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• Zrtâ Xërëzhâ Grëën

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TERCER PARCIAL METODOS NUMERICOS 1

1. Dada la siguiente definición hallar el valor de la integral definida

2

∫ e−x dx

con 8 subintervalos:

−1

Definición: Sea f una función continua en [a, b] y sean

x 1=a , x 2 , x 3 , x 4 , … , x n +1=b , n+1 puntos definen una b−a partición del intervalo [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud h= . Entonces la n integral definida de f entre a y b se puede aproximar por: b

n

∫ f ( x ) dx ≅ b−a ∑ f (x i) n i=1 a

Figura 1, Sumas de áreas (distribuciones inferior y superior). Los resultados de la anterior definición se muestran en la siguiente tabla: x -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000

f(x) 0,570 0,779 0,939 1,000 0,939 0,779 0,570 0,368 1,000

Base Áreas 1 2 3 4 5 6 7 8 Área total Error

0,25 0,142 0,195 0,235 0,250 0,235 0,195 0,142 0,092 1,486 0,54%

Al contrario de las fórmulas de integración de newton-cotes, la aproximación de la definición anterior al valor de la integral de la función se realiza hallando las áreas de rectángulos donde las bases corresponden al ancho de los subintervalos. Como los xi corresponden a los puntos iniciales de los subintervalos es decir se excluye el valor de b, debido a que corresponde al n+1 punto, la definición anterior corresponde a la suma inferior presentada en la imagen izquierda de la figura 1, esta es la principal diferencia con el concepto de las sumas de Riemann donde

X i=a+i

( b−a n )

para i= 1, 2, …, 8; es decir se excluye el valor de a en la

aproximación del valor del área bajo la curva. Para este caso los resultados son los siguientes:

x -1,000 -0,750 -0,500 -0,250 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000

f(x) 0,570 0,779 0,939 1,000 0,939 0,779 0,570 0,368 1,000

Base Áreas 1 2 3 4 5 6 7 8 Área total Error

0,25 0,195 0,235 0,250 0,235 0,195 0,142 0,092 0,250 1,594 6,69%

De acuerdo al calculador wólfram Alpha el valor de la integral es 1,494 aproximadamente, el valor de los errores puede deberse al número de subintervalos y al comportamiento de la curva, si se aumenta el numero de subintervalos ambos planteamientos convergerán en una aproximación aceptable, esto es demostrable usando el graficador, en la figura 2 se muestra que el valor de las áreas halladas con 50 subintervalos para la suma superior es de 1,52 mientras que para la inferior es de 1,47, esto corresponde a errores relativos del 1,74% y 1,61%, respectivamente. Lo que indica que a medida se divida más el intervalo principal más cerca se aproximará al valor real.

Figura 2, Suma superior e inferior para 50 subintervalos. 2. En la siguiente tabla se muestra el desplazamiento de un móvil en los tiempos indicados así: t (s) 0 1

x (m)

1 0.939 4 2 0.778 8 3 0.569 8 Hallar la velocidad y la aceleración del móvil en t=2 La diferenciación numérica permite hallar la velocidad y aceleración de un objeto en un instante dado, por ello se usará este método.

Para la primera derivada (permite hallar la velocidad instantánea, en este caso) se tienen las siguientes formulas:  Dos puntos:

f ' ( x o )= 

f ( x o + h )−f ( x o ) h '' − f (ε) h 2

Tres puntos:

1 h2 ' ' ' ( ) f ( x o )= ( −3 f ( xo )+ 4 f ( x o+ h ) −f ( x o +2 h ) ) + f ε 2h 3 '



Centrada: 2

1 h f ( x o )= ( f ( x o +h ) −f ( x o −h ) ) + f ' ' ' ( ε ) 2h 6 '

Nota: Se omitirá el valor de los errores de truncamiento Debido a que el espaciado entre los datos del tiempo es el mismo se podrá decir que h=1, entonces el valor de la velocidad para t=2 es: 

Dos puntos:

f ' ( 2 )=

0,5698−0,7788 m =−0,209 1 s



Tres puntos: desconocida.



Centrada:

f ' ( 2 )=

No es posible determinar debido a que esta expresión

f ( x o +2 h ) =f ( 4) , es

1 m ( 0,5698−0,9394 )=−0,1848 2∗1 s

La formula de dos puntos corresponde a una diferencia finita progresiva debido a que h corresponde a un valor positivo. En cambio, la centrada es una combinación de la diferencia finita progresiva y la diferencia finita regresiva, por ende, resulta de mayor confiabilidad el valor arrojado por la formula centrada.

Para la segunda derivada (correspondiente a la aceleración instantánea), Chapra refiere:

f ' ' ( x o )=

2

1 h f x +h ) −2 f ( x o ) +f ( x o −h ) ) − f iv ( ε ) 2( ( o 12 h

Esta formula es solo aplicable a los puntos interiores de los datos, al igual que en la primera derivada se despreciará el valor del error de truncamiento.

f ' ' ( 2 )=

1 m ( 0,5698−2∗0,7788+0,9394 )=−0.0484 2 2 1 s

3. A partir de la lectura 24.4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA PARA CALCULAR EL TRABAJO (INGENIERÍA MECÁNICA/AERONÁUTICA) del libro de Steven C. Chapra quinta edición pág. (689), resolver el problema 24.39 (pág. 701) Problema 24.39 El trabajo que realiza un objeto es igual a la fuerza por la distancia que se desplaza en la dirección de la fuerza. La velocidad de un objeto en la dirección de una fuerza está dada por:

Donde v(t) esta dado en m/s. Emplee la aplicación múltiple de la regla de Simpson para determinar el trabajo si se aplica una fuerza constante de 200 N para toda t. x

x

W =∫ F∗vdt=200 N ∫ vdt 0

0

4

14

W =∫ vdt+∫ vdt 200 N 0 4 4

14

W 2 =∫ 4 tdt +∫ 16+(4−t) dt ≈ 525,3 200 N 0 4 Regla de Simpson múltiple:

4

∫ 4 tdt ≅ 0

14

∫ 16+(4−t )2 dt ≅ 4

( 4−0 )∗0+4∗( 4+ 12 )+ 2∗8+16 =32 3∗4

(14−4 )∗16+ 4∗( 17+25+ 41+ 65+97 )+ 2∗( 20+32+52+80 )+116 =¿ 493,3 3∗10 I ≅ 525,3 Error = 0% W=105.0667 kJ

El error es del 0% debido a que la función es un polinomio, la regla de Simpson trabaja con la interpolación de Lagrange para funciones cuadráticas, debido a que la función v(t) es lineal y cuadrática se ajusta perfectamente a la función interpolada con Lagrange por esto no se percibe ningún error. En este caso es más complejo realizar la regla de Simpson que evaluar la función directamente.