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• Romer Baltazar

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ELT – 2680

ELECTRONICA DIGITAL I

1 - 2019

TEOREMA DE SHANNON Mediante el Teorema de expansión de Shannon, descomponer la siguiente función en su forma de minterminos y maxterminos 

̅ + 𝒄̅(𝒂 + 𝒄) 𝒇(𝒂, 𝒃, 𝒄) = (𝒂 ⊕ 𝒃)𝒃

Aplicando el álgebra de Boole se obtiene la siguiente función simplificada: ̅̅̅̅ 𝒇(𝒂, 𝒃, 𝒄) = 𝒂𝒃𝒄 i)

minterminos

𝑓 = 𝑎 ∗ 𝑓(1, b, c) + 𝑎̅ ∗ 𝑓(0, b, c) 𝑓 = 𝑎𝑏 ∗ 𝑓(1,1, 𝑐 ) + 𝑎𝑏̅ ∗ 𝑓(1,0, 𝑐 ) + 𝑎̅𝑏 ∗ 𝑓(0,1, c) + 𝑎̅𝑏̅ ∗ 𝑓 (0,0,1) 𝑓 = 𝑎𝑏𝑐 ∗ 𝑓 (1,1,1) + 𝑎𝑏𝑐̅ ∗ 𝑓 (1,1,0) + 𝑎𝑏̅𝑐 ∗ 𝑓 (1,0,1) + 𝑎𝑏̅𝑐̅ ∗ 𝑓 (1,0,0) + 𝑎̅𝑏𝑐 ∗ 𝑓 (0,1,1) + 𝑎̅𝑏𝑐̅ ∗ 𝑓 (0,1,0) + 𝑎̅𝑏̅𝑐 ∗ 𝑓 (0,0,1) + 𝑎̅𝑏̅𝑐̅ ∗ 𝑓 (0,0,0) Lo cual se traduce en: 𝑓 = 𝑎(1𝑦𝑧 ̅̅̅) + 𝑎̅(0 ∗ 𝑦𝑧 ̅̅̅) ̅̅̅) + 𝑎𝑏̅(10𝑧 ̅̅̅ ) + 𝑎̅𝑏(01𝑧 ̅̅̅) + 𝑎̅𝑏̅(00𝑧 ̅̅̅) 𝑓 = 𝑎𝑏(11𝑧 ̅̅̅̅) + 𝑎𝑏𝑐̅(110 ̅̅̅̅) + 𝑎𝑏̅𝑐 (101 ̅̅̅̅) + 𝑎𝑏̅𝑐̅(100 ̅̅̅̅) + 𝑎̅𝑏𝑐 (011 ̅̅̅̅) + 𝑎̅𝑏𝑐̅(010 ̅̅̅̅) + 𝑎̅𝑏̅𝑐(001 ̅̅̅̅) + 𝑎̅𝑏̅ 𝑐̅(000 ̅̅̅̅) 𝑓 = 𝑎𝑏𝑐(111 Realizando operaciones: ̅̅̅̅) = 1 ∗ ̅̅̅̅̅̅ (111 1 ∗ 1 = 1 ∗ 1̅ = 1 ∗ 0 = 0 ̅̅̅̅) = 1 ∗ ̅̅̅̅̅̅ (110 1 ∗ 0 = 1 ∗ 0̅ = 1 ∗ 1 = 1 …………………………. 𝑓 = 𝑎𝑏𝑐(0) + 𝑎𝑏𝑐̅(1) + 𝑎𝑏̅𝑐(1) + 𝑎𝑏̅𝑐̅(1) + 𝑎̅𝑏𝑐(0) + 𝑎̅𝑏𝑐̅(0) + 𝑎̅𝑏̅𝑐 (0) + 𝑎̅𝑏̅𝑐̅(0) Tomando en cuenta que: Toda expresión multiplicada por cero es igual a cero

𝒙∗𝟎 =𝟎

Toda expresión multiplicada por uno es igual a la expresión

𝒙∗𝟏 =𝒙

𝑓 = 0 + 𝑎𝑏𝑐̅ + 𝑎𝑏̅ 𝑐 + 𝑎𝑏̅𝑐̅ + 0 + 0 + 0 + 0 Finalmente tenemos: ̅𝒄 + 𝒂𝒃 ̅𝒄̅ 𝒇𝒎𝒊𝒏 = 𝒂𝒃𝒄̅ + 𝒂𝒃

Función canónica de minterminos

𝟏𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 m6

m5

m4

toda expresión sin negar equivale a uno y toda expresión negada es igual a cero ejemplo: 𝒂𝒃𝒄̅ = 𝟏𝟏𝟎 tenemos que 110 equivale al número 6 en binario, por tanto, la función canónica de minterminos corresponde a los minterminos 6, 5 y 4.

ELT – 2680

ELECTRONICA DIGITAL I

1 - 2019

̅̅̅̅ 𝒇(𝒂, 𝒃, 𝒄) = 𝒂𝒃𝒄 ii)

maxterminos

𝑓 = (𝑎 + 𝑓(0, 𝑏, 𝑐 ))(𝑎̅ + 𝑓 (1, 𝑏, 𝑐 )) 𝑓 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑓 (0,0, 𝑐 ))(𝑎 + 𝑏̅ + 𝑓 (0,1, 𝑐 ))(𝑎̅ + 𝑏 + 𝑓 (1,0, 𝑐 ))(𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑓 (1,1, 𝑐 )) 𝑓 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑓 (0,0,0))(𝑎 + 𝑏 + 𝑐̅ + 𝑓(0,0,1))(𝑎 + 𝑏̅ + 𝑐 + 𝑓(0,1,0))(𝑎 + 𝑏̅ + 𝑐̅ + 𝑓(0,1,1))(𝑎̅ + 𝑏 + 𝑐 + 𝑓(1,0,0))(𝑎̅ + 𝑏 + 𝑐̅ + 𝑓(1,0,1))(𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐 + 𝑓(1,1,0))(𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐̅ + 𝑓(1,1,1)) lo cual se traduce en: 𝑓 = (𝑎 + (0𝑦𝑧 ̅̅̅))(𝑎̅ + (1𝑦𝑧 ̅̅̅)) ̅̅̅))(𝑎 + 𝑏̅ + (01𝑧 ̅̅̅))(𝑎̅ + 𝑏 + (10𝑧 ̅̅̅))(𝑎̅ + 𝑏̅ + (11𝑧 ̅̅̅ )) 𝑓 = (𝑎 + 𝑏 + (00𝑧 ̅̅̅̅))(𝑎 + 𝑏 + 𝑐̅ + (001 ̅̅̅̅))(𝑎 + 𝑏̅ + 𝑐 + (010 ̅̅̅̅))(𝑎 + 𝑏̅ + 𝑐̅ + (011 ̅̅̅̅))(𝑎̅ + 𝑏 + 𝑐 + (100 ̅̅̅̅))(𝑎̅ + 𝑏 + 𝑐̅ 𝑓 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + (000 ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ + (101))(𝑎̅ + 𝑏 + 𝑐 + (110))(𝑎̅ + 𝑏 + 𝑐̅ + (111)) Realizando operaciones: ̅̅̅̅) = 0 ∗ ̅̅̅̅̅̅ (000 0 ∗ 0 = 0 ∗ 0̅ = 0 ∗ 1 = 0 ̅̅̅̅) = 0 ∗ ̅̅̅̅̅̅ (001 0 ∗ 1 = 0 ∗ 0̅ = 0 ∗ 1 = 0 ………………………….. 𝑓 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 0)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐̅ + 0)(𝑎 + 𝑏̅ + 𝑐 + 0)(𝑎 + 𝑏̅ + 𝑐̅ + 0)(𝑎̅ + 𝑏 + 𝑐 + 1)(𝑎̅ + 𝑏 + 𝑐̅ + 1)(𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐 + 1)(𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐̅ + 0) Tomando en cuenta que: Toda expresión sumada con cero es igual a la expresión que está sumando 𝒙+𝟎 =𝒙 Toda expresión sumada más uno es igual a uno 𝒙+𝟏 =𝟏 𝑓 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐̅)(𝑎 + 𝑏̅ + 𝑐)(𝑎 + 𝑏̅ + 𝑐̅)(1)(1)(1)(𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐̅) Tenemos finalmente: ̅ + 𝒄)(𝒂 + 𝒃 ̅ + 𝒄̅)(𝒂 ̅ + 𝒄̅) ̅+𝒃 𝒇𝒎𝒂𝒙 = (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)(𝒂 + 𝒃 + 𝒄̅)(𝒂 + 𝒃 000

001

010

011

111

M0

M1

M2

M3

M7

Función canónica de Maxterminos

̅ + 𝒄) = 𝟎𝟏𝟎 toda expresión sin negar equivale a cero y toda expresión negada es igual a uno ejemplo: (𝒂 + 𝒃 tenemos que 010 equivale al número 2 en binario, por tanto, la función canónica de maxterminos corresponde a los maxterminos 0, 1, 2, 3 y 7