................................................................................... 13

Tabla de Ilustraciones Ilustración 1 Ley del seno ............................................................................................................................. 4 Ilustración 2 Teorema Pitágoras .................................................................................................................. 5 Ilustración 3 Distancias ................................................................................................................................ 6 Ilustración 4Imagen No. 1 ............................................................................................................................ 7 Ilustración 5 .................................................................................................................................................. 8 Ilustración 6 Imagen 2 ................................................................................................................................ 11

3

Desarrollo del trabajo colaborativo: Ejercicio #1 1. ¿Se tienen tres ciudades A, B y C; y se conoce la distancia entre A y B, y la distancia entre A y C. ¿cómo se puede determinar trigonométricamente hablando, la distancia entre las ciudades B y C? Explique claramente su respuesta. Respuesta: Hablando trigonométricamente el ejerció habla de distancias entre ciudades A y B y entre A y C , el ejercicio solo nos da 2 distancias como datos, estos no son datos suficiente para aplicar la ley de seno o del coseno ya que para resolver una incógnita se deben conocer como mínimo 3 datos entre lados y ángulos, para determinar qué ley trigonométrica utilizar. hipotéticamente se puede hallar con la ley del seno si le agregamos un ángulo, pero este debe tener un lado y un opuesto, ejemplo A en mayúscula es el ángulo y a minúscula es el opuesto teniendo esto claro se puede aplicar la ley del seno ya que existen dos distancias o lados en el ejercicio Ley del seno La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces:

𝑎 𝑆𝑒𝑛𝐴

𝑏

𝑐

= 𝑆𝑒𝑛𝐵 = 𝑆𝑒𝑛𝐶

4 Ilustración 1 Ley del seno

otra hipótesis que se puede manejar es que, si existe un lado A determinado como ángulo, b y c como distancias opuestas dada por el ejercicio, se podría hallar los demás datos por medio de la ley del coseno.

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triangulo oblicuo (sin rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido sonado (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidos. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos (Enlaces a un sitio externo.)porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse. ultima hipótesis.

5

si el objetivo del desarrollo del trabajo colaborativo no mencionara que es para hallar elementos de triangulas no rectángulos. se pudiera utilizar el teorema de Pitágoras ya que este se refiere a hallar elementos de en triángulos rectángulos como se muestra en la imagen, sea para hallar catetos o hipotenusa.

Ilustración 2 Teorema Pitágoras

Ejercicio #2 2. Si una aerolínea desea crear rutas que conecten dichas ciudades, ¿escriba una función para establecer el costo del combustible por vuelo? Sugerencia: Tenga en cuenta el tipo de aeronave y especifique las variables que usa. Respuesta: La aerolínea Avianca entre su gama de aeronaves la mas manejada por ellos es la aeronave Airbus A320, con una velocidad de crucero promedio de 828km/h y un consumo de 771gal/h, con estos datos se desea conocer el costo de combustible por vuelo de las rutas nuevas para conectar a las ciudades A, B y C. A-B 151/km, A-C 252/km, B-C 132/km hipotéticamente se dan a conocer los espacios

6

Ilustración 3 Distancias

¿Hallar el costo de combustible por vuelo? Se realiza el calculo para saber cuanto es el consumo de combustible por km de distancia. 771𝑔𝑎𝑙 1ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑥 = 0,931𝑔𝑎𝑙/𝑘𝑚 1ℎ𝑜𝑟𝑎 828𝑘𝑚 Como resultado tenemos que por casa kilómetro de vuelo, la aeronave A320 gasta 0,931gal de combustible, conociendo el costo de combustible por galón que son US$3,73, y así tener un costo aproximado total de combustible entre dichas ciudades. 0,931𝑔𝑎𝑙 US$3,73 × = 𝑈𝑆$3,47/𝑔𝑎𝑙 𝑘𝑚 𝑔𝑎𝑙 Teniendo estos datos, con la siguiente función lineal podemos llegar a los datos deseados: 𝑐(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 a: es el costo en dólares por cada galón de combustible x kilómetro recorrido. X: Distancia de vuelo en Kilómetros entre las ciudades A, B y C b: costos de planeación y preparación de rodaje, tiempo de puesto en marca etc. Valor 0 C(x)= al precio US$3,47gal/km (x es la variable de costo total entre ciudades)

7

Por ultimo se realiza el calculo para conocer el costo del combustible entre las ciudades en mención: A – B = 𝑐(𝑥) = 𝑈𝑆3,47 ∙ 151𝑘𝑚 + 0 = 𝑈𝑆523.97 A – C = 𝑐(𝑥) = 𝑈𝑆3,47 ∙ 252𝑘𝑚 + 0 = 𝑈𝑆874.44 B – C = 𝑐(𝑥) = 𝑈𝑆3,47 ∙ 132𝑘𝑚 + 0 = 𝑈𝑆458.08 Ejerció #3 3. En la imagen 1 se muestran algunas rutas de una aerolínea que funciona en Colombia y las distancias entre Bogotá y algunos destinos. Calcule la distancia que hay entre la ciudad de Bogotá y Barranquilla, además encuentre los ángulos que faltan para resolver el triángulo Bogotá-Barranquilla-Rio Negro. Ilustración 4Imagen No. 1

Fuente: Grupo modelamiento matemático. FICB.

8

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano. 2017 Respuesta:

Ilustración 5

El orden para el desarrollo de este ejercicio es el siguiente: 1.

Calcular la distancia entre la cuidad, Bogotá y Barranquilla y también los

ángulos faltantes. Para hallar la siguiente distancia entre dichas ciudades se tienen los siguientes datos: Bogotá es el ángulo (E) y Barranquilla es el ángulo (D); en este caso aplicamos la ley del seno, por que cumple con las siguientes condiciones y son: Deben tener como mínimo 3 datos, debe de conocer el dato de un ángulo con su respetado dato de lado opuesto que formen una pareja y el 2 ítem puede ser cualquier dato sea ángulo o lado, en este caso los datos que se conocen son los siguientes: (E) es el Angulo que mide 35.55° (e) es el lado opuesto que mide 543,61km (d) es el lado que mide 218km Por otro lado, no conocemos ningún dato de (c)

9

Para poder hallar el lado de c que es la distancia que nos piden de Bogotá – Barranquilla primero debemos hallar el ángulo de Barranquilla (D) Esta es la fórmula para utilizar:

𝑆𝑒𝑛𝐶 𝑆𝑒𝑛𝐷 𝑆𝑒𝑛𝐸 = = 𝑐 𝑑 𝑒 Pero para hallar el ángulo D, utilizaremos opuesto y

𝑆𝑒𝑛𝐷 𝑑

𝑆𝑒𝑛𝐸 𝑒

por qué conocemos el ángulo y el lado

es el lado opuesto de d.

desarrollo del ejercicio:

𝑆𝑒𝑛35.55° 543,61𝑘𝑚

=

𝑆𝑒𝑛𝐷 218𝑘𝑚

Despejamos el ángulo de D, lo primero que hacemos es pasar los 𝑆𝑒𝑛35.55°

218Km que está dividiendo, a multiplicar, así =. 218𝑘𝑚 ∗ 543,61𝑘𝑚 = 𝑆𝑒𝑛𝐷, se le aplica la inversa del seno que en este caso se llama el arcoseno( 𝑆𝑒𝑛−1 ) esta se elimina con el seno y nos queda de la siguiente manera: 𝑆𝑒𝑛−1 (218𝑘𝑚 ∗ 𝑆𝑒𝑛−1 (218𝑘𝑚 ∗

𝑆𝑒𝑛35.55° 543,61𝑘𝑚

𝑆𝑒𝑛35.55° 543,61𝑘𝑚

) = 𝑆𝑒𝑛 −1 (SenD)

) = 𝐷 el resultado del ángulo de D = 13.48°

Para hallar el ángulo de C, debemos tener en cuenta que la suma de los ángulos debe sumar 180° por tal motivo, como ya conocemos dos ángulos que son el D y E lo que hacemos es restarlo de 180° esto no da como resultado el ángulo C:

180°-13.48°-35.55°= C

Angulo de C= 130.97°

10

Hallados los ángulos procedemos halla la distancia entre Bogotá y Barranquilla

En este caso como vamos a hallar un lado utilizamos la pareja completa, pero en este caso se realiza de esta manera:

𝑒 𝑐 𝑑 = = 𝑆𝑒𝑛𝐸 𝑆𝑒𝑛𝐶 𝑆𝑒𝑛𝐷 𝑒

Se utiliza uno de los datos de parejas conocidos en este caso 𝑆𝑒𝑛𝐸 y como tenemos el dato 𝑐

del punto C y es el ángulo 𝑆𝑒𝑛𝐶 la formula se escribe esta manera para hallar más fácil la distancia del lado opuesto, como se muestra a continuación:

543,61𝑘𝑚

= 𝑆𝑒𝑛35.55°

𝑑 𝑆𝑒𝑛130.97°

se desarrolla igual que como buscamos los ángulos la parte de SenC

(130.97°) que está dividiendo pasa a multiplicar así:

543,61𝑘𝑚 ∗ 𝑆𝑒𝑛130.97° =𝑎 𝑆𝑒𝑛35.55°

a= 705,95km

11

Ejercicio #4 4. Dada la siguiente ruta Bogotá – Monterrey – Miami (imagen 2), Calcular:

a) La distancia entre la ciudad de Bogotá y la ciudad de Monterrey (México) b) Halle los ángulos A y B Ilustración 6 Imagen 2

Respuesta:

para hallar la distancia entre Bogotá y la cuidad de monterrey (México) y hallar los ángulos de A y B, se conocen los siguientes datos:

Angulo de A:?

Lado opuesto de a: 2403km

Angulo de B:?

Lado opuesto de b: 2010km

Angulo de C: 111,31°

Lado opuesto de c:?

12

Aplicamos la ley del coseno, esta ley se aplica en triángulos no rectángulos, como se visualiza en la imagen aplica esta condición, igual que en la ley del seno a los ángulos se les pone nombres en letras mayúsculas en este caso tenemos A, B y C y a los lados opuestos letras minúsculas a, b y c. En este caso utilizamos el teorema del coseno por que conocemos un angulo (C) y los dos lados que lo forman (a,b), tal como se representa en la imagen. 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2. 𝑎. 𝑏. 𝐶𝑜𝑠𝐶 𝑐 2 = 2403𝑘𝑚2 + 2010𝑘𝑚2 − 2.2403.2010. 𝐶𝑜𝑠111.31°

√𝑐 2 = √(24032 + 20102 − 2.2403.2010. 𝐶𝑜𝑠111.31°)=

C=3650,35km

_La respuesta sobre la distancia entre Bogotá y Cuidad de Monterrey es 3650.35km

Una vez obtenido el dato del lado opuesto de C podemos realizar el cálculo de los ángulos de A y B mediante la ley o teorema del Seno: 𝑆𝑒𝑛𝐶 𝑆𝑒𝑛𝐵 𝑆𝑒𝑛111.31° 𝑆𝑒𝑛𝐵 = = = 𝑐 𝑏 3650.35𝑘𝑚 2010𝑘𝑚

2010𝑘𝑚 ×

𝑆𝑒𝑛111.31° = 𝑆𝑒𝑛𝐵 3650.35𝑘𝑚

sin−1(2010𝑘𝑚 ×

𝑆𝑒𝑛111.31° )=𝐵 3650.35𝑘𝑚

13

B= 30.86°

Ya conocemos el ángulo de B que es 30.86° ahora vamos a hallar el ángulo de A, se entiende que la suma de los ángulos debe ser igual a 180° ya tenemos los ángulos de C y B la operación a realizar es una resta: 180°- B - C = A A= 180°-30.86°-111.31°=37.83° A=37.83° _La respuesta es el Angulo de A: 37.83° y de B:30.86°

Referencias https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/law-ofcosines. (s.f.). Ley de los cosenos. TC_CI_2020_01. (s.f.). El trasporte aereo . Varsity. (s.f.). Ley del seno . Obtenido de https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines Wikipedia. (s.f.). Ley del seno . Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_senos#/media/Archivo:Ley_de_los_senos. svg

14