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5.- Calcular

𝜕𝑈 𝜕𝑥𝑖

para la función 𝑈(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ 𝑥𝑛 ) = 100 − 𝑒 −𝑥1 − 𝑒 −𝑥2 ⋯ − 𝑒 −𝑥𝑛

𝜕𝑈

= −𝑒−𝑥1 (−

𝜕𝑥1

), ya 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 que la parte del “100”, al no tener variables no aparecería en ninguna de las derivadas parciales ni lo harían todos aquellos términos que no tuvieran la variable sobre la cual Si calculáramos, por ejemplo la derivada para x1, tendríamos

estamos aplicando la derivada parcial. Pero dado que

−𝑒−𝑥1 (−1), luego

𝜕𝑈 𝜕𝑥1

= 𝑒−𝑥1 , del mismo modo

lo que para toda xi, se tiene que

𝜕𝑈 𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑈 𝜕𝑥2

𝜕𝑥1 𝜕𝑥1

= 1, entonces

𝜕𝑈 𝜕𝑥1

=

= 𝑒−𝑥2 , y así sucesivamente, por

= 𝑒−𝑥𝑖 .

6.- Calcular 𝐾𝑌𝐾′ + 𝐿𝑌𝐿′ para 𝑌 = 𝐴𝑒 𝜆𝑡 [𝛿𝐾 −𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌 ]−

𝑚⁄ 𝜌

Para derivar esta función compleja primero tendríamos que entender algunas de sus partes, lo primero sería notar que la sección 𝐴𝑒 𝜆𝑡 no contiene ninguna de las constantes sobre las que se nos está pidiendo derivar, por lo que se le puede considera una constante y se agregará al final de cada derivada parcial y sólo se derivará la 𝑚 sección entre corchetes, es decir la parte escrita como [𝛿𝐾 −𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌 ]− ⁄𝜌 . Esta sección se puede derivar utilizando la regla de la cadena con respecto a K (para lo cual todas las demás variables se considerarán como constantes) y se obtiene así 𝑚⁄ +1) 𝜌 ,

𝐾 −(𝜌+1) 𝛿𝑚[𝛿𝐾 −𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌 ]−(

multiplicamos ahora por la parte constante 𝑚 𝐴𝑒 𝜆𝑡 y por K para finalmente obtener 𝐴𝑒 𝜆𝑡 𝐾 −𝜌 𝛿𝑚[𝛿𝐾 −𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌 ]−( ⁄𝜌+1) , lo que equivaldría a la primera parte de 𝐾𝑌𝐾′ . Ahora aplicamos la primera derivada con respecto a L a la misma sección entre 𝑚 corchetes y obtenemos 𝐿−(𝜌+1) 𝑚(1 − 𝛿)[𝛿𝐾 −𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌 ]−( ⁄𝜌+1), ahora multiplicamos por la parte constante 𝐴𝑒 𝜆𝑡 y por K para finalmente obtener 𝑚 𝐴𝑒 𝜆𝑡 𝐿−𝜌 𝑚(1 − 𝛿)[𝛿𝐾 −𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌 ]−( ⁄𝜌+1) , lo que equivaldría a la segunda parte de parte de 𝐿𝑌𝐿′ . De modo que la expresión 𝐾𝑌𝐾′ + 𝐿𝑌𝐿′ sería igual, finalmente, a 𝑚

𝐴𝑒 𝜆𝑡 𝐾 −𝜌 𝛿𝑚[𝛿𝐾 −𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌 ]−( ⁄𝜌+1) + 𝐴𝑒 𝜆𝑡 𝐿−𝜌 𝑚(1 𝑚 − 𝛿)[𝛿𝐾 −𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌 ]−( ⁄𝜌+1) 𝑚 = 𝐴𝑒 𝜆𝑡 𝑚[𝛿𝐾 −𝜌 + (1 − 𝛿)𝐿−𝜌 ]−( ⁄𝜌+1) {𝐾 −𝜌 𝛿 + 𝐿−𝜌 (1 − 𝛿)}