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• Mario Joel GN

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Tema1: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden Ejercicio #1 dy +2 y=x 2 +2 x dx  Solución

dy +2 y=x 2 +2 x dx

 De donde:

p ( x ) =2 ,Q ( X ) =x2 +2 x

 Como la solución general es:

y=e−∫ p x dx [ ∫ e∫ p x dx Q ( x ) dx+ c ] ( )

( )

y=e−∫ 2 dx [ ∫ e∫ 2dx ( x2 +2 x ) dx+ c ]

 Efectuando

y=e−2 x [ ∫ e2 x ( x 2 +2 x ) dx +c ]

 Integrando por partes:

y=

2 x2 +2 x−1 −2 x +ce 4

Ejercicio #2

dy 3+ xy = dx 2 x 2  Solución:

dy 3+ xy = dx 2 x 2

 de donde:

p ( x) =

−1 3 ,Q ( x )= 2 2x 2x  Como la solución general es:

y=e−∫ p x dx [ ∫ e∫ p x dx Q ( x ) dx+ c ] ( )

−∫

y=e

dy dx

[

( )

∫ dy dx 3

∫e

2 x2

dx +c

]

 Efectuando

y=e

−1 ln ⁡(x) 2

[

1

3 2 ln ⁡( x) dx ∫e +c 2 x2

 Integrando.

y=e

y= √ x

[

3 dx ∫ 2 +c 2 x √x

[

−1 2

3 y= √ x ∫ x 2

[

−1 2

y= √ x x +c

]

dx+ c

]

]

Ejercicio #3

dy +3 y =0 dx  Solución:

ln ⁡(

1

√x

)

[

3 ln ⁡( √ x) dx ∫e +c 2 x2

]

]

dy +3 y =0 dx  de donde:

p ( x ) =3 ,Q ( x )=0  Como la solución general es:

y=e−∫ p x dx [ ∫ e∫ p x dx Q ( x ) dx+ c ] ( )

( )

y=e−∫ 3 x dx [ ∫ e∫ 3 x dx 0 dx +c ] ( )

( )

y=e−3 x [ c ]

y=e−3 x∗c

Ejercicio #4 dy x + xsenx = dx y  Solución.

dy x + xsenx = dx y  de donde:

p ( x) =

−1 ,Q ( x )=−xsen ( x) x  Como la solución general es:

y=e−∫ p x dx [ ∫ e∫ p x dx Q ( x ) dx+ c ] ( )

( )

 Efectuando.

y=e

−∫

−1 dx x

dx ∫ −1 x

[∫ e

(−xsen ( x )) dx +c

 Integrando

y=e ln ⁡( x) [−∫ e−ln ⁡( x) xsen ( x ) dx +c ]

]

y=x [− ∫ x−1 xsen ( x ) dx +c ]

y=x [ −∫ sen ( x ) dx +c ]

y=x [ cos ( x ) +c ]

y=x cos ( x ) +cx

Ejercicio #5 Y’ – y = 2xex-xn

Solución Ecuación lineal: p(x) = -1

q(x)= 2xex-xn

y=e-∫p(x)dx[∫e ∫p(x)dxQ(x)dx+c] y=e∫dx[∫e- dx(2x) ex-xndx+c] y=ex[2∫xe -x ex-xndx + c] y= ex[2∫xe -xn dx + c] y= ex[exn + c]

Ejercicio #6 Y´ -

n y=e x ( x +1)n x+1

SOLUCIÓN Ecuación lineal: P(x) = -

n , q(x) = e x ( x +1)n x+1

y= e-∫p(x)dx[e∫p(x)dxQ(x)dx + C] y= e-∫xdx[e∫xdxex(x+1)ndx + C] y= enln(x-1)[ ∫ex(x+1)ndx + C] y= enln(x-1)n[ ∫eln(x-1)ex(x+1)ndx + C]= (x+1)n[∫(x+1)ndx +C]

y= (x+1)n[exdx + C] y= (x+1)n[en+C]

Ejercicio #7 7.

dy +3 y=x 2 +2 x dx Solución:

p ( x ) =3 ; Q ( x )=x 2 +2 x -

Solución General (No Homogénea): y=e−∫ p( x)dx e∫ p ( x ) dx Q ( x ) dx+ c

[∫

]

−∫ 3 dx

y=e ¿ −3 x y=e ¿ -

Resolvemos la integral por partes:

u=x2 +2 x dv =e 3 x dx e3 x du=(2 x +2)dx v= 3 2 3x ( x +2 x ) e 2 I= − ∫ ( x+1) e3 x dx 3 3 -

Resolvemos la integral por partes:

-

w=x +1 dv=e 3 x dx e3x dw=dx v= 3 3x ( x +1 ) e 3 x e 3 x (x+ 1)e e3 x I 1= −∫ dx= − 3 3 3 9 Sustituimos I 1 en I : I=

( x 2 +2 x ) e3 x 2 ( x +1 ) e3 x e 3 x − − 3 3 3 9

(

I =e 3 x

3

9

27

)

9 x 2+12 x−4 I =e 27 Sustituimos I en la solución general: 3x

-

(

( x 2+ 2 x ) 2 ( x +1 ) 2 − +

y=e

(

−3 x

)

[ ( 3x

e

9 x 2 +12 x −4 +c 27

)

]

)

y=e3 x−3 x y=

(

(

9 x 2 +12 x −4 +c e−3 x 27

)

9 x2 +12 x−4 +c e−3 x 27

)

Ejercicio #8 8¿

dy + y =cos(x ) dx

Forma general:

dy + P( x ) y=Q( x) dx

dy + y =cos( x) dx :: P(x)=1; Q(x)= Cos(x) Donde: Q(x )≠ 0; No homogénea. Forma General de la Ecuación Lineal y=e−∫ P ( x )dx

[∫ e∫

P ( x ) dx

.Q ( x ) dx +C

Resolviendo: y=e−∫ dx

[∫ e∫

dx

. cos( x ) dx+C

]

y=e−X [∫ e X . cos( x )dx +C ] y=e−X y=e−X

[ [

e x Sen( x) e x cos ( x) + +C 2 2 ex ( Sen ( x ) +cos ( x ) )+C 2

[

y=C . e−X +

]

1 (Sen( x )+ cos ( x )) 2

]

]

]

Ejercicio #9 9¿

dy +24 x 3 y=0 dx

Forma general:

dy + P( x ) y=Q( x) dx

:: P(x)=-24X3; Q(x)= 0 Cuando Q(x) = 0; la ecuación lineal diferencial es homogénea.

-

Su forma general es: y=K . e−∫ P ( x ) dx − −24 x y=K . e ∫

y=K . e∫

3

dx

24 x3 dx 4

y=K . e(6 x −C ) 4

; K=Constante

y=e6 x −C Ejercicio #10

Forma general:

dy + P( x ) y=Q( x) dx

:: P(x)=-5; Q(x)= x2-2 Dónde: Q ( x ) ≠ 0; No homogénea. Forma General de la Ecuación Lineal y=e−∫ P ( x )dx

[∫ e∫

P ( x ) dx

.Q ( x ) dx +C

]

Resolviendo: y=e−∫−5 dx

[∫ e∫

−5 dx

.(x 2−2)dx+C

y=e5 x [∫ e−5 x .(x 2−2)dx+C ]

[ (

y=e5 x e−5 x 5x

y=C . e +

x3 −2 x +C 3

x3 −2 x 3

)

]

]

x y=C . e5 x + ( x 2−6) 3

Ejercicio #11 11 ¿

dy +Y =senx dx

SOLUCIÓN. P ( x ) =1; Q ( x )=senx Ecuacion lineal . y=e−∫ P ( x )dx y=e−∫ dx

[∫ e∫

[∫ e∫

dx

P (x)dx

Q ( x ) dx+ c

sen ( x ) dx +c

]

x

−¿ [∫ e sen ( x ) dx+ c ] ¿

y=e y=e

[

−¿ ∫

y=e−x +

x

e sen ( x ) −cos ⁡(x)+c ¿ 2

]

1 [ sen ( x )−cos ⁡( x )]+ c 2

Ejercicio #12 12 ¿

dy −3 xy=0 dx

SOLUCIÓN. dy =3 xy dx dy =3 xydx dy =3 xdx y

INTEGRANDO

]

∫

dy = 3 xdx y ∫ 1

∫ y . dy=3 ∫ xdx x2 2

ln ( y )=3

2

e

ln ( y )

3

=e

x 2

2

y=e

3

x 2

.c

Ejercicio #13 13 ¿

dy −11 x 3 y=0 dx

SOLUCIÓN. dy =11 x3 y dx dy =11 x3 ydx dy =11 x3 dx y

INTEGRANDO

∫

dy =∫ 11 x 3 dx y 1

∫ y . dy=11 ∫ x 3 dx ln ( y )=11

x4 4 4

e

ln ( y )

11

=e

x 4

4

11

y=e

x 4

Ejercicio #14 14.

dy −5 xy=0 dx

Solución: P(x)=5 x

Q (x)=0

− P ( x ) dx y=k e ∫ − 5 xdx y=k e ∫

y=k e

−5 x 2

2

Ejercicio #15 15.

dy − y=2 x e x+x dx Solución: P(x)=−1 − P y=e ∫

( x)

Q (x)=2 x e x+x dx

y=e−∫−1 dx y=e x

2

[∫ e∫ [∫ e∫

P( x) dx

−1 dx

x

2

Q( x ) dx+ c

]

2

∙(2 x e x+ x )dx +c

]

2

x

[∫ e ∙(2 x e e )dx+ c ] y=e [∫ 2 x e dx +c ] …………………………… (1) −x

2

x

x

-

Por sustitución. 2

2

t=e x dt =e x ∙ 2 xdx dx= 2

2 x ex ∫ x dt---- > e ∙2 x 2

En (1)…. 2

y=e x [ e x +c ] 2

y=e x ∙ e x +c e x Ejercicio #16 16. 2 y ( y 2−x ) dy=dx Solución: dx =2 y3 −2 xy dy dx +2 xy=2 y 3 dy

∫ dt =

t=e x

2

dt e ∙2 x x

2

ecuacion lineal en x P( y)=2 y Q ( y)=2 y 3 − P x=e ∫

dy

( y)

[∫ e∫

P( y) dy

Q ( y ) dy +c

x=e−∫ 2 ydy ∫ e∫ 2 ydy 2 y 3 dy + c

[

x=e

−2 y 2

2

x=e− y

2

x=e− y

2

[∫ e y

2y 2

2

3

2 y dy +c

2

]

]

]

3

[∫ e 2 y dy+ c ] [ 2∫ y ∙ y e dy +c ] -------------------------------------- (1) 2

y

2

Integración por partes. --- > uv−∫ vdu

2

u= y 2 dv = y e y ey du=2 ydy v= 2

2

2

2

ey ey 2 y ∙ −∫ 2 ydy 2 2

[ [

2

2

]

ey 2 y ∙ −∫ e y ydy ---------------------------(2) 2 -

]

2

2

Por sustitución. t=e y dt =e y ∙ 2 ydy 2

2

dy = 2

y y ∫ ey ∙ y dt ---- > 12 ∫ dt --- > 12 t= 12 e e ∙2 y 2

En (2) ….. 2

y 2 ∙ e y −e y

2

En (1) ….. 2

2

2

2

2

2

[ y 2 ∙ e y −e y + c ] x=e− y [ y 2 ∙ e y −e y + c ] x=e

−y

2

2

2

2

2

x= y 2 e− y ∙ e y −e− y e y +ce− y x= y 2−1+ ce− y Ejercicio #17

2

2

dt e ∙2 y y

2

17.

ⅆy 1 = ⅆx x sen y +2 sen 2 y

Solución ⅆy =x sen y +2 sen 2 y ⅆx

A la ecuación diferencial le escribimos así: ⅆy −( sen y ) x=2 sen 2 y : Ecuación lineal en x. ⅆx − −senydy x=e ∫ ¿ : calculando la integral

x=e−cosy ∫ ecosy 2 sen 2 ydy+ c : De donde x=e−cosy ¿): Integrando por partes x=e−cosy (−4 cos y e cosy + 4 e cosy + c): simplificando x=8 sen2

y +c e−cosy 2

Ejercicio #18 dy − y =x3 (3 ln x−1) dx

18. xlnx

Solución x 2(3lnx−1) dy 1 : Ecuación lineal en y. − y= dx xlnx lnx y=e

y=e

−∫

−dx xlnx

ln ⁡(lnx )

¿

¿: simplificando

y=lnx ¿ : poniendo bajo un diferencial. y=lnx ¿ y=lnx

(

x3 +c lnx

y=x 3 +c . ln x

)

Ejercicio #19 19. x tan 2 ydy + xdy=( 2 x 2 +tan y ) dx

Solución x ( tg2 y +1 ) dy=( 2 x 2+ tgy ) dx x ( sec 2 y )

dy =( 2 x 2+ tgy ) dx

Sea z =tgy →

dz =2 x 2 +tg y dx

x

dz =2 x2 + z dx

x

dz =2 x2 + z ↔lineal en z dx −∫

z=e

−dx x

¿

z=e ln x ¿ z=x ¿ z=x [2 x +c ] tgy =x (2 x +c )

Ejercicio #20 20.

dy x 1 1 1 −e y= 2 sen −e x cos dx x x x

()

()

Solución: Es una ecuación lineal en términos de x donde: P ( x ) =e x Q ( x) =

1 1 1 sen −e x cos 2 x x x

()

()

Aplicamos la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea. y=e−∫ P ( x )dx

[∫ e∫

P ( x ) dx

Q ( x ) dx+C

]

RemplazamosP ( x ) Λ Q ( x ) en la ecu. Diferencial lineal no homogénea.

y=e∫

(e x ) dx

[

x

∫ e−∫ ( e ) dx

1 1 1 sen −e x cos dx+ C 2 x x x

[ ()

( )]

]

Integramos: e

y=e

x

[[ ∫

x

e−e 1 1 sen −e−e e x cos dx+ C 2 x x x

()

x

( )]

]

Integramos por partes, la primera Integral: −e x

Hacemos: μ=e

x

⟹ dμ=−e x e−e dx y V =∫

1 1 1 sen dx=cos 2 x x x

[ ( )]

x

y=ee ¿ x

[

x

y=ee e−e cos y=cos

( 1x )+C ]

( 1x )+e C ex

∴ y=cos

( 1x )+ e C ex

Ejercicio #21 21. xsenθdθ+ ( x 3−2 x 2 cosθ +cosθ ) dx=0 Solución:

xsen θ

dθ + ( x3 −2 x 2 cos θ+cos θ ) dx=0 dx

Ahora hacemos

y=cos (θ )

−xdy + ( x 3−2 x 2 y + y ) dx=0

dy 2 y −x +2 xy − =0 dx x dy 1 + 2 x − y=x 2 dx x

(

)

;

dy=−sen ( θ ) dθ

()

p ( x )=2 x−

Ec. Lineal: −∫ p ( x) dx

y=e

[∫ e∫

1 −∫ 2 x− dx x

y=e

( )

y=eln ( x ) −x

2

y=xe− x

2

2

2

x − ln ( x )

2

[∫ e [∫ e

x

x

2

2

Hacemos u=x Como

Q=( x )=x

;

Q ( x ) dx+c

e

( x2 ) dx +c ]

−1 2 x ( x ) dx +c

2

]

( x 2 ) dx+c ]

x 2 ln ( x2 )

xdx +c

2

]

(2x− 1x )d ( 2 ) ∫ e x dx+c

[∫ e [∫ e

y=eln ( x ) e− x

y=xe− x

[

p ( x ) dx

1 x

]

] du=2 xdx

⇒

y=cos (θ ) 2

− x2

∴ cosθ=xe

ex +c 2

[ ]

Ejercicio #22 22.(1+ y 2 )dx =( √ 1+ y 2 seny−xy ) dy Solución: Dividimos entre

( 1+ y 2 )

cada término.

( 1+ y 2 ) dx =[ √ y 2 +1 sen ( y−xy ) ] dy 2 dy √ y +1 sen ( y ) xy = − 2 dx y 2 +1 y +1

sen ( y ) dx xy + 2 = dy y +1 √ y 2 +1 p ( y )= Ec. Lineal:

y 2 y +1

Q ( y )= ;

sen ( y )

√ y 2+1

−∫ p ( y ) dy

[∫ e∫

x=e

−∫

x=e

x=e

ydy y2+1

[

ln

ydy

∫

y 2+1

∫e

1 ln ( y2 +1 ) 2

[

∫e

p ( y ) dy

sen ( y ) dy 2

√ y +1 1 2 ln ( y +1) 2

[

sen ( y ) dy

√ y +1 2

∫ e ln( y +1)

]

+c

2

1

2 x=e √ y +1

Q ( y ) dy+c

sen ( y ) dy

√ y 2 +1

] +c

+c

]

x=

y 2 +1 sen ( y ) dy √ +c ∫ 2 2 √ y +1 √ y +1

x=

1 [∫ sen ( y ) dy+c ] 2 y +1 √

1

[

]

]

x √ y 2 +1=−cos ( y ) +c

x √ 1+ y 2 +cos y=c ∴ x √ 1+ y 2+ cosy=c

Tema 2: Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli 1.

2x

dy +2 y=xy 3 dx

Solución: Expresamos esa ecuación así:

dy 1 y3 + y= dx x 2 Ahora multiplicamos por

−3

y

dy 1 −2 1 + y = dx x 2

y−3

dy 2 −2 − y =−1 dx x

−2 y−3

−2

z= y

Sea

…… multiplicamos por

…… (1)

dz dy =−2 y −3 dx ….. por lo que tenemos dx

Reemplazando en (1):

dz 2 − z=−1 dx x , es una ecuación lineal en z. 2 −∫ dx x

z=e

z=e

2 ln x

2

[

∫ x dx e ∫ (−1 ) dx+c

[−∫ e−2 ln x dx +c ]

∴ y =x+c∗x −2

2

dy x = 2 3 2. dx x y + y Solución: 2

dx x y + y = dy x

( 1−n )

3

dy −xy= y 3 x−1 dx Ahora multiplicamos por x.

]

dy − yx 2 = y3 dx

x

2x

dy −2 yx 2 =2 y 3 dx z=x

Sea

( 1−n )

…….. multiplicamos por ……. (1)

dz dx =2 x dy ………… por lo que tenemos dx

2

Reemplazando en (1):

dz −2 yz=2 y 3 dx , es una ecuación lineal en z. −∫ −2 ydy

z=e

z=e y

2

[∫ e

[∫ e∫

−y

2

−2 ydy

2 y 3 dy+c

3

2 y dy+c

]

]

Integrando por partes: 2

z=e y [− y e

2 −y

2

−y

−e

2

+c]

Simplificando: 2

∴ ( x 2 + y 2 +1 ) e− y =c

3.

( x ¿ ¿ 2+ y 2+ 1) dy + xydx=0 ¿

Arreglamos dividiendo entre xy toda la ecuación: x2 + y 2 +1 dy + =0 xy dx dy y + =−( x¿¿ 2+1) y −1 ¿ de donde n= -1 dx x Hacemos: u= y−1⟹u= y 1+1 ⟹ u= y 2⟹

du dy 1 du dy =2 y ⟹ = dx dx 2 y dx dx

Sustituyendo en la ecuación: 2 du y + =−( x¿ ¿2+1) y−1 ¿ ⟹ du + 2 y =−2(x 2+ 1) 2 y dx x dx x

⟹

du 2 u + =−2( x 2 +1) Ecuación lineal dx x

Luego: −2 dx / x u=e ∫

[∫ e

2∫

dx x

]

(−2 ) ( x 2 +1 ) dx+ c =e−2 ln ⁡( x) [ −2∫ e2 ln ⁡( x) ( x 2 +1 ) dx+ c ]

Pero u= y 2: −2

2

y 2=eln ⁡(x ) −2∫ e ln ⁡( x ) ( x 2+1 ) dx +c =x−2 [ −2∫ x 2 ( x 2+1 ) dx +c ]

04.

[

]

dy y −1 + = ( x +1 )3 y 2 dx x+ 1 2 Solución

Ecuación diferencial de Bernoulli con n=2, luego: u= y 1−2= y−1 →

du dy =− y −2 dx dx

Reemplazando en la ecuación diferencial: − y2

du y 1 + − ( x +1 )3 y 2 dx x+1 2

Dividimos entre y 2: u−

y−1 1 ( 3 u 1 3 = x+1 ) →u ´ − = ( x +1 ) x +1 2 x +1 2 u=e

dx ∫ x+1

[

∫e

−∫

dx x+1

( 12 ) ( x +1 ) dx +c ]=(x+ 1)[ 12∫ e 5

−ln ( x+1 )

( x+1 )3 dx +c

]

Pero u= y 1:

[

1 −ln ( x+1) 1 ( x +1 )3 dx +c =( x +1 ) ∫ e−ln ( x+1) ( x +1 )3 dx+ c ∫e 2 2

[

4 ( x +1 )3 1 1 ( x +1 ) 2 ( x+1 ) dx +c = ( x +1 ) + c → = +c ( x +1 ) ∫ 2 6 y 6

y−1= ( x +1 )

y−1= ( x +1 )

]

3

]

[

05. ( x 2 +1 ) y ´ =xy + x 2 y 2 Solución

[

3

]

]

( x 2 +1 ) y ´ =xy + x 2 y 2 Arreglamos dividiendo entre ( x 2 +1 ) cada termino: y´

x x2 2 x x2 x2 2 y + y → y ´ − y= y= y x 2 +1 x 2 +1 x 2 +1 x 2+1 x2 +1

De donde n=2; hacemos: u= y 1−2= y−1 → u ´=− y−1 y ´ → y ´ =−u ´ y 2 Reemplazando en (1) 2

−u ´ y +

x x2 2 x −x 2 x −x 2 −1 y= y → u ´− y = → u ´ u= x 2 +1 x 2+ 1 x 2+1 x2 +1 x 2 +1 x 2 +1

Resolviendo: u=e

∫

xdx 2 x +1

[

∫e

−∫

xdx 2 x +1

(−x 3 ) x2 +1

1

]

dx +c =e 2

2

ln ( x +1 )

[

−∫ e

−1 2 ln ( x +1 ) 2

x2 dx+ c x 2+1

]

Pero u= y−1 1

y−1=e 2

2

ln ( x +1)

[

2

c −∫ e

ln ( x +1 )

1 2

x 2 dx x2 dx −1 2 → y = √ x +1 c− ∫ (x 2+ 1) x 2 +1

]

[

Hacemos sustitución trigonométrica con: x=Tg ( θ ) → dx=Sec 2 ( θ ) dθ x 2 +1=Tg 2 ( θ ) +1=Sec 2 ( θ )

[

y−1= √ x 2 +1 c−∫

tang2 θ sec 2 θdθ tang 2 θ 2 = x +1 c − dθ √ ∫ ( secθ ) ( sec 2 θ )

]

[

sen 2 θ 1 y = √ x +1 c ∫ dθ =√ x2 +1 c−∫ −cosθ dθ cosθ cosθ −1

2

[

[ (

y−1= √ x 2 +1 c−ln

]

1+ senθ + senθ cosθ

x √ x2 +1 + x 1 √ x 2 +1 2 √x +1

[( ) ] 1+

−1

2

[ ( ) ]

y = √ x +1 c−ln

)

]

]

]

[

y−1= √ x 2 +1 c−ln ( x + √ x 2+1 ) +

x √ x 2+ 1

]

06. ( x + y 3 ) +6 x y 2 y ´ =0 Solución dy x + y 3 =0 ( x + y ) +6 x y y ´ =0 Arreglamos: + dx 6 x y 3 3

2

dy y −1 + = Ec. De Bernoulli con n=2 dx 6 x 6 y 2 z= y 1−2= y −1 →

dz dy dy dz =− y −2 → =− y 2 dx dx dx dx

Sustituimos en la ecuación diferencial: −y

2

dz y −1 dz y−1 1 + = 2→ − = dx 6 x 6 y dx 6 x 6

dz y −1 1 Para z= y −1 , Entonces: − = dx 6 x 6 dz z 1 − = Lineal en z dx 6 x 6 −∫

z=e

z=e

−dx 6x

1 lnx 6

1 6

[

∫e

[∫

e

∫ 6dxx dx

6

1 lnx 6

+c

dx +c 6

]

] 1

[ ]

dx 6 x6 z=√ x ∫ x +c =√ x +c 6 5 6

[

]

x y−1= + c √6 x 5

07. dy y + =5( x −2) √ y dx x−2

dy y + =5( x −2) √ y Ec. De Bernoulli con n=1/2 dx x−2 z= y

1−

(12 )

1 −( ) dy dz 2 dz 2 dy ⟹ =2 √ y = y ⟹ dx = y dx dx dx 1 2

Sustituimos en la ecuación diferencial: 2√ y

dz y dz y 5 + =5(x−2) √ y ⟹ + √ = ( x−2) dx x−2 dx 2(x−2) 2

dz z 5 1 5 + = ( x−2) Ecuación lineal: P( x )= Q(x )= (x−2) dx 2(x−2) 2 2 2( x−2) z=e−2∫ P ( x ) dx −∫

z=e

√ y=e

dx 2(x−2)

[∫ e∫

[∫

−1 ln ⁡( x−2 ) 2

[

P ( x ) dx

Q(x )dx +c

]

∫ 2 ( dx x−2 ) 5

( 2 )(x−2)dx +c ]

e

1

ln ⁡( x−2) 5 e2 ( x −2)dx +c ∫ 2

√ y=( x−2 )2 +C ( x−2 )−1/ 2

]

8.

3y

2

dy y 3 −8 ( x +1 )=0 , y ( 0 ) =0 dx x+ 1

Arreglamos la ecuación diferencial dividiendo entre 3 y 2 cada término: 3y

2

8 ( x +1 ) dy y dy y 3 + = ; n=-2 −8 ( x +1 ) ⟹ dx 3( x +1) dx x+ 1 3 y2

z= y 1−(−2)= y 3 ⟹

dy 1 dz dz dy =3 y 2 ⟹ = 2 dx 3 y dx dx dx

Sustituimos en la ecuación diferencial: 8 ( x +1 ) dz y 3 1 dz y + = ⟹ + =8 ( x +1 ) 3 y 2 dx 3 (x+1) 3 y2 dx x+ 1 Ecuación lineal: P(x )= z=e−∫ P ( x ) dx −∫

z=e

dx x+1

[∫ e∫

[∫ e

1 Q(x )=8 ( x+ 1 ) x +1

P ( x ) dx

dx ∫ x+1

Q( x )dx+ c

]

(8) ( x+ 1 ) dx +c

] −1

2

z=e− ln ⁡(x+1) [ 8 ∫ e ln ( x+1) (x +1)dx +c ] =e−ln ( x+1) [ 8 ∫ ( x +1 ) dx +c ] y 3=( x+ 1)−1 0=1

[

8 ( x+1 )3 +C ; x=0; y=0 hallamos C: 3

]

−8 8 +C por lo tanto C= entonces: 3 y 3 ( x +1 )=8 ( x +1 )3−8 3 3

[ ]

Ejercicio 9 9.

2cos( y )dx−( x sen( y )−x 3 )dy=0

SOLUCIÓN

2cos( y)dx x sen( y)dy x 3 dy − + =0 2 cos( y)dy 2cos( y)dy 2 cos( y)dy dx x sen( y ) x3 − =− dy 2 cos( y ) 2 cos( y )

x 3=x n →n=3

 Si: 

Multiplicamos por:

x−3

−2 dx x sen( y ) 1 x − =− dy 2 cos( y ) 2 cos( y ) −3



Multiplicamos por:

(1−n )=(1−3)→(−2 )

x−2 sen( y ) 1 −2 x + = dy cos( y ) cos( y ) −3 dx



Hacemos:

z=x−2 dz=−2 x−3 dx

z=x 1−n →

dz z sen( y ) 1 + = dy cos ( y ) cos( y ) P( y )=

 Para:

1 sen( y ) Q( y)= =tg( y ) cos( y ) cos( y ) y

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

−∫ P( y)dy

z=e

[∫ e∫

− tg( y )dy z=e ∫

[∫

P( y)dy

Q( y)dy+C

tg( y) dy e∫

[

1 dy +C cos( y )

z=e ln( cos( y) ) ∫ e−ln( cos( y) )

z=cos( y )

]

1 dy +C cos( y )

(cos( y ))−1 z=cos ( y ) ∫ dy +C cos( y )

[ [∫

]

dy +C cos2 ( y )

]

2

z=cos( y) [∫ sec ( y)+C ] z=cos( y ) [ tg( y )+C ] −2

x =cos( y ) [ tg( y )+C ] Ejercicio 10

y dy + dx=3 x 2 y 2 dx x 10.

]

]

SOLUCIÓN

dy y + =3 x2 y 2 dx x

y 2 = y n →n=2

 Si: 

y−2

Multiplicamos por: −1

dy y + =3 x 2 dx x

y−2 

(1−n )=(1−2)→(−1)

Multiplicamos por:

− y−2



dy y −1 − =−3 x 2 dx x

z= y−1 dz=− y−2 dy

z= y 1−n →

Hacemos:

dz z − =−3 x 2 dx x P( x )=−

 Para:

1 x

Q( x)=−3 x 2

y

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

∫ P(x )dx −∫ P(x)dx z=e ∫ e Q( x)dx+C

[

dx

z=e

∫x

[∫ e

−∫

dx x

(−3 x 2 )dx+C

[∫ e−ln ( x )(−3 x2)dx+C ] −1 2 z=ln( x )[∫ ( x) (−3 x )dx+C ] z=e

ln( x )

]

[

z=ln( x ) C −

3 x2 2

]

Ejercicio 11 11.

2 x

dy + y dx=2 xy e dx

SOLUCIÓN

dy + y =2 xy 2 e x dx

]

2



n

y = y →n=2

 Si:

Multiplicamos por:

y−2 

dy −1 + y =2 xe x dx

Multiplicamos por:

− y−2



−2

y

(1−n )=(1−2)→(−1)

dy −1 − y =−2 xe x dx

Hacemos:

z= y

1−n

z= y−1 dz=− y−2 dy

→

dz −z =−2 xe x dx  Para:

P( x)=−1 y Q( x)=−2 xe

x

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

∫ P(x )dx −∫ P(x)dx z=e ∫ e Q( x)dx+C

[

z=e

∫ dx

[∫ e ∫ (−2xe )dx+C ] − dx

x

z=e x [∫ e−x (−2 xe x )dx +C ] z=e x [ −2∫ x dx +C ] z=e x [ −x 2 +C ] y−1 =e x [ C−x 2 ] Ejercicio 12

12.

3

dy y +3 =2 x 4 y 4 dx x

SOLUCIÓN

dy y 2 4 4 + = x y dx x 3  Si: 

y 4 = y n →n=4

Multiplicamos por:

y−4

]

−3

−4

y 

dy y 2 + = x4 dx x 3 (1−n )=(1−4 )→(−3 )

Multiplicamos por: −3

−4 dy

y −3 y −3 =−2 x 4 dx x



z= y−3 dz=−3 y −4 dy

z= y 1−n →

Hacemos:

dz z −3 =−2 x 4 dx x P( x )=−

 Para:

3 x

y

Q( x)=−2 x 4

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

∫ P(x )dx −∫ P(x)dx z=e ∫ e Q( x)dx+C

[

3∫

z=e z=e

dx x

[∫ e

−3 ∫

dx x

(−2x 4 )dx+C

]

3 ln( x )

[∫ e−3 ln ( x )(−2 x4 )dx+C ]

ln( x )3

[∫ e

z=e

−3

ln (x )

4

(−2 x )dx+C

]

z=x 3 [∫ x−3 (−2 x 4 )dx+C ] z=x 3 [−2∫ x dx+C ] z=x 3 [ C−x 2 ] Ejercicio 13 13.

x−1 dx=( x sen( y)−1)dy

SOLUCIÓN

x−1

dx =( x sen( y )−1) dy

dx 2 =x sen( y )−x dy

]

dx +x=x 2 sen( y) dy x 2=x n →n=2

 Si: 

x−2

Multiplicamos por:

x−2 

dx −1 +x =sen( y ) dy (1−n )=(1−2)→(−1)

Multiplicamos por:

−x−2



dx −1 −x =−sen( y ) dy

Hacemos:

z=x

1−n

z=x−1 dz=−x −2 dx

→

dz −z=−sen( y ) dy  Para:

P( y)=−1 y Q( y )=sen( y)

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

∫ P( y)dy −∫ P( y)dy z=e Q( y)dy+C ∫e

[

∫ dy −∫ dy z=e ∫ e (−sen( y))dy+C

[

]

z=e y [−∫ e− y ( sen( y))dy+C ] z=e y

[

e− y (sen( y )+cos( y ) +C 2

2 x −1 =2( sen( y)+cos( y))+C Ejercicio 14 2

dy 3x = 3 14. dx x + y +1 SOLUCIÓN 3

dx x + y +1 = dy 3 x2

]

]

3

dx x + y +1 = dy 3 x2

dx x y+1 − = dy 3 3 x 2

dx x y+1 −2 − = x dy 3 3  Si: 

x−2=x n →n=−2

Multiplicamos por:

x2

3

dx x y +1 x − = dy 3 3 2



Multiplicamos por:

3 x2



(1−(−2 )=(1+2 )→(3)

dx 3 −x = y+1 dy

Hacemos:

z=x 3 dz=3 x 2 dx

z=x 1−n →

dz −z= y +1 dy  Para:

P( y)=−1 y Q( y )= y+1

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

∫ P( y)dy −∫ P( y)dy z=e Q( y)dy+C ∫e

[

∫ dy −∫ dy z=e ∫ e ( y+1)dy+C

[

]

]

z=e y [∫ e− y ( y +1)dy +C ]

∫ e−y ( y+1)dy ∫ ye− y dy+∫ e− y dy ∫ ye−y dy+∫ e− y dy y e− y −∫ e− y dy−e− y y e− y −2e− y

z=e y [ y e− y −2 e− y +C ] x 3=e y [ y e− y−2e− y +C ]

Ejercicio 15 1 y √ x +1

8 xy '− y =−

3

15. SOLUCIÓN

8x

dy 1 − y=− 3 dx y √ x+1

dy y y−3 − =− dx 8 x 8 x √ x+1 n

−3

y =x →n=−3 3 Multiplicamos por: y

 Si: 

y3 

dy y 4 1 − =− dx 8 x 8 x √ x+1

Multiplicamos por:

4 y3



(1−n )=(1−(−3 ))→(4 )

dy y 4 1 − =− dx 2 x 2 x √ x+1

z= y

Hacemos:

1−n

z= y 4 dz=4 y 3 dy

→

dz z 1 − =− dx 2 x 2 x √ x+1 P( x )=−

 Para:

1 2x

Q( x )=− y

1 2 x √ x+1

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

−∫ P(x )dx

z=e

z=e

1 dx ∫ 2 x

[

[∫ e∫ −

∫e

P(x)dx

1 dx ∫ 2 x

(−

Q( x)dx+C

]

1 )dx +C 2 x √ x+1

]

z=e

1 ln( x ) 2

1

z=e

ln( x )2

1 − ln ( x) 2

[∫ [∫ e

− e

[

ln( x)

−

z=√ x −∫ (

[

z=√ x −∫

x

1 2

(−

(

1 )dx+C 2 x √ x +1

1 2

2 x √ x+1

)dx+C

dx 2 x √ x 2 +x

∫

1 )dx +C 2 x √ x +1

]

]

]

]

+C

dx 2

2 x √x + x

1 dt →x = →dx=− 2 t t

dt dt dt − 2 − 2 2 t ∫ t =∫ t =∫ 2 √1+t 2 1 1 2 1+t + 2 t t t t t t t2 −

√

√

dt

dt

∫− 2 √1+t =∫ − 2 √ 1+t −∫

dt √1+t

u=1+t → du=dt 1

1

1 du 1 − − ∫ =− ∫ u 2 du=−u 2 =−√ u 2 √u 2

1 x +1 −√ 1+t=− 1+ =− x x

√

[(√ ) ] √ [ √ ] √ [ √ ]

z=√ x − −

z= x

x+1 +C x

x+1 +C x

y4= x

Ejercicio 16

x+ 1 +C x

√

2 xdy=2 x 2 y 2 dy y

()

dx + 16. SOLUCIÓN

dx 2 x + =2 x 2 y 2 dy y

( )

x 2=x n →n=2

 Si: 

x−2

Multiplicamos por:

dx 2 x−1 x + =2 y 2 dy y

( )

−2



(1−n )=(1−2)→(−1)

Multiplicamos por:

−x−2



dx 2 x−1 − =−2 y 2 dy y

( )

z=x−1 dz=−x −2 dx

z=x 1−n →

Hacemos:

dz 2 z − =−2 y 2 dy y P( y)=−

 Para:

2 y

y

Q( x )=−2 y 2

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

−∫ P( y)dy

z=e

z=e

2∫

dy y

[∫ e∫

[∫ e

−2 ∫

P( y)dy

dy y

(−2 y 2 )dy+C

]

[∫ e−2 ln( y )(−2 y2 )dy +C ] z= y 2 [∫ y −2 (−2 y 2 )dy+C ] z= y 2 [−2 ∫ dy +C ]

z=e

−1

2 ln( y)

Q( y)dy+C

2

x = y [ C−2 y ] Ejercicio 17

]

2

dx−2 xy dy=6 x 3 y 2 e−2 y dy

17.

SOLUCIÓN 2 dx −2xy=6 x3 y 2 e−2 y dy

x 3=x n →n=3

 Si: 

−3

x

Multiplicamos por:

2 dx −2 x−2 y=6 y 2 e−2 y dy

x−3 

(1−n )=(1−3)→(−2 )

Multiplicamos por:

−2x −3



2 dx +4 x −2 y=−12 y 2 e−2 y dy

z=x−2 dz=−2 x−3 dx

z=x 1−n →

Hacemos:

2 dz +4 zy=−12 y 2 e−2 y dy

 Para: P( y )=4 y

2 −2 y y Q( x)=−12 y e

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

−∫ P( y)dy

z=e

−∫ 4 ydy

z=e

[

[∫ e∫

∫e

2

P( y)dy

∫ 4 ydy

Q( y)dy+C 2

(−12 y 2 e−2 y )dy+C

2

[∫ e (−12 y e z=e−2 y [−12∫ y dy +C ] z=e−2 y

2y

2

]

2

2 −2 y

)dy+C

]

2

2

z=e−2 y [−4 y 3 +C ] 2

x−2=e−2 y [ C−4 y 3 ] Ejercicio 18 18.

(12e 2 x y 2 − y)dx=dy , y (0 )=1

SOLUCIÓN

]

2

12 e2 x y 2 − y=

dy dx

dy + y =12e 2 x y 2 dx 2



n

y =x →n=2

 Si:

Multiplicamos por:

y−2 

dy −1 + y =12 e 2 x dx

Multiplicamos por:

− y−2



−2

y

(1−n )=(1−2)→(−1)

dy −1 − y =−12 e2 x dx

z= y

Hacemos:

1−n

z= y−1 dz=− y−2 dy

→

dz −z=−12 e2 x dx P( x)=−1 y Q( x)=−12 e 2 x

 Para:

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

−∫ P(x )dx

z=e

z=e

∫ dx

[∫ e∫

P(x)dx

[∫ e ∫ (−12e − dx

Q( x)dx+C 2x

)dx+C

[∫ e−x (−12 e 2 x )dx +C ] z=e x [ −12∫ e x dx+C ] z=e

x

z=e x [−12 e x + C ] y−1 =e x [ C−12 e x ]  Para

x 0=0

y

1−1 =e 0 [ C−12e 0 ] 1=1(C−12) C=13

y−1 =e x [ 13−12 e x ]

y 0 =1

]

]

Ejercicio 19

x

19.

dy + y= y 2 ln x dx

SOLUCIÓN 2

dy y y ln x + = dx x x

y 2 =x n →n=2

 Si: 

y−2

Multiplicamos por:

dy y−1 ln x + = dx x x

y−2 

(1−n )=(1−2)→(−1)

Multiplicamos por:

− y−2



dy y −1 ln x − =− dx x x

z= y−1 dz=− y−2 dy

z= y 1−n →

Hacemos:

dz z ln x − =− dx x x P( x )=−

 Para:

1 x

Q( x )=−

y

ln x x

ECUACIÓN LINEAL EN TERMINOS DE “Z”

−∫ P(x )dx

[∫ e∫

z=e

∫ dxx z=e

[∫

[

−∫

e

dx x

(−

z=e ln x ∫ e−ln (− z=x

P(x)dx

Q( x)dx+C

ln x )dx+C x

ln x )dx+C x

∫ x −1 (− lnxx )dx+C

[ [∫

z=x −

ln x dx+C x2 ln x

∫ x2

] dx

]

]

]

]

dx x2 1 v =− x dv=

u=ln x dx du= x

[ [

(

z=x − −

z=x

−

ln x dx −∫ − 2 x x

−

ln x dx +∫ 2 x x

−

ln x 1 − x x

ln x 1 − +C x x

)

ln x 1 + +C x x

y−1 =x

[

]

]

ln x 1 + +C x x

]

20. ye y =( y 3 +2 x e y ) y ´

ye y =( y 3 +2 xe y ) y ´ dx y 3 ye = y +2 xe y dy dx = y 2 e− y +2 y−1 x dy dx 2 x − = y 2 e− y … … … … ecuación lineal dy y Ahoraintegrando : x=e

−∫

−2 dy y

∫ −2ydy

[∫ e

y 2 e− y + c

]

x=e 2 ln y [∫ e−2 ln y∗y 2 e− y dy + c ] x= y 2 [∫ e− y dy +c ] ∴ x= y 2 (−e− y + c )

Tema3: Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes EJERCICIOS 01) y VII −8 y V +16 y I =0

y=erx

02) y II−6 y I +10 y=0 Solución r 2−6 r+ 10=0

x=

2

−(−6)± √ (−6) −4 (1)( 10) r= 2(1) r= r 1=

−b ± √ b2−4 ac 2a

6 ± √ 36−40 6 ± √ −4 6 ±2 i = = 2 2 2

6 ± 2i 6 2 i = + =3+1i r 2=3−1i 2 2 2 r =a+bi y=eax (c ¿ ¿ 1 cos bx+ c 2 sen bx) ¿

y=e3 x (c ¿ ¿1 cos x +c 2 sen x) ¿ Solución general

03)

y II −10 y I + 26 y=0

Solución

y=erx

r 2−10 r +26=0 x=

−(−10)± √ (−10)2−4(1)(26) r= 2(1) r= r 1=

−b ± √ b2−4 ac 2a

10 ± √100−104 10 ± √−4 10 ±2 i = = 2 2 2

10 ±2 i 10 2i = + =5+1 ir 2=5−1 i 2 2 2

r =a+bi y=eax (c ¿ ¿ 1 cos bx+ c 2 sen bx) ¿

y=e5 x (c ¿ ¿1 cos x +c 2 sen x) ¿

Solución general

4) y ´ ´ + 4 y ´ +6 y =0 o

Su polinomio característico es:

P ( r )=r 2 + 4 r +6=0 o

Sus raíces son (determinamos por fórmula general):

r 1=−2+ √2 i r 2=−2−√ 2i o

Su sistema fundamental de solución es:

e−2 x cos √ 2 x , e−2 x sin √ 2 x o

Solución general de la ecuación diferencial

y g=c 1 e−2 x cos √ 2 x+ c 2 e−2 x sin √ 2 x

5) y ' ' +2 y ' + 2 y =0 ; y ( 0 )=2 , y ' ( 0 ) =1 Solución:

El polinomio de la ecuación diferencial es:

P ( r )=r 2 +2 r +2=0 r=

−b± √ b2−4 ac 2a

r=

−2 ± √22 −4 (1)(2) 2(1) r 1 =−1+i r 2=−1−i 

Existen dos raíces imaginarias. Las soluciones son:e− x cosx , e−x senx −x

−x

La solución complementaria : y c =c1 e cosx+c 2 e y p= Ax+ B , pero con tres raíces iguales a cero.

dy d2 y =A , 2 =0 ⟹ 0+2 A+ 2 Ax+2 B=0 dx dx x :2 A=0 x ⟶ A=0 B=0 y= y c + y p =c 1 e− x cosx + c2 e− x senx + 0 Para y ( 0 )=2

c 1 e0 cos ( 0 )+ c 2 e 0 sen ( 0 ) =2⟶ c 1=2 y=2e− x cos ( x ) +c 2 e−x sen ( x ) Para y ' ( 0 )=1

dy =−2 e−x cos ( x )−2 e−x sen ( x )−c 2 e−x sen ( x ) +c 2 e−x cos ( x ) dx −2 e 0 cos ( 0 )−2 e 0 sen ( 0 )−c 2 e 0 sen ( 0 ) + c2 e 0 cos ( 0 )=1 −2+c 2=1 ⟶ c 2=3 ∴ y=2 e−x cosx +3 e−x senx

6. 6. y ' ' +2 y '' +17 y=0; y ( 0 ) =1, y ' ( 0 )=−1 Solución: El polinomio de la ecuación diferencial es:

P ( x ) =r 2 +2 r+ 17=0 r=

−b± √ b2−4 ac 2a

senx

−2 ± √22 −4 (1)(17) r= 2( 1) r 1 =−1+4 i r 2=−1−4 i 

Existen dos raíces imaginarias. Las soluciones son:e− x cos 4 x ,e− x sen 4 x La solución complementaria : y c =c1 e−x cos 4 x+ c2 e−x sen 4 x

y p= A x 2 + Bx+C , pero con tres raíces iguales a cero. dy d2 y =2 Ax+ B , =2 A ⟹0+ 2 A+ 2 Ax+2 B=0 dx d x2 x 2 :2 A=0 x ⟶ A=0 X :2 A +2 B=0 B=0 y= y c + y p =c 1 e− x cos ⁡(4 x)+c 2 e−x sen (4 x )+ 0 Para y ( 0 )=1

c 1 e0 cos ( 0 )+ c 2 e 0 sen ( 0 ) =1⟹ c 1=1 y=1 e− x cos ⁡(4 x)+c 2 e−x sen(4 x ) Para y ' ( 0 )=−1

dy =−e− x cos ( 4 x )−4 e−x sen ( 4 x )−c 2 e−x sen ( 4 x ) + 4 c 2 e−x cos ( 4 x ) dx −e 0 cos ( 0 )−4 e 0 sen ( 0 )−c 2 e0 sen ( 0 ) +4 c2 e 0 cos ( 0 )=1 −1+4 c 2=−1 ⟶ c2 =0 ∴ y=1 e−x cos ⁡( 4 x )

7. 7 ¿ . Y ' ' ' + 3Y ' ' −Y ' −3 Y =0 SOLUCION 

Su polinomio característico es: r 3 +3 r 2−r−3=0



Mediante el método de Ruffini, sus raíces son: r 1=(r +3),r 2=(r 2−1)

( r +3 ) ( r +1 ) ( r−1 )=0



−3 x −x x Su solución general será: y=c1 e +c 2 e +c 3 e

8. 8 ¿ . 4 Y ' ' ' +12 Y ' ' +9 Y ' =0 SOLUCION 

Su polinomio característico es: 4 r 3 +12r 2+ 9r =0 r ( 4 r 2+ 12r + 9 )=0



Mediante aspa simple: 2

r =0 ; 4 r +12 r +9 2r3 2r3 r (2 r +3)(2 r +3) sus raices son :

r 1=0 r 2=



−3 −3 r 3= 2 2

Su solución general será: 0x

y=c1 e +c 2 e y=c1 + c2 e

−3 x 2

−3 x 2

9) 9. y iv − y ' ' =0 El polinomio de la ecuación diferencial es:

P ( r )=r 4−r 2 =0 r 1=0∧ r 2=∓ 1 La solución complementaria es:

y c =c1 +c 2 e−x +c 3 x e x

La solución particular toma de la forma:

y p= A x 4 + B x 3 + c x 2 ⟹ ⟹

dy =4 A x 3 +3 B x 2 +2 Cx dx

d2 y d3 y d4 y 2 =12 A x +6 Bx +2 C ⟹ =24 Ax+6 B ⟹ =24 A d x2 d x3 d x4

24 A−12 A x 2−6 Bx+ 2C=¿0 A=0 , B=0 ⋏ C=0 ∴ y= y c + y p=c1 +c 2 e−x +c 3 x e x

10) y iii − y=0 1ª Caso. r 3−r=0 r ( r 2−1 ) =0

r ( r−1 ) ( r+ 1)=0 r 1