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Tema 43 Esfuerzos Mecánicos. Composición y Representación de Esfuerzos. Cálculo de Esfuerzos en piezas simples. Índice: 1. INTRODUCCIÓN. 2. ESFUERZOS MECÁNICOS Y TIPOS DE TENSIONES 3. COMPOSICIÓN Y REPRESENTACIÓN DE ESFUERZOS. ESFUERZOS EN PIEZAS SIMPLES.

CÁLCULO

DE

a. Esfuerzo de Tracción. a.1 Composición y representación. a.2 Cálculo de esfuerzos de tracción. a.3 Ensayo de tracción. a.4 Cálculo de la deformación producida a.5 Diagrama Esfuerzo-Deformación. b. Esfuerzo de Compresión. b.1 Composición y representación. b.2 Cálculo de esfuerzos de compresión. b.3 Cálculo de la deformación producida c. Esfuerzo de Pandeo. c.1 Composición y representación. c.2 Cálculo de esfuerzos de pandeo. d. Esfuerzo de Flexión. d.1 Composición y representación. d.2 Cálculo de esfuerzos de flexión. d.3 Cálculo de la deformaciones producidas. e. Esfuerzo de Cortadura. e.1 Composición y representación. e.2 Cálculo de esfuerzos de cortadura. f. Esfuerzo de Torsión. f.1 Composición y representación. f.2 Cálculo de esfuerzos de torsión. f.4 Cálculo de la deformación producida 6.- CRITERIOS DE FLUENCIA -Von Mises -Tresca -Bibliografía.  Mecánica M2. (libro de 2º Bachillerato tecnológico). -Autores: José L.Huertas, Sonia Val -Editorial: McGraw-Hill.  Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. -Autores: Ferdinand P. Beer, E.Russell Johnston Jr. -Editorial: McGraw-Hill.  Resistencia de materiales. -Autor: Fernando Rodríguez-Avial Azcunaga. -Editorial: Librería Editorial Bellisco.  Mecánica de materiales. -Autores: Gere y Timoshenko. -Editorial: International Thomson Editores.

David González Martínez

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1.- INTRODUCCIÓN. El estudio de los esfuerzos mecánicos a los que están sometidos los sólidos lo realiza la resistencia de materiales. Se puede definir la Resistencia de Materiales como la ciencia que estudia y desarrolla el cálculo de la resistencia mecánica, rigidez y estabilidad de las piezas y elementos constructivos. La Resistencia de Materiales, es la rama de la mecánica que estudia:  Las fuerzas exteriores o cargas aplicadas a un cuerpo.  La relación de estas fuerzas exteriores con las fuerzas interiores (tensiones internas) que aparecen en el material.  Los desplazamientos, o deformaciones transmitidos a dicho cuerpo. Con todos estos datos, se puede posteriormente determinar si un material específico, con una forma y dimensiones concretas, resistirá los esfuerzos para los que ha sido diseñado. El estudio de este tema tiene como objetivo el identificar los distintos tipos de esfuerzos mecánicos a los que puede encontrarse sometido un cuerpo, así como la composición y representación de dichos esfuerzos y como influyen en los cuerpos para su posterior dimensionamiento. 2. ESFUERZOS MECÁNICOS Y TIPOS DE TENSIÓN Las tensiones o los esfuerzos son las fuerzas y los momentos que aparecen en el interior de las barras de una pieza o estructura. Existen los siguientes tipos de esfuerzos en una barra: — Esfuerzos axiales de compresión o de tracción: Son aquellos que presentan la misma dirección que la barra. Cuando se hallan presentes se dice que la barra trabaja a compresión o a tracción respectivamente. — Esfuerzos cortantes o de cizalla: Son fuerzas perpendiculares a la dirección de la barra. — Momentos flectores: Están producidos por un par de fuerzas perpendiculares a la dirección de la barra, contenidas en el plano de la barra, del mismo módulo y de sentidos contrarios. Se presentan cuando la barra se halla algo flexionada. — Momentos torsores: Están producidos por un par de fuerzas perpendiculares a la dirección de la barra, contenidas en un plano perpendicular a la barra, del mismo módulo y de sentidos contrarios. Se presentan cuando la barra se halla algo retorcida. Tensión es un concepto que se introduce en Resistencia de Materiales para ayudar a comprender lo que ocurre dentro del material de las piezas que están sometidas a esfuerzos. Se define como Tensión a la fuerza aplicada por unidad de superficie, y sus principales unidades son: -Sistema Técnico S.T. Kp/cm2 -Sistema Internacional S.I. N/m2= Pa (Pascal) Las tensiones pueden ser de 2 tipos: - Normal aplicada en la misma dirección del eje principal o longitudinal de la pieza Se representa por la letra  (sigma) y se origina como consecuencia de los esfuerzos de:  Tracción.  Compresión.  Flexión.  Pandeo. Esfuerzo de Tracción

David González Martínez

Esfuerzo de Compresión

Esfuerzo de Flexión

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Tensiones longitudinales de Tracción 

-

Tensiones longitudinales de Compresión 

Tensiones longitudinales de Tracción y Compresión 

Tangencial: perpendicular a la dirección del eje principal o longitudinal de la pieza. Se representa por la letra  (tau) y se origina como consecuencia de los esfuerzos de:  Cizalladura o Cortadura.  Torsión. Esfuerzo de Cortadura

Tensiones 

Esfuerzo de Torsión

Tensiones 

Las Tensiones , se encuentran contenidas en un plano perpendicular (sección A) al eje longitudinal (o principal) de la pieza. A continuación, se define cada uno de ellos y se exponen diversos ejemplos.

5. COMPOSICIÓN Y REPRESENTACIÓN DE ESFUERZOS. CÁLCULO DE David González Martínez

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ESFUERZOS EN PIEZAS SIMPLES. a) ESFUERZO DE TRACCIÓN a.1. Composición y representación. Consideremos una barra prismática. Se produce tracción simple, cuando la acción resultante de las fuerzas exteriores situadas a un lado de la sección transversal ideal A se reduce a una fuerza N dirigida:  Según el eje longitudinal de la barra prismática, si ésta es recta.  Según la tangente al eje geométrico en el centro de gravedad de A, si el eje es curvo. El sentido de N es el indicado en la figura (sentido divergente) y determina un alargamiento de la barra.

a.2.

Cálculo de Esfuerzos de Tracción.

Las tensiones que se originan en el interior de la pieza, siguen una distribución rectangular donde todas las fibras se reparten el esfuerzo por igual.

N es el valor de la fuerza aplicada (Kp). A es la superficie de la sección transversal (cm2). a.3.

Ensayo de Tracción.

En este ensayo se obtiene información de la carga que es capaz de soportar un material según va deformándose. Si esta carga se sigue incrementando, el material puede llegar, incluso, a romperse. A esta carga se la denomina carga de rotura, por eso a este tipo de ensayos se les llama ensayos destructivos. En el ensayo de tracción, se representa en una gráfica como se relacionan el esfuerzo aplicado (Tensión ) con la deformación producida (Alargamiento unitario ) denominándose Diagrama Esfuerzo-Deformación. ¿Qué es la Tensión? La fuerza N por unidad de sección, recibe el nombre de tensión, esfuerzo unitario o fatiga () David González Martínez

como ya se ha visto anteriormente.

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¿Qué es la Deformación Unitaria? Alargamiento Unitario (), es el alargamiento de la barra por unidad de longitud y se determina por la ecuación:

La relación entre la tensión () y el alargamiento unitario () da una relación completa de las propiedades mecánicas de un material. ¿Cómo se calcula la deformación producida en una pieza sometida a tracción? E  pendiente 

N σ S  N.LO  ΔL ε L.S L0

L 

N.LO S.E

-Diagrama Esfuerzo-Deformación: Identificación de los puntos significativos del diagrama, indicando su significado y sus fases.

Límite de proporcionalidad (P): -Cuando en el Diagrama aparezca esta fase, en ella se cumple la Ley de Hooke. Límite de elasticidad (E): -Es la máxima tracción que se puede producir durante un ensayo de tracción simple de forma que no se produzca deformación permanente cuando se suprima la carga. Punto de Fluencia (F): -Durante la Fluencia, se produce estiramiento sin que haya aumento de la tensión . Resistencia a la Tracción (R): -Es el valor de la tensión en el punto R, máximo de la curva. -Cuando se supera, se produce estricción, un cuello, donde se localiza toda la deformación plástica. Resistencia a la Rotura (U): -Es el valor de la tensión en el punto U.

b) ESFUERZO DE COMPRESIÓN David González Martínez

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b.1.

Composición y representación.

La compresión es una solicitación de esfuerzo longitudinal análoga a la tracción, pero con sentido contrario del esfuerzo. El sentido de N es el indicado en la figura (sentido convergente) y determina un acortamiento de la barra.

b.2.

Cálculo de Esfuerzos de Compresión.

Las tensiones que se originan en el interior de la pieza, siguen una distribución rectangular donde todas las fibras se reparten el esfuerzo por igual.

N es el valor de la fuerza aplicada (Kp). S es la superficie de la sección transversal (cm2). b.3.

¿Cómo se calcula la deformación producida en una pieza sometida a compresión?

E  pendiente 

N σ S  N.LO  ΔL ε L.S L0

L 

N.LO S.E

c) ESFUERZO DE PANDEO David González Martínez

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c.1.

Composición y representación.

En las piezas prismáticas de longitud excesiva con respecto a la dimensión transversal mínima (piezas esbeltas), comprimidas por carga axial, se produce el fenómeno de rotura por pandeo o flexión lateral.

c.2.

Cálculo de Esfuerzos de Pandeo.

N es el valor de la fuerza aplicada (Kp). S es la superficie de la sección transversal (cm2).  es el coeficiente de Pandeo.

-Coeficiente de Pandeo (ω) :

De donde:  Coeficiente b.  l, longitud real de la pieza (cm)  lk, longitud de pandeo (cm).  Se denomina longitud de pandeo lk, de una pieza sometida a un esfuerzo normal de compresión, a la longitud de otra pieza ideal, recta, prismática, biarticulada y cargada en sus extremos, tal que tenga la misma carga crítica que la pieza real considerada.  Ix, momento de inercia referido al eje x centro de gravedad (cm4).  Iy, momento de inercia referido al eje y centro de gravedad (cm4).  ix, iy, radio de giro de la sección bruta de la pieza respecto al eje de inercia considerado (cm).  (l) Esbeltez mecánica. Ix Iy ix 

d) ESFUERZO DE FLEXIÓN David González Martínez

A

iy 

A 7

d.1.

Composición y representación.

Consideremos una barra prismática. Se produce flexión pura, cuando las acciones resultantes de las fuerzas exteriores situadas a ambos lados de una sección transversal ideal A, están aplicadas en la dirección perpendicular de su eje principal (eje longitudinal de una barra prismática) y tienden a hacer curvar la barra respecto al plano XY, produciéndose tracciones y compresiones simultáneas.

d.2.

Cálculo de Esfuerzos de Flexión.

Las tensiones que se originan en el interior de la pieza, siguen una distribución triangular donde valen cero en el centro de gravedad de la pieza (línea neutra) y máxima en los extremos. La tensión en un punto de la sección transversal, de ordenada y respecto a la línea neutra, vale: σ

x



M.y I x

Siendo:  Ix, momento de inercia referido al eje x centro de gravedad (cm4).  y, distancia desde el c.d.g. (fibra neutra) hasta la fibra objeto de estudio (cm).  M, valor del momento flector en la sección considerada (Kg.cm).

¿Qué son y cómo se calculan los Momentos de Inercia?  Momento de Inercia de una superficie plana con respecto a un eje situado en su plano.

Definimos como momento de inercia Ix de una superficie A con respecto al eje X, como: David González Martínez

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2

Ix   y .dA A

4 (cm )

En que cada elemento de área dA, está multiplicado por el cuadrado de su distancia al eje X y la integración se extiende a toda el área de la sección transversal A de la viga. h /2

Ix   y .b .dy  h / 2

2

1 .b .h 3 12

h

Ix´  y .b .dy  0

2

1 .b .h 3 3

Los momentos de inercia están asociados a la resistencia que presenta la viga a soportar los esfuerzos a la que se solicita. A mayor momento de inercia, mayor resistencia ofrece la viga. e) ESFUERZO DE CORTADURA e.1.Composición y representación. Consideremos una barra prismática. Se produce cortadura, cuando la acciones resultantes de las fuerzas exteriores situadas a ambos lados de una sección transversal ideal A, están aplicadas en la dirección perpendicular de su eje longitudinal (eje principal de la barra prismática), sentido contrario y tienden a hacer deslizar una sección respecto a otra en el plano YZ.

e.2.

  



Cálculo de Esfuerzos de Cortadura.

Se admite que en cada tira de altura infinitesimal paralela al eje x-x, la tensión cortante xy, tiene el mismo valor en toda la anchura b de la sección. La actuación de las tensiones xy en una cara del elemento prismático t-t´, va acompañada de tensiones cortantes  complementarias del mismo valor en la cara perpendicular. Es decir, que además de las tensiones cortantes xy en el plano xy de la sección transversal de la viga, existen las tensiones cortantes  en los planos paralelos al plano neutro xz del mismo valor, tensiones  que llamaremos rasantes y serán las que consideraremos. Consideremos una sección rectangular, el valor de la tensión cortante xy en los puntos de la línea t t´, situada a una distancia y de la línea neutra x-x, vale:

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  

Q .Sx b .I x

Siendo: o Q=C, Valor del cortante (Kg) en la sección considerada. o Sx, Momento estático de la superficie rayada respecto al eje x-x (cm3). o b, ancho de la sección (cm). o Ix, momento de inercia referido al eje x (cm4). CORTADURA. Valor de la tensión cortante: Esta fórmula nos da el valor de la tensión rasante  yx y, por tanto, el de su igual  xy, tensión cortante en las distintas tiras infinitesimales paralelas al eje Z. Q.Sx

 

b.Ix

Para examinar cómo varía esta tensión cortante con la distancia y1 al eje neutro x-x, no hay más que considerar la variación de Sx. Sx 

h/2



y1

y.ds 

h/2

h/2

y1

y1

 y.b.dy  b.  y.dy

La tensión cortante  xy, varía parabólicamente con y1, en la sección rectangular. La máxima  xy, se produce en el eje neutro x-x y es aprox. un 50% mayor que la tensión media  med. med 

Q

A

e) ESFUERZO DE TORSIÓN David González Martínez

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d.3.

Composición y representación.

Un cuerpo se encuentra solicitado a torsión simple, cuando las acciones resultantes de las fuerzas exteriores que actúan sobre él, determinan dos pares de fuerzas opuestas e iguales en módulo, contenidas en planos perpendiculares al eje geométrico de la pieza, los cuales tienden a hacer girar una sección transversal respecto a la otra.

d.4.

Cálculo de Esfuerzos de Torsión.

Las tensiones que se originan en el interior de la pieza, siguen una distribución triangular donde valen cero en el centro y máxima en los extremos. La tensión cortante en un punto situado a una distancia r del centro vale:

Siendo:  Ip, momento de inercia polar referido al centro del árbol o eje (cm4).  r, distancia desde el centro hasta la fibra objeto de estudio (cm).  Mt, valor del momento torsor en la sección considerada (Kg.cm). ¿Cómo se calculan los Momentos de Inercia Polar?  Es el momento de Inercia de una superficie plana respecto de un eje perpendicular al plano de la figura.

6.-CRITERIOS DE FLUENCIA David González Martínez

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En los distintos procesos, la deformación ocurre en un material sujeto a una tensión de tracción a lo largo de su eje cuando esta excede a la tensión de fluencia. El establecimiento de un criterio de fluencia se basa en las siguientes suposiciones y observaciones empíricas: -

Los metales son homogéneos, continuos e isótropos (tienen las mismas propiedades en todas direcciones). Los metales tienen la misma tensión de fluencia para compresión y tracción. Una presión hidrostática superpuesta no influye en la iniciación de la fluencia.

6.1 Criterio de fluencia de Tresca Tresca propuso su criterio diciendo que el flujo plástico ocurre cuando la tensión cortante máxima excede de un valor crítico. Ya que la tensión cortante máxima es igual a un medio de la diferencia entre la mayor y la menor tensión principal, el criterio puede ser expresado por:

 3  máx  1  cte  K 2 ya que la ecuación es aplicable a todos los estados tensionales, la constante se puede encontrar, por ejemplo, considerando la tensión de fluencia en tracción uniaxial. En este caso, el estado tensional en fluencia estará dado por 1=0, 2=3=0, quedando:

1   3  0  2 2 siendo:  K 0 2 El criterio de Tresca puede ser expresado así:  máx 

1   3



0

6.1 Criterio de fluencia de Von Mises Estableció que la fluencia ocurre cuando el trabajo de deformación por unidad de volumen realizado por el sistema de tensiones excede de un valor crítico para el material, lo cual puede ser expresado como:

 1   3  2   2   3  2   1   2  2  K

Ya que la constante es la misma para todos los sistemas de tensiones, la tensión simple puede ser usada para determinar K. La tracción uniaxial es 1=0, 2=3=0, quedando:

 1   1  2 0  K 2

Quedando:

2

2

 1   3  2   2   3  2   1   2  2  2 0 2 Cuando una pieza esté sometida simultáneamente a esfuerzos longitudinales (tensiones ) y esfuerzos transversales (tensiones ), es necesario sumar esfuerzos de distinta naturaleza David González Martínez

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y compararlos con la resistencia del material para saber si la pieza objeto de estudio aguantará las solicitaciones a las que se encuentra, para ello, se utiliza la comprobación a resistencia (Criterio de Von Misses). siendo:

    3  2   2   3  2   1   2  2      1  2  

1

2

'

σ   x 2  3. xy 2   0 '

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