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• Jonathan Luna

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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO «Saber para Ser»

TEMA: INTEGRALES IMPROPIAS

José Valverde Jean Sánchez Rubén Sanchim Selena Yunga Grace Torres

Integral Impropia: Introducción Son aquellos cuyos límites de integración, inferior, superior o incluso ambos tienen un infinito. Ahora se trata de generalizar el concepto de integral de Riemann a aquellos casos donde el intervalo de integración no es acotado o bien la función a integrar no está acotada. En definitiva diremos que la integral



b

a

f(x) dx es impropia si se da al menos una

de las siguientes hipótesis: 1. El intervalo [a, b] no está acotado. 2. La función f(x) no está acotada en el intervalo [a, b]. Este tipo de integral tiene bastantes aplicaciones en otras áreas científicas: Física, Economía, …, etc. Ejemplos 1)

0

x dx , el intervalo [0, +∞] no está acotado.

1 1 , no está acotada en cualquier entorno de x = 0. dx 1 x x 5 1 1 3)  , el intervalo (-∞, 5] no está acotado y, no está acotada en dx  x 2 x2 cualquier entorno de x = 0.

2)

2





5

Integral Impropia Integrales impropias en intervalos no acotados (o con límites de integración infinitos) También se les suele llamar de primera especie Por ejemplo serían de la forma:





0

1 dx , 1+x2



-1

-

2

xe-x dx . 

Consideremos ahora otro ejemplo e intentemos darle un significado:  e-x dx . 0

La integral



b

0

e-x dx , tiene sentido para cualquier b (por muy grande que sea este)

y podemos calcular:



b

0

e-x dx =   (-1)e-x dx = [e -x ]b0 = -[e-b-e0] = 1  e -b . b

0

Se tiene lim (1-e-b ) = 1, luego parece lógico definir: b 





0

3

e-x dx = 1.

Interpretación geométrica Se puede interpretar geométricamente diciendo que el área de la región (no acotada) determinada por y = e-x, el eje OX, y la recta x= 0 , vale 1.

y=e-x

1

4

Interpretación geométrica y

y

y = g(x) y = f(x) I=  f(x) dx b

-

a  

5

x

b

Si I es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y =f(x), x = b y el eje OX, coincide con el valor de la integral.

J= 

+

a

a

g(x) dx

x b  

Si J es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y =g(x), x = a y el eje OX, coincide con el valor de la integral.

y

y = f(x)



I   f(x) dx 

x

Si I es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y = f(x) y el eje OY, coincide con el valor de la integral.

Integrales Impropias con integrando infinito (no acotado) También se le suele llamar de segunda especie 1 1 Consideremos la integral I =  2 dx , si aplicamos la Regla de Barrow, se tiene 3 x x-2+1 1 1 -4 I= [ , ]-3 = [-x-1 ]1-3 = -(1)-1 -(-(-3)-1 = -1- = -2+1 3 3 pero este resultado es absurdo, pues el área determinada por una función positiva, por encima del eje OX, no puede ser negativa. El error cometido está en la aplicación 1 de la regla de Barrow, que en este caso no puede aplicarse, puesto que la función 2 x no está acotada en [-3, 1], y por tanto no es continua en dicho intervalo. Este es un ejemplo de integral impropia con integrando no acotado.

y=

7

1 x2

Definición Utilizando la misma idea del ejemplo anterior podemos dar la definición general: 1)





a

f(x) dx  lim



b

b  a

f(x) dx

Donde se supone que f(x) es una función acotada e integrable en todo intervalo de la forma [a, b], siendo a un valor fijo y b uno cualquiera verificando b  a. 2)



b

-

f(x) dx = lim  f(x) dx b

a-  a

Donde se supone que f(x) es una función acotada e integrable en todo intervalo de la forma [a, b], siendo b un valor fijo y a uno cualquiera verificando b  a. Si los límites existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las correspondientes integrales impropias convergen y tienen estos valores. En otro caso se dice que la integral diverge. 3)







c





c

f(x) dx   f(x) dx   f(x) dx = lim  f(x) dx  lim  f(x) dx , c

a a

b

b  c

donde c es un número real cualquiera. Decimos que la primera integral es convergente si existen y son finitos los dos límites, y su valor es la suma de estos límites. En otro caso la integral se dice divergente. 8

Ejemplo Estudiar la siguiente integral calculándola en su caso:  1 I=  dx , tomando c = 0, se tiene:  1+x 2 b 1 1 dx  lim dx  lim[arctg x]a0  lim [arctg x]b0  2 2   a  a 1+x b  0 1  x a  b [arctg 0 – arctga(- ∞)] + [arctg(+∞) – arctg 0] = [0 – (-/2)] + [/2 – 0] = .

I = lim

0

Se puede interpretar este resultado diciendo que el área determinada por la curva 1 , y el eje OX vale . y= 1+x2

y=

π

9

1 1+x 2

Ejemplo 

Estudiar la convergencia de la integral I =  sen x dx . 0

I = lim



b

b  0

sen x dx  lim [-cos x]b0  lim (-cos b+1) , como este límite no existe se b

b

concluye que I diverge.

y = sen x

10