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• Neilet Arias Agostini

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Universidad Noriental Privada Gran Mariscal de Ayacucho Facultad de Ingeniería Escuela de Mantenimiento Industrial

TEORIA DE LAS PROBABILIDADES

El Tigre, Junio 2012

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 3 TEORÍA DE PROBABILIDADES ............................................................................. 4 EXPERIMENTO ALEATORIO ................................................................................. 4 ESPACIO MUESTRAL ............................................................................................ 5 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES .......................................................... 6 TEOREMA ADITIVO ............................................................................................... 7 TEOREMA DEL PRODUCTO ................................................................................. 9 SUCESOS INDEPENDIENTES ............................................................................ 10 TEOREMA DE BAYES .......................................................................................... 11 CONCLUSION ...................................................................................................... 14 BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................... 15

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INTRODUCCIÓN

La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. La probabilidad es uno de los constituyentes más importantes de la estadística y nace de la incertidumbre del hombre por conocer con certeza los eventos que puedan ser probables en un futuro. La teoría de las probabilidades se caracteriza por el amplio campo de aplicaciones que posee, el cual se extiende a todas las ramas de las ciencias naturales, la tecnología y las ciencias sociales. Esto se debe a que la teoría de las probabilidades permite estudiar y medir la incertidumbre que forma parte de casi todo lo que ocurre a nuestro alrededor. El presente trabajo indica brevemente algunos de los conceptos básicos que son tomados en cuenta en la teoría de la probabilidad y por ende a la hora de realizar un experimento aleatorio. Asimismo se mencionaran conceptos que son necesarios considerar a la hora de realizar cualquier clase de análisis o estudio sobre tales experimentos aleatorios.

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TEORÍA DE PROBABILIDADES

Es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos; es decir a aquellos fenómenos o experimentos que al repetirse en igualdad de condiciones los resultados varían, a pesar de mantenerse constantes las condiciones con las que se realizan. En referencia a lo anterior, la teoría de las probabilidades tiene como propósito ocuparse de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en tales experimentos aleatorios, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. EXPERIMENTO ALEATORIO

Un experimento es aleatorio cuando sus resultados no son predecibles con exactitud; es decir aunque este pueda repetirse indefinidamente bajo idénticas o parecidas condiciones iniciales, una y otra vez va a producir distintos resultados finales. Depende de la suerte o el azar. Ejemplo de ello es la maquina tragamonedas, los juegos de cartas, lanzamiento de un dado, el bingo, etc.

el

A continuación, se señalan algunas de las características que son necesarias señalar en la realización de un experimento aleatorio: 

Cualquier modificación en las condiciones iníciales del experimento, modifica completamente el resultado final.



Se pueden conocer a priori el conjunto de los posibles resultados del experimento, pero no se puede predecir un resultado particular.



Si el experimento se repite un gran número de veces, la proporción con que cada resultado aparece tiende a estabilizarse.

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ESPACIO MUESTRAL

El espacio muestral en un experimento aleatorio representa el conjunto de todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar tal experimento. Se denota por la letra “S” o “E” Ejemplo 1 Cara - Cara

Sello - Sello S = Lanzar 2 Monedas al Aire (Cara- Sello) Cara - Sello

El espacio muestral anterior está comprendido por 8 elementos intervinientes que constituyen los puntos muéstrales y por ende el espacio muestral de haber lanzado 2 monedas 1 sola vez.

Sello - Cara

Ejemplo 2 Si lanzamos 2 dados, 2 veces.

S = 1 -2-3-4-5-6

(1-1) (1-2) (1-3) (1-4) (1-5) (1-6)

(2-2) (2-1) (2-3) (2-4) (2-5) (2-6) (3-3) (3-1) (3-2) (3-4) (3-5) (3-6) (4-4) (4-1) (4-2) (4-3) (4-5) (4-6) (5-5) (5-1) (5-2) (5-3) (5-4) (5-6) (6-6) (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5)

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El espacio muestral anterior está comprendido por 36 elementos intervinientes que constituyen los puntos muéstrales. Por haber lanzado 2 dados, 2 veces el espacio muestral es 72. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

En estadística, se consideran que dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento Cuando un evento A no contiene elementos en común con un evento B, se dice que estos son mutuamente excluyentes.

A

B

Eventos mutuamente excluyentes.

Ejemplo 1 Al lanzar un dado: Calcule P A  B 

P A  B  = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo Ejemplo 2: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.

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TEOREMA ADITIVO Los eventos compuestos se generan al aplicar las operaciones básicas de los conjuntos a los eventos individuales. Las uniones de eventos, la intercepción de eventos y los complementos de eventos son de interés frecuente. El teorema aditivo establece que la probabilidad de un evento compuesto puede obtenerse a partir de la suma de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. Se determina también de la “O” porque se considera como caso favorable que ocurra una cosa a la otra. Ejemplo: Un baúl contiene 20 lapiceros de diferentes colores distribuidos de la siguiente manera: 4 azules, 5 rojos, 6 marrones, 5 negros ¿Cuál es la probabilidad? de que al extraer 1 lápiz este sea: a) Azul negro, b) Rojo o marrón

Resolución del ejercicio Parte a Datos Lápices Azules = 4 Lápices Negros = 5 Probabilidad = Casos posibles = 20 Calculando la probabilidad de Lápices Azules P. Lápices Azules =

4 1   0,2  100%  20% 20 5

Calculando la probabilidad de Lápices Negros P. Lápices Negros =

5 1   0,25  100%  25% 20 4

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Teniendo cada una de las probabilidades individuales de cada uno de los eventos, ahora se procede a calcular la probabilidad de que al extraer un lápiz este sea azul o negro. Probabilidad (azul + negro) =

4 5 9    0,45  100%  45% 20 20 20

Conclusión: la probabilidad de que al extraer un lápiz al azar este sea azul o negro es de 45%. Parte b Datos Lápices Rojos = 5 Lápices Marrones = 6 Probabilidad = Casos posibles = 20 Calculando la probabilidad de lápices rojos P. Lápices Rojos =

5 1   0,25  100%  25% 20 4

Calculando la probabilidad de lápices marrones P. Lápices Marrones =

6 3   0,3  100%  30% 20 10

Calculando la probabilidad de que salga un lápiz rojo o marrón P. (rojo + marrón) =

5 6 11    0,55  100%  55% 20 20 20

Conclusión: la probabilidad de que al extraer al azar un lapicero, este sea rojo o marrón es de 55%

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TEOREMA DEL PRODUCTO

Este teorema al igual que el teorema aditivo establece que la probabilidad de un evento compuesto puede obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. Pero en este caso en vez de sumarse las probabilidades de cada uno de los eventos, se multiplican. Se llama también de la “Y” porque se considera como caso favorable una cosa y la otra. Ejemplo: Se tiene una caja con 4 fichas verdes, 5 fichas rojas y 7 fichas amarillas. Hallar la probabilidad que al extraer dos de ellas aleatoriamente, la primera sea verde y la segunda amarilla. Respuesta Datos Tarjetas Verdes= 4 Tarjetas Amarillas = 7

Probabilidad = Casos posibles = 20 Se calculan las probabilidades individuales de c/u de los eventos P. tarjetas verdes =

4  0,25  100%  25% 16

P. tarjetas amarillas =

7  0,43  100%  43% 16

Calculando la probabilidad de que al extraer una tarjeta al azar, la primera sea verde y la segunda amarilla. Probabilidad ( T. verde x Tarjeta Amarilla) =

4 7 7    0,10  100%  10% 16 16 64

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Conclusión: la probabilidad de extraer una tarjeta al azar y la primera sea verde y la segunda amarilla es de un 10% SUCESOS INDEPENDIENTES

En estadística, dos sucesos se consideran que son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada el que pueda producirse el otro: Ejemplo 1: El suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea más o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa. Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones: Probabilidad (B/A) = Probabilidad (B) es decir, que la probabilidad de que se dé el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B. Ejemplo 2. La probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad del suceso B. Probabilidad (A/B) = Probabilidad (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A.

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TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes establece que se puede calcular la probabilidad de que ocurra un determinado evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo, sino mediante la información que tenemos de otros eventos. Aunque los símbolos P(A/B) y P (B/A) pueden ser parecidos hay una gran diferencia. Para dar un ejemplo, suponga que B representa el evento de que una persona cometió un asalto y G representa el evento de que se le encuentra culpable del crimen. Así, P(G/B) es la probabilidad de que la persona que realizo el asalto se le encuentre culpable del crimen y P(B/G) es la probabilidad de que a la persona que se le encuentre culpable del asalto en realidad lo haya cometido. El teorema de Bayes se deduce en la siguiente formula:

P B / A 

P B   P ( A / B ) P( A)

En la cual no conocemos la P(A). La cual se calcula mediante la fórmula:

P( A)  PB   P A / B PB'  P A B'

Ejercicio: En un estado en el que se deben hacer pruebas de emisión de contaminantes a los automóviles, 25% de todos los automóviles emite cantidades excesivas de contaminantes. Cuando se prueban, 99% de todos los automóviles que emiten cantidades excesivas de contaminantes no pasará, pero el 17% que no emiten cantidades excesivas de contaminantes tampoco pasará. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que no pasa la prueba en realidad emita cantidades excesivas de contaminantes?

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Solución: Suponiendo que A representa el evento de que un automóvil no pasa la prueba y B es el evento de que emite cantidades excesivas de contaminantes, podemos convertir los porcentajes en referencia en probabilidades y expresar los datos de la siguiente manera:   

P (B) = 0,25 (Autos que emiten cantidad excesiva de contaminantes) P (A/B) = 0,99 (Probabilidad de autos que no pasan la prueba, emitan cantidades excesivas de contaminantes) P (A/B’) = 0,17 (Probabilidad de autos que no pasan la prueba, que no emiten cantidades excesivas de contaminantes)

Teniendo en cuenta de que el ejercicio nos suministra la información de P(A/B) y nos pide calcular P(B/A) que es la probabilidad de que un automóvil que no pasa la prueba en realidad emita cantidades excesivas de contaminantes se procede a sustituir en la formula.

P B / A 

P B   P ( A / B ) P( A)

Pero nos damos cuenta de que antes de empezar a sustituir, tenemos todos los datos necesarios para calcular P(B/A) pero que solo nos falta P(A), la cual se calcula:

P( A)  PB   P A / B PB'  P A B' Nota: Dado que el 25% “P (B)” representa los automóviles que emiten cantidades excesivas de contaminantes, y este porcentaje fue extraído de un 100% lo que resta es 75% que representa los automóviles que no emiten cantidades excesivas de contaminantes “P (B’)”

P( A)  (0,25 )  (0,99 )0,75   0,17   0,2475  0,1275  0,375 Y habiendo calculado P(A) . Se procede a calcular P (B/A) sustituyendo en la formula el valor de P(A).

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P B / A 

P  B / A 

P B   P ( A / B ) P( A)

0,25  0,99  0,66 0.375

PB / A  0,66 100 %  66 % Conclusión: La probabilidad de que un automóvil que no pasa la prueba en realidad emita cantidades excesivas de contaminantes es 66%.

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CONCLUSION

La teoría de la probabilidad representa una de las herramientas matemáticas más importantes para la estadística dado que en dicha teoría se presentan conceptos fundamentales que han de tomarse en cuenta a la hora de hacer un determinando estudio. La probabilidad de un evento compuesto puede estimarse o calcularse a través de cada una de las probabilidades de los eventos que lo forman. La probabilidad de un hecho o suceso se puede ver afectada por los eventos excluyentes que son aquellos que no pueden ocurrir a la misma vez o también puede verse favorecida con los sucesos independientes en donde la ocurrencia de un evento no interfiere con la ocurrencia del otro. Para finalizar, a la hora de calcular cualquier probabilidad de un hecho o suceso se tienen que considerar los enunciados anteriores para realizar un buen estudio y análisis del mismo y con ello garantizar óptimos resultados

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BIBLIOGRAFÍA

http://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_estoc%C3%A1stico http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html http://www.ucm.es/info/socivmyt/paginas/profesorado/benitacompostela/apuntes_e stadistica1/Estadistica_Tema%206_probydist_08.pdf icicm.com/files/Principios_de_Probabilidad.doc

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