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• Jordan Trejo Giraldo

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AÑO DE LA UNIVERSALIZACIÓN DE LA SALUD” UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE CIENCIAS DEL AMBIENTE ESCUELA PROFECIONAL INGENIERIA SANITARIA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL EJERCICIOS DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Docente VARELA ROJAS WALTER ALEJANDRO

INTEGRANTES

GIRALDO LLIUYA ALEX GUERRERO SILVANO YOMER ONCOY RIVERA LIZ RIVERA DELGADO YULISSA

1. Sean A, B y C tres eventos cualesquiera de un espacio muestral Ω, expresar cada uno de los siguientes eventos compuestos en términos de operaciones entre A, B y C: a) Ocurra por lo menos uno de los eventos. b) Ocurran todos los eventos. c) Ocurra exactamente uno de los eventos. d) No ocurran ninguno de los eventos. e) No ocurra más de uno de los eventos.

2. Cada uno de cuatro amigos elige una bebida gaseosa al azar en la cafetería. Describa el espacio muestral del experimento si solo hay disponible en tres sabores denominados por L, N y F. ¿Cuántos elementos tiene?

SOLUCIÓN: Ω = 𝐿, 𝑁 𝑦 𝐹 Luego para hallar los elementos: 𝑉𝑅34 = 34 = 81 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 3. Un experimento consiste en lanzar 4 monedas. Describa el espacio muestral del experimento. Luego describa el rango de valores del número de caras y las veces que cada valor ocurre.

SOLUCIÓN: Espacio muestral: Ω = 𝐶, 𝑆 4 × 4 = 16 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 Rango de caras: 0, 1, 2, 3, 4 Veces que cada valor ocurre seria: 1, 4, 6, 4, 1

4. Un lote de N artículos contiene k defectuosos, describa el espacio muestral del número de artículos extraídos hasta obtener el último defectuoso.

SOLUCION: Si hay k defectuosos y se extraen entonces seria: k, k+1, k+2, …, N Entonces: Ω= {k, k+1, k+2, k+3, …, N}

5. a) Describa el espacio muestral del funcionamiento del siguiente sistema:

A1

A2

A3

donde, A1=1 si está operativo, A1= 0 si está descompuesto, i = 1, 2, 3. b) Describa los eventos: A = “Por lo menos una componente funciona” y B = “Todo el sistema funciona” ¿Son A y B mutuamente excluyentes? 6. Un experimento consiste en observar la vida útil de dos objetos, describa el evento “la duración del primero más la duración del segundo es al menos 4 años”.

SOLUCIÓN: El espacio muestral seria: Ω=𝑥+𝑦 ≥4

7. En un edificio de 10 pisos entran al ascensor al primer piso 3 personas. Cada una baja al azar a partir del segundo piso. ¿De cuántas maneras distintas estas personas pueden bajar en pisos diferentes?

SOLUCIÓN: En este caso usamos la variación: 𝑉79 = 9 × 8 × 7 = 504

8. Cierto producto se arma en tres etapas. En la primera hay 5 líneas de ensamblado, en la segunda 6, y en la tercera 4. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerse circular el producto durante el proceso de ensamblado?

SOLUCIÓN: En este caso usamos la variación: 𝑉45 = 5 × 4 × 3 = 120

9. Una caja contiene 8 dulces de piña, 6 de naranja y 4 de fresa. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que resulta de extraer al azar un dulce de cada sabor?

SOLUCIÓN: Para hallar el espacio muestral usamos las combinaciones: 𝐶18 𝐶16 𝐶14

(

8! 6! 4! )( )( ) = 192 7! 1! 5! 1! 3! 1!

10. Cinco alumnos forman cola en la ventanilla de la secretaria de la facultad.

a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer la cola? b) ¿De cuántas maneras si el más alto deber ser el primero de la cola? c) ¿De cuántas maneras si el más alto y el más bajo deben estar en extremos opuestos de la cola? d) ¿De cuántas maneras si el más alto y el más bajo no deben estar nunca juntos? SOLUCIÓN: a) 5! = 120 b) Un punto fijo entonces: (𝑛 − 1)! 4! = 24 c) Dos puntos fijos entonces: (𝑛 − 2)! 2 3! × 2 = 12 d) Se usa: (𝑛)! − (𝑛 − 1)! 2 5! + 4! × 2 = 72

11. Cierta marca de automóvil es calificada por especialistas, en cuanto a rendimiento de km. Por galón de gasolina, como: “Muy buena”, (B1); o, “buena”, (B2); o “regular”, (B3), y en cuanto a precio de venta, como “cara”, (C1); o “barata”, (C2). ¿De cuántas maneras distintas es calificado el automóvil por los especialistas?

SOLUCIÓN: Rendimiento: B1, B2 y B3 = 3 Precio: C1 y C2 = 2 Entonces: 3×2= 6

12. Un vendedor de automóviles acaba de recibir un embarque de 15, de los cuales 10 son del modelo A y 5 del modelo B. ¿De cuántas maneras puede vender 4 de los automóviles, a) Si los 4 son del mismo modelo? b) Si dos son del modelo A?

c) Si al menos uno es del modelo B? SOLUCIÓN: a) Se usa la combinación simple: 𝐶410 + 𝐶45

(

10! 5! )+( ) = 215 6! 4! 1! 4!

b) Se usa combinación: 𝐶210 𝐶25

(

10! 5! )( ) = 450 8! 2! 3! 2!

c) Usamos sumatoria: 4

∑

10 𝐶𝑘5 𝐶4−𝑘

𝑘=1

13. Suponga que una urna contiene 10 fichas de color blanco, 10 de color rojo, 10 de color amarillo y 10 de color negro. Las fichas del mismo color van numeradas de 1 a 10. Un experimento consiste en extraer al azar una de las fichas de la urna. Dados los eventos A: “color blanco”, B: “numero menor que 4”, y C: “número par”, determine el número de puntos muestrales de los siguientes eventos compuestos: A∩B, A∩C, A∩B∩C, A∩BC, AC∩B, AC∩BC∩C, AC∩BC∩CC, AC∩B∩CC, A∩BC∩CC, ACUBCUCC

14. ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse en un estante 6 libros de Matemática, 2 de Historia y 4 de Lógica si los libros de la misma materia deben estar juntos y si, a) No se distingue entre los libros de la misma materia? b) Se distingue entre los libros de la misma materia? Solución: a) Se usa la permutación:

12 𝑃6,2,4 =

12! = 13860 6! 2! 4!

b) Usamos: (6! × 2! × 4!)3! = 207360

15. De 8 hombres y 7 mujeres ¿Cuántos comités de 10 miembros se pueden formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos 5 mujeres? SOLUCIÓN: Ω= 15 P (mujeres ≥ 5) 𝐶58 𝐶57 + 𝐶48 𝐶67 + 𝐶38 𝐶77 8! 7! 8! 7! 8! 7! ( × )+( × )+( × ) = 1722 3! 5! 2! 5! 4! 4! 1! 6! 5! 3! 0! 7! 16. ¿Cuántas parejas se pueden elegir de 4 hombres y 6 mujeres si cierto varón no quiere tener como pareja a dos de las mujeres? 𝐶14 + 𝐶13 𝐶16 4! 3! 6! ( )+( × ) = 22 3! 1! 2! 1! 5! 1! 17. Seis hombres y seis mujeres compiten realizando cierta tarea. Si los seis primeros puestos son ocupados por 4 hombres y dos mujeres, determine el número de casos. 6! 𝐶46 𝐶26

(6!) × (

6! 6! )×( ) = 162000 2! 4! 4! 2!

18. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero se pueden formar con cuatro monedas cada una de distinto valor?

SOLUCIÓN: 4

∑ 𝐶24 = 24 − 1 𝑖=1

19. Una compañía desea ascender a 3 de sus 10 gerentes a posiciones de: vicepresidente de ventas, de manufacturas y de finanzas. Calcule el número de formas distintas de efectuar los ascensos.

SOLUCIÓN: Usamos la variación: 𝑉310 =

10! = 720 (10 − 3)!

20. ¿De cuantas maneras diferentes pueden un padre dividir 8 regalos entre sus 3 hijos, si el mayor debe recibir 4 regalos y los demás hijos 2 cada uno?

SOLUCIÓN: Usamos combinaciones: 𝐶48 𝐶24 𝐶22

(

8! 4! 2! )( )( ) = 420 4! 4! 2! 2! 0! 2!

21. Dados los conjuntos: A de 4 elementos y B de 8 elementos, ¿Cuántos conjuntos de 6 elementos se pueden formar si cada conjunto debe contener: a) Solo un elemento de A? b) Cuando menos un elemento de A? SOLUCIÓN: a) Usamos combinación: 𝐶14 𝐶58 =

4! 8! × = 224 3! 1! 3! 5!

b) Usamos la combinación: 𝐶14 𝐶58 𝐶14 =

4! 8! 4! × × = 896 3! 1! 3! 5! 3!

22. Calcule el numero de formas diferentes en que se pueden hacer: a) Una selección b) Un ordenamiento con 4 letras de las palabras: Cloroformo y eliminación 23. Un estudiante debe contestar 5 de 7 preguntas de un examen, ¿de cuantas maneras diferentes puede escoger las cinco a) Sin ninguna restricción? b) Si las dos primeras son obligatorias? c) Si debe contestar 3 de las 4 primeras? SOLUCIÓN: a) Usamos combinación: 𝐶57 =

7! =2 2! 5!

𝐶35 =

5! = 10 2! 3!

b) Usamos combinación:

c) Usamos combinación: 4! 3! 𝐶34 𝐶23 = ( )( ) = 12 1! 3! 1! 2!

24. Un estudiante planea matricularse en los cursos A, B y C. Los horarios de A son a las 8, 11 y 15 horas. Los de B son a las 8,10 y 15 horas y los de C a las 10, 12 y 15 horas. Si las clases son de una hora, ¿Cuántos horarios distintos puede preparar en los 3 cursos de manera que no haya cruces?

SOLUCIÓN: Combinamos horarios de la siguiente manera: a) A, B y C = 2 horarios b) A, C Y B = 3 horarios c) B, A y C = 4 horarios d) B, C y A = 4 horarios e) C, A y B = 1 horario Entonces sumamos todo y seria 14 horarios distintos. 25. ¿De cuantas formas distintas se pueden instalar en línea recta 5 focos blancos y 6 focos rojos si deben colocarse, a) Alternativamente? b) Los blancos juntos? SOLUCIÓN: a) 5! × 6! = 86400 b) 7! × 5! = 604800

26. Un microbús tiene 29 asientos para pasajeros, distribuidos en 6 filas de 4 asientos cada uno, con un pasillo en el medio y al final 5 asientos juntos, ¿De cuántas

maneras diferentes podrán ubicarse 25 pasajeros de modo tal que los 14 asientos que dan a las ventanillas queden ocupados?

SOLUCIÓN: Usamos variación: 25 15 𝑉14 𝑉11 =

25! 15! × = 2.33 × 1030 9! 4!

27. De un conjunto de n objetos numerados de 1 al n (n ≥ 4), se seleccionan k objetos a la vez. ¿En cuántos casos, a) Todos son menores que m (1 ≤ m ≤ n)? b) Solo 3 son mayores a m (k ≥ 3)? SOLUCIÓN: Usamos combinación: (𝑚−1)!

a) 𝐶𝑘𝑚−1 = ((𝑚−1)−𝑘!)𝑘! (𝑛−𝑚)!

𝑚!

𝑚 b) 𝐶3𝑛−𝑚 𝐶𝑘−3 = ((3)−(𝑛−𝑚)!3! × ((𝑚)−(𝑘−3))!(𝑘−3)!

28. Se tiene 40 fichas, donde hay 4 de color rojo. Si se reparten estas fichas entre 4 niños de manera que a cada uno toque 10 fichas, ¿En cuántos casos a cada uno toca una ficha roja?

29. Un grupo de 5 hombres y 10 mujeres, se divide al azar en 5 grupos de 3 personas cada una. Calcule el numero de maneras en que cada grupo contenga un hombre.

SOLUCIÓN: Usamos combinaciones: (𝐶15 𝐶210 )(𝐶14 𝐶28 )(𝐶13 𝐶26 )(𝐶12 𝐶24 )(𝐶11 𝐶22 )

(

5! 10! 4! 8! 3! 6! 2! 4! 1! 2! × )( × )( × )( × )( × ) 4! 1! 8! 2! 3! 1! 6! 2! 2! 1! 4! 2! 1! 1! 2! 2! 0! 1! 0! 2! = 13608000

30. Se tiene n objetos iguales numerados de 1 a n, n > 3. a) Si se permutan los n objetos, ¿de cuantas maneras k (k < n) de estos ocuparan sus posiciones correspondientes? b) Si se tienen 3 cajas en las cuales se distribuyen los objetos, ¿de cuantas maneras diferentes se pueden distribuir a fin de que solo una caja quede vacía? Solución: a) Usamos combinación: ((𝑛 − 𝑘)!)𝐶𝑘𝑛

3!

b) (2𝑛 − 2)𝐶23 = (2𝑛 − 1) 1!2! 31. Se distribuyen k bolas numeradas de 1 a k en n (k < n) cajas ubicadas en líneas recta, ¿de cuantas maneras k cajas vecinas contienen una sola bola cada una? SOLUCIÓN: Usamos la fórmula para el total de variaciones: 𝑛 𝑉𝑘𝑛 = (𝑛 − 𝑘 + 1)𝑉𝑘−1

Entonces: (𝑛 − 𝑘 + 1)𝑘!