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• Hermann Tamayo

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FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA TEMA: TEORIA DE PROBABILIDADES

CICLO: TERCER AÑO:

2015

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INDICE: 1.-Historia de la probabilidad…………………………………………………….….pág.04 a) ¿Qué es la Probabilidad y la Estadística?

2.-Introducción a la Teoría de Probabilidades:…………………………….....….pág.07 3.-Enfoques Conceptuales……………………………………………………….….pág.08 a) El enfoque clásico b) El enfoque de frecuencia relativa c) El enfoque subjetivo

4.- Concepto de Probabilidad…………………………………………………….....pág.09 5.-Objetivos……………………………………………………………………………..pág.10

6.-Valor de la Probabilidad………………………………………………………...…pág.11 7.-Teorema de Bayes………………………………………………………………….pág.12 8.-Interpretacion subjetiva probabilidad………………………………………..…pág.13 a) Probabilidad de evento

9.- Definición espacio muestral……………………………………………………..pág.15 b) Suceso seguro c) Suceso imposible d) Suceso contrario de A e) Suceso elemental f)

Suceso incompatible

g) Suceso compatible

10.- Espacio discreto y continuo……………………………………………………pág.16 a) Espacio muestral discreto b) Espacio continuo

11.- Definición del evento……………………………………...……………………..pág.16 a) Evento mutuamente excluyentes b) Evento complementarios

12.- Simbología uniones e intersecciones………………………………………...pág.18 13.- Conclusiones…………………………………………………………………...…pág.19 a) Conclusiones del libro b) Conclusiones de la catedra

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c) Conclusiones personales

14.- Web grafía o linkografía………………………………………………………...pág.23 15.- Problemas desarrollados…………………………………………………….…pág.24 16.- Bibliografía………………………………………………………………………...pág.28

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1.-Historia de la probabilidad: La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano

(jugador

donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos. Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar.Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente. Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre » , del teorema central del límite. En 1809 Gauss » inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace » publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar. A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales.

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a.-¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA? La Probabilidad y la Estadística se encargan del estudio del azar desde el punto de vista de las matemáticas: 

La Probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas.



La Estadística ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos.

De esta manera, el Cálculo de las Probabilidades es una teoría matemática y la Estadística es una ciencia aplicada donde hay que dar un contenido concreto a la noción de probabilidad. PROBABILIDAD En este sentido, el cálculo científico de probabilidades puede ayudarnos a comprender lo que en ocasiones la intuición nos indica de manera errónea. Un ejemplo típico es la denominada "paradoja de los cumpleaños". Supongamos que estamos en un grupo de 23 personas. Los cálculos nos dicen que la probabilidad de que dos personas celebren el mismo día su cumpleaños es del 50%, algo que a simple vista parece increíble (Paradoja del Cumpleaños »). No es de extrañar por tanto que la Teoría de Probabilidad se utilice en campos tan diversos como la demografía, la medicina, las comunicaciones, la informática, la economía y las finanzas.

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ESTADÍSTICA: Cuando hablamos de estadística, se suele pensar en un conjunto de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es debida a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de comunicación, periódico, radio, televisión, etc., no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística. Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específico como es el campo de la investigación de las Ciencias Sociales: Medicina, Biología, Psicología, ... empezamos a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordadas desde la perspectiva de las leyes determistas. La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos (Estadística Descriptiva), siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones (Estadística Inferencial).

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2.- INTRODUCCION A LA TEORIA DE PROBABILIDADES:

El concepto de probabilidad : Nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época.

En muchos campos de la actividad humana se trabajan fenómenos que poseen algún grado de incertidumbre y en un importante número de situaciones se llega a decisiones soportadas en el estudio de tales hechos. Así, el economista estudia la oferta y la demanda de un producto y establece alguna relación funcional sin llegar a determinar exactamente la interacción entre las dos; igualmente el médico evalúa al paciente y en ocasiones no puede precisar cuál es la enfermedad que le aqueja; el ingeniero tiene problemas de lograr exactitud en la resistencia de materiales, de confiabilidad de sus sistemas, de medición de precipitaciones atmosféricas, de la caracterización de un suelo, el mismo flujo del tráfico en una ciudad o una carretera; al sociólogo le interesa conocer el comportamiento de un cierto grupo de indígenas ante la civilización, sus aptitudes y actitudes con base en algunas de las personas que lo conforman; por igual diferentes profesionales buscan medir el riesgo que está involucrado en las decisiones que deben tomar. La incertidumbre se presenta debido a la aleatoriedad del fenómeno que se observa, pero además por el desconocimiento del verdadero estado del sistema lo cual equivale a ignorar los parámetros que determinan ese estado de la naturaleza. Existe incertidumbre por ejemplo cuando: El agricultor se interesa sobre cuantas semillas serán vanas. El jefe de producción debe detener o no el proceso de producción. Al sociólogo le interesa de un conglomerado sus ingresos, estado civil, edad, etc. El ingeniero electrónico debe identificar la confiabilidad de un sistema .

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3.-Enfoques Conceptuales:

A través de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de probabilidad:

a.-El enfoque clásico:

Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

b.-El enfoque de frecuencia relativa:

También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un numero de observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposición previa de aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos. Tanto

el

enfoque

clásico

como

el

enfoque

empírico

conducen

a

valores objetivos de probabilidad, en el sentido de que los valores de probabilidad indican al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del evento.

c.-El enfoque subjetivo: Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal. P á g i n a 8 | 36

4.-Concepto de Probabilidad:

Se define como cálculo de probabilidad al conjunto de reglas que permiten determinar si un fenómeno ha de producirse, fundando la suposición en el cálculo, las estadísticas o la teoría. El objetivo de esta práctica es realizar varios experimentos de probabilidad, anotar los resultados y posteriormente compararlos con los resultados teóricos. El concepto de probabilidad proviene del término latino probabilĭtas. En primera instancia se entiende por probabilidad como aquella posibilidad que hay entre diversas posibilidades de que un determinado hecho suceda. Es decir que es aquello que puede suceder o pasar. La idea de probabilidad es algo en lo que diversos pensadores han trabajado a lo largo de la historia de la humanidad. En un principio estos términos se relacionaban exclusivamente con los juegos de azar ya practicados hace más de cinco mil años. El concepto ha sufrido tales cambios y ha sido objeto de interés tan particular que hoy en día la probabilidad es considera incluso como una de las ramas de la matemática. En este caso se define a la probabilidad como el estudio y medición cuantitativa de que un determinado hecho suceda o se produzca. Para ello se determinan ciertos presupuestos del contexto, sus posibles combinaciones y además se hace uso de la disciplina de la estadística. En este caso las probabilidades suelen ser representados en número mayores a cero e inferiores a uno o en fracciones. Dentro de la teoría de la probabilidad se intenta determinar la cantidad de veces que puede un determinado resultado acontecer, con el fin de conocer que suceso es el más probable. Algunos de los elementos que se tienen en cuenta son el espacio de muestras, los sucesos, los sucesos elementales y las partes.

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5.-Objetivos específicos:



Introducir los fundamentos necesarios para el estudio de la teoría de la probabilidad.



Reconocer las características de un experimento aleatorio.



Identificar el espacio muestral y distintos eventos de experimentos aleatorios.



Adquirir las herramientas y habilidades necesarias de las técnicas de conteo.



Calcular las medidas de espacios muestrales y eventos aplicando reglas básicas de conteo, permutaciones y combinaciones.



Establecer y aplicar las técnicas de conteo a través de permutaciones y combinaciones.



Enunciar y aplicar el principio fundamental de conteo o principio multiplicativo y utilizar diagramas de árbol para ejemplificarlo



Reconocer la importancia de la teoría de las probabilidades en el análisis e interpretación de información estadística.



Calcular la probabilidad de un evento, dado que otro ha sucedido.



Demostrar la independencia o no de dos o más eventos.



Enunciar y aplicar la ley de la probabilidad total.



Obtener la probabilidad de eventos que involucren el uso del principio multiplicativo, diagramas de árbol y las técnicas de conteo.



Calcular la probabilidad de causas aplicando el teorema de Bayes.

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6.-Valor de la Probabilidad:

El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento ciertamente ocurrirá. Entonces si decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A´ ) la probabilidad de noocurrencia de A, tenemos que:

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7.-Teorema de Bayes:

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai. A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido. Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai. Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97. Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas. ¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética? La respuesta que nos dá el teorema de bayes es que esa información adicional hace

que

la

probabilidad

sea

ahora

0,595.

Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595. Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.

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8.- Interpretación subjetiva probabilidad:

La probabilidad subjetiva o condicionada interpreta las mismas frecuencias del procedimiento de confirmación de la evidencia implícita en una relación causal humana mediante una aplicación estricta del teorema de Bayes. Según este teorema la probabilidad condicionada de un suceso (A) respecto de otro (B), es directamente proporcional a la probabilidad ya comprobada o "a priori" de la conjunción de ambos eventos A y B, e inversamente proporcional a la probabilidad aislada del segundo evento B. En todo momento se presupone la referencia a eventos recíprocamente independientes, aunque interrelacionados, manteniendo entre ellos una correlación meramente fáctica.

a.- Probabilidad de eventos:

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%. La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre.

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El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad. Por ejemplo, al lanzar un dado ideal, la probabilidad de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es 1/36.

En estos casos, la probabilidad de un suceso cualquiera S, se calcula mediante la regla de Laplace:

P[S] = número de sucesos elementales de S / número total de sucesos elementales P[S] = número de casos favorables a S / número de casos posibles.

Pierre de Fermat El matemático francés Pierre de Fermat destacó por sus importantes aportaciones a la teoría de la probabilidad y al cálculo diferencial. También contribuyó al desarrollo de la teoría de números Corbis La aplicación de la regla de Laplace en casos elementales es muy sencilla. Por ejemplo, en la experiencia de lanzar un dado:

P[{2, 3, 4, 5}] = 4/6 Pues {2, 3, 4, 5} tiene 4 sucesos elementales y la experiencia admitía, en total, seis posibilidades.

Sin embargo, la aplicación de esta regla en experimentos más complejos requiere el uso de la combinatoria. Por ejemplo, al extraer tres cartas de una baraja y ver la probabilidad de que las tres sean tréboles, el número total de sucesos elementales es C523 = (52•51•50)/(3•2•1) = 22.100. Los casos favorables son C133= (13•12•11)/(3•2•1) = 286. Por tanto, la probabilidad pedida es: P[TRES TRÉBOLES] = 286/22.100 = 143/11.050 La resolución de este tipo de problemas se simplifica notablemente si consideramos "sacar tres naipes" como una experiencia compuesta por tres experiencias simples: "sacar un naipe y después otro y después otro". P á g i n a 14 | 36

9.- Definición espacio muestral:

Espacio muestral (E): es el conjunto de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento aleatorio.

Suceso: subconjunto del espacio muestral. Se representa con una letra mayúscula, con sus elementos entre llaves y separados por comas. Operaciones con sucesos:

Unión: la unión de dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se da uno de ellos. Intersección: la intersección dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se dan ambos a la vez.

Tipos de sucesos:

a.- Suceso Seguro: se tiene la certeza de que se producirá porque contiene todos los resultados posibles de la experiencia (coincide con el espacio muestral).

b.- Suceso Imposible: se tiene la certeza de que nunca se puede presentar, ya que no tiene elementos (es el conjunto vacío).

c.- Suceso Contrario de A: es el que ocurre cuando no se da A; es su complementario respecto al espacio muestral (A").

d.- Suceso Elemental: es el que tiene un solo resultado, es un conjunto unitario.

e.- Sucesos incompatibles: la intersección es conjunto vacío, es decir, no pueden los dos sucesos darse al mismo tiempo.

f.- Sucesos Compatibles: la intersección de dos sucesos contiene algún elemento.

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10.- ESPACIO DISCRETO Y CONTINUO:

a.- Espacio muestral discreto: si contiene un número finito o infinito numerable de puntos muestrales. Ejemplo: se tiene una urna con bolillas del 1 al 20. Se extrae una. S = { 1, 2, 3 …, 20 } (finito)

b.- Espacio muestral contínuo: si contiene una infinidad no numerable de puntos muestrales. Ejemplo: su utiliza una balanza de presición para pesar partículas metálicas. S= { X : 0 < X < infinito )

11.- Definición de evento:

Un evento es un subconjunto de un espacio muestral. Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

a.- Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía.

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b.- Eventos Complementarios.-

Su Medición Matemática o Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón:

P(A) = número de casos favorables para A/número total de casos posibles A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento. Se deduce de la definición lo siguiente:

0 P(A) 1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0% P(A) 100% en porcentaje. P() = 0 y P(E) = 1

Su Medición Experimental o Estadística:

La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razón FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza el experimento Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A.

Por ejemplo: si lanzo 100 veces una moneda, el número de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.

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12.- Simbología uniones e intersecciones

1. A, B, C…=conjuntos. 2. a ,b ,c…=elementos de conjuntos 3. U=unión de conjuntos 4. n=intersección de conjuntos 5. A"= complemento de un conjunto 6. / =dado que 7. \ diferencia 8. =diferente de 9. ( )=Conjunto nulo o vacío 10. R= conjunto de los números reales 11. N= conjunto de los números naturales 12. C= conjunto de los números complejos 13. n!= factorial de un numero entero positivo 14. Q= conjunto de los números fraccionarios 15. I= conjunto de los números irracionales 16. c= subconjuntos 17. { }= llaves. Conjuntos vacíos

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13.- Conclusiones:

a.- Conclusiones del libro: 

La incertidumbre implica la invalidación de muchas de las simplificaciones que es posible realizar a través de la inferencia.



Entre las aseveraciones de la probabilidad básica están las probabilidades a priori y las probabilidades condicionales, presentes tanto en proposiciones simples como complejas.



La distribución de probabilidad conjunta especifica la probabilidad de cada asignación completa de valores a variables aleatorias.



Las reglas de Bayes permite calcular probabilidades desconocidas a partir de probabilidades conocidas y estables.



Las redes de creencia constituyen una manera natural de representar la información sobre la independencia condicional. Los vínculos entre los nodos representan los aspectos cualitativos del dominio; las tablas de probabilidad condicional representan los aspectos cuantitativos.



Existen varias técnicas de inferencia que son utilizadas en las redes de creencia general, y en todas ellas la complejidad es exponencial en el peor de los casos. En los dominios reales, la estructura local tiende a que las cosas sean más factibles, aunque hay que poner atención para construir una red manejable en donde haya más de un centenar de nodos. También es posible utilizar ténicas de aproximación, incluida la simulación estocástica, para obtener una estimación de las verdaderas probabilidades haciendo menos cálculos.



La teoría de las probabilidades caracteriza aquello en lo que deberá creer un agente en base en lo que le dicen las evidencias, la teoría de la utilidad carateriza lo que el agente desea y la teoría de decisiones conjunta ambas para caracterizar lo que el agente debe hacer.



La teoría de la utilidad del atributo múltiple se ocupa de aquellas utilidades que dependen de diversos atributos de estado.

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

Las redes de decisión constituyen un sencillo formalismo para expresar y resolver problemas de decisión. Son la ampliación de las redes de creencia, y cuentan con nodos de decisión y de utilidad, además de los nodos aleatorios.



El valor de la información se define como la mejoría esperada en la utilidad comparada con lo que se obtendría al tomar la decisión sin el respaldo de dicha información.



Los problemas de decisión secuencial en ambientes inciertos se resuelven mediante el cálculo de una política que vincule una decisión óptima con cada uno de los estados que el agente puede alcanzar.



La iteración de valores y la iteración de políticas son dos métodos que sirven para calcular las política óptimas.



Las redes de decisión dinámicas resuelven problemas de decisión secuenciales, a través del manejo de muchas de las cuestiones que se presentan a los agentes en dominios complejos e inciertos.



Las redes de creencias dinámicas manejan la percepción sensorial y la actualización a través del tiempo, y permiten realizar la implantación del ciclo de actualización.

b.- Conclusiones de la cátedra: 

La probabilidad es un formalismo riguroso cuando existe incertidumbre sobre el conocimiento.



La distribución de probabilidad especifica la probabilidad para cada evento atómico.



Las consultas pueden ser resueltas para concluir en otro evento atómico.



El razonamiento incierto, así como la planificación incierta, están aún alejados de poderse resolver en el caso general. Mucho de lo explicado es más experimental que comercial y si es comercial, los proyectos son de reducida magnitud.



En general, las decisiones del mundo real que hay que tomar son bajo riesgo o bajo incertidumbre. En el mundo real no tiene demasiado sentido P á g i n a 20 | 36

preguntarnos si todo es verdad. Las decisiones se basan en probabilidades, a veces objetivas, a veces subjetivas. Hay que elegir la alternativa con utilidad esperada máxima, combinando teoría de decisión con teoría de utilidad. Es un área importante de la teoría de la cognición. 

La incertidumbre y un acercamiento decisión-teórico a la planificación y al diseño de agentes.



Este capítulo presenta las bases para tratar problemas en la representación, la inferencia, la explicación y la ingeniería de conocimiento dentro del marco de un agente decisión intensivo. Históricamente, el desarrollo del razonamiento heurístico surgió con motivo de la falta de expresividad de los primeros sistemas expertos probabilistas. Hay una gran relación entre heurística y teoría. de probabilidades.



La realidad está llena de incertidumbre y la búsqueda de la “felicidad” durante la conducta exteriorizada en acciones es caracterísrtica de un desempeño eficiente. Entonces la novedad incorporada garante Más flexibilidad y Más eficiencia.



Aunque la reciente investigación sobre las ideas de aplicar ciencia de la decisión a los planificadores y a los sistemas expertos parece sobradamente interesante, solamente unos pocos prototipos han aparecido hasta la fecha.



Más allá de los sistemas expertos, vemos importantes oportunidades para la aplicación de ideas de la ciencia de la decisión a solucionar temas de planificación más eficientes, buen razonamiento temporal y aprendizaje. Sin embargo, sigue habiendo barreras prácticas en la aplicación de estas ideas.

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c.- Conclusiones personales:



El agente no tiene acceso a toda la verdad acerca de su ambiente, pero que de todas maneras, el agente deberá tomar desiciones actuando bajo condiciones de incertidumbre. Estas desiciones se basarán en la teoría de las probabilidades y en la teoría de utilidad.



Los sistemas de razonamiento basados en modelos de redes y con base en las leyes de la teoría de la probabilidad son empleados para razonar en situaciones de incertidumbre.



El agente es capaz de tomar decisiones basandose en aquello que cree y desea; estas decisiones tomadas por el agente se encuentran en contextos de incertidumbre y existen metas conflictivas que no ofrecen ninguna opción para facilitar que decisión poder tomar.



En el agente de toma de decisiones complejas se trata de resolver el problema de decisión secuencial a través de la utilidad del agente que dependerá de una secuencia de decisiones, este tipo de problemas que implican

utilidades,

incertidumbre

y

percepción,

constituye

una

generalización de los problemas de búsqueda y planificación. Este tipo de técnicas producen una política que es un conjunto de reglas situaciónacción por cada estado, política que obtienen mediante el cálculo de utilidades correspondientes a cada estado.

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14.- Web grafía o linkografía : http://www.javeriana.edu.co/Facultades/Ciencias/fnovoa/probabilidad%20notas %20de%20clase/Capitulo%20VI.doc http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html http://server2.southlink.com.ar/vap/PROBABILIDAD.htm http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100402/moduloexe/bibliografa.htmlhttp:/ /www.fvet.edu.uy/estadis/probabilidad.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html http://www.angelfire.com/ia3/aisite/conclusion_v.htm http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/E stadistica/index.html http://www.cortland.edu/flteach/stats/links.html http://www.monografias.com/trabajos32/teoria-probabilidades/teoriaprobabilidades.shtml#objet http://www.d16acbl.org/U173/Brmx_prob1.html#_1 http://espanol.geocities.com/eprobabilidades/index.htm http://www.bdigital.unal.edu.co/6187/5/9589322751_Parte1.pdf http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html

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15.- Problemas desarrollados:

a.- Ejemplo:

Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es:

b.- Ejemplo:

Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina no tienen cinturón de seguridad. Si un vigilante de transito se para en esa misma esquina un ida cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un vehículo sin cinturón de seguridad?

c.- ejemplo: Una urna contiene dos monedas de plata y tres de cobre. Otra contiene cuatro monedas de plata y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de plata?. A = urna primera , B = urna segunda P( escoger A )=P(A)=0,5 : P(escoger B )=P(B)=0,5 P = salir plata

en primera P( P/A) = 2/5

en segunda P(P/B)=4/7

P(P) = P(P/A)·P(A)+P(P/B)·P(B)= (2/5·1/2)+(4/7·1/2)= 0,285 P á g i n a 24 | 36

d.- ejemplo: El 45 % de los estudiantes de COU de un instituto son alumnos de Ciencias y el 55 % restante de Letras. Se sabe que aprueban todas las asignaturas el 30 % de los alumnos de Ciencias y el 40 % de los alumnos de Letras. Si un alumno, elegido al azar, ha aprobado todas las asignaturas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Letras?. 1 paso .- Calculamos, en primer lugar, la probabilidad de que un alumno apruebe P(A)=P(C)·P(A/C)+P(L)·P(A/L)=0,45·0,3+0,55·0,4=0,355

2 paso.- La probabilidad pedida será: P (sea de letras/suponiendo que ha aprobado), es decir,

e.- ejemplo: Un dado está trucado de manera que son iguales las probabilidades de obtener 2, 4 o 6, también son iguales las probabilidades de obtener 1, 3 o 5 y la probabilidad de obtener 2 es doble que la probabilidad de sacar 1. Deducir razonadamente cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado dos veces se obtenga una suma igual a 7. P(2)=P(4)=P(6)=P(A)

P(1)=P(3)=P(5)=P(B)

P(A)=2P(B) 3P(A)+3P(B)=1 de lo que 6P(B)+3P(B)=1 P(B)=1/9 luego P(A)=2/9 sacar siete es posible con 1-6 , 6-1 , 3-4 , 4-3 , 5-2, 2-5, así P( 1 y 6 ) =P(6 y 1) indep luego P(1)·P(6)=1/9·2/9 =2/81 así P( 3 y 4 ) =P(4 y 3) indep luego P(3)·P(4)=2/81 así P( 5 y 2 ) =P(2 y 5) indep luego P(2)·P(5)=2/81 luego P(sacar 7 ) = P(1 y 6) + P( 6 y 1) +P(3 y 4)+P(4 y 3)+P( 5 y 2) + P(2 y 5)= 12/81 P á g i n a 25 | 36

f.- ejemplos: La fábrica de enlatados TI S.A. produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la máquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar la probabilidad de que un envase elegido al azar sea defectuoso. Si D es el suceso "seleccionar un envase defectuoso" y (no D) = "seleccionar un envase no defectuoso" Aplicando el teorema de la probabilidad total resulta:

g.- ejemplo: Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería. El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos: P(Av) = P(L1) ·P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) = = 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

P á g i n a 26 | 36

h.- ejemplos: Un ladrón, al huir de un policía, puede hacerlo por las calles A, B o C, con probabilidades P(A)=0,25

,

P(B)=0,6

y P(C)=0,15 respectivamente.

La

probabilidad de ser alcanzado por la calle es 0,4 , si huye por la calle B es 0,5 y si huye por la calle C es 0,6. a) Calcule la probabilidad de que la policía alcance al ladrón b) Si el ladrón ha sido alcanzado. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido en la calle A?

a)

- La probabilidad de que el policía alcance al ladrón es si

P(A)=

probabilidad

de

ir

por

A

P(B)=probabilidad de ir por B y P(C) =probabilidad e ir por C P(alcance) =P(P)=P(P/A)·P(A)+P(P/B)·P(B)+P(P/C)·P(C)= 0,25·0,4+0,6·0,5+0,15·0,6=0,49 b)

Probabilidad de que siendo alcanzado la haya sido en A

P á g i n a 27 | 36

,

16.- Bibliografía: BlaisePascal: (Clermont-Ferrand, Auvernia, Francia, 19 agosto de 1662)

fue

de

junio de 1623 - París, 19

un matemático, físico y filósofo religioso

de

francés,

considerado el padre de las computadoras junto con Charles Babbage. Fue un niño

prodigio,

educado

por

su

padre,

un

juez

local.

Sus primero trabajo abarcan las ciencias naturales y aplicadas, en dónde realizó importantes

contribuciones

para

la

invención

y

construcción

de

calculadoras mecánicas, estudios de la teoría matemática de probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío, generalizando la obra de Evangelista Torricelli. También escribió

en

defensa

del método

científico.

Pascal fue un matemático de primer orden. Ayudó a crear dos grandes áreas de investigación, escribió importantes tratados sobre geometría proyectiva a los dieciséis

años,

y

más

tarde

cruzó

correspondencia

con

Pierre

de

Fermat sobre teoría de la probabilidad, influenciando fuertemente el desarrollo de las modernas ciencias económicas y sociales. Siguiendo con el trabajo de Galileo y de Torricelli, en 1646 refutó las teorías aristotélicas que insistían en que la naturaleza aborrece el vacío, y sus resultados causaron grandes discusiones

antes

de

ser

generalmente

aceptados.

En 1646, su familia se convirtió al jansenismo, y su padre murió en 1651. Sin embargo, después de una experiencia religiosa profunda en 1654, Pascal sufrió una "segunda conversión". Abandonó las matemáticas y la física para dedicarse a la filosofía y a la teología, publicando en este periodo sus dos obras más conocidas:

Las Lettres

provinciales (Cartas

provinciales)

y Pensées (Pensamientos). Ese año también escribió importantes tratados sobre la aritmética de los triángulos. Entre 1658 y 1659 escribió sobre el cicloide y su uso

en

el

cálculo

del

volumen

de

los

sólidos.

Pascal tuvo una salud muy endeble a lo largo de toda su vida, y su muerte acaeció

dos

meses

después

de

haber

cumplido

39

años.

P á g i n a 28 | 36

ChristianHuygens: Nacimiento: 14

de

abril de 1629

La

Haya,

Fallecimiento: 8 de julio de 1695 La Haya, Ocupación: Matemático, físico y astrónomo Christiaan

Huygens

(14

de

abril de 1629 - 8

un astrónomo, físico y matemático neerlandés,

de

nacido

juliode 1695) en

La

fue Haya

Biografía: nació en el seno de una importante familia holandesa. Su padre, el diplomático Constantin Huygens, le proporcionó una excelente educación y le introdujo en los círculos intelectuales de la época. Estudió mecánica y geometría con preceptores privados. En esta primera etapa, Huygens estuvo muy influido por el matemático francés René Descartes, visitante habitual de la casa de Constantin durante su estancia en Holanda. Su formación

universitaria

transcurrió

entre 1645 y 1647 en

Leiden,

y

entre 1647 y 1649 en el Colegio de Orange de Breda. En ambos centros estudió Derecho y Matemáticas, destacándose en la segunda. Huygens dedicó sus siguientes años a viajar como embajador de Holanda, visitando, entre otros lugares, Conpenhague, Roma y París. En 1660 volvió a París para instalarse definitivamente. Allí mantuvo frecuentes reuniones con importantes científicos franceses, entre otros,Blas Pascal. Sin embargo, pronto abandonó la ciudad para marchar a Londres en 1661. Ingresó en la recién formada Royal Society, donde pudo comprobar los asombrosos avances realizados por los científicos ingleses. Allí pudo mostrar sus superiores telescopios y conoció a científicos como Robert Hooke o Robert Boyle, entre otros. P á g i n a 29 | 36

En 1666 aceptó la invitación de Colbert, ministro de Luis XIV, para volver a París e incorporarse a la Academia de las Ciencias Francesa. Dada su experiencia en la Royal Society de Londres, Huygens pudo llegar a liderar esta nueva academia e influir notablemente en otros científicos del momento, como su amigo y pupilo Leibniz. Fueron años muy activos para Huygens, pero se enturbiaron por sus problemas de salud y las guerras del Rey Sol contra Holanda. Huygens abandonó Francia en 1681. Tras una estancia en su Holanda natal, Huygens decidió volver a Inglaterra en 1689. Allí volvió a relacionarse con la Royal Society y conoció a Isaac Newton, con el que mantuvo frecuentes discusiones científicas. Y es que Huygens siempre criticó la teoría corpuscular de la luz y la ley de la Gravitación universal de Newton. Volvió a Holanda poco antes de morir. Nunca

se

casó

ni

tuvo

descendencia,

al

igual

que Newton.

Obra científica:

Matemáticas Huygens fue uno de los pioneros en el estudio de la Probabilidad, tema sobre el que publicó el libro De ratiociniis in ludo aleae (Sobre los Cálculos en los Juegos de Azar), en el año 1656. En el introdujo algunos conceptos importantes en este campo, como la esperanza matemática, y resolvía algunos de los problemas propuestos por Pascal, Fermat y De Méré. Además resolvió numerosos problemas geométricos como la rectificación de la cisoide y la determinación de la curvatura de la cicloide. También esbozó conceptos acerca de la derivada segunda.

P á g i n a 30 | 36

Física:

Los trabajos de Huygens en Física se centraron principalmente en dos campos: la Mecánica y la Óptica En el campo de la mecánica publicó su libro Horologium oscillatorum (1675); en el se halla la expresión exacta de la fuerza centrífuga en un movimiento circular, la teoría del centro del centro de oscilación, el principio de la conservación de las fuerzas vivas (antecedente del principio de la conservación de la energía) centrándose esencialmente en las colisiones entre partículas (corrigiendo algunas ideas erróneas de Descartes) y el funcionamiento del péndulo simple y del reversible. En el campo de la Óptica elaboró la teoría ondulatoria de la luz, partiendo del concepto de que cada punto luminoso de un frente de ondas puede considerarse una nueva fuente de ondas (Principio de Huygens). A partir de esta teoría explicó, en su obra Traité de la lumière, la reflexión, refracción y doble refracción de la luz. Dicha teoría quedó definitivamente demostrada por los experimentos de Thomas

Young,

a

principios

del siglo

XIX.

Astronomía Aficionado

a

la astronomía desde

pequeño,

pronto

aprendió

a

tallar lentes(especialidad de Holanda desde la invención del telescopio, hacia el año1608) y junto a su hermano llegó a construir varios telescopios de gran calidad. Por el método de ensayo y error comprobaron que los objetivos de gran longitud focal proporcionaban mejores imágenes, de manera que se dedicó a construir instrumentos de focales cada vez mayores: elaboró un sistema especial para tallar este tipo de lentes, siendo ayudado por su amigo el filósofo Spinoza, pulidor de lentes de profesión.

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Pierre-Simon Laplace:

Pierre-Simon

Laplace

marzo de1749 - París; 5

(Beaumont-en-Auge (Normandía); 23

de

de

marzo de 1827) astrónomo, físico y matemático

francés que inventó y desarrolló la Transformada de Laplace y la ecuación de Laplace.

Fue

un

creyente

del determinismo

causal.

En 1799 fue nombrado ministro del interior bajo el Consulado. Napoléon I, en 1806 le

confiere

marqués en 1817,

el

título

después

de

conde

de

del Imperio.

Será

la restauración de

nombrado

los Borbones

Es recordado como uno de los máximos científicos de todos los tiempos, a veces referido como el Newton francés o Newton de Francia, con unas fenomenales facultades matemática no poseídas por ninguno de sus contemporáneos. Su obra más importante, Mecánica celeste, es un compendio de toda la astronomía

de

su

época,

enfocada

de

modo

totalmente

analítico.

Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que elSol saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era d (d + 1) / (d + 2), donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplace decía que esta fórmula, que era conocida como la Regla de Sucesión (de Laplace), podía aplicarse en todos los casos donde no sabemos nada, o donde lo que conocíamos fue cambiado por lo que no. Aún es usada como un estimador de la probabilidad de un evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos muy pocas muestras de él. Laplace creía fuertemente en el determinismo causal, tal como puede apreciarse en la siguiente cita: Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro

P á g i n a 32 | 36

Modelo de Laplace:

Su definición nos dice que sea E un experimento cualquiera y fin S el conjunto finito de sus resultados posibles tal que S = a1,..,ak, si suponemos que cada resultado es equiprobable (que ninguno tenga más oportunidades que otro), entonces P(ai) = p. Si queremos que P sea una función de probabilidad tal que entonces p = 1 / k. Sea A un subconjunto de S tal que A = a1,..,ar entonces.

Pierre de Fermat:

Pierre

de

Fermat

Jurista y

destacado matemático.

Nacimiento: 17

de

agosto de 1601Beaumont-de-Lomagne, Francia

Fallecimiento: 12 Pierre

de de

enero de 1665Castres, Fermat

Francia

(Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17

de

agosto de1601 - Castres, Francia, 12 de enero de 1665), fue un jurista y destacado matemático. Fue abogado en el Parlamento de Toulouse, en el sur de Francia, y matemático clave para el desarrollo del cálculo moderno. También hizo

notables

contribuciones

a

la geometría

analítica

Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia

con Blaise

Pascal,

fue

co-fundador

de

la

teoría

de probabilidades.

P á g i n a 33 | 36

Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, una ciudad situada a 58 kilómetros al noroeste de Toulouse, Francia. La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias. Fermat era un matemático que trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad. Su único contacto con el resto de la comunidad matemática fue gracias a Marin Mersenne. Cabe destacar también un breve intercambio de cartas con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueron conocidos por otros pensadores europeos gracias a Mersenne, que los reenvió e hizo una amplia distribución.

Matemáticas:

Espiral de Fermat: La espiral de Fermat, denominada así en honor de Pierre de Fermat y también conocida como espiral parabólica, es una curva que responde a r

la =

siguiente θ1

ecuación: /

2

Es un caso particular de la espiral de Arquímedes.

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Fermat en el siglo XX:

Pierre de Fermat acostumbraba a escribir las soluciones a los problemas en el margen de los libros. Una vez escribió en su ejemplar del texto griego de La Aritmética de Diofanto (editada por Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621) lo siguiente: "Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos cuadratosquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra cuadratum potestandem in duos ejusdem nominis dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem

sane

detexi.

Hanc

marginis

exigitas

non

caparet."

"Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es

demasiado

pequeño

para

que

la

demostración

quepa

en

él."

No se sabe si realmente halló la demostración ya que no dejó rastro de ella para que otros matemáticos pudiesen verificarla. Este problema mantuvo en vilo a los matemáticos durante más de tres siglos (se dice que, frustrado, Euler incluso pidió a un amigo que registrara de arriba a abajo la casa de Fermat en busca de la demostración), hasta que en 1995 Andrew Wiles encontró la demostración. Andrew utilizó para ello herramientas matemáticas que surgieron mucho después de la muerte de Fermat, luego éste debió haber encontrado la solución por otro camino, si es que lo hizo. En cualquier caso, Fermat tenía razón. Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroidecon su nombre, (12007) Fermat. También se le ha dado la denominación de Fermat a un cráter lunar de 39 km de diámetro.

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Freund, John E. Miller, Irwin y Miller Marylees; Estadística matemática con aplicaciones;Pearson Educación; 6ª Ed; México 2000. Walpole, Ronald; Probabilidad y Estadística para Ingenieros; Pearson; 6ª Ed; México 1999. Spiegel, Murray R; Teoría y problemas de probabilidad y estadística; McGraw-Hill, Serie Schaum; 3ª Ed; México 2010. Spiegel,

Murray

R; Estadística; McGraw-Hill, Serie

Schaum; 4ª

Ed; Madrid 2009. Montgomery, Douglas C; Probabilidad y estadistica aplicadas a la ingeniería; Limusa; 2ª Ed; México 2008. Mendenhall, William; Introducción a la probabilidad y estadística; 13ª Ed; Thomson Cengage Learning; México 2008. Mendenhall III, William, Scheaffer, Richard L. y Wackerly Dennis D; Estadística matemática con aplicaciones; Thomson; 6ª Ed; México 2002. Larson, Harold J; Introducción a la teoría de probabilidades e inferencia estadística; Limusa-Noriega; México 1995. Kreyszig, Erwin; Introducción a la estadística matemática, principios y métodos; Limusa; 10ª Reimp; México 1989. Freund, John E. Miller, Irwin y Miller Marylees; Probabilidad y estadística para ingenieros;Prentice-Hall; 4a Ed; México 1992.

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