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• Victor Bohorquez Alfonso

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TEMA 7.- FILTROS

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ÍNDICE

1.- Introducción .............................................................................................................. 2 2.- Clasificación de los Filtros ........................................................................................ 2 3.- Filtros Pasivos y Filtros Activos ................................................................................ 2 3.1.- Ventajas e Inconvenientes de los Filtros Activos ........................................ 3 3.2.- Campo de Utilización .................................................................................. 3 4.- Filtros Ideales y Reales .............................................................................................. 4 5.- Filtros Pasivos ........................................................................................................... 6 5.1.- Función de Butterworth ............................................................................... 6 5.2.- Función de Chebyshev ................................................................................ 8 5.3.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Bajo (LP) .................................... 10 5.4.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Alto (HP) .................................... 11 5.5.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Banda (BP) ................................. 13 6.- Adaptación de Impedancias .................................................................................... 15 7.- Filtros Activos ........................................................................................................ 16 7.1.- Estructura VCVS ..................................................................................... 17 7.2.- Estructura Bicuadrática. ........................................................................... 18 7.3.- Escalado ................................................................................................... 18 7.4.- Diseño de Filtro Paso-Bajo Activo (LP) .................................................. 19 7.5.- Diseño de Filtro Paso-Alto Activo (HP) .................................................. 22 7.6.- Diseño de Filtro de Paso-Banda Activo (BP) .......................................... 23 8.- Sensibilidad ........................................................................................................... 28 9.- Filtros de capacidades Conmutadas ........................................................................ 29 10.- Ejercicios .............................................................................................................. 30

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1. Introducción.Un filtro eléctrico es un cuadripolo capaz de atenuar determinadas frecuencias del espectro de la señal de entrada y permitir el paso de las demás. Se denomina espectro de una señal a su descomposición en una escala de amplitudes y fases respecto de la frecuencia. Obsérvese que mientras el osciloscopio es un instrumento que analiza la señal en relación con el tiempo, el analizador de espectro lo hace por medio de la Transformada de Fourier. Entonces llamaremos filtros a los circuitos que se encarguen de separar o rechazar diferentes tipos de señales, distinguiendo entre estos filtros analógicos y filtros digitales. Los filtros analógicos son los que se encargan de trabajar con señales de tipo analógicas (continuas), y los digitales los que se encargan de trabajar con señales de tipo discretas, cuya implementación generalmente se realiza vía software. Nosotros analizaremos los filtros analógicos. 2. Clasificación de los filtros .Los filtros se pueden clasificar de la siguiente forma: Según su Función Filtros de radiocomunicación. Filtros de modulación y demodulación Filtros de análisis de espectro. Filtros que mejoran la relación señal-ruido. Multiplicadores de frecuencia. Filtros correctores. Según la Gama de Frecuencias Audiofrecuencias. Hiperfrecuencias Etc... Según su Tecnología. Filtros Pasivos. Filtros Activos. 3. Filtros Pasivos y Filtros Activos.a) Filtros Pasivos: Están construidos exclusivamente por elementos pasivos como resistencias, condensadores y bobinas. Estos filtros generalmente son inviables en bajas frecuencias al exigir inductancias muy grandes. b) Filtros Activos: Constan de elementos pasivos asociados a otros activos (válvulas, transistores o amplificadores operacionales). La primera generación de estos filtros utilizaba las válvulas, por lo que tenían un consumo de potencia muy alto, ruidos, baja ganancia, etc..

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La segunda empleaba transistores como elementos activos y, aunque tenía más ventajas que la anterior, no tenía unas características enteramente satisfactorias. La tercera generación, objeto de nuestro estudio, utilizaba los amplificadores operacionales. La alta resistencia de entrada y la baja resistencia de salida de los OPAMPS , además de otras características, permiten la realización de filtros con cualidades óptimas. Los filtros pasivos no requieren fuentes externas de energía, y funcionan sin alimentación. En cambio los filtros activos se componen generalmente por circuitos RC y amplificadores, los cuales necesitan alimentación externa para su funcionamiento. 3.1. Ventajas e Inconvenientes de los filtros activos.En comparación con los pasivos, los filtros activos poseen una serie de ventajas: Permiten eliminar las inductancias que, en bajas frecuencia, son voluminosas pesadas y caras. Facilitan el diseño de filtros complejos mediante la asociación de etapas simples. Proporcionan una gran amplificación de la señal de entrada (ganancia), lo que es importante al trabajar con señales de niveles muy bajos. Facilidad en los ajustes, actuando simplemente sobre el elemento activo. Por otro lado tiene una serie de inconvenientes: Exige una fuente de alimentación Su respuesta de frecuencia esta limitada por la capacidad de los A.O utilizados. Es imposible su aplicación en sistemas de media y alta potencia. Los circuitos resonantes activos pueden tener un coeficiente de sobretensión (factor de calidad Q que se verá más adelante) tan grande como se desee. Por consiguiente, teóricamente se pueden realizar filtros activos con las características que se quieran; pero esto no es posible en la práctica, ya que cuanto mayor sea el coeficiente de sobretensión mayor será también el riesgo de oscilación espontánea, es decir, su inestabilidad. El riesgo de inestabilidad es el principal inconveniente de los filtros activos, y también es el factor que limita sus características y su aplicación. 3.2. Campo de utilización.Los filtros activos son los que resultan más convenientes en el campo de las frecuencias muy bajas. Como son poco voluminosos y, a menudo, de reducido coste, pueden compararse con ventaja a los filtros pasivos en el campo de las audiofrecuencias. Estas cualidades les hacen también estimables para ciertas aplicaciones en frecuencias de hasta algunos centenares de KHz, cuando el volumen y el precio de coste son factores determinantes y cuando los coeficientes de sobretensión que se precisan no son demasiado elevados.

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4. Filtros ideales y reales.Como se mencionó anteriormente, los filtros constituyen tipos de circuitos diseñados para obtener características especificas de selectividad respecto a la frecuencia. Dejan pasar unas frecuencias sin apenas afectarlas (en la banda de paso) y eliminan otras (en las bandas de atenuación). Idealmente, en la banda de paso, |H(ω)| = 1, y en la banda de atenuación H(ω) = 0. En la figura podemos observar filtros pasa-bajos (a), pasa-altos (b), pasa-banda (c) y rechazo-banda (d).

Los filtros ideales no son físicamente realizables, atentan contra el principio de causalidad (h(t)=0 ∇ t1 f0

e x + e−x 2

ε es el denominado factor de rizado (ε2≤1). Se especifica mediante el valor pico a pico en decibelios R|dB=10·log(1+ε2). Si n es par el rizado será positivo y si es impar negativo (ver figura 7). f0 es la frecuencia natural (donde acaba el rizado), por tanto ω0=2πf0.

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9 1 ⎡ ⎤ AdB ⎞2 ⎥ ⎛ 10 ⎢ −1 ⎟ ⎜ arccos h ⎢ε ⎜10 − 1⎟ ⎥ ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎦ n= ⎛ f ⎞ arccos h⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ f0 ⎠

¿Qué relación existe entre fc (frecuencia de corte (-3dB)) y f0? H ( fc ) H (0)

2

2

=

1 2

⎧f ⎫ 1 + ε 2 ⋅ C n2 ⎨ c ⎬ = 2 ⎩ f0 ⎭

Luego

⎧ fc ⎫ ⎬ =1 ⎩ f0 ⎭

⎧ fc ⎫ ⎬ =1 ⎩ f0 ⎭

ε 2 ⋅ C n2 ⎨

⎧f ⎫ 1 Cn ⎨ c ⎬ = ⎩ f0 ⎭ ε

ε ⋅ Cn ⎨

( )

⎡ arccos h 1 ⎤ ε ⎥ f c = f 0 ⋅ cosh ⎢ n ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Ejercicio 2: Se desea atenuar en 60 dB una interferencia de 50 Hz empleando un rizo de Chebyshev de 0.1 dB y una frecuencia natural (f0) de 5 Hz.

[

RdB = 10 Log 1 + ε 2

]

[

− 20 Log H ( f ) = 10 Log 1 + ε 2 ⋅ C n2

[

AdB = 10 Log 1 + ε 2 ⋅ C n2 ⎛ A10dB ⎞ ⎜10 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

ε

1

[

0.1dB = 10 Log 1 + ε 2

]

]

ε=0.1526

]

2

= Cn

Cn=6553.0

⎛ ⎛ 50 ⎞ ⎞ C n = cosh⎜⎜ n ⋅ arccos h⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ 5 ⎠⎠ ⎝

( )

n=

arccos h(C n ) = 3.16 arccos h(10)

⎡ arccos h 1 ⎤ ε ⎥ = ..... = 6.06 f c = f 0 ⋅ cosh ⎢ n ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

n=4

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5.3. Realización de Filtros Pasivos de paso bajo (LP).Redes (Filtros) terminados si Rs = Rc Redes (Filtros) no terminados si Rc = ∞ (impedancia de carga infinita) Siendo Rs la impedancia de fuente y Rc la impedancia de carga. Metodología.Se calcula el orden. Se construye el filtro LP normalizado consultando la tabla 8. ωc= 1 rad/seg Filtro Normalizado Rs= 1Ω Se desnormaliza. a) Se dividen L y C entre la ωc real. b) Se multiplican las impedancias por la Rs real. ⎧ L → L ⋅ RS ⎫ ⎪ ⎪ C ⎪ ⎪ C → ⎨ ⎬ RS ⎪ ⎪ ⎪ R → R ⋅ RS ⎪⎭ ⎩

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Ejercicio.Realizar un filtro LP Butterworth a disponer entre una fuente de 600Ω (RS) y una carga de 600Ω, cuya frecuencia de corte sea de 5KHz y que atenúe los 20 KHz al menos 40 dB por debajo del nivel de continua. Primero calculamos el orden del filtro: ⎤ ⎡ A10dB Log ⎢10 − 1⎥ 4 ⎦⎥ = Log 10 − 1 = 3.3 ⎣⎢ N= ⎛ 20 K ⎞ ⎛ f ⎞ 2 ⋅ Log ⎜ ⎟ 2 ⋅ Log ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 5K ⎠ ⎝ fc ⎠

[

]

n=4

Construimos el filtro normalizado (ωc=1 rad/seg , Rs=1Ω)

Ahora desnormalizamos el circuito y queda de la siguiente forma:

5.4. Realización de Filtros Pasivos de paso alto (HP).A partir del diseño de un filtro paso-bajo, pueden obtenerse filtros paso-alto, pasobanda y rechazo-banda que cumpla similares especificaciones, mediante el uso de transformaciones. Denotemos ω y s la frecuencia y la variable del filtro paso-bajo prototipo normalizado en ωc= 1 rad/seg

ω→

1

ω

s→

1 s

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Transformaciones

Proceso a) Construimos un LP normalizado consultando la tabla 8. b) Cambiamos L y C según las reglas de transformación. c) Desnormalizamos. Ejemplo.Diseñar un filtro Butterworth paso alto de tercer orden con una fc de 500Hz y que trabaje con Rs=100Ω y Rc=10 MΩ. Se puede considerar como una red no terminada al ser Rc muy alta (en realidad si queremos ser exactos debemos hacerlo de otra forma, pero se explicará más adelante en adaptación de impedancias). ωc= 2π*500=1000π Rs=100Ω Rc=10MΩ (→ ∞) V0

V0

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5.5. Realización de Filtros Pasivos de paso banda (BP).-

El factor de calidad de un filtro paso de banda viene determinado por la ecuación: W0 f0 Q= = BW (rad / s ) BW (hz ) A partir del diseño de un LP podemos construir un filtro BP mediante las siguientes transformaciones: 1 S→S+ S

Proceso a) Se construye un LP con Rs=1Ω y ωc=1/Q. b) Transformamos L y C siguiendo las reglas de transformación. c) Se desnormaliza R → R ⋅ RS L → L ⋅ RS C RS d) Se desnormaliza a la frecuencia central ω0. C→

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14 L→ C→

L

ω0 C

ω0

Ejercicio.Diseñar un filtro paso-banda pasivo de tercer orden con frecuencia central 1Khz y ancho de banda 100hz para disponer entre una fuente de señal de 100Ω y una amplificador de entrada muy alto. f0=1 Khz BW= 100 hz Rs=100Ω Rc=∞ Filtro no terminado 1K 1 = 10 →→ ω c = = 0.1rad / seg 100 Q Construimos un filtro LP con Rs=100Ω y ωc=0.1 rad/seg, realizamos las transformaciones y desnormalizamos a la frecuencia central con Rs=100Ω y ω0=2π*1K=2000π. Q=

V0

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6. Adaptación de Impedancias.Ejercicio: Diseñar un filtro para este circuito:

Vemos que no es un filtro terminado porque la resistencia Rc≠Rs, pero tampoco es un filtro no terminado porque Rc≠∞. 1ª Solución (no muy aceptable) es insertar un seguidor de tensión

2º Solución es usando un transformador . Un transformador es una bipuerta definida por V1 = n ⋅ V2 y i2 = − n ⋅ i1 donde n es el llamado TURNS RATIO.

V1 = n ⋅ V2 = n(− i2 ) ⋅ R = n ⋅ n ⋅ i1 ⋅ R = n122⋅3 R ⋅ i1 Req

el ejercicio anterior lo podríamos realizar de la siguiente forma: n:1

V0

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7. Filtros Activos.Los filtros activos se componen generalmente por circuitos RC y amplificadores (OPAMP’s), los cuales necesitan alimentación externa para su funcionamiento, es por esto que además de filtrar los filtros activos pueden amplificar la señal. La ecuación de transferencia de un filtro de LP de 2º orden viene definida por: H (s ) =

K ⋅ wn2 s 2 + 2ξwn ⋅ s + wn2

Donde: H(0)=K Ganancia en DC 1 ξ= → Factor de Amortiguamiento 2Q ωn Frecuencia Natural. Si igualamos el denominador a cero y resolvemos en s obtenemos los dos polos del sistema.

s 2 + 2ξwn ⋅ s + wn2 = 0 P1 = −ξwn + j ⋅ wn 1 − ξ 2 14243 wp

H (s ) =

P2 = −ξwn − j ⋅ wn 1 − ξ 2 14243 wp

K ⋅ wn (s − P1 ) ⋅ (s − P2 )

wn 1 − ξ 2 = ω P

− ξwn

Se produce pico de resonancia (ver figura siguiente) para valores de ξ < 0.7071 =

1

. 2 Existe siempre una relación ente la frecuencia natural(ωn) y la de corte(ωc), que depende del valor de ξ. Para un LP de segundo orden, se puede demostrar que:

(

)

BW = ω C = ω n ⋅ 1 − 2ξ 2 + 4ξ 4 − 4ξ 2 + 2

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Para el diseño de filtros activos utilizaremos en nuestro caso, dos tipos de estructuras que, por su simplicidad y estabilidad están especialmente indicadas. 7.1. Estructura VCVS (fuente de tensión controlada por tensión).-

K = 1+

R4 R3

ω n2 =

R4

2ξ ⋅ ω n = −

1 R1 ⋅ C1 ⋅ R2 ⋅ C 2

R3 1 1 + + R2 ⋅ C 2 R1 ⋅ C1 R2 ⋅ C1

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7.2. Estructura Bicuadrática.-

K=

R3 R1

wn2 =

1 R3 ⋅ R4 ⋅ C 2

2ξ ⋅ wn =

1 R2 ⋅ C

7.3.- Escalado. De las ecuaciones anteriores podemos intuir que el parámetro k controla la ganancia del filtro (su altura). ωn está íntimamente relacionada con la frecuencia de corte ωc (fijan la anchura de dicho filtro), y ξ por otra parte fija la forma de ⏐H(s)⏐. Dos filtros del mismo orden, idénticos salvo escala tendrán la misma ξ. Supongamos que tenemos un filtro con estructura bicuadrática con una determinada 1 . Queremos que ωn cambie a frecuencia natural y de corte. Veamos que 2ξ = R2 ⋅ C ⋅ ω n ω’n sin que esto afecte a la forma del filtro, por tanto debemos garantizar ξ constante. Fijándonos en la expresión anterior, podemos conseguir esto sin más que mantener el producto R·ω·C = constante (esta será nuestra ley de escalado). Un desarrollo análogo se puede hacer para estructura VCVS.

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7.4.- Diseño de Filtro Paso-Bajo activo (LP).-

Filtro LP con K = 1 y orden n = 2.

Filtro LP con K = 1 y orden n = 3

a) Construimos un filtro normalizado con: Wcn = 1 rad/seg Rn = 1 Ω Cn consultando la tabla 9 b) Escalamos los condensadores, teniendo en cuenta la Wc y R real.

w ⋅ R ⋅ C = wcn ⋅ Rn ⋅ C n { { 1

Ci =

1

Cn wc ⋅ R

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Ejercicios.1.- Construir un filtro LP activo Butterworth de 2º orden con fc = 1KHz, utilizando resistencias de 1 KΩ. C1=1.414 F

Según la tabla 9.

C2= 0.7071 F

Wc= 2π*1K=2000π R= 1K C1 =

1.414 = 225nF (2000π ) ⋅ 1000

C2 =

0.7071 = 112.54nF (2000π ) ⋅ 1000

2.- Diseñar un filtro Butterworth paso-bajo de orden 5 con fc= 5Khz y resistencia 100KΩ. Utilizar estructura VCVS. Cuando el filtro es de orden 4 o superior debemos utilizar dos etapas, en este caso el filtro de orden 5 estará formado por una primera etapa de orden 3 y una segunda de orden 2 en serie. Wc= 2π·5000 = 10000π = π·104 R= 100K =1·105 C n1 1.753 ⎧ ⎪C1 = w ⋅ R = π ⋅ 10 9 ⎪ C 1.354 ⎪ Etapa de orden 3. ⎨C 2 = n 2 = w ⋅ R π ⋅ 10 9 ⎪ C n3 ⎪ 0.421 ⎪C 3 = w ⋅ R = π ⋅ 10 9 ⎩ C n1 3.235 ⎧ ⎪⎪C1 = w ⋅ R = π ⋅ 10 9 Etapa de orden 2. ⎨ ⎪C = C n 2 = 0.309 ⎪⎩ 2 w ⋅ R π ⋅ 10 9

= 558 pF = 431 pF = 134 pF = 51.03nF = 98 pF

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7.5.- Diseño de Filtro Paso-Alto activo(HP).La función de transferencia de un filtro de HP de 2º orden viene definida por: H (s ) =

K ⋅ s2 s 2 + 2ξwn ⋅ s + wn2

La estructura VCVS de un filtro HP con K=1 y orden 2, normalizado ωc=1 rad/seg es:

La estructura VCVS de un filtro HP con K=1 y orden 3, normalizado ωc=1 rad/seg es:

Método de diseño a) Fijamos Wc y C b) Construimos HP normalizado Wcn= 1 rad/seg C = 1F Rn= 1/Cn consultando la tabla 9. c) Desnormalizamos.

1 w ⋅ R ⋅ C = wcn ⋅ ⋅ C { C {1 1

n

Ri =

1 w ⋅ C ⋅ Cn

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Ejercicios.Construir un filtro HP Butterworth activo con fc = 100Hz utilizando condensadores de 1µF y de orden 2. Wc= 2π·100 = 200π rad/seg C = 1µF

1 1 = = 1125.56Ω w ⋅ C ⋅ C1 (200π ) ⋅ 1 ⋅ 10 −6 ⋅ (1.414) 1 1 R2 = = = 2250.81Ω w ⋅ C ⋅ C 2 (200π ) ⋅ 1⋅10 −6 ⋅ (0.7071) R1 =

(

)

(

)

7.6.- Diseño de Filtro Paso-Banda activo(BP).Existen varias formas de obtener un filtro paso banda. Podemos conseguir un BP mediante conexión serie un filtro HP y otro LP. Podemos también usar estructuras básicas VCVS o bicuadrática. La elección de una u otra vendrá determinada por el factor de calidad del filtro como veremos más adelante.

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La curva de respuesta a la frecuencia de un filtro Rechazo-Banda de banda es la siguiente:

Para diseñar un filtro de este tipo podemos tomar un HP y un LP en paralelo y sumarlos. HP LP

+

La función de transferencia de un filtro Paso-Banda de orden 2 es la siguiente K ⋅ w0 s s + Bs + w0 frecuencia central.

H (s ) =

donde B=BW (en rad/seg) y w0 H ( jw0 ) =

2

w K ⋅ w0 ⋅ jw0 K ⋅ w0 = = K ⋅ 0 = K ⋅Q 2 B B − w + jw0 ⋅ B + w0 2 0

donde Q es el llamado factor de calidad.

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Estructura VCVS V0 ⋅

Vx

R2 R2 + R3 1 424 3 a

a=

R2 R2 + R3

Vin − V x V0 − V x V x V x − a ⋅ V0 ⎫ ⎧Vin + V0 − 2V x 2V x − a ⋅ V0 + = + = ⎪ ⎪ R1 R1 ZC ZC R ZC ⎪ ⎪ 1 ⎬ →→ ⎨ V x − a ⋅ V0 a ⋅ V0 ⎪ ⎪V x − a ⋅ V0 = a ⋅ V0 = ⎪⎭ ⎪⎩ Z C ZC R1 R1 H (s ) =

V 0 (s ) 1 1 = = = a ⋅ R1 ⋅ Cs a ⋅ R1 2⋅a V1 ( s ) 2 ⋅ aZ C + (4a − 1) + + (4a − 1) + ZC R1 ⋅ Cs R1 ZC

s R1 ⋅ Cs a ⋅ R1Cs = = 2 2 2 (4a − 1)s + s 2 2 2a + (4a − 1)R1 ⋅ Cs + aR1 C s + 2 2 a ⋅ R1C R1 C

Comparando con la función de transferencia de un filtro BP de 2º orden tenemos que: 1 2 4a − 1 K ⋅ w0 = w02 = 2 2 B = a ⋅ R1C a ⋅ R1C R1 C

w0 =

2 2 1 1 →→ K ⋅ = →→ K = a ⋅ R1C R1 C R1 C a 2

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K=

R + R3 1 1 1 ⋅ = 2 ⋅ = a 2 R2 2

1+

R3

R2

2

R2 −1 R 2 + R3 4 R − R2 − R3 3R2 − R3 3R2 − R3 w0 4a − 1 = B= = 2 = = ⋅ = 2 2 − K ⋅ w0 R2 R2 R1C R2 R1C R2 a ⋅ R1C 2 ⋅ R1C R 2 + R3 4⋅

[

]

Resumiendo:

K=

1+

R3

R2

2

[

]

B = 2 2 − K ⋅ w0 ;

;

w0 =

2 R1 C

Suponemos un filtro con un factor de calidad muy alto.

w0 R →→ Q >>>>→→ 3 ⋅ R2 − R3 ≈ 0 ⇔ 3 ≈ 3 B R2

Q=

Esto nos lleva a que este tipo de filtros se usan para factores de calidad Q 4 ⇒ Bicuadrática BW 100 K=

R3 R4 R1

; B=

1 ; R2 C

w02 =

1 R3 R4 C 2

Por comodidad puedo hacer. K = 1 ⇒ R3 = R4 = R1 →→ w02 =

1 1 ⇒ w0 = 2 R1C R C 2 1

1 ⎫ 1 ⎫ π 2 · 1000 = R1C ⎪⎪ R1C ⎪⎪ R2 ⇒ R2 = 10·R1 ⎬ ⎬10 = 1 ⎪ 1 ⎪ R1 2π ·100 = 2π ·BW = R2 C ⎪⎭ R2 C ⎪⎭ 2π · f 0 =

Tomo R3 = R4 = R1 = 1KΩ →→ R2 = 10 KΩ 1 1 2π ·100 = ⇒C = = 159.15nF 4 4 1·10 ·C 1·10 ·2π ·100 H (w0 ) = K ·Q = 1·10 = 10

8. Sensibilidad.Se define la sensibilidad como la variación de una propiedad del sistema cuando varia un parámetro. Para un parámetro P, su sensibilidad normalizada a un factor F, se define como: dP P P = d (LnP ) SF = dF d (LnF ) F Por ejemplo, si cambia R1 en un filtro ¿en qué medida se verá afectada la frecuencia de corte? dwc ( ) d Lnw wc c S Rw1c = = = –1/2. Esto significa que si la resistencia nominal R1=100Ω d (LnR1 ) dR1 R1 crece hasta 110Ω (un 10%) , la wc decrecerá un 5%.

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9. Filtros de capacidades Conmutadas.Los filtros de capacidades conmutadas (SC, switched capacitor) son una clase particular de filtros activos que no emplean resistencias, sino solamente A.O., condensadores e interruptores (transistores), por lo que son especialmente indicados para la integración monolítica (las resistencias ocupan mucho espacio en los C.I., y su calidad es mediocre). Veamos como ejemplo la célula integradora básica y su equivalente analógico. φ1

φ2

φ1 y φ2 son la señales de control de los interruptores gobernadas por una señal de reloj. Esta señal de reloj conmuta alternativamente los dos interruptores de modo que si el periodo es T=1/fr (fr ≡ frecuencia de la señal de reloj) la corriente de entrada queda: Im=Q/T=Vi·C/T=Vi·C·fr por tanto:Vi=Im·(C·fr)-1=Im·Req ; con Req=(C·fr)-1.

Obviamente fr debe tener un valor alto. VENTAJAS: • Reducido tamaño. • Alta precisión (bajas derivas) • Estabilidad • Fácil ajuste (mediante fr) • Reducido coste. INCONVENIENTES: • Útiles sólo a bajas frecuencias (200Khz) debido a la aparición de interferencias y ruidos. • Bajo rango dinámico.

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10.- Ejercicios: 1. Determinar la sensibilidad de la frecuencia natural del filtro de la figura a las variaciones en la resistencia R1.

wn2 =

2wn dwn =

1 R1C1 R2 C 2

1 −1 ⋅ 2 dR1 C1 R2 C 2 R1 2 wn dwn = − wn2 ⋅

2 wn dwn =

dwn − 1 dR1 = ⋅ wn 2 R1

dR1 R1

dwn S Rw1n =

dR −1 ⋅ 1 R1C1 R2 C 2 R1

dR1

wn

=−

1 2

R1

2. En la estructura Bicuadrática BP calcular:

K=

a)

R3 R4 R1

;

1 ; R2 C

wn2 =

dB = −

1 dR2 ⋅ CR2 R2

B=

1 R3 R4C 2

S RB2 dB =

1 −1 ⋅ dR2 C R22

dR dB = −1 ⋅ 2 B R2

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S

b)

B R2

=

dB

B = −1

dR2

R2

SCB Partiendo de la misma ecuación que en caso a) B = S = B C

c)

B = −1 C

R3 R4 R1

R3 R4 R12 dK 1 dR4 = ⋅ K 2 R4

2 K ⋅ dK =

K2 =

S RK4 = 1

R3 dR ⋅ R4 ⋅ 4 2 R4 R1

2

S RK1 K=

R3 R4 R1

2 K ·dK = −

e)

dC

S RK4 K=

d)

dB

1 , obtenemos R2 C

K2 =

R3 R4 1 = R3 R4 ⋅ 2 2 R1 R1

R3 R4 dR1 ⋅2 R1 R12

S RK1 =

dK dR1

2 K ⋅ dK = R3 R4 ⋅

(− 2 R1 ⋅ dR1 ) R14

K = −1 R1

S RK3 Partiendo de la misma ecuación que en caso c) K =

S

K R3

3. Para el filtro activo HP calcular:

a)

S Rw1C

b)

S Rw2C

=

dK

K =1 dR3 2 R3

R3 R4 R1

, obtenemos

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wc ⋅ R ⋅ C = cte. Para los dos casos tomo la misma ecuación. [dwc Ri + wc dRi ]C = 0 dwc Ri + wc dRi = 0 dwc dR S Rwic = −1 =− i wc Ri Luego para los dos casos a y b vale –1.

dwc Ri = − wc dRi

4. Determinar el orden y la fc de un filtro Butterworth paso-bajo tal que a 2Khz la atenuación sea de 1dB y a 16Khz como mínimo de 40dB. ⎡ ⎛ f ⎞ 2n ⎤ 1 2 2 Log H ( f ) = − Log ⎢1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ H( f ) = 2n ⎢⎣ ⎝ f c ⎠ ⎥⎦ ⎛ f ⎞ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ fc ⎠ ⎡ ⎛ f ⎞ 2n ⎤ − 20 Log H ( f ) = 10 Log ⎢1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ f c ⎠ ⎥⎦

⎡ ⎛ f ⎞ 2n ⎤ AdB = Log ⎢1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ 10 ⎢⎣ ⎝ f c ⎠ ⎥⎦

Entonces: 2n 2n ⎡ ⎛ 2 K ⎞ 2n ⎤ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎟⎟ ⎥ ⎪ ⎪10 0.1 = 1 + ⎛⎜ 2 K ⎞⎟ ⎪ ⎪10 0.1 − 1 = ⎛⎜ 2 K ⎞⎟ 0.1 = Log ⎢1 + ⎜⎜ ⎜ f ⎟ ⎜ f ⎟ ⎢⎣ ⎝ f c ⎠ ⎥⎦ ⎪⎪ ⎪ ⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠ ⎪ ⎪ →⎨ ⎬→⎨ 2n ⎬ 2n 2n ⎡ ⎛ 16 K ⎞ ⎤ ⎪ ⎪ 4 ⎛ 16 K ⎞ ⎛ 16 K ⎞ ⎪ ⎪ 4 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎪ ⎪10 − 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎪ ⎪10 = 1 + ⎜⎜ 4 = Log ⎢1 + ⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ f c ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎩ ⎝ fc ⎠ ⎝ fc ⎠ ⎭ ⎩

Dividiendo:

10 0.1 − 1 ⎛ 2 ⎞ =⎜ ⎟ 10 4 − 1 ⎝ 16 ⎠

2n

⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝8⎠

2n

⇒

10 4 − 1 = 82n 10 0.1 − 1

⎛ 10 4 − 1 ⎞ ⎟ Log ⎜⎜ 0.1 10 − 1 ⎟⎠ ⎝ ⇒n= = 2.53 2 ⋅ Log (8)

¿Y la fc? ⎛ 16 K ⎞ ⎟⎟ 10 − 1 = ⎜⎜ ⎝ fc ⎠ 4

2n

(

)

n=3

⎛ 16 K ⎞ Log 10 4 − 1 ⎛ f ⎞ ⎟⎟ ⇒ − = Log ⎜ c ⎟ ⇒ Log 10 4 − 1 = 2n ⋅ Log ⎜⎜ 2n ⎝ 16 K ⎠ ⎝ fc ⎠

(

)

f c = 16 K ⋅ 10

−

(

Log 10 4 −1 2n

)

Si n = 2.53 fc = 2.59Khz Si n = 3 fc = 3.447Khz

TEMA 7.- FILTROS

33

5. Diseñar ( con elementos activos) un circuito con la siguiente función de transferencia.

Este Problema se reduce haciendo un filtro de paso-bajo con fc=10Khz de orden 4 ya − 20 ⋅ n = −80 n = 4, es un butterworth que según la ecuación − 20 ⋅ n = dB dec pues no tiene rizado. Y un filtro paso-alto con fc = 100hz de orden 3 (-20·n=-60) y se conectan en cascada. LP

HP

a) Diseño del LP wc=2π·10K

fc= 10Khz

Ci =

Cn w⋅ R

Tomamos R=1K

Al ser de orden 4 debemos hacerlo en dos etapas: 1ª etapa: C1 =

1.082 = 17.22nF (2π ) ⋅ 10 K ⋅ 1K

C2 =

0.9241 = 14.71nF (2π ) ⋅ 10 K ⋅ 1K

2.613 = 41.59nF (2π ) ⋅ 10 K ⋅ 1K

C2 =

0.3825 = 6.09nF (2π ) ⋅ 10 K ⋅ 1K

2ª etapa: C1 =

b) Diseño del HP orden 3 fc= 100hz

Ri =

wc=2π·100=200π

1 w ⋅ C ⋅ Cn R1 =

Tomamos C = 1µF

1 1 = = 449Ω w ⋅ C ⋅ C1 (200π ) ⋅ 1 ⋅ 10 −6 ⋅ (3.546 )

(

)

TEMA 7.- FILTROS

34

1 1 = = 1.143KΩ w ⋅ C ⋅ C 2 (200π ) ⋅ 1 ⋅ 10 −6 ⋅ (1.392 ) 1 1 R3 = = = 7.863KΩ −6 w ⋅ C ⋅ C 3 (200π ) ⋅ 1 ⋅ 10 ⋅ 2.024 ⋅ 10 −1 R2 =

(

(

)

)(

)

6. Calcule la respuesta impulsiva h(t) para un filtro paso bajo de orden 2.

k ⋅ wn2 s 2 + 2ξwn s + wn2 b) Respuesta del filtro anterior a la entrada escalón. H (s ) =

Busquemos los polos del sistema: s 2 + 2ξwn s + wn2 = 0 s=

− 2ξwn ± 4ξ 2 wn2 − 4 wn2 2

= −ξwn ± wn ξ 2 − 1 = −ξwn ± jwn 1 − ξ 2

Entonces : P1 = −ξwn + jwn 1 − ξ 2 P2 = −ξwn − jwn 1 − ξ 2

Por comodidad llamaremos wn 1 − ξ 2 = w p P1 = −ξwn + jw p P2 = −ξwn − jw p

TEMA 7.- FILTROS

35

Vemos que P1 = P2 = ξ 2 wn2 + wn2 (1 − ξ 2 ) = wn Por tanto podemos escribir: H (s ) =

k ⋅ wn2 k ⋅ wn2 A B = = + = (s − P1 ) ⋅ (s − P2 ) (s + ξwn − jw p )⋅ (s + ξwn + jw p ) s − P1 s − P2

As − AP2 + Bs − BP1 ( A + B )s − AP2 − BP1 = (s − P1 ) ⋅ (s − P2 ) (s − P1 ) ⋅ (s − P2 )

Entonces: A + B = 0 ⇒ A = −B − AP2 − BP1 = k ⋅ wn2 ⇒ − AP2 + AP1 = k ⋅ wn2 ⇒ A(P1 − P2 ) = k ⋅ wn2 A=

k ⋅ wn2 k ⋅ wn2 k ⋅ wn2 k ⋅ wn2 k ⋅ wn = = = = P1 − P2 − ξwn + jw p + ξwn + jw p 2 jw p 2 j ⋅ wn 1 − ξ 2 2 j ⋅ 1 − ξ 2

A= −j⋅

k ⋅ wn 2 1−ξ 2

B = −A = j ⋅

k ⋅ wn 2 1− ξ 2

Por tanto tenemos: ⎡ 1 k ⋅ wn A B A A 1 ⎤ + = − = A⎢ − H (s ) = ⎥ =−j s − P1 s − P2 s − P1 s − P2 2 1−ξ 2 ⎣ s − P1 s − P2 ⎦

k ⋅ wn

−1

l ⎯⎯→ = −j⋅

= −j⋅ = −j⋅ =

2 1− ξ

k ⋅ wn 2 1−ξ 2 k ⋅ wn 2 1−ξ

k ⋅ wn 1− ξ 2

2

2

[

]

⋅ e P1t − e P2t ⋅ u (t ) =

[

⋅ e −ξwnt ⋅ e

[

⋅ e −ξwnt e

jw p t

jw p t

− e −ξwnt ⋅ e

−e

− jw p t

− jw p t

]⋅ u(t ) =

]⋅ u(t ) = k ⋅ wn 1− ξ

2

⋅ e −ξwnt ⋅

[

k ⋅ wn 1−ξ

2

[

]

1 jw pt − jw t e − e p ⋅ u (t ) = 2j

⋅ e −ξwnt ⋅ sen(w p t )

h(t ) =

⎡ 1 1 ⎤ − ⎢ ⎥= ⎣ s − P1 s − P2 ⎦

]

⋅ e −ξwnt ⋅ sen wn 1 − ξ 2 ⋅ t ⋅ u (t )

TEMA 7.- FILTROS

36

b)

Y (s ) = H (s ) ⋅ U (s ) = =

k ⋅ w 2n A B C 1 ⋅ = + + = (s - P1 ) ⋅ (s − P2 ) s s − P1 s − P2 s

A ⋅ (s − P2 ) ⋅ s + B ⋅ (s − P1 ) ⋅ s + C ⋅ (s − P1 ) ⋅ (s − P2 ) = (s − P1 ) ⋅ (s − P2 ) ⋅ s

Para s = P2 B ⋅ (P2 − P1 ) ⋅ P2 = k ⋅ wn2 ⇒ B =

k ⋅ wn2 P2 ( P2 − P1 )

Para s = P1 k ⋅ wn2 A ⋅ (P1 − P2 ) ⋅ P1 = k ⋅ w ⇒ A = P1 (P1 − P2 ) 2 n

Para s = 0 C ⋅ P1 ⋅ P2 = k ⋅ wn2 ⇒ C =

k ⋅ wn2 P1 P2

Luego

[

y (t ) = A ⋅ e

P1t

+ B⋅e

P2t

⎡ k ⋅ wn2 k ⋅ wn2 k ⋅ wn2 ⎤ P1t P2t + C ⋅ u (t ) = ⎢ ⋅e + ⋅e + ⎥ ⋅ u (t ) P2 (P2 − P1 ) P1 P2 ⎦ ⎣ P1 (P1 − P2 )

]

Vemos que: 2 P1 ⋅ P2 = P1 ⋅ P1* = P1 = wn2

(P1 − P2 ) = −ξwn + jw p + ξwn + jw p = 2 jw p = 2 j ⋅ wn 1 − ξ 2 P1 (P1 − P2 ) = (− ξwn + jw p ) ⋅ (2 j ⋅ w p ) = −2 j ⋅ ξw p wn − 2 w 2p = −2 w 2p − 2 jξw p wn P2 (P2 − P1 ) = (− ξwn − jw p ) ⋅ (− 2 jw p ) = 2 jξwn w p − 2 jw 2p = −2 w 2p + 2 jξw p wn Entonces:

⎡ 1 ⎤ e P1t e P2t ⋅ u (t ) = + + y (t ) = k ⋅ w ⎢ 2 2 2⎥ ⎢⎣ − 2w p − 2 jξw p wn − 2w p + 2 jξw p wn wn ⎥⎦ ⎡ 1 ⎤ e P1t e P2t 2 = k ⋅ wn ⎢ + + 2 ⎥ ⋅ u (t ) ⎢⎣ − 2 wn2 1 − ξ 2 − 2 jξwn2 1 − ξ 2 − 2 wn2 1 − ξ 2 + 2 jξwn2 1 − ξ 2 wn ⎥⎦ 2 n

(

)

(

)

Tenemos por tanto que:

⎡ ⎤ e P2t − e P1t y (t ) = k ⋅ ⎢ − + 1⎥ ⋅ u (t ) ⎢⎣ 2 1 − ξ 2 + 2 jξ 1 − ξ 2 2 1 − ξ 2 − 2 jξ 1 − ξ 2 ⎥⎦

(

)

(

)

TEMA 7.- FILTROS

37

Veamos que:

(

)

(

2 1 − ξ 2 + 2 jξ 1 − ξ 2 = 4 1 − ξ 2

Luego:

( (

)

2

(

)

+ 4ξ 2 1 − ξ 2 = 2 1 + 0 4 − 2ξ 2 + ξ 2 − ξ 4 = 2 1 − ξ 2

) )

2 1 − ξ 2 + 2 jξ 1 − ξ 2 = 2 1 − ξ 2 ⋅ e jφ ⎫⎪ ⎬Complejas − Conjugadas 2 1 − ξ 2 − 2 jξ 1 − ξ 2 = 2 1 − ξ 2 ⋅ e − jφ ⎪⎭ con φ = arctan

2ξ 1 − ξ 2 ξ = arctan 2 2 1−ξ 1−ξ 2

(

)

Luego

⎡ − e P1t ⎤ e P2t − jφ ⋅e − ⋅ e jφ + 1⎥ ⋅ u (t ) = y (t ) = k ⋅ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 1 − ξ 2 2 1− ξ 2 ⎡ −1 ⎤ − jw t jw t = k ⋅⎢ e −ξwnt ⋅ e p ⋅ e − jφ + e −ξwnt ⋅ e p ⋅ e jφ + 1⎥ ⋅ u (t ) = ⎢⎣ 2 1 − ξ 2 ⎥⎦ ⎡ e −ξwnt ⎡ e j (w pt −φ ) + e − j (w pt −φ ) ⎤ ⎤ = k ⋅ ⎢− ⋅⎢ ⎥ + 1⎥ ⋅ u (t ) = 2 2 ⎢⎣ 1 − ξ ⎣ ⎦ ⎥⎦ ⎡ e −ξwnt ⎤ ⎡ ⎤ e −ξwnt = k ⋅ ⎢− ⋅ cos(w p t − φ ) + 1⎥ ⋅ u (t ) = k ⋅ ⎢1 − ⋅ cos(w p t − φ )⎥ ⋅ u (t ) = ⎢⎣ 1 − ξ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 1− ξ 2

[

]

( (

)

⎡ e −ξwnt = k ⋅ ⎢1 − ⋅ cos wn 1 − ξ 2 ⋅ t − φ 2 ⎢⎣ 1− ξ

)⎤⎥⎥ ⋅ u(t ) ⎦

Si queremos podemos continuar teniendo en cuenta que: tag (− φ ) = −tag (φ );

π⎞ π⎞ 1 ⎛ ⎛ tag ⎜ φ + ⎟ = tag ⎜ φ − ⎟ = − tagφ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ π⎞ ⎛ cos⎜ α − ⎟ = senα 2⎠ ⎝ Si transformamos el cos(wpt-φ) π π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ cos⎜ w p t − φ + − ⎟ = sen⎜ w p t − φ + ⎟ = sen w p t + φ ' 2 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

(

φ ' = −φ + π 2

)

TEMA 7.- FILTROS

Veamos que tagφ ' = −

38 1−ξ 2 1 1 = = tag (− φ ) tagφ ξ

Por tanto: ⎡ e −ξwnt ⋅ sen wn 1 − ξ 2 ⋅ t + φ ' y (t ) = k ⋅ ⎢1 − 2 ⎢⎣ 1−ξ ⎡ 1−ξ 2 ⎤ ' ⎥ φ = arctan ⎢ ⎢⎣ ξ ⎥⎦ que es como aparece en las tablas.

)

( (

)⎤⎥⎥ ⋅ u(t ) ⎦

7.- Construir un filtro LP activo Butterworth de 2º orden con fc=1KHz utilizando resistencias de 1KΩ.

Usaremos una estructura VCVS. 1) Construimos filtro normalizado con Wn=1 rad/seg Rn=1Ω Cn consultando las tablas.

Escalamos WRC = Wn Rn C n

Ci =

C ni WR

Por tanto: C1 =

C n1 1.414 = = 225nF WR (2π *1000) * (1000)

C2 =

Cn2 0.7071 = = 112.54nF WR (2π *1000) * (1000)

TEMA 7.- FILTROS

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8.- Diseña un filtro LP Butterworth de 5º orden con fc=5KHz y una impedancia de entrada de 100KΩ. Utiliza una estructura VCVS.

Cuando un filtro es de orden 4 o superior se construye en dos etapas. Este lo construiremos con una etapa de orden 3 seguida de otra de orden 2. Vi

Etapa n=3

Etapa n=2

Construimos filtro normalizado con Wn=1 rad/seg Rn=1Ω Cn consultando las tablas. C C i = ni Escalamos WRC = Wn Rn C n WR • Etapa de orden 3: C 1.753 C1 = n1 = = 558 pF WR (2π * 5000) * (100 K ) Cn2 1.354 = = 431 pF WR (2π * 5000) * (100 K ) C 0.421 C2 = n2 = = 134 pF WR (2π * 5000) * (100 K ) Etapa de orden 2: C 3.235 C1 = n1 = = 1.03nF WR (2π * 5000) * (100 K ) C2 =

•

C2 =

Cn2 0.309 = = 98 pF WR (2π * 5000) * (100 K )

V0

TEMA 7.- FILTROS

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TEMA 7.- FILTROS

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9.- Diseña un filtro paso alta (HP) Butterworth de 2º orden con fc=100Hz utilizando condensadores de 1µF.

Utilizaremos una estructura VCVS 1) Fijamos Wc = (2π*100) rad/seg C = 1µF 2) Construimos HP normalizado Wc = 1 rad/seg C = 1F Rn = 1 Cn 3) Desnormalizamos WRC = Wn Rn C n

Ri =

1 W * C * Cn

Entonces: 1 1 = = 1125.56Ω W * C * C1 (2π * 100) * (1 *10 −6 ) *1.414 1 1 = = 2250.81Ω R2 = W * C * C1 (2π *100) * (1 * 10 −6 ) * 0.7071

R1 =

TEMA 7.- FILTROS

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TEMA 7.- FILTROS

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10.- Diseña un filtro activo paso de banda (BP) de orden 2 centrado en 1KHz y de BW=100Hz. Q=

f0 1KHz = = 10 BW 100 Hz

Mayor a 4 utilizaremos una estructura Bicuadrática

Recordemos que: K=

R3 R4

B=

R1

si hacemos K=1

R3=R4=R1

1 R2 C W02 =

W02 = 1 1 = 2 2 2 R3 R4 C R1 C

1 1 2π * 100 = R1C R1C 1 1 R2 = 10 * R1 2π * BW = 2π *1000 = R2 C R2 C Tomamos R3=R4=R1= 1KΩ R2=10KΩ 1 1 C= = 159.15nF 2π *100 = 4 4 1 *10 * 2π *100 1 *10 * C 2π * f 0 =

H (W0 ) = K * Q = 1 * 10 = 10

1 R3 R4 C 2

W0 =

1 RC

TEMA 7.- FILTROS

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