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3.3.1 Cálculo de la tasa interna de retorno para un proyecto único POR MED Tasa interna de retorno. TIR: La tasa interna de retorno, es la tasa que obtienen los recursos o el dinero que permanece atado al proyecto. Es la tasa de interés a la cual el inversionista le presta su dinero al proyecto y es característica del proyecto, independientemente de quien evalué. La TIR es la tasa de interés que hace que la ecuación fundamental se cumpla, por lo tanto para su cálculo establecemos una ecuación de valor con fecha focal en el presente, en el futuro o al final de cada periodo como lo hicimos ante cedentemente. Ilustremos el concepto y el cálculo de la TIR con un sencillo ejercicio: Flujo de caja del proyecto:

La TIR, como se ha mencionado es la tasa que el proyecto le reconoce al inversionista sobre lo que le adeuda. En este caso el inversionista inicialmente le presta al proyecto $100, los cuales a final del primer periodo ascienden a $130, porque la tasa que reconoce es del 30%. Al final del primer periodo el proyecto cancela $60 por consiguiente el nuevo saldo es $70 y sobre este valor cancela una tasa del 30% por el segundo periodo para un total al final de este de $71, pero como cancela $41, el proyecto queda debiendo $50, los cuales cancela con $65 al final del tercer periodo. Se ha demostrado que realmente el proyecto reconoce una tasa del 30% periódico sobre los saldos adeudados al final de cada periodo. Lo anterior narrado es más fácil demostrarlo con una tabla de amortización:

Para tomar la decisión con la TIR la debemos de comparar con la rentabilidad obtenida en otras alternativas análogas, como por ejemplo, con los mismos niveles de riesgo. Esta rentabilidad de invertir en oportunidades similares es la tasa de interés de oportunidad o el costo de capital promedio ponderado (CCPP) del cual hablaremos un poco más adelante. En resumen, cuando: o o

TIR>CCPP Aceptar el proyecto. TIRTIRB y además ambas tasas superan la tasa de interés de oportunidad del 5%, escogemos el proyecto A. Estamos partiendo del supuesto que ambos proyectos tengan el mismo nivel de riesgo y que los recursos de dinero son limitados, sino fuera así la capacidad de generar riqueza de la empresa seria ilimitado, ¿ocurre esto en la realidad? Verifiquemos los anteriores resultados con el criterio del VPN y establezcamos las conclusiones pertinentes:

Como el VPNB>VPNA y ambos valores son mayores que cero preferimos seleccionar el proyecto B.

El orden arrojado por la TIR y el VPN ha sido totalmente contradictorio, ¿quién tiene la razón? Destruyamos la contradicción y mencionemos algunos métodos que nos aclaren la situación presentada: 1. El análisis marginal. En el análisis marginal encontramos la diferencia entre los dos proyectos, por lo general y si tienen inversiones iníciales diferentes, al de mayor inversión se le resta el de menor inversión y surge un nuevo proyecto que llamaremos el proyecto marginal o diferencia, luego nos focalizamos en evaluar este proyecto resultante:

Este proyecto resultante, sería lo que ocurre si decidimos invertir en el proyecto de mayor inversión con el excedente de no invertir en el de menor inversión. Partimos del supuesto que se efectuará inicialmente el de mayor inversión. Evaluamos entonces este proyecto diferencia con cualquiera de los criterios mencionados, si la TIR es mayor que el interés de oportunidad o si el VPN es positivo (mayor que cero) seleccionamos el de mayor inversión, si lo anterior no sucede escogemos el de menor inversión, pues si realizamos este, el excedente de no llevar a cabo lo estaremos invirtiendo a la tasa de oportunidad que será mayor que la TIR o el valor presente es igual a cero, lo cual es preferible que invertir en una alternativa que destruye valor.

El interrogante que tenemos que resolver es si se justifica invertir el excedente a una tasa superior al interés de oportunidad. Luego de efectuar los cálculos hemos determinado los valores de: TIR= 7.93%. VPN 5%=+$16.47. Conclusión: Se deberá escoger el proyecto B, el de mayor inversión, puesto que al realizarlo, sobre el excedente de no realizar el de menor inversión se obtiene una tasa mayor al 5%, que sería lo que gana si se realiza el A, el de menor inversión. Este ordenamiento fue el dado desde el principio por el VPN. El costo de tomar la decisión con un criterio inadecuado como seria escoger el proyecto A, el señalado por la TIR, es de $16.47, equivalente a la destrucción de valor y corresponde exactamente a la diferencia de los valores presentes netos (VPNA= $482.37, VPNB= $498.84). 2. La tasa interna de retorno incremental. TIRI. En el método anterior, a través del análisis marginal encontramos la tasa de quiebre de las dos alternativas la cual corresponde exactamente a la tasa de interés de oportunidad. Donde estas son indiferentes. Lo anterior significa, que si la tasa de oportunidad es del 7.93% es indiferente la una o la otra, pero si la tasa de oportunidad es menor que esta se selecciona la de mayor inversión, puesto que es mejor invertir a la TIRI= 7.93% y no a una tasa menor. Si la tasa de oportunidad es mayor que la TIRI, se deberá escoger la de menor inversión, pues es mejor liberar recursos para invertir a una tasa superior. Veámoslo gráficamente: en unos ejes cartesianos representemos la tasa de interés en la abscisa y en la ordenada el VPN y dibujemos en ellos las funciones de los valores presentes netos de Ay B.

3. Verdadera tasa de rentabilidad. Es bueno precisar algunos conceptos de tasa de interés. Tasa interna de retorno. TIR. Es la característica del proyecto, independiente del evaluador o inversionista. Supone reinversión de los recursos liberados durante el horizonte de evaluación del proyecto a la misma tasa de retorno.

Tasa de interés de oportunidad. CCPP. Corresponde a la característica del inversionista y con esta tasa calculamos el VPN. La característica fundamental del VPN es suponer reinversión a la tasa de oportunidad, de acá las bondades de este criterio en la selección de proyectos mutuamente excluyentes, donde la restricción es el dinero. Verdadera tasa de rentabilidad. VTR. Combina las características del proyecto, con las características del evaluador o inversionista. Supone que la reinversión de los recursos liberados por el proyecto se realiza a la tasa de oportunidad. Cuando evaluamos proyectos con este criterio, los cuales sean mutuamente excluyentes, las inversiones iníciales deben de ser totalmente iguales, de no ser así, como en este caso, las diferencias se reinvierten a la tasa de oportunidad. Ilustrémoslo con el siguiente diagrama de flujo de caja, para los proyectos A y B del ejercicio anterior y con una tasa de oportunidad del 5%:

F = P (1+i) N A: 1.636, 66= 800(1+VTR) 5 VTRA = 15.39%

B: 1.657.69 = 800(1+VTR)5 VTRB = 15.69% En los diagramas destacamos el hecho de que se han convertido los flujos de caja en esquemas de pagos únicos, con un pago único de valor P y un pago único futuro que llamaremos el valor futuro de los flujos de caja (VFFF). El VFFF ya es un criterio para tomar la decisión, puesto que partimos en ambos casos del mismo valor presente y naturalmente donde obtengamos el mayor resultado futuro, siempre y cuando estén ubicados en la misma fecha, esa será nuestra decisión que nos permita optimizar los recursos. La VTR es la tasa de interés que haga equivalentes los pagos únicos presente y futuros. De la ecuación del esquema de pagos únicos, se despeja el valor de esta tasa. Como la VTRB>VTRA, escogemos el proyecto A y de nuevo este criterio coincide con el ordenamiento preferencial dado por el criterio del VPN. En resumen: Hemos destacado el VPN como criterio o indicador de impacto global en la evaluación financiera de proyectos. La TIR, solamente evalúa impactos locales que no necesariamente impactan globalmente a la empresa como un sistema, cuyo objetivo es ganar más dinero. La TIR es importante para calcular la rentabilidad de los recursos, solamente de ese proyecto al cual se refiere. El VPN, permite realizar análisis de factibilidad, cuando sea positivo este indicador los proyectos son atractivos y además permite optimizar los recursos cuando el proyecto tenga un mayor VPN que otros. La TIR, solamente permite evaluar la factibilidad, cuando esta sea mayor que la tasa de oportunidad, pero definitivamente no permite optimizar los recursos. Cuando estamos evaluando proyectos para sistemas empresariales con ánimo de lucro, el criterio a emplear, proponemos sea el VPN. En empresas sin ánimo de lucro, el criterio apropiado puede ser la TIR, porque permite identificar la factibilidad financiera y la optimización de los recursos, corresponde a los criterios o indicadores de evaluación social, donde el dueño del proyecto, que es la población lo requiera con mayor necesidad y urgencia. Tasa interna de retorno múltiple Hasta ahora, le hemos adjudicado muchas dificultades a la TIR para evaluar proyectos, en empresas donde el objetivo sea maximizar u optimizar los recursos. Adicionalmente surge otro más. El proceso de evaluación financiera se ha realizado a proyectos convencionales, donde después de efectuar desembolsos proceden ingresos, pero definitivamente no todos los proyectos de inversión presentan este esquema y a veces después de los desembolsos iníciales prosiguen ingresos pero pueden ocurrir otros desembolsos futuros y se generan proyectos no convencionales. Para determinar la tasa de retorno, tal como se ha realizado, establecemos la ecuación de valor y en su forma más sencilla haciendo que el valor presente de los ingresos sea igual al valor presente de los egresos y se genera un polinomio de grado N. La ley fundamental del cálculo enunciada por Descartes, demuestra que hay n raíces o soluciones y tantas raíces reales (cortes en la abscisa de las íes de nuestro grafico anterior), cuantos cambios de signo existan en el polinomio. Comprendámoslo con este flujo de caja:

VPI = VPE 15.000(1+TIR)-2 + 8.000(1+TIR)-3 + 14.500(1+TIR)-6 + 5.000(1+TIR)-7 = 7.000(1+TIR)-1 + 20.000(1+TIR)-4 + 15.000(1+TIR)-5 Al observar el diagrama de flujo de caja y el polinomio, advertimos que existen tres cambios de signo y por lo tanto hay tres raíces reales o tres tasas internas de retorno, ¿Por cuál nos decidimos?, ¿Cuál nos ayuda a tomar la decisión correcta?, etc., etc. Comprobemos en el polinomio con las siguientes tasas y verificaremos que con todas el polinomio se satisface: 5.27%, 45.72%, 62.39%. Algunos autores dan solución al conflicto anotado, conceptuamos que no vale la pena hacer esfuerzos si disponemos del indicador apropiado como es el valor presente neto.