• Author / Uploaded
• Fiorella Rodriguez

Citation preview

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION

“Año de la Integración Nacional”

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE

SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS EAP INVESTIGACION OPERATIVA

CURSO:

TEORIA DE DECISIONES

TEMA:

─

PROFESOR:

LIC. TOLEDO RODRIGUEZ JUAN

ALUMNOS:

SEMESTRE:

─ RODRIGUEZ CAMPIAN JHON ─TAZA BRUNO JAIRO ─BLAS OYOLA STHIP

2012 - I

Ciudad Universitaria, julio 2012

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION

INTRODUCCIÓN La resolución de problemas de distribución

es uno de los problemas

clásicos de la Investigación Operativa. Los problemas del transporte y del transbordo han sido ampliamente estudiados y son conocidos diversos métodos para su resolución, desde técnicas clásicas de programación lineal hasta la

utilización de técnicas basadas en inteligencia artificial. Igualmente es posible encontrar una gran variedad de software para su tratamiento informático, desde software específico de investigación operativa (Lingo, Lindo, Gams, Tora, etc.) hasta software científico de carácter general (Matemática, Matlab, etc.) que puede ser también utilizado para el análisis de estos problemas. El objetivo del presente trabajo no se centra en las técnicas de resolución sino más bien en el proceso de obtención e interpretación de datos en dichos problemas para realizar un buen modelo. El proceso de modelización requiere identificar las variables que intervienen en el problema, cuantificar un objetivo y establecer las restricciones o limitaciones que las variables deben cumplir. Cuando la red de distribución tiene una topología compleja, el proceso no siempre es sencillo y muchas veces se advierte la falta de herramientas informáticas que se encarguen, no de la resolución del problema, sino de ayudar en el planteamiento del modelo del mismo. Evidentemente, la implementación de un algoritmo en el que están claramente identificados los pasos a seguir así como su secuencia temporal resulta factible de realizar en un programa informático utilizando un lenguaje de programación adecuado; sin embargo, el proceso de modelización es muchas veces un “arte” que se basa en la intuición y habilidades del modelizador.

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION Desarrollar un programa informático capaz de establecer modelos ante problemas reales es un problema extremadamente complejo y en cualquier caso debería situarse en el campo de estudio de la Inteligencia Artificial.

Como primer punto desarrollaremos un problema de transporte del libro “Investigación de Operaciones” de Kamlesh Mathur, ubicado en la pag.116, acerca del problema de transmisión de datos de Tele Comm; para ello utilizaremos el software Lingo aprendido en clase. Posteriormente abarcaremos la solución de un problema de asignación para la Panadería “El Molino”, ubicada en la Av. Dominicos Mz H, N°468, urb. Centenario. En este problema se tuvo que hacer un levantamiento de información para obtener indicadores reales, para poder optimizar su proceso

de producción y asignar la maquina correcta para la tarea correcta usaremos el software Lingo. Para tener mayor idea acerca de estos problemas, explicaremos de manera breve, su funcionalidad y complejidad.

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION

Introducción y Sumario La teoría de juegos describe las situaciones envueltas en conflictos en los cuales el beneficio es afectado por las acciones y contra-reacciones de oponentes inteligentes. El juego suma-cero de dos- personas juega un papel fundamental en el desarrollo de la teoría de juegos. La teoría de juegos es sin duda un modelo para empresas ganadoras o exitosas en un ambiente competitivo: Por ejemplo, existen muchos factores importantes a considerar cuando se hace una oferta importante, entre los cuales están: Establecer y mantener una posición de preferencia como oferente, desarrollar una relación de preferencia por parte de los clientes, de lo que se oferta en sí mismo, y del precio. Para desarrollar los conceptos de la teoría de juegos, considere el siguiente juego, en el cual el jugador I tiene dos opciones para escoger, y el jugador II tiene tres alternativas para cada elección del jugador I. La matriz de beneficios T se muestra a continuación: Jugador II j=1

j=2

j=3

i=1

4

1

3

i=2

2

3

4

Jugador I

______________________________________

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION La Matriz de Beneficios

En la matriz de beneficios, las dos filas (i = 1, 2) representan las dos estrategias posibles que el jugador I puede emplear, y las tres columnas (j = 1, 2, 3) representan las dos estrategias posibles que el jugador II puede emplear. La matriz de beneficios esta orientada al jugador I, lo que significa que un valor positivo tij es ganancia para el jugador I y una pérdida para el jugador II, mientras que un tij negativo representa ganancia para el jugador II y una pérdida para el jugador I. Por ejemplo, si el jugador I utiliza la estrategia 2 mientras que el jugador II aplica la estrategia 1, el jugador I recibe t21 = 2 unidades y por lo tanto el jugador II pierde 2 unidades. Obviamente, en nuestro ejemplo el jugador II siempre pierde; sin embargo, el objetivo es minimizar el beneficio del jugador I. La representación grafica de los juegos podría ser observada como un Torneo que es jugado en una red de conexiones con direcciones. Bajo este esquema, existen dos tipos de nodos: terminales y continuos. Los nodos terminales no llevan a otros nodos, y el jugador I recibe el beneficio asociado a sus propios arcos. Los nodos continuos llevan a por lo menos un nodo adicional. Ambos jugadores seleccionas simultáneamente un nodo respectivo. Para este ejemplo numérico, a continuación se muestra el gráfico correspondiente. En esta red de conexión con direcciones los bordes van desde el vértice u hasta en vértice w, y si algún jugador elige el u mientras el otro elige el w, este último se encuentra en la cabeza del arco conectando dos nodos, por lo tanto recibe en beneficio tuw.

Una estrategia pura entre los pares (i. j) se encuentra en equilibrio si y solo si el elemento correspondiente tij es el mayor en su columna y el

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION menor en su fila. Este tipo de elemento es llamado un punto de silla (por la analogía con la superficie de una silla). Un "punto de decisión de equilibrio", es decir, un "punto de silla", es también conocido como un "punto mini-máximo", el cual representa una decisión para dos jugadores en la cual ninguno de los dos puede mejorar partiendo unilateralmente de ese punto. Cuando no existe un punto de silla, se debe elegir una estrategia aleatoria. Esta es la idea detrás de una estrategia mixta. Una estrategia mixta para un jugador esta definida como la distribución de probabilidad sobre el conjunto de todas las estrategias. Nuestro ejemplo numérico es uno de estos casos. El jugador I puede asegurar que el beneficio será maxi minj tij = 2, mientras que el jugador II ajusta su juego suponiendo que el jugador I no recibe mas que min max tij = 3. El problema de cómo la diferencia [minj maxi tij] - [max min tij]  0 debería ser subdividida entre los jugadores se mantiene abierta. En tal caso, los jugadores buscan naturalmente estrategias adicionales de oportunidades para asegurarse ellos mismos que las posibilidades de compartir esta diferencia. Para alcanzar este objetivo, ellos deben seleccionar sus estrategias de manera aleatoria para confundirse el uno al otro Usaremos un método general basado en la formulación de la programación lineal (PL). Esta equivalencia entre la teoría de juegos y la programación lineal podría ser sorprendente debido a que los problemas de PL envuelven solo un tomador de decisiones, pero se debe notar que con cada problema de PL, existe un problema asociado al mismo llamado problema dual de PL. Los valores óptimos de las funciones objetivo de ambos problemas PL son iguales, correspondientes al valor del juego. Cuando se soluciona la PL mediante el método simple, la solución al problema dual también aparece como parte de la tabla final. De esta forma obtenemos v, Y*, y X* resolviendo una PL. La formulación de la PL y el método simple es el método mas rápido, práctico, y útil para resolver juegos con una matriz T grande. Suponga que el jugador II adopta una estrategia mixta, pero el jugador I solo se le permite utilizar una estrategia pura. ¿Cuál sería la estrategia mixta Y= (y1, y2, y3) que el jugador II debería adoptar para minimizar el beneficio máximo esperado v? Un momento de análisis muestra que el jugador II debería resolver el siguiente problema: Min v = y sujeto a:

T.Y  y

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION Ut.Y = 1

La minimización se encuentra sobre todos los del vector de decisión Y  0, el escalar y no esta restringido en signo, y U un vector columna n-dimensional con todos sus elementos iguales a 1. El lado derecho de las primeras n restricciones, por definición, es el retorno esperado del jugador II en contra de la estrategia pura del jugador I. Estas estrategias mixtas serían óptimas si permitimos que el jugador I emplee estrategias mixtas. Las estrategias mixtas son conocidas también como estrategias de “punto de silla”. Por supuesto, un juego con un punto de silla también puede ser resuelto por este método. La formulación estándar en el método simple requiere que todas las variables sean no-negativas. Para lograr esta condición se debe sustituir la diferencia de dos variables nuevas por y. La estrategia óptima para el jugador I es la solución del problema dual del jugador II. El método simplex de la programación lineal proporciona estrategias óptimas para ambos jugadores. Los juegos sociales y las normas de imparcialidad son convenciones que se han desarrollado para coordinar el comportamiento de manera equilibrada del juego de la sociedad llamado vida. Dado este punto de vista, las aproximaciones naturalistas del metafísico Emmanuel Kant y moralista de David Hume podrían ser abandonadas. Ejemplos Numéricos

La programación lineal para el problema del jugador II en un juego con una matriz de beneficios T dada anteriormente, es: Min v sujeta a: 4y1

+

y2

+

3y3



v

2y1

+

3y2

+

4y3



v

y1

+

y2

+

y3

=

1

yj0, j = 1, 2, 3, v es no restringida

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION La solución óptima para el jugador II es: y1 = 1/2, y2 = 1/2, y3 = 0. Los precios sombra son las estrategiasóptimas para el jugador I. Por lo tanto, el punto de silla mixto es: x1 = 1/4, x2 = 3/4; y1 = 1/2, y2 = 1/2, y3 = 0, y el valor del juego es igual a 5/2. Note que la estrategia esencial para el jugador I son: i = 1, i = 2; para el jugador II son j = 1, j = 2 mientras j = 3 no es esencial. Es costumbre el descartar las filas o las columnas dominantes para encontrar las estrategias óptimas. Sin embargo, esto asume que la matriz de beneficios es fija.

Un Problema de Inversión: Selección de un Portafolio Optimo Considere el siguiente problema de inversión discutido el sitio web Análisis de Decisión. El problema es decidir que acción o combinación de ellas se debe tomar dentro de tres cursos posibles con las tasas de retorno dadas como sigue en la siguiente tabla.

Estados de la Naturaleza (Eventos) Crecimiento (G) G Medio No Cambios G Bajo

Bonos

G

MG

N

L

12%

8

6

3

7

3

-2

7

7

7

Acciones Acciones 15 Depósitos 7

En el análisis de decisión, el tomador de decisiones tiene que seleccionar por lo menos y como mucho una opción de todas las alternativas posibles. Esto ciertamente limita su alcance y su aplicación. Usted ha aprendido tanto el análisis de decisión como la programación lineal. Ahora es el momento para utilizar los conceptos de la teoría de juego para conectar estos dos aparentemente diferentes modelos para ampliar y alcanzar modelos de toma de decisiones mas realistas. El problema de inversión puede ser formulado como si el inversor esta jugando en contra de la naturaleza.

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION Suponga que nuestro inversionista tiene $100,000 para colocarlos en tres inversiones posibles con valores desconocidos Y1, Y2, Y3, respectivamente. Es decir, Y1 + Y2 + Y3 = 100,000 Note que esta condición es equivalente a la condición de probabilidad total del jugador I en la Teoría de Juegos. Bajo estos supuestos, los retornos son: 0,12Y1

+ 0,15Y2

+ 0,07Y3

{Si hay Crecimiento (G)}

0,08Y1

+ 0,07Y2

+ 0,07Y3

{Si existe un G Medio}

0,06Y1

+ 0,03Y2

+ 0,07Y3

{Si no Ocurren Cambios}

0,03Y1

- 0,02Y2

+ 0,07Y3

{Si el crecimiento es Bajo}

El objetivo es que nuestro rendimiento (retorno) mas bajo (v) sea los mas grande posible. Formulando este problema de Análisis de Decisión como un problema de Programación Lineal obtenemos: Max v sujeta a: Y1

+ Y2

+ Y3

= 100000

0,12Y1 + 0,15Y2 + 0,07 Y3  v 0,08Y1 + 0,07Y2 + 0,07Y3  v 0,06Y1 + 0,03Y2 + 0,07Y3  v 0,03Y1 - 0,02Y2 + 0,07Y3  v

y Y1, Y2, Y3  0, mientras que v es no restringido en signo (podría tener retornos negativos).

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION Esta formulación de programación lineal es similar al problema discutido en la sección de Teoría de Juego. De hecho, la interpretación de este problema es que, en esta situación, el inversionista esta jugando en contra de la naturaleza (los estados de la economía.) Resolviendo este problema por cualquier solución algorítmica de programación lineal, la solución óptima es Y1 = 0, Y2 = 0, Y3 = 100.000, y v = $7000. Esto significa que el inversionista debería colocar todo el dinero en el mercado de depósitos con unretorno acumulado de 100.0001,07 = $107.000. Note que la matriz de beneficios para este problema tiene un punto de silla; por lo tanto, como se esperaba, la soluciónóptima es una estrategia pura. En otras palabras, debemos invertir todo nuestro dinero en un solo portafolio. Como otro ejemplo numérico, considere las dos inversiones siguientes con las tasas de retorno dadas. Dado que usted desea invertir $12,000 en un periodo de un año, ¿Cómo invertiría para la estrategia óptima? Estados de la Naturaleza (Eventos) Crecimiento (G) G Medio No Cambios G Bajo G

MG

N

L

Divisas 5

4

3

-1

Oro

3

4

5

Acciones 2

Al igual que el ejemplo anterior, formulando este problema como uno de programación lineal, obtenemos una solución óptima, la cual es una estrategia mixta: Comprar $4000 en divisas extranjeras y $8000 en oro. o más de un producto. DISEÑO GRÁFICO DE REDES DE TRANSPORTE: La utilización del programa desarrollado requiere una fase inicial de construcción de la red de transporte del problema. Para ello la ventana principal dispone de un menú en el que el usuario seleccionada el tipo de nodo a

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION crear y poder definir, con simples pulsaciones del ratón, los centros de producción o fábricas, los almacenes, los mercados y las rutas entre nodos. Al situar sobre

la ventana un nodo, el programa solicita automáticamente al

usuario un nombre

para el nodo y el

parámetro asociado (producción,

capacidad o demanda). Los nombres dados por el usuario se utilizarán para la posterior construcción del modelo matemático. Los parámetros del problema pueden ser igualmente introducidos en forma matricial.

EL PROBLEMA DE ASIGNACION: En su forma más general, el problema es como sigue: Hay un número de agentes y un número de tareas. Cualquier agente puede ser asignado para desarrollar cualquier tarea, contrayendo algún coste que puede variar dependiendo del agente y la tarea asignados. Es necesario para desarrollar todas las tareas asignar un solo agente a cada tarea para que el coste total del asignación sea minimizado. Este tipo de problemas son lineales, con una estructura de transporte, sólo que la oferta en cada origen es de valor uno y la demanda en cada destino es también de valor uno. Sería muy ineficiente resolver este tipo de problemas por medio del método simplex o por medio del de transporte. Debido a la estructura propia de los problemas de asignación, existen métodos de solución llamados algoritmos de asignación que son más eficientes que el simplex o que el método de transporte. Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino. La restricción importante para cada agente es que será designado a una y solo una tarea. El problema de asignación presenta las siguientes características: 1.-El Problema de Asignación debe estar equilibrado, es decir, que las ofertas y las demandas sean igual a 1. Un elemento importante para el problema de

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION asignación es la matriz de costos, si el número de renglones o columnas no son iguales el problema esta desbalanceado y se puede obtener una solución incorrecta,para obtener una solución correcta la matriz debe ser cuadrada. 2.-Si el número de agentes y tareas son iguales y el coste total de la asignación para todas las tareas es igual a la suma de los costes de cada agente (o la suma de los costes de cada tarea, que es lo mismo en este caso), entonces el problema es llamado problema de asignamiento lineal. Normalmente, cuando hablamos de problema de asignación sin ninguna matización adicional, nos referimos al problema de asignamiento lineal. Oferta: Cantidad que representa la disponibilidad fuente/fábrica de donde proviene.

del artículo

en la

Demanda: Cantidad de artículos que necesita recibir el destino para cumplir sus necesidades. Diferencias con el Modelo de Transporte y Asignación Los problemas de asignación son un caso particular de los problemas de transporte y constituyen la clase más sencilla de los problemas lineales, en el cual los trabajadores representan las fuentes y los puestos representan los destinos. 1.-En el problema de transporte existen m orígenes y n destinos, y el flujo se realiza desde un origen hacia cada uno de los diferentes destinos. Si en este caso permitimos el flujo en ambos sentidos (de origen a destino y destino a origen) se puede hablar de un problema de m + n orígenes y m + n destinos. A este tipo de problemas se les conoce con el nombre de problemas de transbordo (transhipment problems) o transporte con nodos intermedios. 2.-En el caso mas general, cada punto origen o destino pude ser un punto de transbordo, es decir, cada origen puede evitar o transportar a otros orígenes o a distintos; y los destinos pueden transportar a su vez a otros destinos o volver a los orígenes. Un punto conserva su identidad, origen o destino, solamente cuando sea respectivamente, un punto que originalmente disponga de un suministro o un punto que tenga una demanda a satisfacer.

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION 3.-En los problemas de asignación las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino; una gran diferencia con respecto a los problemas de transporte. Formas de representación de un problema de asignación 1. 2. 3. 4.

Red. Modelo de programación lineal. Matriz de costos. Tabla de transporte.

I) PROYECTO DE PENSAMIENTO CRITICO E: El problema de transmisión de datos de Tele Comm: La señora Amy Jenkins, directora de comunicaciones de Tele Comm, acaba de salir de una junta. La gerencia superior ha decidido que, debido a un importante grupo nuevo de clientes de Los Ángeles y Boston, es necesario incrementar la capacidad existente de transmisión de datos entre las oficinas y estas dos ciudades. La actual red de comunicaciones tiene oficinas intermedias con computadoras y capacidad de retransmisión en Salt Lake City, Phoenix, Denver, Albuquerque, Minneapolis, Houston, Chicago, Atlanta, Cleveland, Washington y Nueva York. Como primer paso, la señora Jenkins necesita revisar el sistema actual. De sus archivos ha obtenido la siguiente lista de enlaces de comunicación entre ciertas parejas de estas ciudades y el número máximo de bits por día que pueden enviarse a través de ese enlace: De

A

Bits máximos x dia(billones)

Los Ángeles

Salt Lake

15

Los Ángeles

Phoenix

12

Salt Lake

Denver

10

Salt Lake

Albuquerque

10

Phoenix

Albuquerque

12

Denver

Minneapolis

8

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION Albuquerque

Houston

9

Minneapolis

Chicago

15

Houston

Atlanta

12

Chicago

Cleveland

15

Atlanta

Cleveland

12

Atlanta

Washington

14

Cleveland

Washington

8

Cleveland

Boston

12

Washington

Nueva York

15

Nueva York

Boston

18

Formule un solo modelo matemático para determinar el número máximo de bits por día que pueden transmitirse desde la oficina de Los Ángeles a la de Boston a través de la red existente. (Incluya un diagrama Esquemático)

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION Solución: Definición de Variables: Sea Xij: # de bits transmitidos por día (billones) de la ciudad “i” a la ciudad “j”, donde: i= 1, 2,3,……,12 y

j= 2, 3,4,.....,13

Función Objetivo: (Maximizar el # de bits recibidos por la ciudad de Boston) Max Z=X1013+X1213

Restricciones: Restricciones de las transmisiones recibidas y enviadas de las ciudades. (Bits)

Restricciones de bits enviados y recibidos: La cantidad de bits enviados y recibidos deben ser iguales.

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION

Restricciones lógicas: Xij>0, (para todo i=1,2,3,……,12 ; j=2,3,4,……,13) Solución en Lingo:

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION

II) PROBLEMA DE ASIGNACION: La panadería “El Molino”, tiene cuatro máquinas y cuatro tareas por realizar, tareas como; mezclar y amasar diferentes masas. Por falta de recursos no se puede adquirir maquinas nuevas, así que cada máquina debe cumplir únicamente una tarea pese a que la maquina N°4 es muy antigua. El tiempo requerido para preparar cada máquina para realizar cada tarea es la siguiente: TIEMPOS DE PREPARACION PARA LA PANADERIA MAQUINA

TIEMPOS(HORAS) TAREA 1

TAREA 2

TAREA 3

TAREA 4

1

1.4

1.5

0.8

1.7

2

2

12

0.6

1.5

3

1.7

0.8

3

0.9

4

2

4

1.6

1.1

La siguiente información fue obtenida con ayuda del dueño de la panadería, donde tuvimos que transformar los datos de minutos a horas para trabajar mejor. La panadería “El Molino”, desea reducir el tiempo de preparación total para completar las 4 tareas. Para ello realizaremos el planteamiento del problema, mediante un modelo de programación lineal, y posteriormente pasaremos los datos al software Lingo para hallar la solución óptima. Solución: La panadería “El Molino” debe determinar que maquina debe asignarse a cada tarea, teniendo en cuenta el tiempo de preparación de cada máquina para realizar un tarea. Definición de Variables: sea:

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION Xij=1; si la maquina i se asigna para satisfacer las demandas de la tarea j. Xij=0; si la maquina i no se asigna para satisfacer las demandas de la tarea j. Donde:(i,j=1,2,3,4) Función Objetivo:(Minimizar el tiempo que se pierde al preparar la maquina i, para solucionar la tarea j) Min W=1.4X11+1.5X12+0.8X13+1.7X14+2X21+1.2X22+0.6X23+1.5X24+ 1.7X31+0.8X32+3X33+0.9X34+2X41+4X42+1.6X43+1.1X44 Restricciones: (Son las restricciones de cada máquina): Donde una maquina puede realizar únicamente una tarea. X11+X12+X13+X14=1 X21+X22+X23+X24=1 X31+X32+X33+X34=1 X41+X42+X43+X44=1 (Son las restricciones de cada tarea): Donde una tarea puede ser realizada únicamente por una maquina X11+X21+X31+X41=1 X12+X22+X32+X42=1 X13+X23+X33+X43=1 X14+X24+X34+X44=1 (Son restricciones Lógicas): Xij=[0,1] Planteamiento en Programación Lineal: Sea: Xij=1; si la maquina i se asigna para satisfacer las demandas de la tarea j. Xij=0; si la maquina i no se asigna para satisfacer las demandas de la tarea j.

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION F.O.: Min W=1.4X11+1.5X12+0.8X13+1.7X14+2X21+1.2X22+0.6X23+1.5X24+ 1.7X31+0.8X32+3X33+0.9X34+2X41+4X42+1.6X43+1.1X44 s.a. Restricciones de maquina X11+X12+X13+X14=0 X21+X22+X23+X24=0 X31+X32+X33+X34=0 X41+X42+X43+X44=0 Restricciones de tarea X11+X21+X31+X41=0 X12+X22+X32+X42=0 X13+X23+X33+X43=0 X14+X24+X34+X44=0 Restricciones lógicas Xij=[0,1]; para i,j=1,2,3,4 Solución en Lingo:

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y DE ASIGNACION REFERENCIAS: Bazaraa, M. et al (1991). Programación lineal y flujo en redes. Ed Limusa. México. Castillo, E. et al (1997). Java. Un lenguaje de programación multiplataforma para Internet. Ed Paraninfo. Madrid. Castillo, E. et al (2001). Building and Solving Mathematical Programming Models in Engineering and Science. John Wiley and Sons. New York. Ciriani T.A. et al (1994). Optimization in industry : mathematical programming and modeling techniques in practice. John Wiley. New York Panos M.P. et al (2002). Handbook of applied optimization. Oxford University Press. New York. Schrage, L.E. (1997). Optimization modelling with LINDO. Duxbury Press. California. Schrage, L.E. (2000). Optimization modelling with LINGO (4 th ed). Duxbury Press. California. Steenbrink, P.A. (1974). Optimization of transport networks. John Wiley and Sons. New York. Winston, W.L. (1995). Introduction to mathematical programming: applications and algorithms. Duxbury Press, 2ª ed. Wolfram, S. (1999). The Mathematica book. Wolfram Media. Cambridge University Press. New York. Mathematica: http://www.wolfram.com/ LINDO: http://www.lindo.com/ GAMS http://www.gams.com Java: http://www.javasoft.com