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ANÁLISIS DE DECISIONES Investigación de Operaciones II Programa de Ingeniería Industrial

Ing. Katherinne Salas Navarro, MSc., PhD(c)

ANÁLISIS DE DECISIONES 2

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En el análisis de decisiones se usa un proceso racional para seleccionar la mejor de varias alternativas. La “bondad” de una alternativa seleccionada depende de la calidad de los datos que se usen para describir el caso de la decisión. Desde este punto de vista, un proceso de toma de decisión puede caer en una de las tres categorías siguientes:   

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Toma de decisiones bajo certidumbre Toma de decisiones bajo riesgo Toma de decisiones bajo incertidumbre

Bajo certidumbre, los datos están bien definidos y bajo incertidumbre, los datos son ambiguos. La toma de decisiones bajo riesgo representa entonces el caso de “la mitad del camino”.

CATEGORÍAS DE MODELOS DE DECISIÓN 3

Cuando se tiene información completa y los datos se tienen de forma determinística.

Bajo certidumbre

Si a la ocurrencia de los posibles resultados se les puede asignar alguna distribución de probabilidad

Bajo Riesgo

Bajo incertidumbre

Los datos no se les puede asignar pesos o factores de ponderación que representen su grado de importancia en el proceso de decisión

A diferencia de los procesos de toma de decisiones determinísticos tal como, optimización lineal resuelto mediante sistema de ecuaciones, en la toma de decisiones bajo pura incertidumbre, las variables son normalmente más numerosas y por lo tanto más difíciles de medir y controlar.

TOMA DE DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE 4

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Los modelos de programación lineal, el modelo de transporte, modelos de redes son ejemplos de toma de decisiones bajo certidumbre, en donde todas sus funciones están bien definidas. Modelos matemáticos con funciones objetivo que especifican las consecuencias estimadas de cualquier combinación de decisiones.

Programación Lineal

Programación Entera

Programación No Lineal

TOMA DE DECISIONES 5

El tomador de decisiones debe elegir una opción de entre un conjunto de acciones posibles. El conjunto contiene todas las alternativas factibles bajo consideración de las distintas formas de proceder en el problema en cuestión. Esta elección de una alternativa debe hacerse frente a la incertidumbre porque el resultado se verá afectado por factores aleatorios que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones: 

El tomador de decisiones necesita elegir una de las opciones posibles.



Luego, la naturaleza elegirá uno de los estados de la naturaleza (un conjunto de escenarios posibles).





Cada combinación de una opción y un estado de la naturaleza da como resultado un pago, que está dado como uno de los elementos de la matriz de ganancias o pagos (representación matricial del problema de decisión).

Esta matriz de pagos debe usarse para encontrar una opción óptima para el tomador de decisiones según un criterio adecuado, el cual se toma basándose en la experiencia de quien toma la decisión. Este incluye un punto de vista optimista o pesimista, agresivo o conservador.

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TOMA DE DECISIONES EN AMBIENTES DE INCERTIDUMBRE 





La mayoría de las decisiones personales o de los negocios se toman bajo condiciones de incertidumbre. El decisor debe seleccionar una alternativa o curso de acción entre todos los posibles. Bajo condiciones de incertidumbre puede ocurrir mas de un resultado para cada alternativa. Ante imposibilidad de precisar el futuro se espera que ocurra uno u otro resultado según como se presenten diferentes eventos.

SITUACIONES BAJO INCERTIDUMBRE 7

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Un fabricante introduce un nuevo producto al mercado. ¿Cuál será la probable reacción de los consumidores? ¿Cuánto debe producir? ¿Debe probar el producto en una región pequeña antes de decidir la distribución integral? ¿Cuánta publicidad necesita para lanzar el producto con éxito? Una empresa financiera invierte en certificados. ¿Cuáles son los mejores prospectos de certificados de sectores del mercado e individuales? ¿Hacia dónde va la economía? ¿Cuáles son las tasas de interés? ¿Cómo afectan estos factores las decisiones de inversión?

Un contratista del gobierno se presenta a una licitación. ¿Cuáles serán los costos reales del proyecto? ¿Qué otras compañías se han presentado? ¿Cuál es su presupuesto probable? Una empresa agrícola selecciona la mezcla de cosechas y ganado para la próxima temporada. ¿Cuáles serán las condiciones climáticas? ¿Hacia dónde van los precios? ¿Cuáles serán los costos? Una compañía petrolera decide perforar en cierta región. ¿Cuán probable es que haya petróleo en ella? ¿Cuánto? ¿Cuán profundo tendrá que perforar? ¿Deben los geólogos investigar más el sitio antes de perforar?

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TOMA DE DECISIONES EN AMBIENTES DE INCERTIDUMBRE 

La toma de decisiones bajo incertidumbre, así como bajo riesgo, implica acciones alternativas cuyas retribuciones dependen de los estados de la naturaleza (aleatorios). Específicamente, la matriz de retribución o matriz de pagos de un problema de decisión con m acciones alternativas y n estados de la naturaleza puede representarse como:

𝑎𝑖 𝑠𝑗 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑖

Posibles decisiones, alternativas o acciones 𝑖Estado de la naturaleza 𝑗 La retribución o resultado asociado con la acción 𝑎𝑖 y el estado 𝑠𝑗

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CRITERIOS PARA LA TOMA DE DECISIONES CON INCERTIDUMBRE 

En la toma de decisiones bajo incertidumbre, la distribución de probabilidad asociada con los estados 𝑠𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, o se desconoce o no puede ser determinada. Esta falta de información condujo al desarrollo de criterios de decisión especiales:  Criterio

de razón insuficiente - Laplace  Criterio de costo de oportunidad o arrepentimiento - Savage  Criterio Maximax (optimista o agresivo) – Hurwicz  Criterio Minimax (Maximin) (pesimista o conservador) - Wald

Criterio de Razón Insuficiente - Laplace 10

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Puede ser utilizado por un tomador de decisiones que no sea optimista ni pesimista. El tomador de decisiones asume que todos los estados de la naturaleza son equiprobables. Para encontrar la decisión óptima se calcula el resultado medio esperado y se selecciona la decisión con mayor valor. El criterio de Laplace se basa en el principio de razón insuficiente. Ya que no se conocen las distribuciones de probabilidad, no hay razón alguna para creer que las probabilidades asociadas con los estados de la naturaleza sean diferentes. Por tanto, las alternativas se evalúan utilizando la suposición simplificadora de que todos los estados son igualmente probables de que ocurran; es decir, 1 𝑃 𝑠1 = 𝑃 𝑠2 = ⋯ = 𝑃 𝑠𝑛 = . Si la retribución 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑖 representa la ganancia, la mejor 𝑛 alternativa es la que da por resultado: 𝑛

1 max ෍ 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑖 𝑎𝑖 𝑛 𝑗=1

Criterio Maximim – Minimax - Wald 11





Para cada alternativa se supone que va a pasar lo peor, y elige aquella alternativa que dé mejor valor. De esta forma se asegura que en el peor de los casos se obtenga lo mejor posible, que corresponde a una visión pesimista de lo que puede ocurrir. En el caso de que los pagos sean costes esta filosofía supone elegir el mínimo de los máximos denominándose minimax, mientras que si son ganancias será el máximo de los mínimos, denominándose maximin. El criterio maximin (minimax) está basado en la actitud conservadora de hacer la mejor de las peores condiciones posibles. Si 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑖 es una pérdida, entonces seleccionamos la acción que corresponde al siguiente criterio minimax. mín máx 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 𝑎𝑖



𝑠𝑗

Si 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑖 es una ganancia, utilizamos el criterio maximin dado por: máx mín 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 𝑎𝑖

𝑠𝑗

Criterio de Savage – Costos de Oportunidad 12





Este criterio toma en consideración el coste de oportunidad o penalización o arrepentimiento por no prever correctamente el estado de la naturaleza. Estos costes de oportunidad se evalúan para cada alternativa y cada estado, haciendo la diferencia entre lo mejor de ese estado y lo que proporciona esa alternativa para ese estado, construyendo la llamada matriz de penalizaciones o costes de oportunidad. El criterio de lamento de Savage “modera” el grado de conservadurismo del criterio minimax (maximin) al reemplazar la matriz de retribución (ganancia o pérdida) 𝑣(𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 ) con una matriz de pérdida (o lamento), 𝑟(𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 ) mediante la siguiente transformación: 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 − mín 𝑣 𝑎𝑘 , 𝑠𝑗 , si 𝑣 es una pérdida 𝑟 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 = ൞

𝑎𝑘

máx 𝑣 𝑎𝑘 , 𝑠𝑗 𝑎𝑘

− 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 , si 𝑣 es una ganancia

Criterio de Hurwicz 13



El criterio de Hurwicz, está diseñado para representar diferentes actitudes de decisión que van desde la más optimista hasta la más pesimista. Defina 0 ≤ 𝑎 ≤ 1. La acción seleccionada debe asociarse con: máx

𝛼máx 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 + 1 − 𝛼 mín 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗

, si 𝑣 es una ganancia

mín

𝛼mín 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 + 1 − 𝛼 máx 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗

, si 𝑣 es una pérdida

𝑎𝑖

𝑎𝑖



𝑠𝑗

𝑠𝑗

𝑠𝑗

𝑠𝑗

El parámetro a es el índice de optimismo. Si 𝛼 = 0, entonces el criterio se reduce al criterio minimax conservador, que busca la mejor de las peores condiciones. Si 𝛼 = 1, entonces el criterio es optimista porque busca la mejor de las mejores condiciones. El grado de optimismo (o pesimismo) puede ajustarse seleccionando un valor de 𝛼 entre 0 y 1. Sin la fuerte sensación con respecto a un optimismo y a un pesimismo extremos, 𝛼 = 0.5 puede ser una elección justa.

Ejemplo 1: Criterios de decisiones 14

National Outdoors School (NOS) está preparando un sitio para acampar en el verano en el corazón de Alaska para enseñar técnicas de sobrevivencia en áreas salvajes. NOS estima que la asistencia puede caer dentro de una de cuatro categorías: 200, 250, 300 y 350 personas. El costo del campamento será mínimo cuando su tamaño satisfaga la demanda con exactitud. Las desviaciones por encima y por debajo de los niveles de demanda ideales incurren en costos adicionales por construir más capacidad que la necesaria o por perder oportunidades de ingresos cuando la demanda no se satisface. Si 𝑎1 a 𝑎4 representan los tamaños de los campamentos (200, 250, 300 y 350 personas) y 𝑠1 a 𝑠4 el nivel de asistencia, la siguiente tabla resume la matriz de costos (en miles de dólares) para la situación.

Solución Ejemplo 1: Criterios de decisiones 15



Criterio de Laplace

Dado que a 4, los valores esperados con las diferentes acciones se calculan como 1 𝑃 𝑠𝑗 = 𝑛, 𝑗 = 1 𝑎 4 valores esperados con diferentes acciones se calculan como: 1 𝑃 𝑠𝑗 = 4 1 𝐸 𝑎1 = 4 5 + 10 + 18 + 25 = $14500 1

𝐸 𝑎2 = 4 8 + 7 + 12 + 23 = $12500 1

𝐸 𝑎3 = 4 21 + 18 + 12 + 21 = $18000 1

𝐸 𝑎4 = 4 30 + 22 + 19 + 15 = $21500

Como se desea obtener el costo mínimo del campamento que satisfaga la demanda, entonces la mejor alternativa es 𝒂𝟐 , con un costo esperado de $12500

Solución Ejemplo 1: Criterios de decisiones 16



Criterio Minimax

El criterio minimax indica que de cada alternativa de decisión se selecciona el mayor estado y luego se selecciona el mínimo valor de la columna obtenida, generándose la siguiente matriz:

Como se desea obtener el costo mínimo del campamento que satisfaga la demanda, entonces la mejor alternativa minimax es 𝒂𝟑 .

Solución Ejemplo 1: Criterios de decisiones 17

Criterio Savage La matriz de penalizaciones se determina restando el menor valor esperado de cada alternativa: 5, 7, 12 y 15 a cada uno de los valores de las columnas 1 a 4, respectivamente. Por lo tanto, 

Como se desea obtener el costo mínimo del campamento que satisfaga la demanda, entonces la mejor alternativa por el criterio de Savage es 𝒂𝟐 .

Solución Ejemplo 1: Criterios de decisiones 18

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Criterio Hurwicz

La siguiente tabla resume los cálculos. Alternativa

Fila mín

Fila máx

α 𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐦í𝐧 + (𝟏 − 𝛂)(𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐦á𝐱)

𝒂𝟏

5

25

(0.25)(5) + (0.75)(25) = 20

𝒂𝟐

7

23

(0.25)(7) + (0.75)(23) = 19

𝒂𝟑

12

21

(0.25)(12) + (0.75)(21) = 𝟏𝟖. 𝟕𝟓

𝒂𝟒

15

30

(0.25)(15) + (0.75)(30) = 26.25

Alternativa

Fila mín

Fila máx

α 𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐦í𝐧 + (𝟏 − 𝛂)(𝐅𝐢𝐥𝐚 𝐦á𝐱)

𝒂𝟏

5

25

(0.5)(5) + (0.5)(25) = 𝟏𝟓

𝒂𝟐

7

23

(0.5)(7) + (0.5)(23) = 𝟏𝟓

𝒂𝟑

12

21

0.5 12 + 0.5 21 = 16.5

𝒂𝟒

15

30

(0.5)(15) + (0.5)(30) = 22.5

Utilizando una a apropiada podemos determinar la alternativa óptima. Por ejemplo, en 𝜶 = 𝟎. 𝟓 𝒂𝟏 o 𝒂𝟐 es la óptima, y en 𝜶 = 𝟎. 𝟐𝟓, 𝒂𝟑 es la óptima.

Ejemplo 2: Criterios de decisiones 19

Hank es un estudiante inteligente y suele obtener buenas calificaciones, siempre que pueda repasar el material del curso la noche anterior al examen. Para el examen de mañana, Hank enfrenta un pequeño problema. Sus hermanos de fraternidad van a tener una fiesta que va a durar toda la noche, y a la cual le gustaría asistir. Hank tiene tres opciones: 𝑎1 = Parrandear toda la noche 𝑎2 = Dividir la noche en partes iguales entre estudiar y participar en la fiesta 𝑎3 = Estudiar toda la noche

El examen de mañana puede ser fácil (s1), moderado (s2), o difícil (s3), dependiendo del impredecible humor del profesor. Hank anticipa las siguientes calificaciones:

Ejemplo 2: Criterios de decisiones 20

(a) Recomiende un curso de acción para Hank (basado en cada uno de los cuatro criterios de decisión bajo incertidumbre). (b) Suponga que a Hank le interesa más la calificación que obtendrá. Las calificaciones aprobatorias que van de la A a la D, son 90, 80, 70 y 60, respectivamente. ¿Exigiría esta actitud hacia las calificaciones un cambio del curso de acción de Hank?

Bibliografía 21

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Hillier, F. Lieberman, G. Introducción a la Investigación de Operaciones. Décima Edición. Editorial McGraw Hill. 2015. Taha, Hamdy A. Investigación de operaciones. México: Pearson educación, 2012.