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• Elvis Medardo Cano Layme

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CALCULO DE TRABAJO Y CENTRO DE MASA APLICANDO LA INTEGRAL

Calculo de trabajo con la integral definida Vamos a estudiar la aplicación de la integral definida al concepto de \trabajo". Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido. Es decir:

Cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple. Consideremos una partícula P que se desplaza sobre el eje x, desde el punto (a; 0) al punto (b; 0) por medio de una fuerza f = F(x); x Є [a; b]. Dividamos el segmento [a; b] en n partes arbitrarias de longitudes y tomemos en cada subintervalo [xi¡1; xi] un punto arbitrario ti como se muestra a continuación.

Cuando la part¶³cula se mueve de xi¡1 a xi, el trabajo realizado es aproximadamente igual al producto Luego, la suma:

nos dará la expresión aproximada del trabajo de la fuerza F en todo el segmento [a; b]. La suma representa una suma integral, por lo que si

existe, entonces este expresa el trabajo realizado por la fuerza f = F(x) al mover una partícula de a a b, a lo largo del eje x. Se tiene entonces que

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Siendo F(x) la fuerza aplicada a la partícula cuando ésta se encuentra en el punto cuya coordenada es x. Si la unidad de fuerza es el kilogramo, y si la unidad de distancia es el metro, entonces la unidad de trabajo es el kilográmetro. También pueden utilizarse como unidades de trabajo la libra-pie y el gramo-centímetro. El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke afirma que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza necesaria para producir una elongación de x unidades, está dada por la expresión F = kx, donde k es la constante de proporcionalidad, que depende del material, del grosor del alambre, de la temperatura, etc.  Ejemplo 1 Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte 1/2 pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas. Solución Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje x, con su extremo fijo en el origen:

Por la ley de Hooke se sabe que F = kx. Como x = 0; 5 pulgadas cuando F = 20 libras, entonces 20 = k.0, 5 de donde k = 40. Luego, F = 40x. Se desea calcular el trabajo realizado por esta fuerza si aumenta la extensión de 8 a 11 pulgadas. Luego:

 Ejemplo 2 Una fuerza de 25 kg alarga un resorte 3 cm. Determine el trabajo requerido para alargar el resorte 2 cm más. Solución Como F = kx y x = 0,03 m, cuando F = 25 kg, entonces k = 2500/3.

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El trabajo requerido para alargar el resorte 2 cm más (es decir, hasta 5 cm), está dado

por:

 Ejemplo 3 Un resorte tiene una longitud natural de 6cm. Si 1200 dinas lo comprimen 0,5 cm, calcular el trabajo efectuado al comprimirlo desde 0,6 cm hasta 4,5 cm. ¿Qué trabajo se requiere para hacer que el resorte llegue a 9 cm, partiendo de su estado comprimido de 4,5 cm? Solución

1. Como F = kx y x = 0, 5cm cuando F = 1200, entonces k = 2400. Luego F = 2400.x.El trabajo necesario para comprimir el resorte desde 6 hasta 4,5 cm está dado por:

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2. El trabajo que se requiere para hacer que el resorte llegue a 9 cm, partiendo de su estado comprimido de 4,5 cm, está dado por:

Centros de masa centroide CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL Para iniciar, considere una placa plana horizontal .La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con ∆W1, ∆W2, . . . , ∆Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección.

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La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos.

para obtener las coordenadas x y y del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es

Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:

Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y del centro de gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano xy. Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no está localizado sobre este último.

CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS

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En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud ∆W del peso de un elemento de la placa puede expresarse como

Donde γ= peso específico (peso por unidad de volumen) del material t = espesor de la placa ∆A = área del elemento En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como Donde A es el área total de la placa. Si se sustituye a ∆W y a W en las ecuaciones de momento y se divide a todos los términos entre γ t, se obtiene.

Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite

Estas ecuaciones definen las coordenadas x y y del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son x_ y y_ también se conoce como el centroide C del área A de la placa .Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún definen al centroide del área. En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud ∆W del peso de un elemento de alambre puede expresarse como

Donde

γ =peso específico del material a = área de la sección transversal del alambre ∆L =longitud del elemento

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El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L que define la forma del alambre. Las coordenadas x y y del centroide de la línea L se obtienen a partir de las ecuaciones

TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Pappus durante el siglo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por el matemático suizo Guldinus o Guldin (1577-1643), se refieren a superficies y cuerpos de revolución. Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fijo. Por ejemplo, se puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular ABC con respecto al diámetro AC; se puede producir la superficie de un cono rotando una línea recta AB con respecto a un eje AC y se puede generar la superficie de un toroide o anillo rotando la circunferencia de un círculo con respecto a un eje que no interseca a dicha circunferencia.

Un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje fijo. Como se muestra en la figura, se puede generar una esfera, un cono y un toroide rotando la forma apropiada con respecto al eje que se indica.

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TEOREMA I. El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.

TEOREMA II. El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.

EJEMPLO1

Determine por integración directa la localización del centroide de una enjuta parabólica.

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EJEMPLO 2

Determine la ubicación del centroide del arco mostrado.

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EJEMPLO 3

Determine el área de la superficie de revolución mostrada en la figura, la cual se obtiene rotando un cuarto de arco circular con respecto a un eje vertical.

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