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• Manuel Ricardo Pisfil Campos

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Escuela Profesional de Ingeniería Civil - UNPRG

Resistencia de Materiales I

RESISTENCIA DE MATERIALES I MOMENTO DE INERCIA 

RESPONSABLES:

Lopez Delgado Carlos

(110412-B)

Matías Cabrera Israel Smith

(095563-I)

Mayanga Pinedo Angie

(102002-C)

Pisfil Campos Manuel Quispe Morales Joider

(102161-D)

Ramirez Julcahuanca Ronald Requejo Chilcon Gonzalo

(102173-B)

SantaMaria Carlos Mariano

(115135-G)



DOCENTE: Ing. Jannyna Beatriz Bernilla Gonzales



FECHA DE PRESENTACIÓN: 19 de Abril del 2013



CICLO:2012-II

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Resistencia de Materiales I

INDICE Introducción-------------------------------------------------------------------------------------3

Momento de Inercia----------------------------------------------------------------------------4

Producto de Inercia----------------------------------------------------------------------------7

Momentos de Inercia de masa-------------------------------------------------------------8

Anexos--------------------------------------------------------------------------------------------15

Bibliografía--------------------------------------------------------------------------------------17

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INTRODUCCIÓN El momento de inercia es muy importante en el área de la IngenieríaCivil, especialmente el diseño de elementos estructurales (como vigas y columnas), debido a que, la inercia es con lo que diseñas, y depende dela geometría del material.

Entre sus aplicaciones en este ámbito de la Ingeniería, se pueden citar: - En el prediseño de secciones para análisis y obtención una primera aproximación de las secciones que se utilizarán en un modelo estructural. Los principales parámetros que definen una sección estructural son el área y sus momentos de inercia en los ejes principales; lo cuales se encuentran regidos por una carga axial y los momentos flexionantes en los ejes principales. - La Obtención de los momentos en cada columna, permiten proponer las dimensiones de éstas, que satisfagan los requerimientos de área y de estas dimensiones dependen ahora de los materiales a emplear.

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Momento de Inercia Siempre que una carga distribuida actúa en forma perpendicular a un área y que su intensidad varia linealmente, el cálculo del momento de la distribución de carga con respecto a un eje implicara una cantidad llamada el momento de inercia del área. Por ejemplo, considere la placa de la figura, la cual está sometida a una presión

del fluido.

Esta presión que,

varía en forma lineal con la profundidad, de tal manera

donde:

:Peso específico del fluido. Así la fuerza que actúa sobre el área diferencial (

de la placa es

)

Por lo tanto el momento de esta fuerza con respecto al eje

Y al integrar

es:

sobre toda el área de la placa resulta:

La integral

se denomina el momento de inercia

del área con

respecto al eje . Las integrales de esta forma aparecen con frecuencia en las fórmulas que se utilizan en mecánica de fluidos, mecánica de materiales, mecánica estructural y diseño mecánico, por lo que los ingenieros necesitan conocer los métodos empleados para su cálculo.

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Figura 1

Al momento de inercia de un área se le llama en ocasiones el segundo momento del área, denominación que es probablemente más apropiada. Sin embargo, por uniformidad, usaremos en este capítulo un término más común, momento de inercia, llamado así por su semejanza con las integrales de los momentos de las fuerzas de inercia de los cuerpos en rotación que se estudian en la dinámica. El momento de inercia de un área es una medida de cuánta área está situada y qué tan lejos de un eje. Por definición, los momentos de inercia del área diferencial plana respecto a los ejes

y

son

y

con

, respectivamente. Los

momentos de inercia son determinadospor integración para toda el área; es decir:

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También podemos formular el segundo momento de “polo”

con respecto al

o eje , figura 10-2. A éste se le llama momento de inercia polar, Aquí, r es la distancia perpendicular desde el polo (eje ) hasta el

elemento

Para toda el área, el momento de inercia polar es

La relación entre

e

es posible puesto que

A partir de las formulaciones anteriores se ve que

, figura 10-2. y

siempre serán

positivos ya que implican el producto de una distancia al cuadrado y un área. Además, las unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada a la cuarta potencia, esto es,

Figura 2

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PRODUCTO DE INERCIA PARA UN AREA 

Definición: El producto de inercia para un elemento de área localizadoen el punto (x, y), como se indica en la figura a la izquierda, se define como

.

Así, para toda el área A, el producto deinercia es:

∫



Si se escoge el elemento de área con un tamaño diferencial en dos sentidos, como se indica en la figura de arriba, debe efectuarse una integral doble para calcular

. Sin embargo, muy a menudo es más

fácil escoger un elemento que tenga un tamaño o espesor diferencial en un sentido solamente, en cuyo caso el cálculo requiere de sólo una integral simple. 

Como el momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de longitud elevadas a la cuarta potencia, por ejemplo,

•

Sin embargo, como x o y pueden ser cantidades negativas, mientras que el elemento de área siempre es positivo, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la localización y orientación de los ejes coordenados. Por ejemplo, el producto de inercia 7

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para un área será cero si cualquiera de los ejes x o y es un eje de simetría para el área.

MOMENTOS DE INERCIA DE MASA El momento de inercia de masa de un cuerpo es una propiedad que mide la resistencia del cuerpo a la aceleración angular. Como este momento se usa en dinámica para estudiar el movimiento rotatorio, los métodos para efectuar su cálculo serán analizados a continuación. En términos generales, el momento de inercia de masa de un cuerpo / respecto a un eje determinadopuede definirse como (figura 1)

Para un cuerpo rígido dado, el momento de inercia de masa es una medida de la distribución de su masa con relación a un eje determinado.

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Definimos el momento de inercia de masa como la integral del "segundo momento” con respecto a un eje de todos los elementos de masa dm que componen el cuerpo. Por ejemplo, considere el cuerpo rígido mostrado en la figura su momento de inercia con respecto al eje z es:

Aquí, el "brazo de momento" r es la distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento arbitrario dm. Como la formulación implica a r, el valor de I es único para cada eje z con respecto al cual es calculado. Sin embargo, generalmente, el eje que es seleccionado para el análisis pasa por el centro de masa G del cuerpo. El momento de inercia calculado con respecto a este eje será definido como

. Observe que, como r está elevado al cuadrado en la ecuación, el

momento de inercia de masa es siempre una cantidad positiva. Las unidades comunes usadas para su medida son kg. m2 o slug. pie2.

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 Casos: a) Cuerpo con material de densidad variable

Si el cuerpo consiste .de material con densidad variable,

(

), la

masa elemental dm del cuerpo puede ser expresada en términos de su densidad y volumen como

. Sustituyendo dm en la primera

ecuación, el momento de inercia del cuerpo es calculado entonces usando elementos de volumen para la integración, es decir:

b) Cuerpo con material de densidad constante

En el caso especial donde

es una constante, este término puede ser

factorizado fuera de la integral, y la integración es entonces meramente una función de la geometría:

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PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS a) Elemento cascarón 

Si un elemento cascarón con altura z, radio y y espesor dy se elige para la integración, como en la figura mostrada, entonces el volumen



(

)( )

.

Este elemento se puede usar en las ecuaciones de los casos a y b para determinar el momento de inercia

del cuerpo con respecto al eje z ya

que todo el elemento, debido a su "delgadez", se encuentra a la misma distancia perpendicular

del eje z.

b) Elemento de disco 

Si un elemento de disco, con radio y y

espesor dz, se elige para la integración, figura de la izquierda, entonces el volumen (

)

.

 En este caso el elemento es finito en la dirección radial, en consecuencia no todas sus partes se encuentran a la misma distancia radial r del eje z. Por esto, las ecuaciones anteriores, no se pueden usar para determinar

. En vez de efectuar la integración

usando este elemento, primero es necesario determinar el momento de inercia del elemento con respecto al eje z y luego integrar este resultado.

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EJERCICIO DE APLICACION 1. Calcular el momento de inercia del área compuesta en la siguiente figura respecto del eje X representado en dicha figura. Todas las medidas están expresadas en mm.

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Solución: El área mostrada está formada por un semicírculo (S) de 50 mm de radio, un rectángulo (R) de 140 x 240 mm y un triángulo (T) de 75 x 240 mm. Como sabemos:

A cada uno de los momentos de inercia parciales se les va a aplicar el Teorema de Steiner: ̅

(

)

̅

(

)

̅

(

)

∑ ̅

∑

Llegamos a la conclusión que el momento de inercia total es la suma de los momentos de inercia de cada parte respecto a su eje

centroidal, más la

suma de los términos de traslación de ejes, indicando que:

̅ ̅

̅

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̅

Componentes (

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Area (

)

d (

)

)

(

)

Rectángulo

115.20

24.00

70.00

117.6

Semicirculo

0.69

3.93

71.22

19.9

Triángulo

28.80

9.00

110.00

108.9

Totales

144.69

246.4

Con las sumas obtenidas procedemos a hallar el momento de inercia del área mostrada: ∑ ̅ (

∑ )

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ANEXOS Tabla de momento de Inercia de fig. Principales

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BIBLIOGRAFÍA   

RESISTENCIA DE MATERIALES, Singer MECANICA PARA INGENIERO-ESTATICA Hibbeler MECANICA PARA INGENIERO-ESTATICA Beer Jhonstom

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