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TEMA XI: Flexión esviada y compuesta 1. Introducción. Hasta ahora hemos considerado que el momento flector en una sección del prisma mecánico tenía la dirección coincidente con uno de los ejes principales de inercia de la misma. En este tema estudiaremos el caso de una solicitación exterior que produce en una sección recta un momento contenido en su plano, pero cuya dirección no coincide con ninguno de los dos ejes principales de inercia. Si además el esfuerzo normal es nulo, diremos que el prisma mecánico está sometido a flexión esviada. Cuando el esfuerzo normal no es nulo y existe además un momento flector, diremos que el prisma trabaja a flexión compuesta. Consideraremos que los signos de los momentos 𝑴𝒚 y 𝑴𝒛 son los que le corresponden según los ejes Y,Z adoptados, que son coincidentes con los ejes principales de inercia de la sección.

2. Flexión esviada. Eje neutro. Consideremos una viga simplemente apoyada respecto a los dos ejes principales de inercia, ��⃗𝑭 el momento cargada en un plano que no contiene a ninguno de los dichos ejes principales. Sea �𝑴 flector en una sección de coordenada x y 𝑴𝒚 y 𝑴𝒛 sus componentes respecto de los ejes principales ���⃗𝑭 GY y GZ respectivamente. El plano de caga forma un ángulo 𝜽 con el eje Y, por lo que el vector 𝑴 forma ese mismo ángulo con el eje Z. Calculemos el valor de la tensión normal 𝝈 en un punto 𝑷(𝒚, 𝒛) de la sección por aplicación del principio de superposición, sumando los valores correspondientes a cada una de las componentes del momento flector, calculados mediante la ley de Navier.

Así, la tensión normal 𝜎′ debida a la componente 𝑀𝑧 es 𝜎′ = −

𝑀𝑧 𝑦 𝐼𝑧

mientras que la expresión de la tensión 𝜎′′ debida a la componente 𝑀𝑦 es 𝜎′′ =

𝑀𝑦 𝑧 𝐼𝑦

Luego la expresión de la tensión normal total será 𝜎 = 𝜎 ′ + 𝜎 ′′ = −

𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝑦+ 𝑧 𝐼𝑧 𝐼𝑦

El eje neutro de la sección corresponde al lugar geométrico de todos los puntos de la sección donde la tensión normal es nula. Por lo tanto, divide a la sección en dos zonas, una traccionada y otra comprimida. Su ecuación: −

𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝑦+ 𝑧=0 𝐼𝑧 𝐼𝑦

corresponde a una recta que pasa por el baricentro de la sección. De esta ecuación se desprende que el eje neutro no coincide con la línea de acción del momento flector, ya que despejando la variable y en ella, se tiene,

Como en la forma

𝑀𝑦 𝑀𝑧

𝑦=

𝐼𝑧 𝑀𝑦 𝑧 𝐼𝑦 𝑀𝑧

𝑦=�

𝐼𝑧 tg 𝜃� 𝑧 𝐼𝑦

=tg 𝜃, la ecuación del eje neutro se puede poner

de donde se deduce que el eje neutro forma con el eje Z un ángulo 𝝋 tal que tg 𝜑 =

𝐼𝑧 tg 𝜃 𝐼𝑦

El eje neutro, salvo en el caso de que se verifique que 𝑰𝒛 = 𝑰𝒚 no coincide con la línea de acción del momento flector, sino que está situado entre la línea de acción del momento flector y el eje principal que corresponde al momento de inercia mínimo, también llamado eje débil. La tensión normal en un punto 𝑷(𝒚, 𝒛) se puede expresar en función de la distancia d al eje neutro. 𝑑=

�−

𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝑦+ 𝑧� 𝐼𝑧 𝐼𝑦

2 𝑀 2 ��𝑀𝑧 � + � 𝑦 � 𝐼𝑧 𝐼𝑦

El numerador es el valor de la tensión en el punto P, por lo que podemos deducir que |𝜎| = 𝑘𝑑

donde

2

𝑀𝑦 𝑀𝑧 2 𝑘 = �� � + � � 𝐼𝑧 𝐼𝑦

En resumen, la tensión normal es una función lineal de la distancia al eje neutro, por lo que los puntos de la sección sometidos a la tensión normal máxima son los más alejados del eje neutro. Para la distribución de tensiones tangenciales, �⃗(𝑽𝒚 , 𝑽𝒛 ) podemos admitir que debidas al esfuerzo cortante 𝑽 cada una de sus componentes se rige, de modo aproximado, por la fórmula de Collignon. Así pues 𝜏𝑥𝑦 =

𝑉𝑦 𝑚𝑧 𝑏𝐼𝑧

;

𝜏𝑥𝑧 =

𝑉𝑧 𝑚𝑦 𝑐𝐼𝑦

𝒎𝒛 : Momento estático de la sección situada por encima de las fibras de coordenadas (𝒚, 𝒛) del punto considerado.

𝒎𝒚 : Momento estático de la sección situada a la izquierda de las fibras de coordenadas (𝒚, 𝒛) del punto considerado 𝒃: Anchura de la fibra que pasa por el punto P

𝒄: Altura de la fibra que pasa por el punto P

3. Deformación producida en flexión esviada.

La energía de deformación de un prisma sometido a flexión esviada viene definido por la expresión 𝒯=�

𝑙

0

𝑙 𝑙 𝑉2 𝑙 𝑀𝑦2 𝑉𝑧2 𝑀𝑧2 𝑦 𝑑𝑥 + � 𝑑𝑥 + � 𝑑𝑥 + � 𝑑𝑥 2𝐸𝐼𝑦 0 2𝐸𝐼𝑧 0 2𝐺A1𝑦 0 2𝐺A1𝑧

En los casos en los que se puede considerar la flexión esviada como superposición de dos flexiones simples, resulta más fácil componer vectorialmente los desplazamientos 𝜹𝒚 , 𝜹𝒛 , en las direcciones de los respectivos ejes a que cada una de ellas daría lugar actuando independientemente de la otra. Por tanto el desplazamiento total de la sección será 𝛿 = �𝛿𝑦2 + 𝛿𝑧2

4. Flexión compuesta o tracción/compresión excéntrica. Centro de presiones. Un prisma mecánico está sometido a flexión compuesta cuando el sistema de fuerzas que actúa sobre él, situado a un lado de la sección se reduce en su baricentro a un momento flector y a un esfuerzo normal. Si 𝑴𝒚 , 𝑴𝒛 son las componentes del momento flector y N es el esfuerzo normal, la tensión normal en un punto P(y,z) en virtud del principio de superposición será: 𝜎=

𝑀𝑦 𝑁 𝑀𝑧 − 𝑦+ 𝑧 A 𝐼𝑧 𝐼𝑦

Cuando el esfuerzo normal es de compresión, el valor de 𝑵 es negativo. Sin embargo, esta expresión no tiene en cuenta la inestabilidad que se presenta en barras esbeltas ante esfuerzos de compresión. Este fenómeno será tratado en el tema XIII. El eje neutro, lugar geométrico de los puntos de tensión normal nula, tendrá por ecuación: 𝑀𝑦 𝑁 𝑀𝑧 − 𝑦+ 𝑧=0 𝐼𝑧 𝐼𝑦 A

que representa una recta que no pasa por el baricentro.

Cuando sobre la sección recta de un prisma mecánico actúa solamente una carga N paralela a su eje pero aplicada en un punto C que no coincide con el baricentro, diremos que el prisma está sometido a una tracción o compresión excéntrica. El efecto producido por tal solicitación es equivalente a una flexión compuesta.

��⃗ aplicada en el punto 𝑪(𝒆𝒚 , 𝒆𝒛 ) llamado centro de Así pues, dada una carga normal 𝑵 ��⃗ aplicada en el baricentro más un momento flector de presiones, equivale a una fuerza normal 𝑵 componentes

𝑀𝑦 = 𝑁 · 𝑒𝑧

;

𝑀𝑧 = −𝑁 · 𝑒𝑦

Así pues, sustituyendo en la ecuación del eje neutro

𝑒𝑧 1 𝑒𝑦 + 𝑦+ 𝑧=0 𝐼𝑦 A 𝐼𝑧

que expresado en función de los radios de giro de la sección 𝑒𝑦 𝑒𝑧 1+ 2𝑦+ 2𝑧 =0 𝑖𝑧 𝑖𝑦

De esta ecuación se deduce que la posición del eje neutro no depende de la magnitud de la carga normal N aplicada. Si el centro de presiones está situado sobre uno de los ejes principales de inercia de la sección, de la ecuación anterior se desprende que el eje neutro correspondiente es perpendicular a ese eje principal. 𝑒𝑦 = 0 𝑒𝑧 = 0

⟹

⟹

el eje neutro es

el eje neutro es

𝑖𝑦2 𝑒𝑧 𝑖𝑧2 𝑦=− 𝑒𝑦 𝑧=−

Igualmente, conocidas las componentes del centro de presiones se puede calcular los puntos de intersección del eje neutro con los ejes Y,Z

1+

⎧𝑦 = 0 ⎪

𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑦+ 2𝑧=0 2 𝑖𝑧 𝑖𝑦 ⎨ ⎪𝑧 = 0 ⎩

𝑖𝑦2 𝑒𝑧 𝑖𝑧2 𝑦𝑛 = − 𝑒𝑦 𝑧𝑛 = −

Del mismo modo, toda flexión compuesta es equivalente a un esfuerzo normal excéntrico, es decir, a una fuerza de tracción o compresión aplicada en un punto no coincidente con el baricentro, al que hemos llamado centro de presiones. Así, dado una flexión compuesta con un esfuerzo normal 𝑵 y un momento flector �𝑴 ��⃗𝑭 (𝑴𝒚 , 𝑴𝒛 ), las componentes del centro de presiones son 𝑒𝑦 = −

𝑀𝑧 𝑁

; 𝑒𝑧 =

𝑀𝑦 𝑁

5. Eje neutro y núcleo central en flexión compuesta. Se denomina núcleo central al lugar geométrico de todos los centros de presiones de una sección que hacen que el eje neutro no corte a la sección. Al no cortar el eje neutro la sección nos aseguramos que toda la sección trabaja bien a tracción o bien a compresión. Para definir el núcleo central nos basta calcular su frontera, formada por todos los centros de presiones que hacen que el eje neutro sea tangente a sección. Para la obtención de dicha frontera utilizaremos una propiedad de la tracción o compresión excéntrica. Supongamos que el centro de presiones se desplaza a lo largo de una recta que corta a los ejes principales en los puntos 𝑪𝟏 y 𝑪𝟐 . Por el principio de superposición, el efecto producido por el esfuerzo normal N aplicado en el centro de presiones C es equivalente a la acción de dos esfuerzos normales 𝑵𝟏 y 𝑵𝟐 aplicados en 𝑪𝟏 y 𝑪𝟐 . tales que

𝑁1 = 𝑁

����2 𝐶𝐶 ����� 𝐶1 𝐶2

;

𝑁2 = 𝑁

����1 𝐶𝐶 ����� 𝐶1 𝐶2

Los ejes neutros correspondientes a ambos esfuerzos excéntricos son: Para 𝑁1

𝑒𝑦 = 0

⟹

el eje neutro 1 es

𝑧=−

Para 𝑁2

𝑒𝑧 = 0

⟹

el eje neutro 2 es

𝑦=−

𝑖𝑦2 𝑖𝑦2 =− ����1 𝑒𝑧 𝐺𝐶

𝑖𝑧2 𝑖𝑧2 =− ���� 𝑒𝑦 𝐺𝐶2

que se cortan en el punto C’ cuyas coordenadas son: 𝑦𝐶 ′ = −

𝑖𝑧2 ����2 𝐺𝐶

;

𝑧𝐶 ′ = −

𝑖𝑦2 ����1 𝐺𝐶

que son constantes y por lo tanto, independientes de la posición del punto C sobre la recta considerada. Conclusión: Si e.n.1 es el eje neutro correspondiente al centro de presiones 𝑪𝟏 y e.n.2 es el eje neutro correspondiente al centro de presiones 𝑪2 , los ejes neutros de todos los centros de presiones del segmento 𝑪𝟏 y 𝑪2 pasan por el punto de intersección de e.n.1 con e.n.2. a) Sección rectangular

El núcleo central de la sección es un rombo cuyos vértices ABA’B’ son los centros de presiones asociados a los cuatro ejes neutros que coinciden con los lados del rectángulo 𝑖𝑧2 =

𝑏ℎ3 ℎ2 = 12𝑏ℎ 12

h 𝑦𝑛 = 2 e.n.MN � e.n.NQ �

𝑧𝑛 = ∞

𝑦𝑛 = ∞

b 𝑧𝑛 = − 2

⟹

⟹

⟹

⟹

h ⟹ e.n.PQ � 2 𝑧𝑛 = ∞ ⟹ 𝑦𝑛 = −

e.n.MP �

𝑦𝑛 = ∞ 𝑧𝑛 =

b 2

⟹

⟹

; 𝑖𝑦2 =

𝑒𝑦 = − 𝑒𝑧 = 0

ℎ𝑏 3 𝑏2 = 12𝑏ℎ 12

𝑖𝑧2 ℎ = 𝑦𝑛 6� ⟹Punto 𝑨′

𝑒𝑦 = 0

𝑖𝑦2 b� ⟹Punto B 𝑒𝑧 = − = 𝑧𝑛 6

𝑒𝑦 = −

𝑒𝑧 = 0

𝑒𝑦 = 0

𝑒𝑧 = −

𝑖𝑧2 ℎ =− 6� ⟹Punto A 𝑦𝑛

𝑖𝑦2 b� ⟹Punto B' =− 6 𝑧𝑛

b) Sección en H La familia de rectas tangentes a la sección en H es idéntica a la de sección rectangular. Por consiguiente el núcleo central será también un rombo, si bien las longitudes de las diagonales se obtendrán 𝐴𝐴′ = 𝐵𝐵 =

4𝑖𝑧2 ℎ

4𝑖𝑦2 𝑏

c) Sección circular El núcleo central de una sección circular de radio R es un círculo de radio 𝑹�𝟒. 𝜋𝑅 4 𝑅2 𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 = 2 2 4 � ⟹ 𝑖𝑧 = 𝑖𝑦 = 4 𝐴 = 𝜋𝑅 2 𝑧𝑛 = 𝑅 ⟹ 𝑒𝑧 = −

𝑦𝑛 = 𝑅 ⟹ 𝑒𝑦 = −

𝑖𝑦2 𝑅 = 𝑧𝑛 4

𝑖𝑧2 𝑅 = 𝑦𝑛 4

Ejemplo 1: Calcular el núcleo central de la sección de la figura. Las cotas están expresadas en cm. En primer lugar calculamos el área y la posición del baricentro.

𝑦𝐺 =

240 · 40 · 20 + 60 · 90 · 85 + 120 · 30 · 145 = 63,065 cm 𝐴

sección 𝐼𝑧 =

𝐴 = 240 · 40 + 60 · 90 + 120 · 30 = 18600 cm2

A continuación hayamos los radios de giro de la

240 · 403 60 · 903 120 · 303 + 240 · 40 · 43,0652 + + 60 · 90 · 21,9352 + + 120 · 30 · 81,9352 12 12 12

𝐼𝑦 =

𝐼𝑧 = 49,765 · 106 cm4 ⟹ 𝑖𝑧2 = 2675,6 cm2

40 · 2403 + 90 · 603 + 30 · 1203 = 52,02 · 106 𝑐𝑚4 ⟹ 𝑖𝑦2 = 2796,8 cm2 12

𝑒. 𝑛. 1 � 𝑒. 𝑛. 2

⟹

𝑧𝑛 = −120

𝑒𝑦 = 0

⟹

⎧𝑦 = 216,9246 ⎪ 𝑛

⎨ ⎪𝑧𝑛 = −108,4623 ⎩

𝑒. 𝑛. 3 � 𝑒. 𝑛. 4

𝑦𝑛 = ∞

𝑦𝑛 = 96,935 𝑧𝑛 = ∞

⎧𝑦 = 216,9246 ⎪ 𝑛

⟹

⟹

⟹

⟹

⟹

𝑒𝑧 = −

𝑖𝑦2 � ⟹Punto 1 = 23,307 cm 𝑧𝑛

𝑒𝑦 = −

𝑖𝑧2 = −27,602 cm � ⟹Punto 3 𝑦𝑛

𝑖𝑧2 = −12,334 cm⎫ ⎪ 𝑦𝑛 ⟹Punto 2 2 𝑖𝑦 ⎬ 𝑒𝑧 = − = 25,786 cm ⎪ 𝑧𝑛 ⎭

𝑒𝑦 = −

𝑒𝑧 = 0

𝑖𝑧2 = −12,334 cm⎫ ⎪ 𝑦𝑛 ⟹Punto 4 𝑖𝑦2 ⎬ 𝑒𝑧 = − = −25,786 cm ⎪ 𝑧𝑛 ⎭ 𝑒𝑦 = −

⎨ ⎪𝑧𝑛 = 108,4623 ⟹ ⎩ 𝑦𝑛 = ∞ ⟹ 𝑒𝑦 = 0

𝑒. 𝑛. 5 � 𝑧𝑛 = 120 𝑒. 𝑛. 6 �

⟹

𝑦𝑛 = −63,065

𝑧𝑛 = ∞

𝑒𝑧 = −

⟹

⟹

𝑖𝑦2 � ⟹Punto 5 = −23,307 cm 𝑧𝑛

𝑒𝑦 = −

𝑒𝑧 = 0

𝑖𝑧2 = 42,426 cm � ⟹Punto 6 𝑦𝑛

Ejemplo 2: Un columna de 1 m de altura está formada por dos perfiles UPN-180 de acero S275JR. Sobre esta actúa una carga vertical de compresión P=100 kN en el punto C indicado en la figura. a) Indicar si el punto de aplicación pertenece al núcleo central de la sección. b) Indicar los puntos sometidos a mayor tensión indicando el valor de esta. a) A partir de los datos del perfil UPN.180 se obtienen los del perfil 2UPN-180 de la figura. A = 28 cm2 ⎧ 𝐼 = 1350 cm4 UPN-180 → 𝑧 4 ⎨𝐼𝑦 = 114 cm ⎩𝑐 = 1,92 cm

𝐼𝑧 ⎧ ⎧ ⎪A = 2 · 28 = 56 cm2 ⎪𝑖𝑧 = � A = 6,944 cm �→ 2UPN-180 → 𝐼𝑧 = 1350 · 2 = 2700 cm4 ⎨𝐼 = 2(114 + 28 · 1,922 ) = 434,4 cm4 ⎨ 𝐼 ⎪𝑦 ⎪𝑖𝑦 = � 𝑦 = 2,785 cm A ⎩ ⎩

Así pues, el eje neutro correspondiente al centro de presiones C es

Punto C

⎧𝑒𝑦 = 4,5 cm ⎪

⎨ ⎪𝑒𝑧 = −3,5 cm ⎩

𝑖𝑧2 = −10,714 cm 𝑒𝑦 𝑖𝑦2 𝑧𝑛 = − = 2,217 cm 𝑒𝑧

⟹

𝑦𝑛 = −

⟹

Así pues, la ecuación general de la recta del eje neutro es 𝑧 𝑦 + −1=0 𝑦𝑛 𝑧𝑛

−0,0933𝑦 + 0,4512𝑧 − 1 = 0

Como el eje neutro corta a la sección, el punto C está fuera del núcleo central b) Los puntos situados a la derecha del eje neutro presentan una tensión normal negativa (compresión), mientras que los situados a la izquierda tienen una tensión normal positiva (tracción). Los puntos de la sección donde la tensión normal es máxima son los más distantes del eje neutro, que son los puntos A (máxima compresión) y B (máxima tracción) Partiendo de la expresión de la tensión normal del capítulo 4 𝜎=

𝑀𝑦 𝑁 𝑀𝑧 − 𝑦+ 𝑧 𝐼𝑦 A 𝐼𝑧

y como 𝑀𝑦 = 𝑁 · 𝑒𝑧 y 𝑀𝑧 = −𝑁 · 𝑒𝑦 , se deduce que

𝑒𝑦 𝑦 1 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑁 𝑒𝑧 𝑁 𝑧 𝜎 = 𝑁 � + 𝑦 + 𝑧� = �1 + 2 𝑦 + 2 𝑦� = �1 − − � 𝑦𝑛 𝑧𝑛 A 𝐼𝑧 A A 𝐼𝑦 𝑖𝑧 𝑖𝑦

Por lo tanto, la tensión en el punto A(9,-7) es

𝜎𝐴 =

(−7) 𝑃 −100 9 𝑦𝐴 𝑧𝐴 �1 − − � = �1 − − � = −8,92 kN/cm2 (−10,714) 2,217 𝐴 56 𝑦𝑛 𝑧𝑛

y en el punto B(-9,7) es 𝜎𝐵 =

(−9) 𝑃 −100 7 𝑦𝐵 𝑧𝐵 �1 − − �= �1 − − � = 5,35 kN/cm2 (−10,714) 2,217 𝐴 56 𝑦𝑛 𝑧𝑛

Como los valores de tensión calculados son inferiores al límite elástico 𝑓𝑦 , no se ha alcanzado el agotamiento elástico en la sección. Ejemplo 3: La figura representa la sección de una pilastra atravesada por un bajante de diámetro 15 cm. Se pide: a) Calcular el núcleo central de la sección. b) Supuesta en D una carga de compresión NEd=400 kN, calcular la tensiones máximas de tracción y compresión en la sección. a) Las características geométricas de la sección

son:

1 𝜋𝑟 4 1 𝜋 · 7,54 ℎ𝑏 3 − = · 40 · 1003 − = 3.330.848 cm4 ⎫ 12 12 4 4 ⎪ 𝑖𝑦 = 29,516 cm 4 4 ⇒� 1 𝜋𝑟 1 𝜋 · 7,5 3 3 4 𝑖𝑧 = 11,783 cm 𝐼𝑧 = 𝑏ℎ − = · 100 · 40 − = 530.848 cm ⎬ 12 12 4 4 ⎪ ⎭ A = 𝑏ℎ − 𝜋𝑟 2 = 100 · 40 − 𝜋 · 7,52 = 3.823,3 cm2

𝐼𝑦 =

A partir de los cuatro ejes tangentes a la sección que coinciden con los cuatro lados de la misma, se obtienen los cuatro vértices del núcleo central e.n. MN �

𝑦𝑛 = 20 𝑧𝑛 = ∞

𝑦𝑛 = ∞

e.n. MP � 𝑧𝑛 = 50 e.n. PQ �

⟹

⟹

⟹

⟹

𝑦𝑛 = −20

𝑧𝑛 = ∞

𝑒𝑦 = −

𝑒𝑧 = 0

𝑒𝑦 = 0

𝑖𝑧2 = −6,94 cm � ⟹Punto A' 𝑦𝑛

𝑖𝑦2 � ⟹Punto B' 𝑒𝑧 = − = −17,42 cm 𝑧𝑛

⟹

⟹

𝑒𝑦 = − 𝑒𝑧 = 0

𝑖𝑧2 = 6,94 cm � ⟹Punto A 𝑦𝑛

e.n. QN �

𝑦𝑛 = ∞

𝑧𝑛 = −50

⟹

⟹

𝑒𝑦 = 0

𝑒𝑧 = −

𝑖𝑦2 � ⟹Punto B = 17,42 cm 𝑧𝑛

b) El punto D está fuera del núcleo central, por lo que el eje neutro de este centro de presiones cortará a la sección. Así pues, parte de la sección tendrá una tensión normal positiva y el resto negativa. El eje neutro correspondiente al centro de presiones D viene representado por la recta:

Punto D

⎧𝑒𝑦 = 0 cm ⎪

⟹

𝑖𝑧2 =∞ 𝑒𝑦 𝑖𝑦2 𝑧𝑛 = − = 29,04 cm 𝑒𝑧

𝑦𝑛 = −

⎨ ⎪𝑒𝑧 = −30 cm ⟹ ⎩ 𝑧 𝑦 + −1=0 𝑦𝑛 𝑧𝑛 𝑧 = 29,04

Los puntos situados a la derecha del eje neutro presentan una tensión normal negativa (compresión), mientras que los situados a la izquierda tienen una tensión normal positiva (tracción). Los puntos de la sección donde la tensión normal es máxima son los más distantes del eje neutro, que son los puntos del lado NQ (máxima compresión) y del lado MP (máxima tracción) 𝜎𝑁𝑄 =

(−400) (−50) 𝑦𝑁𝑄 𝑧𝑁𝑄 𝑁 �1 − �= − �1 − 0 − � = −0,285 kN/cm2 A 𝑦𝑛 𝑧𝑛 3.823,3 29,04

𝜎𝑀𝑃 =

(−400) 𝑁 50 𝑦𝑀𝑃 𝑧𝑀𝑃 �1 − �= �1 − 0 − � = 0,0755 kN/cm2 − 29,04 A 𝑦𝑛 𝑧𝑛 3.823,3