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Trabajo autodidacta, Segunda semana

Integrantes: Manuel Barrientos Cifuentes Nicole Figueroa Molina Constanza Inostroza Araneda

Concepción, Lunes 24 de marzo de 2014

Hoja Z: 1. Modifique lentamente el tamaño muestral y responda que sucede con el intervalo de confianza y con los gráficos.

Tenemos en la situación inicial el tamaño muestral igual a 40 cursos, y el intervalo de confianza dado por: límite inferior de X en 42,9194 y el límite superior de X en 47,0806. La gráfica es la siguiente:

Para el análisis, decidimos disminuir el tamaño muestral en razón de 5 unidades, podemos apreciar que el intervalo de confianza se hace más amplio de modo que su límite inferior se encuentra en 42,7758 y su límite superior se ubica en 47,2242. Notamos que la gráfica pierde un poco de su nivel de concentración hacia la media.

En el caso contrario, si decidimos aumentar el tamaño muestral 5 unidades, notaremos que el intervalo de confianza se hace más pequeño, ubicando su límite inferior en 43,0384 y el límite superior en 46,9616. Esto podría ser una demostración práctica de la ley de los grandes números, mientras mayor sea “n”, la distribución tendrá mayor tendencia a la media. Gráficamente notamos que nuestra distribución toma una forma aún más leptocurtica.

2. Modifique lentamente la desviación estándar y responda que sucede con el intervalo de confianza y con los gráficos. Inicialmente la desviación estándar es 8 y con esto, los límites del intervalo de confianza están situados en 42,9194 y 47,0806 respectivamente. Con esto, la gráfica es la misma presentada en la pregunta 1 como caso inicial. Ahora, si decidimos disminuir la desviación estándar en dos unidades, la dispersión de los datos será menor y por ende observaremos que el intervalo de confianza se contraerá, situando sus límites en 43,4396 y 46,5604 respectivamente y la gráfica a observar será la siguiente:

Mientras que si aumentamos la desviación estándar, también en 2 unidades, hasta llegar a 10, notaremos que el intervalo de confianza aumenta, situando sus límites en 42,3993 y 47,6007, gráficamente:

3. Modifique lentamente el nivel de significancia y responda que sucede con el intervalo de confianza y con los gráficos. Si para este caso, decidimos aumentar el nivel de significancia a 0,1, es decir, a que exista un 10% de probabilidades de aceptar una hipótesis falsa, de este modo además se contrae el intervalo de

confianza, situando sus límites en 43,3790 y 46,6210 respectivamente. Gráficamente, podemos observar lo siguiente:

Mientras que si reducimos la desviación estándar a 0,01, es decir, que exista un 1% de que aceptemos una hipótesis falsa. Los límites del intervalo de confianza estarán situados en 42,0574 y 47,9426 respectivamente, es decir, este aumenta su tamaño hasta obtener la siguiente forma:

4. Utilizando el intervalo de confianza para los parámetros iniciales, responda si es posible que el promedio por curso pueda ser 50 alumnos. Si el promedio por curso fuese de 50 alumnos, conservando los parámetros iniciales adoptaría la siguiente forma:

Situando así el intervalo de confianza entre los límites 42,9194, inferior y 47,0806 , superior. Por tanto existe un 95% de probabilidad de que el valor promedio del curso esté entre esos valores, lo cual nos da casi total certeza de que el promedio del curso no será de 50 alumnos.

5. Cambia su respuesta para la pregunta anterior si la desviación estándar fuera 15 alumnos. ¿Por qué? No cambia la respuesta, ya que a pesar de tener un nuevo intervalo de confianza, con límite inferior de 41,0889 y limite superior de 48,9011, aún existe un 95% de probabilidad de que el promedio del curso se encuentre dentro de este rango.

Hoja t: (Note que la única diferencia en los parámetros entre la hoja z y la hoja t es el tamaño muestral)

6. Modifique cada parámetro y compare el resultado con la respuesta dada en 1, 2 y 3.

Modificando tamaño muestral: Decidimos modificar el tamaño de la muestra utilizando: 2, 6, 10, 14 y 18, para ver una proyección de los efectos de reducir o aumentar el tamaño de la muestra (recordar que esta distribución el tamaño inicial es 10). Notamos que a medida que vamos aumentando el tamaño muestral los intervalos de confianza se van reduciendo de la siguiente manera: T. muestral Lim inferior Lim superior Diferencial 2 9,284 80,716 71,432 6 38,4189 51,5811 13,1622 10 40,3626 49,6374 9,2748 14 41,2136 48,7864 7,5728 18 41,7198 48,2802 6,5604

Gráficamente,

Mismo efecto que con la distr. Z, a medida que el tamaño muestral aumenta, los intervalos de confianza son mas precisos, se acercan más a la media y la curva de distribución “adelgaza”.

Modificando desviación estándar: Para responder esta interrogante calculamos el impacto en los intervalos de confianza dado los siguientes valores de la desviación estándar: D. Estandar Lim inferior Lim superior Diferencial 1 44,4203 45,5797 1,1594 5 42,1016 47,8984 5,7968 8 40,3626 49,6374 9,2748 12 38,0438 51,9562 13,9124 15 30,3048 53,6952 23,3904

Gráficamente,

Esta vez podemos verificar un efecto directo en el aumento del valor de la desviación estándar. Mientras ésta crece, el intervalo de confianza es mayor, esto es, hay mayor dispersión de los datos y lo tanto la curva de distribución normal “engorda”.

Modificando nivel de significancia: Ante todo debemos entender que el nivel de significancia denominado comúnmente con la letra griega α hace referencia a el error estimado de aprobar una hipótesis. Lo opuesto es que el porcentaje de confiabilidad, por defecto 1- α, que se refiere a la seguridad de que la hipótesis sea correcta. En otras palabras, este menor sea el nivel de significancia quiere decir que es mayor la probabilidad de que el valor real de la media se encuentre entre los intervalos de confianza.

α 0,001 0,01 0,05 0,2

Gráficamente,

Lim inferior Lim superior Diferencial 34,1296 55,8702 21,7406 37,8623 52,1377 14,2754 40,3626 49,6374 9,2748 42,765 47,2349 4,4699

7. El primer gráfico de esta hoja le permite comparar la distribución estándar y la distribución t. Que sucede entre estas distribuciones a medida que el tamaño de la muestra es mayor.

A través del aumento progresivo del tamaño muestral ( de 10 a 15, luego a 25 y finalmente a 50), notamos como la distribución t va tomando una forma mucho más cercana a la de la normal estándar, hasta ser idénticas. Lo anterior sucede debido a que la distribución t nace para estimar la media de poblaciones con comportamiento normal pero un bajo “n”, entonces al aumentar el número del tamaño de muestra es una consecuencia lógica que la distribución t sea igual a la normal estándar. Tamaño muestral: 10

Tamaño muestal: 15

Tamaño muestral: 25

Tamaño muestal: 50