Teorema de Kenelly
Fundación Universidad de América, Fonseca Vanegas Johan Sebastián, Señales Eléctricas. 1 TEOREMA DE KENNELLY Y CORRIEN
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Fundación Universidad de América, Fonseca Vanegas Johan Sebastián, Señales Eléctricas.
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TEOREMA DE KENNELLY Y CORRIENTE REAL Johan Sebastián Fonseca Vanegas. Resumen-Existen gran variedad de métodos para la solución de circuitos eléctricos, cada uno tiene su metodología para la solución del problema; pero, siempre arrojaran los mismos resultados. Sin embargo, no todos los métodos se pueden usar en todos los circuitos debido a que en ciertas ocasiones se encuentran problemas de alto grado de complejidad que impiden la aplicación de algunos métodos. Para esto existen teoremas como el de Kennelly que permiten realizar simplificación del sistema con el fin de poder aplicar las reglas básicas yaconocidas. Palabras clave-simplificación, Kennelly, Circuitos.
Abstract- Here are a great variety of methods for the solution of electrical circuits, each has its methodology for solving the problem; But, always will yield the same results. However, not all methods can be used in all circuits because in some cases problems of high complexity are encountered which prevent the application of some methods. For this there are theorems such as that of Kennelly that allow simplification of the system in order to be able to apply the basic and recognized rules. Keywords-simplification, Kennelly, Circuits.INTRODUCCIÓN
A. Estado del arte Arthur Edwin Kennelly fue un electrotécnico norteamericano de origen indio, nacido en Colaba, cerca de Bombay en 1861 y muerto en Massachusetts en 1939. Realizó estudios de Ingeniería en Inglaterra y Estados Unidos, tras los cuales se embarcó como Ingeniero electricista para la Eastern Telegraph Co. entre los años 1877 y 1887. Emigró a los Estados Unidos y se convirtió en ayudante de Edison. Se le atribuye la creación de un Teorema el cual brinda las bases para la conversión de circuitos que se encuentran en estrella a paralelo y viceversa. [1]. En muchas ocasiones se pueden encontrar circuitos de alto nivel complejidad los cuales no se pueden resolver por métodos básicos, por tal motivo se hace necesario realizar una simplificación para así lograr resolverlo y obtener resultados; en casos como este se aplica el Teorema de Kennelly el cual permite realizar sustitución de resistencias por valores equivalentes. [2] No obstante; el tema de interés del presente trabajo investigativo es la aplicación del Teorema de Kennelly en un circuito eléctrico en donde no se puede realizar suma de resistencias en serie y en paralelo, por lo que se hace necesario hacer su sistema equivalente a estrella o triangulo para así poder solucionarlo. [3]
B. Pertenencia del tema Debido a la gran importancia de conocer diversos métodos de resolución de circuitos eléctricos como lo son aplicando las leyes de Kirchhoff, usando el método de mallas o el teorema de Kennelly, este proyecto pretende mostrar la resolución de un problema por medio de los métodos antes mencionados con el fin de comprobar su efectividad y determinar cuál es más práctico y eficiente. No obstante, se observará el comportamiento que tiene la corriente real en función del voltaje de polarización con el fin de notar la naturaleza de esta magnitud eléctrica. II. OBJETIVO A. Objetivo general Comprender el comportamiento de un circuito eléctrico con diversas resistencias. B. Objetivos específicos 1. Evidenciar los métodos de resolución de circuitos como son a partir de las leyes de Kirchhoff y el teorema de Kenelly. 2. Observar el comportamiento de la corriente real en función del voltaje de polarización. III. CARACTERÍSTICAS A. Definición El teorema de Kennelly, en términos básicos, consiste en transformar circuitos eléctricos en forma de estrella a triangulo y viceversa. Es de gran ayuda para simplificar los valores de un circuito y así averiguar la resistencia equivalente.
Fig. 1. Circuito en estrella.
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2 (
)
(
)
)
(
)
Ecuación 2.
(
Fig. 2. Circuito en triángulo.
Su utilidad se observa cuando se llega a un punto donde ninguna resistencia se encuentra en serie o en paralelo, incrementando el grado de dificultad del problema, ya que permite omitir este inconveniente generando un circuito con nuevos valores equivalente el cual es menor complejidad y es posible de resolver de manera más rápida. [4]
Ecuación 3.
Para obtener las ecuaciones de Kennelly se realizan los siguientes procedimientos: Sumar dos ecuaciones, luego restarle la tercera y al final dividir este resultado entre dos. A continuación se mostrara la demostración de una de las ecuaciones. Primero procede a sumar la ecuación 1 con la 3:
(
)
(
)
(
)
(
)
Fig. 3. Equivalencia entre circuitos en estrella y en triangulo.
(
)
(
)
(
)
B. Circuito Triangulo a Estrella 1) Demostración Las ecuaciones que se obtienen del teorema de Kennelly pueden estar en función de las impedancias o de las admitancias. Para este caso son:
Tabla 1. Fórmulas de transformación triangulo a estrella. [4]
Para el circuito en triángulo se tienen dos resistencias en seria y la tercera en paralelo. Observando la figura 3 se supondrá que se conocen los valores de ZAB, ZBC y ZAC en el circuito en triangulo y se desea conocer los valores equivalentes de ZAT, ZBT y ZAT en el circuito en estrella. Para llevar a cabo esto se obtendrá las impedancias equivalentes respecto a los puntos A, B y C y se igualaran ya que las cargas son equivalentes. (
)
(
Ahora se resta la ecuación 2 y se divide entre dos: ( (
) (
) ) (
)
(
) (
-[
(
)
(
)
)
]
⁄
Esta última ecuación sería una de las tres ecuaciones que se usaran para las transformaciones de circuitos en este trabajo investigativo. 2) Ecuaciones
)
Ecuación 1. . Fig. 4. Resistencias de circuito en triángulo y estrella.
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3
Se multiplican entre ellas realizando todas las combinaciones posibles: (
)
(
(
)
(
)
)
C. Circuito Estrella a Triangulo
Se suman estas multiplicaciones: (
)
(
) (
Dividir la primera suma en (
)
(
)
(
)
: ) )
(
(
Dividir la segunda suma en
( )
(
Tabla 2. Fórmulas de transformación estrella a triangulo.
Para el circuito en estrella se tienen dos resistencias en serie. Observando la figura 3 se supondrá que se conocen los valores de de ZAT, ZBT y ZAT en el circuito en estrella y se desea conocer los valores equivalentes de ZAB, ZBC y ZAC en el circuito en triangulo. Para llevar a cabo esto se obtendrá las impedancias equivalentes respecto a los puntos A, B y C y se igualaran ya que las cargas son equivalentes. Es decir, se realizará el mismo procedimiento que en el caso anterior pero conociendo los otros valores de impedancia. Se seguirán los siguientes pasos. Esta ecuación se tomará por motivos de simplificación de términos.
)
)
(
1) Demostración Las ecuaciones que se obtienen del teorema de Kennelly pueden estar en función de las impedancias o de las admitancias. Para este caso son:
(
)
)
:
Ecuación 4.
Ahora, basándonos en las ecuaciones 1, 2 y 3 se tendría que:
Se igualan ambos términos y se obtiene la ecuación:
Fundación Universidad de América, Fonseca Vanegas Johan Sebastián, Señales Eléctricas. El procedimiento es el mismo para obtener las otras dos ecuaciones restantes.
4
Aplicando las leyes de Kirchhoff tendríamos las siguientes ecuaciones.
2) Ecuaciones Basándonos en la figura 4 tenemos que:
Usando la ley de Ohm se reemplazan los voltajes. ( (
) (
IV. CÁLCULOS Y RESULTADOS
) (
)
(
)
) (
)
Reemplazando los valores obtenemos:
A. Circuito eléctrico. El problema a resolver es el siguiente R1 62Ω R2
R5
62Ω
62Ω
Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que al ser resuelto brinda la siguiente información.
R3 62Ω
VT 73 V
R6 62Ω
Con lo anterior determinamos lo siguiente: R4 62Ω
Se pide calcular: VR4, iR6, IR2, VR1 y PR5. 1) Método de mallas Se tienen las siguientes corrientes en el circuito. R1 62Ω
i1
R2 62Ω
VT 73 V
i2
R5 62Ω
R3 62Ω
i3
R6 62Ω
( R4 62Ω
(
) )
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5
Rc
2) Teorema de Kennelly Debido a que no podemos sumar nada en serie ni en paralelo se hace uso de este teorema. Se identifica la sección que se encuentra en triangulo para hacer su respectiva transformación a estrella. Esta sería una ampliación de dicha sección.
20.67Ω
i2 R3 62Ω
VT 73 V
R2
20.67Ω Ra 20.67Ω
R1 62Ω
Rb
R6 62Ω
R5
62Ω
R4
62Ω
62Ω
Usando las formulas correspondientes para pasar de triangulo a estrella tenemos que:
Rc 20.67Ω Ra 20.67Ω RbR6 82.67Ω
i1
Rc
Rb
20.67Ω
R3 62Ω
VT 73 V
Ahora tendríamos el siguiente circuito.
R4
20.67Ω
62Ω
Ra 20.67Ω
R3 62Ω
VT 73 V
R6 62Ω
Rc 20.67Ω
V1
R4 62Ω
Procedemos a sumar en serie y paralelo para luego devolvernos y hallar los valores debido a que ya es posible y teniendo en cuenta las siguientes ecuaciones tenemos que.
RaR3 82.67Ω VT 73 V
R4 62Ω
RbR6 82.67Ω
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6
Rc
(
20.67Ω
)
(
)
iT RabR36 41.33Ω
B. Gráfico corriente real vs voltaje de polarización ⁄
(
VT 73 V
)
R4 62Ω
Datos:
(
VT 73 V
)
RT 124Ω
(
Con lo anterior determinamos lo siguiente:
VD (V) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
⁄
) ID (A) 0 2,3*10-9 5,7*10-6 0,0136 32,6 77991,12 1,8*108 4,45*1011 1,06*1015 2,54*1018 6,08*1021
Tabla 3. Tabulación de datos.
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VII. BIBLIOGRAFÍA [1] LA HISTORIA CON MAPAS. [Online]. Disponible: http://www.lahistoriaconmapas.com/historia/historia2/biograf ia-de-kennelly-arthur-edwin-1861-1939/ [2] Electricidad y automatismos. http://www.nichese.com/relacion.html
[Online].Disponible:
[3] Teorema de KENELLY. [Online]. Disponible: https://www.academia.edu/24952567/7._Teorema_de_Kennell y [4] Teorema de Kennelly. [Online]. Disponible: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Kennelly Fig. 5. Gráfico corriente real vs voltaje de polarización.
Fig. 6. Comprobación de gráfico en software.
V. ANÁLISIS DE RESULTADOS Los datos obtenidos por el método de mallas son exactamente los mismo que arrojo el teorema de Kennedy; pero, este último requiere mayor cantidad de pasos y procesos para llegar al resultado. La resistencia 5 impide el paso de corriente por lo cual su potencia es nula. El método de mallas fue más práctico de realizar ya que se realizaron menos procedimientos y se obtuvieron resultados de una manera más directa. VI.
CONCLUSIONES
Mediante el siguiente trabajo se logró conocer la vital importancia del teorema de Kennelly en los circuitos eléctricos ya que permite realizar simplificaciones a circuitos de alto nivel de complejidad para así poder resolverlos. Se evidenció la forma correcta de aplicar el Teorema de Kennelly a un circuito; también, se logró observar los diversos métodos para resolución problemas eléctricos llegando a un resultado en común. A pesar de que cualquier método de resolución genera los mismo resultados, se logró observar la dinámica de cada método, encontrando que el más sencillo y práctico es el método de las mallas, el cual no requería gran cantidad de cálculos para llegar a una solución. La corriente real es 0 para voltajes negativos; no obstante crece exponencialmente y lo hace rápidamente.