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• Armando Mátal

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Universidad Don Bosco Departamento de Ciencias Básicas

Resumen teórico. Tema: Centro de masa

Cálculo de la ubicación del centro de masa (CM) Hasta el momento se han considerado a todos los cuerpos como partículas, este modelo funciona muy bien en el movimiento traslacional, ya que todo el objeto por grande que sea, experimenta la misma trayectoria, velocidad y aceleración al mismo tiempo; sin embargo, en el movimiento rotacional de objetos extendidos, o combinación de rotación con traslación de los mismos, el modelo mencionado no describe bien lo que sucede. Por ejemplo la clavadista de la figura 1a, muestra como describe el movimiento el modelo de partícula, y la de la figura 1b, lo que sucede realmente: los brazos, piernas, cabeza, etc., de la clavadista, no experimentan la misma trayectoria.



Sólidos rígidos geométricos con masa uniformemente distribuida: Los centros de masa más sencillos de ubicar, son los de los objetos con forma geométrica con masa uniformemente distribuida, ya que su centro de masa se encuentra en su centro geométrico, es decir, el punto pasa por cualquier eje de simetría.



Sistema de partículas: Para un sistema con varias partículas de masa mi (i = 1, 2, 3,…,n), y coordenadas (xi, yi, zi), la ubicación del centro de masa 𝑟⃗𝐶𝑀 =(xCM, yCM, zCM) se calcula de la siguiente manera: 𝑛

𝑟⃗𝐶𝑀 =

𝑛

1 ∑ 𝑟⃗𝑖 𝑚𝑖 𝑀

𝑐𝑜𝑛

𝑀 = ∑ 𝑚𝑖

𝑖=1

Ec.1

𝑖=1

Esta ecuación (Ec.1) debe separarse en sus componentes x, y, z para trabajarla vectorialmente: 𝑛

𝑥𝐶𝑀 =

1 ∑ 𝑥𝑖 𝑚𝑖 𝑀

𝑛

𝑦𝐶𝑀 =

𝑖=1

1 ∑ 𝑦𝑖 𝑚𝑖 𝑀 𝑖=1

𝑛

𝑧𝐶𝑀

1 = ∑ 𝑧𝑖 𝑚𝑖 𝑀 𝑖=1

Figura 1.

(a)

(b)



Objeto extendido Para calcular el centro de masa de un objeto extendido como el de la figura 2, se divide dicho objeto en varias partículas “i” con masa ∆mi , (el

El centro de masa es una posición promedio de la masa total de un sistema (la clavadista por ejemplo), sea este un conjunto de partículas, un objeto extendido o un conjunto de objetos extendidos; en el cual, si se aplica una fuerza neta, todo el cuerpo experimenta la misma trayectoria. Ubicar el centro de masa de un objeto, sirve para simplificar un modelo complejo, este punto representa la ubicación de la clavadista (ubicación promedio de su masa) como si fuera una partícula; además, en un diagrama de cuerpo libre, tendríamos que colocar el peso de forma distribuida en todo el cuerpo extendido; en lugar de ello, como la “ubicación de la masa” es el centro de masa, el vector del peso sería trazado en ese punto como si toda la masa se encontrara en dicho punto.

Figura 2.

delta indica que es una pequeña parte de toda la masa M) y se les aplica las mismas ecuaciones como si fueran un sistema de partículas: 𝑛

𝑟⃗𝐶𝑀

1 ≈ ∑ 𝑟⃗𝑖 ∆𝑚𝑖 𝑀 𝑖=1

El símbolo “≈” en lugar del símbolo “=”, se debe a que cada partícula con masa ∆mi, está formada por

otras partículas todavía más pequeñas que tienen su propia ubicación en el espacio, por tanto, para convertir esta sumatoria en una igualdad, ∆mi debe ser de tamaño infinitesimal, es decir que tienda a cero:

ecuaciones para la coordenada “x”, obteniendo la componente “x” de la velocidad (vx) y la aceleración (ax). 𝑛

𝑥𝐶𝑀

𝑖=1

𝑛

𝑟⃗𝐶𝑀

1 1 ∫ 𝑟⃗ 𝑑𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 ∑ 𝑟⃗𝑖 ∆𝑚𝑖 = 𝑀 ∆𝑚𝑖 𝑀

Ec.2 𝑥𝐶𝑀 =

𝑖=1

Esta última ecuación, también debe separarse en sus componentes para trabajar vectorialmente y obtener cada una de las coordenadas del centro de masa: 𝑥𝐶𝑀

1 = ∫ 𝑥 𝑑𝑚 𝑀 𝑧𝐶𝑀

𝑦𝐶𝑀

1 = ∫ 𝑦 𝑑𝑚 𝑀

1 = ∫ 𝑧 𝑑𝑚 𝑀

Además, “dm” puede re-expresarse en función de las dimensiones del objeto utilizando los conceptos de densidad1 volumétrica, de área y lineal, para finalmente poder colocar límites de integración en la ecuación 2: Concepto Densidad volumétrica

Masa por unidad de volumen.

Fórmula 𝜌=

𝑚 𝑑𝑚 = 𝑉 𝑑𝑉

dm = ρdV Densidad de área

Masa por unidad de área.

1 = ∑ 𝑥𝑖 𝑚𝑖 𝑀

𝛼=

𝑚 𝑑𝑚 = 𝐴 𝑑𝐴

𝑣𝑥,𝐶𝑀 =

1 ( 𝑥1 𝑚1 + 𝑥2 𝑚2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑚𝑛 ) 𝑀

𝑑𝑥𝐶𝑀 1 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥𝑛 ) = (𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑑𝑡 𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑣𝑥,𝐶𝑀 =

1 𝑀

(𝑚1 𝑣𝑥,1 + 𝑚2 𝑣𝑥,2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑥,𝑛 )

Ec.3

Ahora, se deriva la ecuación 3 con respecto al tiempo para obtener la aceleración del centro de masa: 𝑎𝑥,𝐶𝑀 =

𝑑𝑣𝑥,𝐶𝑀 1 𝑑𝑣𝑥,1 𝑑𝑣𝑥2 𝑑𝑣𝑥,𝑛 ) = (𝑚1 + 𝑚2 … + 𝑚𝑛 𝑑𝑡 𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑎𝑥,𝐶𝑀 =

1 𝑀

(𝑚1 𝑎𝑥,1 + 𝑚2 𝑎𝑥,2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑎𝑥,𝑛 )

Ec.4

Cantidad de movimiento lineal de un sistema de partículas La cantidad de movimiento de un sistema de partículas, (como se estudió en el resumen anterior) es la suma de la cantidad de movimiento de cada una de las partículas, esta suma puede obtenerse, reordenando la ecuación 3: 𝑀𝑣𝑥,𝐶𝑀 = 𝑚1 𝑣𝑥,1 + 𝑚2 𝑣𝑥,2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑥,𝑛

Ec.5

dm =αdA Densidad lineal

Masa por unidad de longitud.

𝑚 𝑑𝑚 𝜆= = 𝐿 𝑑𝐿 dm = λdL

Movimiento del centro de masa Cuando los elementos que forman el sistema se mueven, el centro de masa también lo hace, y puede describirse el movimiento del sistema como el movimiento del centro de masa. La velocidad y la aceleración del centro de masa se obtienen derivando el vector de posición con respecto al tiempo y derivando el vector velocidad obtenido respecto al tiempo respectivamente como se hizo en la unidad de cinemática. A continuación se plantean estas

1

Si el objeto está formado de un material único y uniforme, su densidad es la misma en todos los puntos, además, es una

La ecuación 5 muestra la forma de encontrar la componente en x, px, de la cantidad de movimiento lineal del centro de masa, el cual, según la misma ecuación, es la cantidad de movimiento del sistema total de partículas. Ecuaciones similares y de la misma procedencia, pueden plantearse para las componentes py y pz. 𝑀𝑣𝑥,𝐶𝑀 = 𝑚1 𝑣𝑥,1 + 𝑚2 𝑣𝑥,2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑥,𝑛 𝑃𝑥,𝐶𝑀 = 𝑃𝑥,1 + 𝑃𝑥,2 + ⋯ + 𝑃𝑥,𝑛

Ec.6

propiedad intensiva y por tanto, no importa si se trata de una pieza infinitesimal o el cuerpo entero, la densidad es la misma.

Universidad Don Bosco Departamento de Ciencias Básicas

Resumen teórico. Unidad V. Cinemática y Dinámica de Rotación

CONCEPTOS SOBRE CINEMÁTICA ROTACIONAL

𝜔𝑝𝑟𝑜𝑚 =

∆𝜃 ∆𝑡

Ec.2

Para calcular la velocidad angular instantánea, es el cambio de posición angular en un instante ∆t infinitesimal, es decir, que tiende a cero: 𝜔 = lim

∆𝑡→0

Figura 1.

Posición angular La posición de una partícula de masa mi, puede describirse por las componentes rectangulares de un vector trazado desde el cero del plano cartesiano hacia la ubicación de la partícula (vector r de la figura 1); sin embargo, en el movimiento rotatorio, es conveniente describir la posición de forma angular, ya que la magnitud del vector r para una partícula es constante en el movimiento rotatorio y solo cambia la posición angular θ. Esta posición se mide a partir del eje positivo de las “x”, y será positiva si es medida en sentido antihorario y negativa si se mide en sentido horario; por ejemplo, en la figura 1, la posición angular inicial de la partícula es positiva. Desplazamiento angular Es el cambio de posición angular en un tiempo determinado, este desplazamiento será positivo si la partícula rota en sentido antihorario, y negativo si rota en sentido horario. ∆θ = θf - θi

Ec.1

Velocidad angular promedio e instantánea La velocidad angular promedio es el cambio de posición angular en un lapso de tiempo determinado.

∆𝜃 𝑑𝜃 = ∆𝑡 𝑑𝑡

Ec.3

La velocidad angular es un vector perpendicular al plano que contiene la trayectoria circular con magnitud calculada por la ecuación 3. La dirección puede determinarse por la regla de la mano derecha; por ejemplo, en la figura 1, está trazado el vector posición inicial, puede verse también que la partícula está rotando en sentido antihorario, trace usted con su lapicero un vector de posición final (tomando en cuenta el sentido de la rotación antihoraria), extienda su mano colocando su dedo meñique a lo largo del vector r i (como si la uña de este dedo fuera la punta del vector), rote la mano hasta que su dedo meñique quede a lo largo del vector que usted dibujó, cierre la palma y vea hacia donde apunta su pulgar: ese es el sentido en que apunta el vector de la velocidad angular. Aceleración angular promedio e instantánea Es el cambio de velocidad angular con respecto al tiempo, a continuación se muestran las ecuaciones para la aceleración angular promedio e instantánea: ∆𝜔 ∆𝑡 ∆𝜔 𝑑𝜔 𝛼 = lim = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 𝛼𝑝𝑟𝑜𝑚 =

Ec.4 Ec.5

El vector aceleración angular al igual que la velocidad angular, es perpendicular al plano que contiene la trayectoria circular; además tendrá el mismo sentido que la velocidad angular si esta última aumenta, y tendrá sentido opuesto si la velocidad angular disminuye; por ejemplo, en la figura 1, el vector de velocidad angular (vector rojo) apunta hacia arriba porque la partícula rota en sentido antihorario y dicha velocidad angular aumenta porque el vector de aceleración angular (vector amarillo) apunta hacia arriba también.

Relación entre variables lineales y angulares: (repaso) S = rθ Ec.6 S = longitud de arco (distancia recorrida) r = radio: distancia entre el eje de rotación y la ubicación de la partícula θ = ángulo desplazado en radianes 𝑑𝑠 𝑑𝜃 =𝑟 = 𝑟𝜔 Ec.7 𝑑𝑡 𝑑𝑡 V= rapidez lineal o tangencial (vector tangente a la trayectoria) r = radio ω= velocidad angular en rad/s 𝑑𝑣 𝑑𝜔 𝑎= =𝑟 = 𝑟𝛼 Ec.8 𝑑𝑡 𝑑𝑡 α=aceleración angular en rad/s2 r= radio a = aceleración lineal o tangencial (vector tangente a la trayectoria, en el mismo sentido que el vector velocidad si la magnitud de esta aumenta o en sentido opuesto si la magnitud de la velocidad disminuye) 𝑣=

Resolver: 1. Despeje de la ecuación 5 el diferencial dω y resuelva la ecuación resultante integrando a ambos lados, los límites de integración serán ti = 0 hasta tf= t y ωi hasta ωf respectivamente. ¿A qué ecuación de la cinemática traslacional es análoga? 2. Realice un procedimiento similar al anterior para la ecuación 3. ¿A qué ecuación de la cinemática traslacional es análoga la ecuación resultante? 3. Despeje el tiempo de la ecuación obtenida en el primer punto y sustitúyalo en la ecuación obtenida en el punto 2 para obtener la tercera ecuación de la cinemática rotacional. ¿A qué ecuación de la cinemática traslacional es análoga la ecuación resultante? Para estos tres primeros puntos, revise su cuaderno de física y guíese por la deducción de las ecuaciones de la cinemática traslacional. 4. Revise en su cuaderno de física y tome nota de la ecuación para calcular la aceleración centrípeta y anótela en esta misma hoja. 5. Dibuje una trayectoria circular de una partícula en sentido antihorario que se mueve cada vez más rápido

en esta misma hoja y sobre ella dibuje: el vector posición de la partícula en un instante dado, la velocidad lineal, aceleración centrípeta, aceleración tangencial, velocidad angular y aceleración angular.