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Matemáticas Financieras Francisco Pérez Hernández Departamento de Financiación e Investigación de la Universidad Autónoma de Madrid Objetivo del curso: Profundizar en los fundamentos del cálculo financiero, necesarios para su aplicación en posteriores asignaturas. Adquisición de los principales conceptos matemáticos requeridos para la valoración de operaciones financieras. Adquirir la habilidad de analizar situaciones reales relacionadas con el cálculo de leyes, rentas financieras, tipos de interés y operaciones financieras. 1

Departamento de Financiación e Investigación Comercial

Contenidos del Programa: Tema I. Valoración del dinero en el Tiempo I.1 Capitales financieros. I.2 Leyes financieras. I.3 Capitalización simple y compuesta. I.4 Descuento Simple Comercial y Racional. Descuento Compuesto. I.5 Tipo de Interés Anual y Tipo de Interés Fraccionado. I.6 Suma y desdoblamiento de capitales.

Tema II. Rentas Financieras II.1 Concepto y clasificación de rentas. II.2 Valor capital de una renta. II.3 Valoración de rentas constantes. II.4 Valoración de rentas variables. II.5 Rentas fraccionadas.

MF

Tema III. Operaciones Financieras III.1 Concepto y clasificación de las operaciones financieras. III.2 Equivalencia financiera. III.3 Saldo Financiero. III.4 Operaciones financieras simples. 2

Departamento de Financiación e Investigación Comercial Tema IV. Operaciones Financieras Compuestas IV.1 Operaciones de amortización. IV.2 Estudio de las principales modalidades de préstamos. IV.2.1 Sistema francés. IV.2.2 Cuotas de amortización constantes. IV.2.3 Sistema americano. IV.2.4 Términos variables. IV.3 Prestamos a tipo de interés variable. IV.4 Operaciones de constitución de un capital.

Tema V. Coste y Rentabilidad de las Operaciones Financieras V.1 Coste o rendimiento de las OF Simples. V.2 Coste o rendimiento de las OF Compuestas. V.3 Operaciones con características comerciales. V.4 Tipo Anual Equivalente (TAE).

EE 3

Departamento de Financiación e Investigación Comercial

Tema IV. OPERACIONES FINANCIERAS COMPUESTAS

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Operaciones Financieras Compuestas Valoración Financiera de Operaciones de Financiación

La financiación es la obtención de capital de una parte de una operación financiera que tiene déficit de fondos, de otra parte de la operación que tiene superávit. La financiación es la operación financiera en la que se recibe un capital y se entregan pagos futuros en distintos momentos del tiempo. Existen dos formas de financiación empresarial

A CORTO PLAZO

A LARGO PLAZO

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Operaciones Financieras Compuestas

Formas de Financiación Empresarial a Largo Plazo PROPIA

AJENA

Capital Social

Bonos

Reservas

Obligaciones

Préstamos

Leasing 6

Operaciones Financieras Compuestas Coste de la Financiación Recordemos los tipos de interés utilizados en operaciones valoradas en leyes compuestas:

i : tipo de interés efectivo anual i m : tipo de interés para periodos inferiores al año. Ejemplos: Tipo de interés mensual: i 12 Tipo de interés trimestral: i 4 j m : tipo de interés nominal anual para operaciones que se realizan en períodos de tiempo inferiores al año.. Ecuación de equivalencia de i en leyes compuestas

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Operaciones Financieras Compuestas IV.2 Principales Modalidades de Préstamos IV.2 Principales Modalidades de Préstamos Es inevitable mencionar que los PRÉSTAMOS son la principal forma de financiación empresarial. De hecho, forma parte elemental de una operación de inversión extranjera directa (IED). Pueden ser de dos tipos: A tipo Fijo: cuando estamos ante una operación a corto plazo. A tipo Variable: Tipo de referencia + diferencial. En este tipo de préstamo se realiza una revisión periódica utilizando un método.

Los préstamos tienen costes de carácter administrativos: comisiones de apertura, estudio etc. 8

Operaciones Financieras Compuestas IV.2 Principales Modalidades de Préstamos En la operación financiera de préstamo intervienen dos partes: • Prestatario: - recibe un efectivo - se financia con un coste - tiene un pasivo financiero - es el deudor - tiene la obligación de entregar una contraprestación equivalente al efectivo recibido • Prestamista: - entrega el efectivo (prestación) - invierte con una rentabilidad - tiene un activo financiero - es el acreedor - tiene el derecho a recibir la contraprestación equivalente al efectivo entregado 9

Operaciones Financieras Compuestas IV.2 Principales Modalidades de Préstamos Los préstamos deberán documentarse en un contrato en el que se reflejarán todas las condiciones en cuanto a los compromisos de las dos partes (Prestatario-Prestamista). Así, los principales puntos que deben contener cualquier contrato de un préstamos son: Tipo de interés nominal. Periodicidad que producirá el devengo de los intereses.

Comisiones de aplicación. Derechos del prestatario ante un posible reembolso anticipado 10

Operaciones Financieras Compuestas IV.2 Principales Modalidades de Préstamos Es importante destacar que en cualquier operación financiera de préstamo en la que intervienen dos partes, los capitales que entregan ambas partes deberán de ser equivalentes. Dicha equivalencia se plantea para un tipo de interés de valoración, el tipo de interés efectivo anual "i", aplicando leyes financieras normalmente compuestas. La ecuación de equivalencia financiera en el origen de la operación, cuando se entrega el nominal del préstamo Co, es la que iguala en el momento actual los capitales que entregan las dos partes, prestamista y prestatario: n

C Entrega el Prestamista Recibe el Prestatario

0 s 1

as(1 i)

s

Recibe el Prestamista Entrega el Prestatario

11

Operaciones Financieras Compuestas IV.2 Principales Modalidades de Préstamos Las leyes financieras que normalmente se utilizan en operaciones financieras de préstamos son las compuestas, ya que generalmente son de largo horizonte económico. En este tipo de operaciones compuestas, los términos de renta (vistos en el tema II) se conocen como cuotas a pagar o términos amortizativos (Cs). (Este es el origen de los términos financieros que se utilizan en la práctica: mensualidades, trimestralidades semestralidades,…) Más conceptos: El origen del préstamo: es cuando el prestamista entrega el primer capital (C0). El final del préstamo: momento en el cual el prestatario entrega el último capital con lo que salda la deuda (Cn).

12

Operaciones Financieras Compuestas IV.2 Principales Modalidades de Préstamos El esquema gráfico que representa los pagos periódicos as y de la deuda viva o saldo financiero del préstamo en cada momento del tiempo Cs (s=1,2,...n) es: C

C

C

C

0

1

2

3

a1

a2

a3

t1

t2

t3

t0

…

…

C

…

C

s

n

as

an

ts

…

tn

Siendo: C0= Capital prestado Cs= Capital vivo o deuda pendiente en cada período. as= Cuotas a pagar o términos amortizativos.

13

Operaciones Financieras Compuestas IV.2 Principales Modalidades de Préstamos En la valoración de operaciones financieras de préstamos son distintas las incógnitas por calcular: Cuotas a pagar (as). Cuotas de amortización (As). Cuotas de interés (Is). Cuadro de amortización del préstamo (Incluye as, As, Is más la deuda viva (Cs) y el capital amortizado en cada momento (Ms). TAE. Coste efectivo del Prestatario. 14

Operaciones Financieras Compuestas IV.2 Principales Modalidades de Préstamos En operaciones compuestas, en las que el prestatario entrega varios capitales para la amortización del préstamo, la valoración financiera del préstamo se puede realizar con los siguientes métodos: Método francés o de pagos constantes o de términos amortizativos as constantes. Método de cuotas de amortización As constantes Método americano (Simple y Sinking Fund)

Método alemán

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Operaciones Financieras Compuestas IV.2.1 Método Francés Método Francés: El método francés se caracteriza porque los términos amortizativos as son CONSTANTES:

a1

a2

...

an

a

y la operación se valora con un solo tipo de interés. ***Ecuación de equivalencia:

C0

a * an

i

a

C0

a

n i

Obsérvese que la contraprestación es una renta de cuantía constante, temporal y pospagable. Así, conociendo el capital prestado (C0), el tiempo del préstamo (n) y el tipo de interés (i), podemos obtener el término amortizativo (as). 16

Operaciones Financieras Compuestas IV.2.1 Método Francés ***Capital vivo: El capital vivo o cuantía pendiente de amortizar una vez transcurridos n períodos se halla por la derecha del horizonte temporal. Es decir, una vez entregado el primer término amortizativo se le resta al capital superviviente de pago. Así, el resultado al aplicar distintos métodos sería:

Cs Cs

a * an

Método prospectivo

s i

C0 * (1 i ) s

a * ss

i

Método reprospectivo

Ojo, la contraprestación futura forma una renta constante temporal con n - s capitales. 17

Operaciones Financieras Compuestas IV.2.2 Método de Cuotas de Amortización Constantes

Método de Cuotas de Amortización Constantes: En este caso particular se analiza cada cuota a pagar o término amortizativo:

A1

A2

...

An

A

Efectuándose la valoración a tanto constante i. Así, cuando los datos que conocemos C0, n e i, la obtención de las cuotas de amortización, el capital vivo y el capital amortizado son simples de calcular. ***Cuota de amortización, capital vivo y capital amortizado:

C0

n* A

A

C0 n

Cs

(n s ) * A

n s * C0 n 18

Operaciones Financieras Compuestas IV.2.2 Método de Cuotas de Amortización Constantes

***Cuota de intereses: Sabemos que en cualquier modalidad de préstamo la cuota de intereses se obtiene multiplicando los términos amortizativos por el tipo de interés, lo siguiente se comprobaría con esta expresión matemática de función NO lineal:

Is

Cs 1 * i

n s 1 * C0 * i n

***Términos amortizativos: Dado que cada término amortizativo es igual a la suma de la cuota de intereses y cuota de amortización ( a s C s 1 * i (C s 1 C s ) I s As ). En este tipo de método se verifica así:

as

Cs 1 * i

A

C0 * 1 (n s 1) * i n

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Operaciones Financieras Compuestas IV.2.3 Método Americano

Método americano simple : Este tipo de método, durante los primeros períodos de maduración se pagan únicamente el saldo de los intereses, efectuándose así la amortización del préstamo en el ÚLTIMO PERÍODO. Por tanto:

A1

A2

...

An

1

0

y

An

C0

Este método es el más sencillo de todos, ya que al NO amortizarse nada en los n-1 períodos, el capital vivo al final de cada período es igual a C0 y por tanto, el capital amortizado es 0 ¿Por qué? Sin embargo, tiene un inconveniente (desde el punto de vista del prestatario) y es que al final de la operación financiera de préstamo tendrá que devolver el total prestado, lo que puede originar un problema de Tesorería. Solución: crear un fondo para prevenirlo. 20

Operaciones Financieras Compuestas IV.2.3 Método Americano

Método americano Sinking Fund: Este método, a diferencia del anterior, combina dos operaciones: 1º Amortización del préstamo utilizando el método americano simple. 2º Constitución de un capital mediante aportaciones a un FONDO que permitan obtener C0 en la primera operación.

Este método, utilizado en Estados Unidos, viene a solucionar el problema del método simple y se le conoce como Sinking Fund. Una ventaja del Sinking Fund es que el fondo puede concretarse con otra entidad financiera y el tipo de interés normalmente suele ser diferente a la baja para poder brindar “linea”. 21

Operaciones Financieras Compuestas IV.2.4 Método Alemán

Método alemán: En Alemania es usual la amortización de préstamos con el pago anticipado de los intereses, logrando que éstos se paguen al principio de cada período en vez de al final como ocurren en los anteriores métodos analizados. En general, el método alemán se utiliza en países europeos. La relación entre el tipo de interés anticipado (i*) y el tipo de interés que vence en cada período (i), se obtiene a partir de la siguiente equivalencia matemática:

i* 1 i* (1 i )

1

i

i 1 i i* 1 i*

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Operaciones Financieras Compuestas IV.2.4 Método Alemán

Recordando que la ley financiera de descuento compuesto puede expresarse de dos formas: (1 d ) n (1 i ) n siendo d i * el tanto anticipado e i el tanto ordinario. Una particularidad del método alemán es que los términos amortizativos son cosntantes. La ecuación de equivalencia financiera en el punto de origen C0, se comprueba así:

C0 ^*(1 i*) a * (1 i*) (1 i*)2 ... (1 i*)n después de sacar factor común a (1 i*) y simplificando y sumando los términos de progresión geométrica de razón (1 que hay dentro de los corchetes, obtenemos:

Cn .i * C0 ^ a * 1 (1 i*)n

i*)

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Operaciones Financieras Compuestas IV.2.4 Método Alemán

***Capital vivo: Cs por el método prospectivo, se obtiene así:

1 (1 i*) Cs * a * i*

n s

***Cuotas de amortización Con razón geométrica (1 i*) *

*

n

s

A A

* (1 i*) ... 1

*

n * ( 1 i *) An

n

:

s

24

Operaciones Financieras Compuestas IV.2.4 Método Alemán

Casos prácticos. Ejemplo 21: El BBVA concede un préstamo de 100.000 euros a amortizar en 6 años a la eléctrica Iberdrola. Se aplica el método alemán a un tipo de interés anticipado del 14% anual. Se pide: A) Calcular la anualidad constante que lo amortiza.

B) Obtener el Capital vivo antes de abonar la cuarta anualidad. C) Calcular la cuota de amortización de la tercer período.

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Operaciones Financieras Compuestas IV.2.4 Método Alemán

A) Calcular la anualidad constante que lo amortiza.

Cn .i * C0 ^ a * 1 (1 i*)n 100.000* 0,14 C0 ^ ¿¿ a ?? 1 (1 0,14)6

14.000 1 0,404567

23.512,31euros

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Operaciones Financieras Compuestas IV.2.4 Método Alemán

B) Obtener el Capital vivo antes de abonar la cuarta anualidad:

1 (1 i*)n s Cs * a * i* 1 (1 0,14) 6 23.512,31* 0,14

3

1 0,636056 23.512,31* 0,14 61.122,60euros 27

Operaciones Financieras Compuestas IV.2.4 Método Alemán

C) Calcular la cuota de amortización de la tercer período. *

A

s

*

A

3

*

A

3

*

n * ( 1 i *) An

s

23.512,31* (1 0,14) 6

3

23.512,31* 0,636056

14.955,15euros

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Operaciones Financieras Compuestas IV.3 Préstamos a Tipo de Interés Variable IV.3 Préstamos Hipotecarios

Son préstamos cuya característica principal consiste en que el prestatario (el que asume la deuda) hipoteca bienes inmuebles como garantía de la operación financiera de financiación. Por tanto, el riesgo de impago para el prestamista cae significativamente por lo que el tipo de interés deberá decrecer también ¿Por qué? Para la amortización de este tipo de préstamos se pueden utilizar cualquiera de los métodos vistos anteriormente para calcular las incógnitas de éste. Actualmente, los préstamos hipotecarios concedidos en España superan los 200.000 millones de euros (un 25% del PIB español). Por ello, existe un mercado hipotecario específico regulado por el Estado en la que participan constantemente entidades financieras. 29

Operaciones Financieras Compuestas IV.3 Préstamos a Tipo de Interés Variable

Las principales características de un préstamo hipotecario son: Una elevada cuantía respecto a la capacidad financiera del prestatario.

Duración a largo plazo, normalmente superior a 10 años. Los términos amortizativos pueden ser constantes o en progresión geométrica.

El tipo de interés puede ser fijo o variable, siguiendo a un benchmark, por ejemplo el Euribor. Está sujeto al impuesto de Transmisiones Patrimoniales. 30

Operaciones Financieras Compuestas IV.3 Préstamos a Tipo de Interés Variable Existen dos tipos de préstamos hipotecarios: Préstamos Hipotecarios a Tipo Fijo: i tasa fija (normalmente nominal). Términos amortizativos constantes o crecientes en progresión geométrica. El método francés es el más utilizado. Se puede cancelar anticipadamente el préstamo (Penalización: entre 1% y 3% de Cs)

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Operaciones Financieras Compuestas IV.3 Préstamos a Tipo de Interés Variable

Préstamos Hipotecarios a Interés Variable: El tipo de interés a aplicar en t0, t1, t2, …,tn no se conoce en el momento inicial de la operación financiera.

Así, i está en función de la evolución de distintos benchmarks: Euribor (a 1 año). EURopean InterBank Offered Rate. Media de los tipos de interés ofertados por una muestra de bancos con el mayor volumen de negociación en la eurozona TIR. Tasa interna de rentabilidad de la deuda pública. TAE. Tasa anual equivalente de los préstamos hipotecarios de vivienda libre que aplican los bancos o las cajas de ahorro. Tipos de interés internacionales: LIBOR (London Interbank Offered Rate) y Primate Rate

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Operaciones Financieras Compuestas IV.3 Préstamos a Tipo de Interés Variable

El tipo de interés del préstamo hipotecario en cada período se obtiene sumando al tipo de referencia un margen o diferencial (spread) que se fija en el momento inicial de la operación. Éste tipo de interés suele oscilar entre un 0,25% y un 1,5%. Matemáticamente:

i i s

R,s

i

d

donde:

i id

R, s

Tipo de interés de referencia (el que varía cada período)

Margen o diferencial (que siempre es fijo) 33

Operaciones Financieras Compuestas IV.3 Préstamos a Tipo de Interés Variable

Para calcular los términos amortizativos de cualquier período:

a C *i A s

s 1

s

s

En conclusión: El préstamo hipotecario con interés variable es una operación posdeterminada, ya que los tipos de interés que se deberán de aplicar no se conocen en el momento inicial de la operación.

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Operaciones Financieras Compuestas IV.4 Operaciones de constitución de un capital IV.4 Operaciones de Constitución de Capitales Este tipo de operaciones compuestas están caracterizadas por ser de prestación múltiple y contraprestación única al final del horizonte temporal. Su único objetivo es la formación de UN CAPITAL (Cn), mediante la entrega de n cuantías periódicas que se denominan TÉRMINOS CONSTITUTIVOS. Existen dos modalidades de constitución de capitales: Imposiciones prepagables: sólo transcurre un período desde la última imposición hasta la retirada de Cn. Imposiciones pospagables: aquellas en las que coincide la última imposición con la retirada de Cn. 35

Bibliografía: De Pablo López, Andres (2002). “Valoración Financiera”. Editorial Centro de Estudios Ramón Areces, S.A. Tercera Edición. Mendoza Resco, Carmen (2009). “Matemáticas Financieras”. UAM Ediciones.

Navarro, Eliseo y Nave, Juan (2001). “Fundamentos de Matemáticas Financieras”. Editor Antoni Bosch.

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