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• JOHAN CRISTHIAN NINA FLORES

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Laboratorio de Física básica

Fluidos y Termodinámica

TEORIA DE ERRORES O INCERTIDUMBRE

A.

COMPETENCIA ESPECIFICA

Evaluar el proceso de obtención datos en laboratorio mediante instrumentos de medición para determinar la incertidumbre directa e indirecta. B.

INFORMACIÓN TEÓRICA La Física, como toda ciencia experimental, necesita contrastar sus teorías con datos obtenidos de mediciones, sin embargo, antes de medir se debe de desarrollar la capacidad de observar un fenómeno y descubrir las principales magnitudes físicas que están involucradas en él, analizar su comportamiento y estudiar cómo y con que conviene medirlas.

B.1 Precisión y exactitud La exactitud es el grado de aproximación que tiene el valor medido con el valor verdadero, se asocia con la calidad de calibración del instrumento con respecto a los patrones de medida. La precisión es el grado de repetitividad de los valores medidos, se asocia con la sensibilidad del instrumento de medición B.2 Errores en el proceso de la medición En todo proceso de medición se logra conocer el valor más cercano posible al valor verdadero en la medida de las posibilidades, esta diferencia se debe a la incerteza o el error de la medición, no hay medición con error nulo. Existen dos maneras de cuantificar el error de la medición. 

Error absoluto, Es la diferencia entre el valor medido 𝑋𝑚 y el valor real 𝑋𝑟 . E = |X m − X r |



Error relativo, Es el cociente entre el error absoluto E y el valor real. e = E/Xm



(1)

(2)

Error relativo porcentual, Es el error relativo expresado en % e% =

B.3 Resultado de la medición

E x100% Xm

(3)

El resultado de cualquier medición se expresa por el valor medido y el error de medición con sus respectivas unidades. X = (X m ± E )[u]

(4)

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

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Intervalo de incerteza, Es la región acotada por el error de la medición entorno al valor medido.

Xm − E

Xm

Xm + E

B.4 Estimación de la incertidumbre en mediciones directas 



Estimación externa, Cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no es posible repetir la medición, o cuando en una serie de lecturas se obtienen los mismos resultados, a la medición que se obtiene se le asocia una incertidumbre absoluta, igual a la división más pequeña de la escala del instrumento. Estimación interna, Se da cuando al repetir varias veces una medida, estas en general resultan diferentes, se acepta como la mejor estimación del valor verdadero a la media aritmética o promedio de las medias, cuyo cálculo se efectúa por la siguiente expresión aritmética. x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn n La incertidumbre asociada si el número de mediciones es 𝑛 ≥ 5 ̅= X

(5)

(6) ∑ni=1(xi − x̅)2 sx = δx = √ n−1 La incertidumbre asociada al promedio aritmético del conjunto de mediciones se determina por la desviación estándar del promedio: ∑n (xi − x̅)2 sx = δx = √ i=1 n(n − 1)

(7)

B.5 Estimación de la incertidumbre en mediciones indirectas El error de una medición indirecta es la propagación de los errores de las magnitudes directas, la cual se obtiene de expandir mediante su serie de Taylor. Sea L = f(X, Y, Z) = L(X, Y, Z), "X, Y, Z" son magnitudes medibles directamente. X = X m ± EX ; Y = Ym ± EY ; Z = Zm ± EZ ∂L ∂L ∂L ∂2 L L = L(X 0 , Y0, Z0 ) + (X − X 0 ) ( )| + (Y − Y0 ) ( )| + (Z − Z0 ) ( )| + (X − X 0 )2 ( 2 )| + ⋯ ∂X X0 ∂Y Y0 ∂Z Z0 ∂X X 0

Tomando (X 0 , Y0, Z0 ) = (X m , Ym , Zm ) y (X − X 0 ) = EX , (Y − Y0 ) = EY , (Z − Z0 ) = EZ . Despreciando los términos de orden superior a uno. ∂L ∂L ∂L L = L(X m , Ym , Zm ) + |( ) EX | + |( ) EY | + |( ) EZ | ∂X ∂X ∂X

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Por tanto, el error de medición indirecta estará dada por: ∂L ∂L ∂L EL = |( ) EX | + |( ) EY | + |( ) EZ | ∂X ∂Y ∂Z

(8)

B.6 Gráficas Hay otras formas de obtener el valor de una magnitud a partir de mediciones directas, el método grafico es muy útil para analizar el comportamiento entre dos variables, la relación existente entre ellas, sus valores máximos y mínimos, etc. B.6.1 Elaboración de graficas 

Elaboración de un papel adecuado por lo general milimetrado,  Elección de una escala adecuada, la variable seleccionada por el experimentador se representa en el eje horizontal y la variable dependiente se representa en el eje vertical, la gráfica debe de estar rotulada.



Elección de software de grafico de datos  Elección correcta de los ejes para variable independiente (eje X) y para la variable dependiente (Y)  Elección adecuada del tipo de grafico (tipo dispersión).  Elección de correcta de la aproximación de datos (ajuste lineal).  Rotular el grafico.

B.6.2 Ajuste de regresión lineal Se obtiene cuando la relación entre las variables que describen un fenómeno es lineal la ecuación está dada por y = A + Bx. Si los datos experimentales presentan una dispersión apreciable es mejor utilizar las ecuaciones de regresión lineal, y a partir de ella trazar la recta que se ajusta a la mejor función lineal. B=

n ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n ∑ xi 2 − (∑ xi )2

(9)

A=

∑ xi 2 yi − ∑ xi ∑ xi yi n ∑ xi 2 − (∑ xi )2

(10)

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C. MATERIALES Y ESQUEMA  

PC o Laptop con acceso a internet. 01 simulador de laboratorio virtual interactivo

A

B

C

Figura 1: Instrumentos de medición utilizados para la práctica virtual, (A) balanza mono plato, (B) Calibre y resorte para medir la constante de rigidez (C)

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APELLIDOS Y NOMBRES: NINA FLORES JOHAN CRISTHIAN ESCUELA PROFESIONAL: INGENIERIA METALURGICA HORARIO: 11.30am-1.10 am PROFESOR (A); JULIO CESAR RIVERA TACO

CUI: 20202024 FECHA: 30/10/2020 FIRMA: NOTA:

TEORIA DE ERRORES O INCERTIDUMBRE D.

CUESTIONARIO PREVIO. Responda las preguntas y presente al inicio de la sesión de laboratorio para su revisión. 1. ¿Cómo se determina la incertidumbre en un instrumento de medición? Primeramente se hace una analogía con el instrumento en caso si es una estimación externa se le asocia una incertidumbre absoluta, igual a la división más pequeña de la escala del instrumento, si es una estimación interna se acepta como la mejor estimación del valor verdadero a la media aritmética. Usualmente en reglas o en un vernier se hace la división más pequeña de la escala del instrumento. 2. ¿Cuál es la diferencia entre precisión y exactitud? La diferencia es que la palabra precisión viene a ser algo repetitivo es la cercanía de dos o más valores de varias mediciones entre sí, mientras que la exactitud es la cercanía del valor de una o más mediciones independientes a un valor verdadero 3. ¿Por qué es importante expresar una medición con su incertidumbre? La incertidumbre de medición es importante porque funciona en el proceso como un atenuante de límites de especificación para validar un método, lo ideal es manejar un valor de incertidumbre estandarizado para su laboratorio, teniendo siempre en consideración, las futuras funciones que se desean satisfacer. 4

4. El volumen de un cilindro es V = 3 πr 3 , siendo el error del radio de la base del cilindro δr. Demuestre que:

δV V

=3

δr r

𝐕=

𝟒 𝟑 𝛑𝐫 𝟑

𝛅𝐕 𝝏𝒗 = | | 𝛅𝐫 𝐕 𝝏𝒓 𝛅𝐕 = 𝟒𝛑𝐫 𝟐 𝛅𝐫 𝛅𝐕 𝟒𝛑𝐫 𝟐 𝛅𝐫 = 𝟒 𝟑 𝐕 𝛑𝐫 𝟑 𝛅𝐕 𝛅𝐫 =𝟑 𝐕 𝐫 Demostrado

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E.

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PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. Ingrese al simulador de la balanza de mono plato con el siguiente link: http://www.educaplus.org/game/balanza-monoplato  Mida la masa de tres objetos con su respectiva incertidumbre. Tabla 1: Simulador de Balanza monoplato 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 Astronauta Torre Extraterrestre

𝑚𝑎𝑠𝑎 ( 𝐾𝑔 0.2252Kg 0.2057 Kg 0.1853 Kg

)

𝐼𝑛𝑐𝑒𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 ( 𝐾𝑔 0.0001Kg 0.0001Kg 0.0001Kg

)

2. Ingrese al simulador de calibre con el siguiente link: http://www.educaplus.org/game/calibre  Según le indique el docente utilice el calibre: 2  Mida las dimensiones del diámetro interior, diámetro exterior y profundidad del objeto y complete la tabla N°2. Tabla 2: Simulador de Calibre 𝐿𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 1

𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ( 𝑐𝑚) )𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ( 𝑐𝑚) )𝑃𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 ( 𝑐𝑚) ) (0.93 ± 0.01) (1.51±0.01) (0.41±0.01)

3. Ingrese al simulador Ley de Hook con el link: https://phet.colorado.edu/sims/html/hookes-law/latest/hookes-law_es_PE.html  Seleccione introducción.  Habilite los parámetros de “Desplazamiento”, “Posición de equilibrio” y “Valores”.  Según le indique el docente utilice la constante de rigidez del resorte de: 200 N/m  Varíe la fuerza aplicada y mida la elongación del resorte y complete la tabla N°3. Tabla 3: Simulador de Ley de Hook Lectura 1 2 Fuerza ( N ) Elongación (m )

5 0.025

20 0.100

3

4

5

6

35 0.175

50 0.250

65 0.325

80 0.400

ANÁLISIS DE DATOS 1. Con los datos obtenidos de la tabla 2, halle el volumen del objeto medido con el calibre con su respectiva incertidumbre y unidades según el sistema internacional. Considerando que lo medido sea un cilindro hueco 𝜕𝑉

𝑉 = ℎ𝜋(𝑅 2 − 𝑟 2 ) 𝑉 = 0.41𝜋(1.512 − 0.932 ) 𝑉 = 1.82 𝑐𝑚3

𝜕𝑉

𝜕𝑉

𝛅𝑉 = |𝜕𝑅| 𝛅𝐑 + | 𝜕𝑟 | 𝛅𝐫 + |𝜕ℎ | 𝛅𝐡 𝛅𝑉 = 2𝑅𝜋ℎ𝛅𝑅 − 2𝜋ℎ𝑟𝛅𝑟 + 𝜋(𝑅 2 − 𝑟 2 )𝛅𝐡 𝛅𝑉 𝑽 𝛅𝑉 𝑽

2𝑅𝜋ℎ𝛅𝑅

2𝜋ℎ𝑟𝛅𝑟

= ℎ𝜋(𝑅2 −𝑟2 ) − ℎ𝜋(𝑅2 −𝑟2 ) + 2𝑅𝛅𝑅

2𝑟𝛅𝑟

= (𝑅2 −𝑟2 ) − (𝑅2 −𝑟 2 ) +

𝛅𝐡 ℎ

𝜋(𝑅2 −𝑟 2 )𝛅𝐡 ℎ𝜋(𝑅2 −𝑟 2 )

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2𝑅𝛅𝑅 2𝑟𝛅𝑟 𝛅𝐡 𝛅𝑉 = ( 2 − + )𝑉 (𝑅 − 𝑟 2 ) (𝑅 2 − 𝑟 2 ) ℎ 2(1.51)(0.01) 2(0.93)(0.01) (0.01) 𝛅𝑉 = ( − + ) 1.82 (1.512 − 0.932 ) (1.512 − 0.932 ) 0.41 𝛅𝑉 = 0.06 𝑉 = (1.82 ± 0.06)𝑐𝑚3 2. Con los datos de la tabla 3, identifique la variable dependiente e independiente y realice la gráfica 01 según corresponda. FUERZA EN FUNCIÓN A LA ELONGACIÓN

  F.

La variable independiente: Elongación (m) La variable dependiente : Fuerza (N)

COMPARACIÓN Y EVALUACIÓN 1. De la gráfica 01 obtenga el valor de la pendiente e intercepto con sus respectivas unidades según el sistema internacional. B=

B=

n ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n ∑ xi 2 − (∑ xi )2

6(73.875) − (1.275)(255) 6(0.369375) − (1.625625) B = 200 𝑁/𝑚

A=

∑ xi 2 yi − ∑ xi ∑ xi yi n ∑ xi 2 − (∑ xi )2

A= A=

∑ yi − 𝐵 ∑ xi 𝑛

255 − (200)(1.275) 6 A=0𝑚

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2. Compare el valor de la constante de rigidez del resorte (k) obtenido de la gráfica 1 con el valor designado en el punto E.3. La constante de rigidez del resorte (k) es igual a la pendiente obtenida por lo que la medida fue muy puntual. G.

CONCLUSIONES  El documento planteado permite a personas que inician su investigación en cualquier campo de las ciencias experimentales un acercamiento a los conceptos relacionados al proceso de medición. 

La medición es un proceso que implica asignar un valor numérico a una propiedad cuantificable (mensurando); comparar una propiedad con un patrón de referencia a través de una secuencia lógica (procedimiento) y así evaluar su conformidad para finalmente, tomar algún tipo de decisión importante.  El resultado de toda medición, deberá ser expresado junto con su incertidumbre típica combinada o su incertidumbre expandida , sin dejar de lado el factor de cobertura o el nivel de confianza asociado al intervalo . H. CUESTIONARIO FINAL 1. ¿Qué tipo de estimación de incertidumbre se usó en el desarrollo del experimento? Justifique su respuesta. Es una medición directa externa con un estimación de incertidumbre externa ya que cuando en una serie de lecturas se obtienen los mismos resultados, a la medición que se obtiene se le asocia una incertidumbre absoluta, igual a la división más pequeña de la escala del instrumento. 2. Mencione en que otros experimentos donde al graficar sus variables medidas, estas tengan tendencia lineal. Justifique su respuesta.  Experimento de análisis del movimiento Rectilíneo Uniforme  Experimento de análisis del movimiento Rectilíneo Variado En lo que es en MRU cuando se la pendiente hallada es la velocidad ya que tiende a ser constante donde tenemos que variable independiente y dependiente es tiempo y la distancia recorrida respectivamente En el MRUV cuando observamos que es constante la aceleración ya que tiende a ser constante donde tenemos que variable independiente y dependiente es tiempo y la velocidad respectivamente. 3. Si se utilizan dos resortes en paralelo, ¿Cómo se calcularía el error de la constante de rigidez resultante? Justifique su respuesta  Primero se haría un análisis de los datos obtenidos recordando que la constante en rigidez equivalente cuando es en paralelo es la suma de la las constantes  Según el simulador la incertidumbre para poder medir la constante es de ±10 𝑁/𝑚 ya que es la mínima división según los datos  Y por último se hace una gráfica para con respeto a la fuerza equivalente y la distancia en ello la pendiente tendrá que salir a la constante equivalente o a lo

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más próximo ya puede ser por algunos errores de nuestra medición ya sea por aspecto de una mala vista,.., etc. 𝑲𝒆 = 𝑲𝟏 + 𝑲𝟐 + ⋯ 4. Si se utilizan dos resortes en serie, ¿Cómo se calcularía el error de la constante de rigidez resultante? Justifique su respuesta  Primero se haría un análisis de los datos obtenidos recordando que la constante en rigidez equivalente cuando es en serie es la suma inversa de la las constantes  Según el simulador la incertidumbre para poder medir la constante es de ±10 𝑁/𝑚 ya que es la mínima división según los datos  Después se haría una suma de incertidumbre  Y por último se hace una gráfica para con respeto a la fuerza equivalente y la distancia en ello la pendiente tendrá que salir a la constante equivalente o a lo más próximo ya puede ser por algunos errores de nuestra medición ya sea por aspecto de una mala vista,.., etc. 𝟏 𝟏 𝟏 = + +⋯ 𝑲𝒆 𝑲 𝟏 𝑲𝟐 I.

BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL Autor

Título

Edición

Año

Paul Robinson W.

FISICA CONCEPTUAL manual de laboratorio

19998

2010

J.

BIBLIOGRAFIA DE REFERENCIA 1. 2. 3.

Guías de Laboratorio de Física Básica, Departamento Académico de Física UNSA, Año 2016. Jesus Peñas, Educaplus.org, Año 1998. http://www.educaplus.org Physics Education Technology (PhET) Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, Año 2002. https://phet.colorado.edu ANEXOS

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