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• Andrea Jarrín

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TERCER PARCIAL DEBER Nº 01 1) Resolver las siguientes integrales dobles 𝜋⁄ 2

4 𝑐𝑜𝑠 𝜃

a) ∫0

∫2

1

𝑥2

𝜌3 𝑑𝜌𝑑𝜃

b) ∫0 ∫0 𝑥𝑒 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝜋⁄ 2

c) ∫0

2

∫0 𝜌2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜃

DEBER Nº 02 EMPEANDO INTEGRALES DOBLES RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Hallar el área dentro de 9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 36𝑥 − 8𝑦 + 4 = 0 Hallar el área dentro de 𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0; (𝑥 + 4)2 = 4𝑦 + 28 Hallar el área comprendida entre las curvas: 𝑦 2 = 4x; y= 2x – 4 Hallar el área comprendida entre las curvas: y=𝑥 4 - 𝑥 2 y y= 4 𝑥 2 Hallar el área dentro de 4 𝑥 2 + 9 𝑦 2 – 24 x + 90 y + 225 = 0 Hallar el área dentro de x + 3y + 9=0 y (𝑥 + 4)2 = 4y + 28 Hallar el área dentro de y = 3𝑥 2 – 𝑥 3 y y = 3x – 𝑥 2 Hallar el área dentro de y= 𝑥 2 + 2x y y = 𝑥 3 Hallar el área encerrada por la Lemniscata 𝑟 2 = 2𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃, que es exterior a 𝑟 = 𝑎

10) Calcular el área común al circulo 𝑟 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y la cardioide 𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 11) Hallar el área limitada por la curva: 𝑟 2 = 𝑎2 𝑠𝑖𝑛(4∅) 12) Hallar el área limitada por la curva: 𝑟 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛(3∅) 2

2

2

13) Hallar el área limitada por la astroide 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑎3 14) Calcular el área interior a la circunferencia r = 3ª cos 𝜃 y exterior a la cardioide r = a (1 + cos 𝜃) 15) Del área dentro de 9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 36𝑥 − 8𝑦 + 4 = 0 16) Del área dentro de 𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0; (𝑥 + 4)2 = 4𝑦 + 28 17) Del área comprendida entre las curvas: 𝑦 2 = 4x; y= 2x – 4 4 2 18) Del área comprendida entre las curvas: y=𝑥 - 𝑥 y y= 4 𝑥 2 19) Hallar el área y el centroide de las siguientes curvas a) Interior a las parábolas

𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 ;

b) Interior a las curvas 𝑦 = 3𝑥 2 − 𝑥 3 ;

𝑦 = 3𝑥 2 − 6𝑥 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 2

c) Del área plana exterior al círculo 𝜌 = 1 e interior a la cardioide 𝜌 = 1 + cos Ɵ

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DOBLES

DEBER Nº 03 1. Determine el volumen de solido que yace por debajo del paraboloide hiperbolico 𝑧 = 4 + 𝑥 2 − 𝑦 2 y arriba del cuadrado R[-1,1] x [0,2] ; R=12 2. Encuentre el volumen del solido encerrado por la superficie 𝑧 = 1 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑦) y 𝜋

los planos 𝑥 = ±1; y = 0; 𝑦 = 𝜋, 𝑦 = 4;

R=

3𝜋 2

√2

+ ( e - 𝑒 −1 ) ( 2 + 1 )

3. Encuentre el volumen del solido limitado por el cilindro 𝑧 = 16 − 𝑥 2 y el plano y = 5 que se encuentra en el primer cuadrante: R=640/3 2 2 4. Calcular el volumen limitado por el cilindro 𝑥 + 𝑦 = 4 y los planos y +z = 4 y z =0 R= 16 π

DEBER Nº04 1) Hallar el volumen que corta 9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 36𝑧 = 36 por el plano 𝑧 = 0. R= 3π 2) Hallar el volumen en el primer octante interior a 𝑦 2 + 𝑧 2 = 9 y exterior a 𝑦 2 = 3𝑥. R =27π/16 3) Hallar el volumen interior a 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 limitado por 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑧 = 16 y encima de 𝑧 = 4. R =81π/8 4) Calcular el volumen limitado en el primer octante por 𝑥 2 + z =9; 3x + 4y =24 R =1485/16 5) Hallar el volumen común a los cilindros 𝑥 2 + 𝑦 2 += 16 y 𝑥 2 + 𝑧 2 += 16; R =1024/3 6) Hallar el volumen del solido debajo del cono z = √𝑥 2 + 𝑦 2 , y arriba de 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4 R =16π/3 7) Calcular el volumen del solido encerrado por el hiperboloide −𝑥 2 − 𝑦 2 +𝑧 2 = 1 y el plano z=2; R=4π/3 8) Calcular el volumen acotado por el paraboloide z = 1+ 2𝑥 2 + 2𝑦 2 y el plano z=1 en el primer octante; R = π/2 9) Calcular el volumen acotado por los paraboloides Z = 3𝑥 2 + 3𝑦 2 y z= 4 - 𝑥 2 − 𝑦 2 R = 2π 10) Hallar el volumen dentro de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 y fuera del cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 =4 R=16√3π 11) Hallar el volumen dentro del cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑦 𝑦 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑜𝑖𝑑𝑒 4𝑥 2 + 4𝑦 2 + 𝑧 2 = 64

8𝜋

R= 3 ( 64 - 24√3 ) 12) Calcular el volumen arriba de z = √𝑥 2 + 𝑦 2 y debajo de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 R= (

2− √2 )π 3

DEBER Nº 05 CALCULO DE AREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCION 1) Hallar el área de la porción de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 exterior al paraboloide 𝑥 2 + 𝑦 2 + z =16 ; R = 8π 2) Hallar el área de la porción del cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 6y que cae dentro de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 36; R=144 3) Hallar el área de la porción del cono 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 interior al prisma vertical cuya

base es el triángulo limitado por las rectas y=x, x=0, y=1 en el plano XOY ; R=

√2 2

4) Hallar el área del segmento de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 25 situada entre los planos z=2 y z=4; R=20𝜋 5) 5) Hallar el área de la porción del plano x+y+z = 6 interior al cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4;

R=4√3π 6) Hallar el área de la superficie del cono 𝑥 2 + 𝑦 2 − 9𝑧 2 = 0 que está por encima del plano z=0 y es interior al cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 6y ; R=3√10π 7) Calcular el área de la parte de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 25 que está dentro del cilindro elíptico 2𝑥 2 + 𝑦 2 = 25; R=50π 8) Hallar el área del segmento de la superficie z = x y interior al cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1; R= 2π (

2√2−1 ) 3

9) Hallar el área de la superficie 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 que está directamente sobre la

cardioide 𝜌 = 1 – cos Ɵ;

R = 8 ( π - √2 + ln ( √2 + 1 ) ) 10) Hallar el área de la porción de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 36 interior al cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 6y; R = 72 ( 𝜋 – 2 ) 11) Hallar el área de la porción de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 z interior al paraboloide 𝑥2 + 𝑦2= z ; R = 4 𝜋

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES TRIPLES

DEBER Nº 06

𝜋

1) ∫0

1

2) ∫0

2

3) ∫0

𝜋 2

4) ∫0

𝜋

sec ∅

∫04

∫0

1−𝑥

∫0

6−2𝑦

∫2−𝑦 4

𝑠𝑒𝑛 2∅ 𝑑𝜌d𝜑d𝜃

2−𝑥

∫0

𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑥 dydz

√4−𝑦2

∫0

√16−𝑥 2

𝑧 𝑑𝑧dxdy

(16 − 𝜌2 )2 𝜌 𝑑𝜌d𝑧d𝜃

∫0 ∫0

DEBER Nº0 7 COORDENADAS CILINDRICAS 2

2

1) Evalúe la ∫∫∫( 𝑥 + 𝑥𝑦 )dv donde E es el sólido en el primer octante por debajo 𝜋 2 del paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 R= 48 +105 2) Encuentre el volumen del solido dentro del cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 𝑦 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4

R=

4𝜋 3

(8-3√3 )

3) Evalué ∭𝐸 𝑒 𝑧 𝑑𝑣 , donde E está encerrado por los planos z=0 y z =x+y+3 y por los cilindros 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 4) Calcule el volumen acotado por los planos coordenados y 6𝑥 2 + 4𝑦 2 + 3𝑧 2 = 12. 5) Encuentre el volumen de la región E limitado por los paraboloides z = 𝑥 2 + 𝑦 2 y Z = 36 - 3𝑥 2 − 3𝑦 2 R=162π 6) Calcule la integral triple de f(r,Ɵ,z) = 𝑟 2 sobre la región R limitada por el 243𝜋 paraboloide 𝑟 2 = 9-z y el plano z=0 R= 2 7) Hallar el volumen limitado por el paraboloide Z =2 𝑥 2 + 𝑦 2 y el cilindro z = 4- 𝑦 2 R= 4π 8) Hallar el volumen dentro del cilindro r = 4 cos Ɵ, por arriba de la esfera 𝑟 2 + 𝑧 2 =16 y por abajo el plano z=0

R=

64 (3π-4) 9 2

9) Calcular el volumen encerrado por las superficies z = 8 -𝑥 − 𝑦 2 y z= 𝑥 2 + 3𝑦 2 R=8√2π 10) Calcular el volumen en integrales triples a) en coordenadas rectangulares y b) en coordenadas cilíndricas: Interior a 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4x, encima de z=0 y debajo de𝑥 2 + 𝑦 2 =4z R a)6π, b)6π

DEBER Nº0 8 COORDENADAS ESFERICAS 1) 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 𝜌 ≤ 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 𝜙 = 𝜋 6

𝑦 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 𝜙 =

𝜋 3

R=

𝜋𝑎 3 3

(√3-1) 𝑎

2) 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 ∫−𝑎 𝑦 2 𝑧 + 𝑧 3 ) 𝑑𝑧dxdy

√𝑎2 −𝑦2

∫−√𝑎2 −𝑦2

√𝑎−𝑥 2 −𝑦 2

∫−√𝑎−𝑥2 −𝑦2(𝑥 2 𝑧 +

3) Encuentre el volumen n del sólido que esta dentro de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4y 8

y arriba del plano xy y debajo del cono z = √𝑥 2 + 𝑦 2

R= 9(3π-8)

4) Evalué la ∭ 𝑥 2 ; E está acotada por el plano xz y los hemisferios y= √9 − 𝑥 2 − 𝑧 2 y y= √16 − 𝑥 2 − 𝑧 2

R=

1562𝜋 15

𝜋

5) Evalué ∭ 𝑥𝑦𝑧 dv ; E yace entre las esferas 𝜌 =2 y arriba del cono ∅=3 1

6) Evalué cambiando a coordenadas esféricas ∫0

R=189

√2−𝑥 2 −𝑦 2

√1−𝑥 2

∫−√𝑥2 +𝑦2 𝑥𝑧 dz dy dx

∫√𝑥 2 +𝑦2

4√2−5 =0.04379 15

R=

7) Evalúe la ∭𝐸 𝑒 √𝑥

2 +𝑦 2 +𝑧 2

dv donde E esta encerrada por la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 =9 𝜋

R= 2 (5𝑒 3 -2)

en el primer octante.

8) Evalué la ∭(9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ) dv donde B es la semiesfera sólida 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤9 R=

486𝜋 5

9) Evalúe ∭𝐸 𝑧 dv, donde E yace entre las esferas 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 =1 y 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 =4 en el primer octante.

R=

15𝜋 16

DEBER Nº0 9 CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES COORDENADAS POLARES MODIFICADAS- FORMA:

𝒙𝟐 𝒂𝟐

𝒀𝟐

+ 𝒃𝟐

1) Calcular la doble integral ∬𝐷 𝑥𝑦 dx dy, donde la región D está limitado por la elipse : 𝒙𝟐 𝒂𝟐

𝒀𝟐

+𝒃𝟐 = 1 y situada en el primer cuadrante.

R=

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟖

2) Calcular la doble integral ∬𝐷 √𝑥𝑦 dx dy, donde la región D está limitado por (

𝒙𝟐 𝟐

+

𝒀𝟐 𝟑

)2 =

𝑥𝑦 , √6

situado en el primer octante.

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES- EL JACOBIANO 2

3) Calcular I = ∫0

√2𝑥−𝑥 2

∫0

𝑎

∫0 𝑧 √ 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑧dxdy R=

8 𝑎2 9

4) Determinar el volumen de sólido S limitado por las superficies z= 𝑥 2 + 𝑦 2 y z= x 𝜋 +y R= 8 5) En el siguiente ejercicio pasar a coordenadas cilíndricas o esféricas en la integral ∭𝐸 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). E es la región limitada por el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅 2 y los planos z=0, z=1, y=x, y= √3 x

R=

𝜋𝑅2 24

6) En el siguiente ejercicio pasar a coordenadas cilíndricas o esféricas en la integral ∭𝐸 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). E es la región limitada por el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2x y el plano z=0 y el paraboloide z= 𝑥 2 + 𝑦 2

R=

3𝜋 2

7) En el siguiente ejercicio pasar a coordenadas cilíndricas o esféricas en la integral ∭𝐸 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). E es la región limitada por una parte de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2 situada dentro del cilindro ( 𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 𝑅 2 ( 𝑥 2 − 𝑦 2 ); x≥0

2

R= 9

𝑅 3(3π-4) 8) En el siguiente ejercicio pasar a coordenadas cilíndricas o esféricas en la integral ∭𝐸 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). E es la región limitada por una parte de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 𝑅 2 situada en el primer octante y la región 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2 es una superficie esférica de centro (0,0) y radio R.

R=

𝑅3 𝜋 6

INTEGRACION VECTORIAL DEBER Nº 10 INTEGRAL CURVILINEA O DE LINEA 1) En el siguiente ejercicio: a) Demostrar que 𝐹⃗ = ( 𝑦 2 cos x + 𝑧 3 ) 𝑖⃗ + ( 2y sen x – 4 ) 𝑗⃗ + ( 3x𝑧 2 + 2 ) 𝑘⃗⃗ es un campo de fuerzas Conservativo. b) Hallar el potencial escalar de 𝐹⃗ c) Hallar el trabajo realizado al desplazar un cuerpo en éste campo desde (0,1,-1) 𝜋 hasta ( ,-1,2) 2

̂ Hallar: ∫ 𝐴̂. 𝑑𝑟̂ a lo largo de las 2) Siendo 𝐴̂ = (2𝑦 + 3)𝑖̂ + 𝑥𝑧𝑗̂ + (𝑦𝑧 − 𝑥)𝑘. 𝑐 siguientes trayectorias:

a) 𝑥 = 2𝑡 2

𝑦=𝑡

𝑧 = 𝑡3

Para 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

b) La quebrada que une los puntos: P1(0,0,0); P2(0,0,1); P3(0,1,1); P4(2,1,1) c) La recta que une los puntos: P1(0,0,0); P2(2,1,1) 3) Si ∅= 2 x 𝑦 2 z +𝑥 2 y, hallar ∫𝐶 ∅ d𝑟⃗, siendo C: a) La curva x=t, y= 𝑡 2 , z= 𝑡 3 desde t=0 hasta t=1 b) La quebrada que une los puntos (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) y (1,1,1) ̂ Hallar ∫ 𝐹⃗ x d𝑟⃗ a lo largo de la curva x= cos t, y= 4) Siendo 𝐹⃗ = = (2𝑦)𝑖̂ − 𝑧𝑗̂ + (𝑥)𝑘. 𝐶 𝜋

sen t, z= 2 cos t desde t=0 hasta t= 2

̂ Y 𝐵̂ = (2)𝑖̂− ̂ Hallar ∮ ( 𝐴⃗x𝐵 ̂ ⃗⃗ )x d𝑟⃗ 5) Siendo 𝐴̂ = (3𝑥 + 𝑦)𝑖̂ − 𝑥 𝑗̂ + (𝑦 − 2)𝑘. 3 𝑗 + 𝑘. 𝐶 alrededor de la circunferencia del plano xy, de centro el origen y radio 2, recorrido en el sentido positivo. 6) Sea F(x,y,z)= (2xy+ z+4 ) 𝑖⃗ + ( 𝑥 2 +𝑧 2 ) 𝑗⃗ + ( x + 2yz ) 𝑘⃗⃗, Hallar el trabajo realizado por la fuerza F a lo largo de la curva 𝑟⃗(t)= ( 𝑡 2 –t+1 ) 𝑖⃗ + ( t +3 ) 𝑗⃗ + ( 𝑡 2 – 2t ) 𝑘⃗⃗ desde el punto A(1,3,0) al punto B(1,4,-1).

DEBER Nº 11 1) Hallar la ∫𝐶 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑠 donde C está dada por 𝑥 = 2 sin 𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = −2 cos 𝑡. Para 0≤𝑡≤𝜋

2) Hallar la ∫𝐶 (2𝑥 + 9𝑧)𝑑𝑠 donde C está dada por 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡 2 , 𝑧 = 𝑡 3 . Para 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

3) Hallar la ∫𝐶 (𝑧) 𝑑𝑥 + (𝑥) 𝑑𝑦 + (𝑦) 𝑑𝑧 donde C esta dada por 𝑥 = 𝑡 2 , 𝑦 = 𝑡 3 , 𝑧 = 𝑡 2 . Para 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 4) Hallar la ∫𝐶 𝑥 𝑦 𝑑𝑠 donde C es la cuarta parte de la elipse primer cuadrante.

𝑥2 3

+

𝑦2 5

= 1, situado en el

5) Calcular la integral ∫𝐿 (𝑥 + 𝑦) ds, donde L es una cuarta parte de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2, y=x, situada en el primer octante 6) Hallar la ∫𝐶 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑠 donde C es la línea de intersección de las superficies 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅 2 /4, situada en el primer octante.

DEBER Nº 12

TEOREMA DE GREEN 1) Evalúe mediante el Teorema de Green, a lo largo de la curva con orientación positiva ∫𝑐 cos 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 2 sin 𝑦 𝑑𝑦 ; donde C es el rectángulo con vértices (0,0);(5,0);(5,2);(0,2). R= 42.48 2) Evalúe mediante el Teorema de Green donde ∫𝐶 (𝑥𝑒 −2𝑥 )𝑑𝑥 + (𝑥 4 + 2𝑥 2 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 ; donde C es el límite de la región entre la circunferencias 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4. R= 30 𝑦 3) Calcular la integral ∫𝐶 𝐹⃗ . d𝑟⃗, si 𝐹⃗ = [ y – ln( 𝑥 2 -𝑦 2 ) ] 𝑖⃗ + 2 𝑡𝑎𝑛−1( 𝑥 ) 𝑗⃗; C: la

circunferencia (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 1.

R= - π

̂ Hallar a) ∭ ⃗∇⃗ . 𝐹⃗ dV y b) ∭ ⃗∇⃗ x 𝐹⃗ 4) Siendo 𝐹⃗ = = (2𝑥 2 − 3𝑧)𝑖̂ − 2𝑥𝑦 𝑗̂ − 4𝑥 𝑘. 𝑉 𝑉 dV , siendo V el volumen limitado por los planos x=0, y=0, z=0 y 2x + 2y +z = 8

A) R=8/3, b) R= 3 (𝑗̂ − 𝑘̂)

4.

5) Evalué mediante el teorema de Green ∫𝐶 𝐹⃗ . d𝑟⃗, si F(x,y)= < √𝑥 + 𝑦 3 , 𝑥 2 +√𝑦 >, C consiste en el arco de la curva y = sen x desde (0,0) a ( π, 0) y el segmento rectilíneo ( π ,0 ) a (0,0). R= 4/3 -2π 6) Evalué mediante el teorema de Green la integral de línea a lo largo de la curva con orientación positiva que se proporciona. ∫𝐶 𝑥 𝑦 2 dx + 2 𝑥 2 dy; C: es el triángulo con vértices que van desde (0,0) a (2,2) y luego a (2,4). R=12

DEBER Nº 13 INTEGRAL DE SUPERFICIE 1) Hallar ∬𝑆 𝐴⃗ . 𝑛⃗⃗. 𝑑𝑠 extendida a la superficie S del volumen limitado por cilindro 𝑥 2 + 𝑧 2 = 9; x=0; y=0 ; z=0 ; y = 8. Siendo 𝐴⃗ = (6𝑧)𝑖⃗ + (2𝑥 + 𝑦)𝑗⃗ − (𝑥)𝑘⃗⃗.

R=180 2) Hallar ∬𝑆 𝐴⃗ . 𝑛⃗⃗. 𝑑𝑠 extendida a la superficie del volumen situado por encima del plano xy y limitado por el cono 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ; y el plano z=4. Siendo 𝐴⃗ = (4𝑥𝑧)𝑖⃗ + (𝑥𝑦𝑧 2 )𝑗⃗ + (3𝑧)𝑘⃗⃗. R=320 π ⃗⃗x𝐴⃗ ) . 𝑛⃗⃗ ds . Siendo 𝐴⃗ = (𝑥 2 + 𝑦 − 4)𝑖⃗ + 3) Hallar la integral de superficie ∬𝑆 ( ∇ (3𝑥𝑦)𝑗⃗ + (2𝑥𝑧 + 𝑧 2 )𝑘⃗⃗. y S: a) La superficie 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 encima del plano xy R= - 16π b) El paraboloide z = 4 – (𝑥 2 + 𝑦 2 ) encima del plano xy R= -4π 4) Siendo 𝐴⃗ = 2𝑦𝑧 𝑖⃗ + ( 𝑥 + 3𝑦 − 2 )𝑗⃗ + ( 𝑥 2 + 𝑧)𝑘⃗⃗ . Hallar ∬𝑆 𝐴⃗ . 𝑛⃗⃗. 𝑑𝑠 extendida a la

superficie de intersección de los cilindros 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 y 𝑥 2 + 𝑧 2 =𝑎2 situado en el primer octante.

R= -

𝑎2 12

( 3π + 8a )

5) Siendo 𝐴⃗ = (𝑦 − 𝑧 + 2 ) 𝑖⃗ + ( 𝑦𝑧 + 4 )𝑗⃗ + ( 𝑥𝑧)𝑘⃗⃗ . Hallar ∬𝑆 𝐴⃗ . 𝑛⃗⃗. 𝑑𝑠, siendo S la superficie del cubo x=0, y=0, z=0, x=2, y=2, z=2 por encima del plano xy. Resolver como integral de línea y luego como integral de superficie. R= 6

DEBER Nº 14 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS O DE OSTROGRADSKY 1) Compruebe el teorema de la divergencia para 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 2 )𝑖⃗ + (𝑥𝑦)𝑗⃗ + (𝑧)𝑘⃗⃗ ; donde E es el sólido limitado por el paraboloide 𝑧 = 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ; sobre el plano xy. R=8π

2) Mediante el teorema de divergencia calcular ∬𝑆 𝐹⃗ . 𝑛⃗⃗. 𝑑𝑠 donde 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑦)𝑖⃗ + (𝑦𝑧)𝑗⃗ + (𝑧𝑥)𝑘⃗⃗. Y E es el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1 ; con 0 ≤ 𝑧 ≤ 1

R=π/2

3) Mediante el teorema de la divergencia, calcular la integral de superficie ∬𝑆 𝐹⃗ . d𝑠⃗, es decir, calcular el flujo de 𝐹⃗ a través de S. F(x,y,z) =( 𝑒 𝑦 tan z ) 𝑖⃗+ ( y √3 − 𝑥 2 ) 𝑗⃗ + ( x sen y )⃗⃗⃗𝑘⃗, S la superficie del sólido que se sitúa por arriba del plano xy y debajo de la superficie z= 2-𝑥 4 - 𝑦 4 , -1≤ x ≤1, -1 ≤ y ≤ 1 4) Calcular∬𝑆 𝐹⃗ . 𝑛⃗⃗. 𝑑𝑠 para la función vectorial F(x,y,z)= 𝑥 4 𝑖⃗ − 𝑥 3 𝑧 2 𝑗⃗ + (4𝑥𝑦 2 𝑧 )𝑘⃗⃗. y S la superficie del sólido limitado por el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 y los planos z= x+2 y z= 0. R= 2/3π 5) Calcular∬𝑆 𝐹⃗ . 𝑛⃗⃗. 𝑑𝑠 para la función vectorial F(x,y,z)= z arctan (𝑦 2 ) 𝑖⃗ − 𝑧 3 ln( 𝑥 2 + 1 )𝑗⃗ + 𝑧 𝑘⃗⃗ . O sea determine el flujo de F que pasa a través del paraboloide 𝑥 2 + 𝑦 2 + z = 2 que se sitúa encima del plano z=1 y está orientado

hacia arriba.

R=0

DEBER Nº 15 TEOREMA DE STOKES 1) Verifique el teorema de Stokes para 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 − 𝑧 − 2)𝑖⃗ + (𝑦𝑧 + 4)𝑗⃗ − (𝑥𝑧)𝑘⃗⃗. Siendo la superficie del cubo: x=0, y=0, z=0, x=2, y=-2 y z=2 sobre el plano xy . R= -4 2) Verifique el teorema de Stokes para 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑧)𝑖⃗ − (𝑦)𝑗⃗ + (𝑥 2 𝑦)𝑘⃗⃗. Donde S es la superficie de la región comprendida por x=0, y=0, z=0; y 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 8. No es incluido en xz. R=32/3 ⃗⃗⃗x𝐴⃗ . 𝑛⃗⃗ 𝑑𝑠 para 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 2 + 𝑦 − 4)𝑖⃗ + 3) Verifique el teorema de Stokes ∬𝑆 ⃗∇ (3𝑥𝑦)𝑗⃗ + (2𝑥𝑧 + 𝑧 2 )𝑘⃗⃗. y S la superficie de:

a) La semiesfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 =16 por encima del plano xy. 16π b) El paraboloide z= 4 – (𝑥 2 + 𝑦 2 ) por encima del plano xy.

R= R= -4π

c) Siendo 𝐴⃗ = 2𝑦𝑧 𝑖⃗ + ( 𝑥 + 3𝑦 − 2 )𝑗⃗ + ( 𝑥 2 + 𝑧)𝑘⃗⃗ . Hallar ∬𝑆 𝐴⃗ . 𝑛⃗⃗. 𝑑𝑠 extendida a la superficie de intersección de los cilindros 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 y 𝑥 2 + 𝑧 2 =𝑎2 situado en el primer octante.

R= -

𝑎2 12

( 3π + 8a )

4) Verifique el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x, y,z)= -y 𝑖⃗ + x 𝑗⃗ + xz 𝑘⃗⃗ 1

sobre la superficie determinada por z= 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) y z≤ 2.

𝜋

R= - 2

1

5) Verifique el teorema de Stokes en la superficie con ecuación z= 2 - (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 que se encuentra sobre el plano xy y el campo vectorial F(x,y,z)= (x-z) 𝑖⃗ + (𝑥 3 +yz) 𝑗⃗ 3x𝑦 2 𝑘⃗⃗. R= 12π

6) Sea el campo vectorial F(x,y,z)= 3y 𝑖⃗ – xz 𝑗⃗ + y𝑧 2 𝑘⃗⃗ determinar el flujo a través de la superficie y= 4 - 𝑥 2 − 𝑧 2 en el primer octante.

R=

1024 = 105

9.752