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“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page i — #1 i

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Relatividad especial: problemas selectos Juan Manuel Tejeiro Sarmiento Profesor Titular Observatorio Astron´omico Nacional Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia 2009

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´Indice general 1. Introducci´ on

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2. Cinem´ atica relativista 2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Transformaciones de Lorentz . . . . 2.1.2. Estructura causal del espacio-tiempo 2.1.3. Cinem´atica . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Problemas b´ asicos de cinem´ atica . . . . . . 2.3. Problemas avanzados . . . . . . . . . . . . .

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6 6 6 8 9 9 19

3. Efecto Doppler 24 3.0.1. Cuadrivector de onda . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1. Problemas sobre el efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . 26 4. Din´ amica relativista 4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Postulados de la din´ amica relativista 4.2.1. Sistema centro de masa . . . 4.2.2. Fotones y estructura at´omica 4.3. Problemas de din´ amica relativista .

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5. Tensores 5.1. Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.1.1. Algebra y propiedades de simetr´ıa de tensores 5.2. Transformaci´on general de coordenadas . . . . . . . 5.2.1. Operadores vectoriales . . 5.3. Problemas de ´ algebra tensorial . . . . . . . . . . . .

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28 28 28 31 32 35

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41 41 45 47 48 49

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´INDICE GENERAL

6. Electrodin´ amica 6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . 6.2. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . 6.3. Ecuaciones de Maxwell covariantes 6.4. Transformaciones Gauge . . . . . . 6.5. Problemas de electrodin´ amica . . .

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55 55 56 58 60 62

7. Cinem´ atica relativista 68 7.1. Soluciones de problemas de cinem´ atica . . . . . . . . . . . 68 7.2. Soluciones de problemas avanzados . . . . . . . . . . . . . 114 8. Efecto Doppler 129 8.1. Soluciones de problemas del efecto Doppler . . . . . . . . 129 9. Din´ amica relativista 140 9.1. Soluciones de problemas sobre din´ amica . . . . . . . . . . 140 10.Tensores 175 10.1. Soluciones de problemas ´algebra tensorial . . . . . . . . . 175 11.Electrodin´ amica 198 11.1. Soluciones de problemas electrodin´ amica . . . . . . . . . . 198

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Prefacio En los diferentes curr´ıculos de las carreras de f´ısica y de algunas ingenier´ıas la teor´ıa de la relatividad se introduce a trav´es de un curso dedicado a este tema, o haciendo parte de otros cursos, como los de introducci´ on a f´ısica moderna. La ubicaci´ on de estos cursos en los planes de estudio var´ıa tambi´en entre los diferentes programas. Por esta raz´ on, en la literatura especializada sobre la teor´ıa especial de la relatividad, nos encontramos con una gran variedad de textos y libros, con diferentes enfoques y diferentes niveles de profundidad y complejidad. Textos como el de R. Resnick “Introducci´ on a la teor´ıa especial de la relatividad” [9] o el de R. Skinner “Relativity for Scientists and Engineers” [10] desarrollan la teor´ıa en forma sencilla e intuitiva y con un lenguaje matem´ atico elemental, asumiendo que el lector posee conocimientos b´ asicos de mec´ anica y electromagnetismo. Otros textos m´ as avanzados, como el de French [3], si bien asumen del lector una formaci´ on similar a la de los anteriores, profundizan mucho m´ as en diferentes temas y aplicaciones, con ejemplos y ejercicios un poco m´ as complejos. En la carrera de F´ısica en la Universidad Nacional de Colombia (sede Bogot´a) el curso de relatividad, el cual he venido dictando desde hace varios a˜ nos y para el que escrib´ı un texto [1], se ubica en el quinto semestre del programa, lo que permite profundizar un poco m´ as en el tema, aprovechando herramientas matem´ aticas m´ as complejas como los cuadrivectores y tensores. Una estrategia fundamental para los cursos b´ asicos de formaci´on es el desarrollo de ejemplos y problemas que le permitan al estudiante consolidar los conocimientos te´ oricos y adquirir habilidades para el enfrentamiento de nuevos problemas. El presente libro se dedica a problemas en relatividad y sus soluciones y puede utilizarse como texto para un curso de relatividad especial o como complemento al texto del autor [1].

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Cap´ıtulo 1

Introducci´ on La Teor´ıa Especial de la Relatividad es uno de los pilares fundamentales de la f´ısica, pues est´ a basada sobre los postulados del principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo y un conjunto de suposiciones generales del espacio, homogeneidad, isotrop´ıa y estructura euclidiana, y del tiempo, homogeneidad e isotrop´ıa. Esto implica que la teor´ıa especial de la relatividad se constituye en el marco esencial para describir las interacciones fundamentales, electromagn´etica, fuerte, d´ebil y gravitacional, que rigen todos los fen´ omenos f´ısicos conocidos hasta el presente. Las ecuaciones de Maxwell, junto con la ecuaci´ on de fuerza de Lorentz, describen los fen´omenos relacionados con la interacci´ on electromagn´etica. En 1861 Maxwell completa las leyes del electromagnetismo y predice la existencia de las ondas electromagn´eticas, cuya velocidad de propagaci´on, sin referencia a ning´ un observador espec´ıfico, depende solo de dos constantes fundamentales: ǫ0 la permitividad el´ectrica del vac´ıo y µ0 la permitividad magn´etica del vac´ıo. Este resultado implicaba que las ecuaciones de Maxwell no permanec´ıan invariantes bajo transformaciones de Galileo, y por lo tanto las leyes del electromagnetismo eran v´alidas solo en un sistema de referencia inercial, identificando este sistema privilegiado con el espacio absoluto. Sin embargo, los experimentos dise˜ nados para medir velocidades absolutas no arrojaron resultados positivos. La soluci´ on a las contradicciones que se presentaban entre los principios de la electrodin´ amica (ecuaciones de Maxwell) y las leyes de Newton fue dada por Albert Einstein en 1905, y publicada en sus dos famosos art´ıculos, donde se establecen los fundamentos de la teor´ıa especial de 1 i

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´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

la relatividad: “Sobre la electrodin´amica de los cuerpos en movimiento” y “¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energ´ıa?” Las leyes del electromagnetismo, descritas por las ecuaciones de Maxwell, satisfacen los principios de la teor´ıa especial de la relatividad y por esta raz´ on no requirieron de ninguna modificaci´ on con el surgimiento de la relatividad, pero s´ı, definitivamente, incidieron sobre la comprensi´on y alcance de la teor´ıa electromagn´etica de Maxwell. Las interacciones fuerte y d´ebil describen las fuerzas que act´ uan entre ciertas part´ıculas fundamentales y son las responsables (junto con las fuerzas electromagn´eticas) de procesos que suceden a escalas nucleares y su din´ amica est´ a descrita por la teor´ıa cu´ antica de campos, la cual se basa en la mec´ anica cu´ antica relativista formulada por Dirac en 1928. La interacci´ on gravitacional, descrita inicialmente por la ley de gravitaci´on universal de Newton, es una fuerza que act´ ua entre todos los cuerpos en forma universal, dependiente solamente de sus masas y no de la naturaleza o constituci´on de los cuerpos. Es importante aclarar que en f´ısica el t´ermino masa tiene dos significados diferentes: el primero se refiere a la masa inercial de un cuerpo y el segundo a su masa gravitacional. Galileo formul´ o el principio conocido como “la ley de ca´ıda de los cuerpos”, el cual establece que, sobre la tierra y en ausencia de rozamiento, todos los cuerpos, independientemente de su naturaleza, caen con la misma aceleraci´ on. Este hecho, conocido hoy como el principio de equivalencia, implica que la relaci´ on entre la masa gravitacional y la masa inercial de un cuerpo es una constante universal, la cual puede ser elegida como la unidad. Esta elecci´on implica que las masas gravitacional e inercial de un cuerpo se miden en las mismas unidades. En 1916 Einstein formula la teor´ıa general de la relatividad, como una necesidad de modificar la ley de gravitaci´on universal de Newton, pues esta ley implica que la fuerza gravitacional act´ ua en forma instant´anea, violando as´ı el principio de la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo. Para desarrollar esta nueva formulaci´ on de la gravitaci´on se hizo necesario generalizar el principio de relatividad y levantar la hip´ otesis euclidiana del espacio. En este contexto la teor´ıa de la relatividad es una teor´ıa fundamental del espacio-tiempo, y por lo tanto la formaci´on en relatividad constituye hoy d´ıa una necesidad, no solo para los profesionales en f´ısica, sino tambi´en para otras ´ areas de las ciencias b´ asicas y aplicadas, como las ingenier´ıas y las ciencias del espacio, donde, por ejemplo, el sistema geogr´ afico de posicionamiento global (GPS) est´ a fundamentado en la teor´ıa

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3 de la relatividad. Cada cap´ıtulo se inicia con un resumen de los principales resultados de la teor´ıa, los cuales son necesarios para el desarrollo de los problemas, y es por esta raz´ on que el libro es autocontenido. Los problemas est´ an dise˜ nados para consolidar la teor´ıa, adquirir habilidades y profundizar en la teor´ıa y sus aplicaciones, ofreciendo en muchos de ellos varias alternativas de soluci´ on, discusiones adicionales y su relaci´ on con otros campos de la f´ısica o la matem´ atica, como la astronom´ıa y la teor´ıa de grupos, sin que sea necesario que el estudiante est´e familiarizado con estos temas. En este texto utilizaremos la convenci´ on (+, −, −, −) para la m´etrica minkowskiana y la convenci´ on de suma de Einstein, donde los ´ındices griegos van de 0 a 3 y los latinos de 1 a 3, los cuales est´ an reservados para describir las coordenadas espaciales. La siguiente es una tabla de constantes fundamentales y algunas definiciones con sus correspondientes factores de conversi´ on de unidades, que son de utilidad para el desarrollo de los problemas: 1. Constantes fundamentales: 1.1 Velocidad de la luz en el vac´ıo c = 2,99792458 × 108 ms−1 1.2 Constante de Planck h = 6,6260755 × 10−34 Js h = 1,05457266 × 10−34 Js ℏ ≡ 2π 1.3 Constante de gravitaci´on universal G = 6,67259 × 10−11 m3 kg−1 s−2 1.4 Masa propia del electr´ on, prot´ on y neutr´on moe = 9,1093897 × 10−31 kg

m0p = 1,6726231 × 10−27 kg

m0n = 1,6749286 × 10−27 kg 1.5 Carga del electr´ on e = 1,60217733 × 10−19 C

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´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

1.6 Relaci´ on carga/masa del electr´ on e/m = 1,75881962 × 1011 Ckg−1 1.7 Constante de Boltzmann k = 1,3806568 × 10−23 JK −1 1.8 Constante de Coulomb K=

1 8,98755 × 109 N m2 C −2 4πǫ0

1.9 Constante de Rydberg R = 1,0973731534 × 107 m−1 2. Unidades astron´omicas: 2.1 La unidad astron´omica AU se define como la distancia media de la tierra al sol: 1AU = 1,495978 × 1011 m 2.2 El a˜ no luz al se define como la distancia que la luz recorre en un a˜ no: 1al = 9,46053 × 1015 m = 6,324 × 104 AU 2.3 El parsec pc, definido como la distancia a la cual una AU subtiende un segundo de arco: 1pc = 3,085678 × 1016 m = 3,261633al = 206265AU 3. Otras unidades de uso com´ un en relatividad y f´ısica at´omica: 3.1 El electronvoltio ev se define como la energ´ıa cin´etica que adquiere una part´ıcula de carga fundamental e = 1,60217733 × 10−19 C cuando se acelera en una diferencia de potencial de 1 voltio: 1eV = 1,60217733 × 10−19 J

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5 3.2 De la relaci´ on de equivalencia entre masa y energ´ıa E = mc2 es com´ un expresar la masa de las part´ıculas elementales en unidades de energ´ıa en electronvoltios (lo cual es equivalente a tomar c = 1): moe = 0,51099906 × 106 eV = 0,51099906M eV

mon = 939,566M eV

mop = 938,27231M eV 3.3 Constante de Planck ℏ y constante de Rydberg en unidades de electronvoltios: ℏ = 6,5821220 × 10−16 eV s

R = 13,6056981eV

La constante de Rydberg corresponde a la energ´ıa de ionizaci´ on del ´ atomo de hidr´ogeno.

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Cap´ıtulo 2

Cinem´ atica relativista 2.1.

Introducci´ on

Este cap´ıtulo est´ a dedicado a la cinem´ atica relativista. En la primera parte presentaremos las definiciones y los resultados m´ as importantes para abordar los problemas propuestos. Para un desarrollo detallado de la cinem´ atica relativista remitimos al lector a los textos [1], [2] y [3]. Hay tres art´ıculos interesantes que recomendamos como lectura complementaria, los cuales ilustran la variedad y complejidad de los problemas que pueden surgir en relatividad. El primero es de Scott y Viner ([4]), el cual trata sobre la forma aparente de los objetos, y los otros dos, de Dewan y Beran ([5]) y Dewan ([6]), discuten el problema de dos cohetes conectados por un hilo inextensible.

2.1.1.

Transformaciones de Lorentz

Consideremos dos sistemas de referencia Σ y Σ′ . Entonces la transformaci´ on de Lorentz homog´enea m´ as general se puede escribir en la forma Λ: Σ → Σ′ (2.1) ′ x → x = Λx donde Λ = Λ(~v , ~θ)

(2.2)

con ~v la velocidad de Σ′ respecto a Σ, y ~θ un conjunto de tres par´ ametros, por ejemplo los ´ angulos de Euler, que determinan rotaci´ on de los 6 i

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´ 2.1. INTRODUCCION

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ejes espaciales. Si llamamos xα y x′α las componentes de x y x′ respectivamente, la ecuaci´ on de transformaci´on se puede escribir en la forma: x′α = Λα β xβ (2.3) con Λα β los elementos de la matriz de transformaci´on. Asumiendo que el sistema de referencia Σ′ se mueve con velocidad v en la direcci´ on de los ejes positivos x − x′ , y suponiendo que los dos observadores eligen t = t′ = 0 cuando los or´ıgenes de coordenadas coinciden y toman los ejes espaciales paralelos, las ecuaciones de transformaci´on de Lorentz est´ an dadas por x′0 = γ(x0 − βx1 ) x′1 = γ(x1 − βx0 ) (2.4) x′2 = x2 x′3 = x3 con la siguiente notaci´ on: x0 = ct 1

2

(2.5) 3




~r = x , x , x (2.6) v (2.7) β= c 1 (2.8) γ = γ(v) = p 1 − β2 Para este caso los elementos de la matriz de transformaci´on de Lorentz toman la forma   γ −βγ 0 0  −βγ γ 0 0   Λα β =  (2.9)  0 0 1 0  0 0 0 1 La relaci´ on entre un intervalo de tiempo propio ∆τ y el intervalo de tiempo ∆t, entre dos eventos medidos por un observador inercial, est´ a dada por la ecuaci´ on: ∆t = p

∆τ 1 − β2

(2.10)

La relaci´ on entre la longitud f´ısica de un objeto ℓ, que se mueve con velocidad v, y su longitud propia ℓ0 es q (2.11) ℓ = ℓ0 1 − β 2

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´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA RELATIVISTA

2.1.2.

Estructura causal del espacio-tiempo

La estructura causal del espacio-tiempo est´ a determinada por el intervalo de distancia espacio-temporal entre eventos, el cual est´ a definido por 2 ∆Sij = (x0j − x0i )2 − (x1j − x1i )2 − (x2j − x2i )2 − (x3j − x3i )2

(2.12)

donde Pi = (x0i , x1i , x2i , x3i )

(2.13)

son las coordenadas del evento Pi y similarmente para el evento Pj . El intervalo espacio-temporal es invariante bajo transformaciones de Lorentz. Este intervalo tambi´en se puede escribir utilizando la matriz o tensor m´etrico de Minkowski  µ=ν=0  +1 −1 µ = ν = 1, 2, 3 η µν = (2.14)  0 µ 6= ν en la forma

2 ∆Sij = η µν ∆xµ ∆xν

(2.15)

∆xµ = xµj − xµi

(2.16)

donde

Para generalizar este resultado, se define el producto minkowskiano entre dos cuadrivectores x y y como el invariante x · y = η µν xµ y ν

(2.17)

y la norma minkowskiana por x2 = x · x = η µν xµ xν

(2.18)

Dada la definici´on de norma minkowskiana, clasificamos los cuadrivectores no nulos de la siguiente forma: si x2 > 0 2

2

si x si x

=⇒

x

es

temporal

< 0

=⇒

x

es

espacial

= 0

=⇒

x

es

nulo o

de

luz

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´ ´ 2.2. PROBLEMAS BASICOS DE CINEMATICA

2.1.3.

Cinem´ atica

Sea x(τ ) = (x0 (τ ), x1 (τ ), x2 (τ ), x3 (τ ))

(2.19)

el cuadrivector posici´ on de una part´ıcula como funci´on del tiempo propio τ el cual describe la l´ınea de universo de la part´ıcula. El par´ ametro tiempo propio est´ a definido en t´erminos de la distancia espacio-temporal entre dos posiciones sucesivas de la part´ıcula x(τ ) x(τ + dτ ) = x(τ ) + dx(τ ) as´ı c2 dτ 2 = ds2 = dx0


2

− dx1


2

− dx2


2

(2.20)

− dx3


2

(2.21)

entonces la cuadrivelocidad de la part´ıcula se define como U=

dx = (U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) dτ

(2.22)

y su cuadrivector aceleraci´ on A=

dU = (A0 , A1 , A2 , A3 ) dτ

(2.23)

Dado que la norma al cuadrado de un cuadrivector es un invariante, las cuatro componentes del cuadrivector velocidad y el cuadrivector aceleraci´ on no son independientes, pues
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2
2
2 U 2 = U 0 − U 1 − U 2 − U 3 = c2 (2.24) y

A2 = A0


2

− A1


2

− A2


2

− A3


2

= −α2

(2.25)

donde α es la aceleraci´ on propia. Adem´as los cuadrivectores U y A son ortogonales bajo el producto minkowskiano, es decir U · A = U 0 A0 − U 1 A1 − U 2 A2 − U 3 A3 = 0

2.2.

(2.26)

Problemas b´ asicos de cinem´ atica

1. Estructura causal. Sea Σ un sistema de referencia inercial y sean P1 = (3, 2, 0, 2)

P2 = (4, −1, 0, 2)

P3 = (−2, −1, 0, −2)

las coordenadas de tres eventos, en unidades arbitrarias con c = 1.

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´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA RELATIVISTA

a ¿Cu´ ales eventos est´ an conectados causalmente? b ¿Para cu´ al par de eventos existe un sistema de referencia Σ′ para el que los dos eventos son simult´ aneos? Calcular la velocidad de Σ′ respecto a Σ. c ¿Para cu´ al par de eventos existe un sistema de referencia Σ′ con respecto al cual los dos eventos suceden en el mismo punto del espacio? Calcular la velocidad de Σ′ respecto a Σ. 2. La paradoja del garaje. Consideremos un bus de longitud propia ℓ0 = 10m movi´endose con velocidad v = 0,8c directamente hacia un garaje en reposo de longitud 6m. Debido al efecto de contracci´ on de longitudes el bus mide, respecto al sistema de referencia garaje, r v2 (2.27) ℓ = 1 − 2 ℓ0 = 6m c As´ı, cuando la trompa del bus alcance la pared posterior del garaje, la parte trasera del bus pasa por la puerta de este y por lo tanto, respecto al observador fijo con relaci´ on al garaje el bus queda “atrapado” en ´el. Supongamos (sin que esto influya en la soluci´ on del problema) que la pared del garaje es lo suficientemente r´ıgida de tal manera que el bus quede atrapado en el garaje, deform´ andose por efecto del impacto contra la pared. Si analizamos la misma situaci´ on desde el punto de vista de un sistema de referencia, con respecto al cual el bus se encuentre en reposo, el garaje se mueve hacia el bus con velocidad 0,8c y por lo tanto la longitud del garaje, vista desde el bus, es de 3,6m y as´ı el bus no puede ser “atrapado” dentro del garaje. ¿C´omo se resuelve esta aparente paradoja, pues el principio de relatividad establece que la f´ısica es la misma desde todos los sistemas de referencia inerciales? 3. Varilla inclinada. Consideremos una varilla de longitud propia ℓ0 situada en el plano x− y que se mueve con velocidad v a lo largo del eje x positivo respecto a un observador inercial, la cual forma un ´ angulo θ0 en su sistema de referencia propio con respecto al eje de las x. ¿Qu´e ´ angulo forma la varilla respecto al observador inercial Σ? 4. Paradoja de la varilla inclinada. Una varilla de longitud propia ℓv0 se mueve con velocidad v hacia una plataforma en reposo

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´ ´ 2.2. PROBLEMAS BASICOS DE CINEMATICA

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que tiene una rendija de longitud propia ℓ0 . La varilla permanece paralela a la plataforma y se mueve hacia ella en la direcci´ on que forma un ´ angulo de 45o con respecto a la plataforma, como se muestra en la figura (2.1).

Figura 2.1: Paradoja de la varilla inclinada. La varilla se mueve hacia una rendija, de tal forma que su centro se dirige hacia el centro de la rendija.

Dado que la varilla se contrae con respecto al sistema de referencia de la plataforma, supongamos que la varilla pasa por la rendija exactamente. Asumir que el centro de la varilla pasa por el centro de la rendija. Si analizamos lo que sucede desde el punto de vista de un observador inercial ligado a la varilla, la rendija es la que se contrae y por lo tanto no deber´ıa pasar por la rendija. ¿C´ omo resolver esta paradoja? Tengamos en cuenta que, si desde el punto de vista de un observador la varilla pasa por la rendija, entonces esto debe suceder para todos los observadores. 5. Adici´ on de velocidades no paralelas. Considere tres sistemas de referencia inerciales Σ, Σ′ y Σ′′ . a Supongamos que el sistema Σ′ se mueve con velocidad vx respecto a Σ y que Σ′′ se mueve con velocidad vz respecto a Σ′ . Calcular los elementos de la matriz de transformaci´on de Lorentz entre Σ y Σ′′ . b Si ahora Σ′ se mueve con velocidad vz respecto a Σ y Σ′′ se mueve con velocidad vx respecto a Σ′ , calcular los elementos de la matriz de transformaci´on de Lorentz entre Σ y Σ′′ . Comparar

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´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA RELATIVISTA

la respuesta con la parte a: ¿la composici´ on de transformaciones puras de Lorentz es conmutativa en general? 6. Vida media de part´ıculas inestables. La mayor´ıa de las part´ıculas fundamentales son inestables, es decir, se desintegran en otras part´ıculas al cabo de un cierto tiempo τ , llamado tiempo de vida media. El tiempo de vida media de una part´ıcula elemental es una cantidad estad´ıstica definida como el tiempo necesario para que la mitad de una poblaci´ on inicial N0 de part´ıculas se desintegre en su sistema propio de referencia, i. e., si N (t) es el n´ umero de part´ıculas que a´ un no se han desintegrado, entonces N (t) = N0 2−t/τ

(2.28)

Un pi´ on π + (+ se refiere a la carga el´ectrica del pi´ on) se desintegra en otras part´ıculas elementales seg´ un la reacci´ on π + → µ+ + ν

(2.29)

donde µ+ es un mu´ on positivo y ν un neutrino. Los mesones π se pueden producir en el laboratorio por choque entre protones en un acelerador. En un experimento de colisi´ on de protones se producen mesones π con velocidad v = 0,985c y se observa que 2/3 de ellos sobreviven a una distancia D = 25m del blanco. Calcular el tiempo de vida media de los mesones π. 7. Cuadrivector velocidad. Encontrar la relaci´ on entre las componentes del cuadrivector velocidad
U = U 0, U 1, U 2, U 3 (2.30) y las componentes de la velocidad f´ısica de una part´ıcula ~u = (ux , uy , uz )

(2.31)

8. Cuadrivector aceleraci´ on. Encontrar la relaci´ on entre las componentes del cuadrivector aceleraci´ on
A = A0 , A1 , A2 , A3 (2.32) y las componentes de la aceleraci´ on f´ısica de una part´ıcula ~a =

d~u dt

(2.33)

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´ ´ 2.2. PROBLEMAS BASICOS DE CINEMATICA

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Mostrar que los cuadrivectores velocidad y aceleraci´ on para una part´ıcula son ortogonales, es decir U ·A =0 9. Transformaci´ on de la velocidad. A partir de las componentes del cuadrivector velocidad y las transformaciones de Lorentz usuales, encontrar las ecuaciones de transformaci´on para las componentes de la velocidad entre dos sistemas de referencia inerciales. 10. Velocidad relativa. Consideremos dos part´ıculas que se mueven con velocidades ~v1 y ~v2 respecto a un observador inercial Σ. Calcular la magnitud de la velocidad relativa entre las dos part´ıculas en t´erminos de ~v1 y ~v2 . 11. Espacio-tiempo euclidiano. A partir de la definici´on tanh φ := β = v/c encontrar las ecuaciones de transformaci´on de Lorentz usuales y el teorema de adici´ on de velocidades en t´erminos del par´ ametro φ. Interpretar geom´etricamente el resultado. 12. Adici´ on numerable de velocidades. Supongamos que un bloque se mueve con velocidad v1 = v en la direcci´ on del eje x positivo respecto a un sistema de referencia Σ y un segundo bloque se desliza con velocidad constante v2 = v respecto al primer bloque y en la direcci´ on del eje x positivo. a A partir del teorema de adici´ on de velocidades relativista calcular la velocidad del segundo bloque v2′ respecto a Σ y demostrar que si v → c entonces v2′ → c.

b Consideremos un tercer bloque que se mueve con respecto al segundo a velocidad v3 = v. Calcular la velocidad v3′ de este bloque respecto a Σ. Generalizar esta relaci´ on para n bloques y demostrar que l´ım vn′ = c (2.34) n→∞

13. Longitud aparente. Consideremos una c´amara fotogr´afica situada sobre el eje y positivo de un sistema de referencia inercial y una varilla homog´enea de longitud propia ℓ0 que se mueve con velocidad β = v/c a lo largo del eje x positivo.

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´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA RELATIVISTA

a Si la c´ amara, situada a una distancia D del origen de coordenadas, toma una foto de la varilla de tal manera que el centro de la varilla aparezca en el origen de coordenadas, ¿d´onde aparentan estar los extremos de la varilla seg´ un la foto? ¿Cu´al es la longitud aparente de la varilla seg´ un la foto y su relaci´ on con la longitud f´ısica? Ilustre los resultados con ejemplos num´ericos y muestre que si la distancia de la varilla a la c´amara es mucho mayor que la longitud de la varilla, entonces la longitud aparente se aproxima a la longitud f´ısica. b Consideremos ahora una foto de la varilla en una posici´ on arbitraria, cuando la l´ınea que une el centro de la varilla y la c´ amara forma un ´ angulo α con respecto al eje x y suponga la aproximaci´on de rayos paralelos, v´alida si D >> ℓ0 . ¿Cu´al es la longitud aparente de la varilla seg´ un la foto? Compare el resultado con la longitud f´ısica de la varilla y con el resultado de la primera parte de este problema. 14. Comunicaci´ on espacial. Dos naves espaciales A y B viajan en direcciones opuestas a velocidad constante v respecto a la tierra. Las naves se cruzan cuando se encuentran a una distancia L de la tierra, medida en el sistema de referencia de la tierra. En el instante del cruce de las naves se env´ıa una primera se˜ nal de luz desde la tierra hacia las naves y un tiempo posterior t0 se env´ıa una segunda se˜ nal. Las se˜ nales de luz se reflejan instant´aneamente en las naves regresando a la tierra. Suponga que t0 < L/v

(2.35)

Asumiendo que el movimiento de las naves y el de la tierra se encuentran sobre la misma l´ınea, esta condici´ on implica que la segunda se˜ nal es emitida antes que la nave que se acerca llegue a la tierra. a Hacer un diagrama espacio-tiempo y dibujar las l´ıneas de universo de la tierra, las naves y las se˜ nales de luz. b ¿Cu´ al es la posici´ on de las naves, medida en el sistema tierra, cuando se reciben las se˜ nales en las naves? c ¿Con qu´e diferencia de tiempos, medida en el sistema tierra, llegan las dos se˜ nales a cada nave?

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´ ´ 2.2. PROBLEMAS BASICOS DE CINEMATICA

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d Con qu´e diferencia de tiempos, medida en el sistema tierra, llegan las se˜ nales reflejadas a la tierra, provenientes de cada una de las naves? e Resolver las preguntas c y d anteriores respecto al sistema de referencia de cada una de las naves. 15. Velocidades superluminosas aparentes. En observaciones astron´ omicas de algunos AGN (N´ ucleos Activos de Galaxias) que se encuentran a distancias muy grandes, se han detectado movimientos propios que implican velocidades transversales aparentes vT de la fuente mayores que la luz (por ejemplo vT ∼ 10c). Una explicaci´on, que no entra en conflicto con otras observaciones astron´ omicas y con el segundo postulado de la relatividad, est´ a basada sobre el movimiento relativista de materia (fuente) en estos AGN. Supongamos que en un instante dado recibimos radiaci´ on electromagn´etica de una u ´nica fuente distante f y un tiempo posterior (varios a˜ nos despu´es) recibimos se˜ nales de otra fuente f2 que se aleja de la fuente original f (que ahora denotamos por f1 como se muestra en la figura (2.2)).

Figura 2.2: Velocidades superluminosas aparentes. En un instante inicial un observador distante ve una sola fuente y un tiempo posterior se observan dos fuentes alej´ andose.

Si la fuente f2 se aleja de la fuente original f1 a una velocidad v formando un ´ angulo ϕ con respecto a la l´ınea de visi´on del observador 0, calcular la velocidad transversal aparente vT = 0f2 ∆α/∆t

(2.36)

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´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA RELATIVISTA

de la fuente f2 , vista por el observador en 0 y hacer un gr´ afico de vT en funci´ on del ´ angulo ϕ, para diferentes valores de la velocidad v. Asumir que la separaci´on angular ∆α de las fuentes es peque˜ na. 16. Relatividad sin el segundo postulado. Las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz se dedujeron a partir de los dos postulados b´ asicos: principio de relatividad y constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo. En el proceso de deducci´on de las ecuaciones de transformaci´on de Lorentz, entre dos sistemas de referencia inerciales Σ y Σ′ (con Σ′ movi´endose con velocidad v a lo largo de los ejes x − x′ ), por la aplicaci´ on del primer postulado se obtienen las siguientes ecuaciones de transformaci´on (ver e. g. [1]): y′ = y

(2.37)

z′ = z

(2.38)

′

x = γ(x − vt) ′

′

(2.39)

x = γ´(x + vt )

(2.40)

γ´= γ

(2.41)

donde γ es un par´ ametro por determinar que depende de la velocidad v y el cual caracteriza a la transformaci´on (independiente de las coordenadas). A partir de estas ecuaciones y sin utilizar el segundo postulado demostrar que la transformaci´on para t′ en funci´ on de t y x se puede escribir en la forma v (2.42) t′ = γ(t − 2 x) K con 1 γ=q (2.43) v2 1− K 2 y K dado por

v2 γ 2 (2.44) γ2 − 1 Teniendo en cuenta que la transformaci´on obtenida debe ser v´alida para todos los sistemas de referencia inerciales, muestre que K es un par´ ametro independiente de la velocidad relativa entre sistemas de referencia. Ayuda: aplique la composici´ on de transformaciones ′′ ′ para pasar de Σ → Σ, con Σ movi´endose con velocidad v respecto a Σ y Σ′′ movi´endose con velocidad u respecto a Σ′ (ambos a lo largo del eje x positivo). K=

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´ ´ 2.2. PROBLEMAS BASICOS DE CINEMATICA

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17. Viaje al pasado. El postulado de la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo trae como consecuencia que las part´ıculas materiales solo pueden viajar a velocidades menores que c, lo cual implica que siempre es posible encontrar un sistema de referencia, con respecto al cual la part´ıcula se encuentra en reposo. Estas ecuaciones muestran, tambi´en, que no tiene sentido hablar de un observador (sistema de referencia) que viaje a la velocidad de la luz, pues en este caso el factor γ de Lorentz diverge, ya que l´ım γ(v) = l´ım q

v→c

v→c

1 1−

v2 c2

= +∞

(2.45)

Sin embargo, cabe la pregunta ¿podr´ıan existir part´ıculas que viajen a velocidades mayores que c? A estas part´ıculas hipot´eticas se las conoce con el nombre de tachyones. Aun cuando se han elaborado modelos te´ oricos sobre estas part´ıculas, hasta el presente no se tiene ninguna evidencia observacional sobre ellas. Una consecuencia que podr´ıamos deducir, si tuvi´eramos a disposici´ on un emisor de tachyones para enviar se˜ nales, es que podr´ıamos recibir una se˜ nal de respuesta antes de haber enviado la primera se˜ nal. Consideremos un observador inercial Σ, que dispone de un emisor de tachyones, situado en el origen del sistema y el cual env´ıa una se˜ nal a una velocidad vT > c hacia un segundo observador inercial Σ′ , que se mueve con velocidad v en la direcci´ on del eje x positivo. Supongamos que el observador inercial Σ′ recibe el tachyon cuando se encuentra a una distancia D medida con respecto a Σ, y devuelve inmediatamente la se˜ nal tachy´onica hacia el origen del sistema Σ, con velocidad vT relativa a su sistema Σ′ . Calcular el tiempo de ida y vuelta de la se˜ nal medido por Σ y mostrar que es posible recibir la se˜ nal antes que la primera salga. 18. Viaje interestelar 1. Una nave espacial parte de la tierra con aceleraci´ on propia g constante y se dirige hacia el c´ umulo abierto de las Pl´eyades, el cual se encuentra a una distancia de nosotros de unos 425 al (a˜ nos-luz). Este c´ umulo, con una poblaci´ on estimada de unas 400 estrellas, es visible a simple vista y se pueden observar normalmente sus siete estrellas m´ as brillantes: Alcine, Atlas, Electra, Maia, Merope, Taygeta y Pleione; algunas personas han logrado observar dos estrellas adicionales: Celaeno y Asterope. a El a˜ no luz al se define como la distancia que la luz recorre en

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´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA RELATIVISTA

un a˜ no (ver inroducci´ on sobre unidades): 1al = 9,46053 × 1015 m

(2.46)

donde se ha tomado para la velocidad de la luz en el vac´ıo el valor c = 2,99792458 × 108 ms−1 (2.47) Si medimos las distancias en al y la velocidad en unidades de c, calcular el valor de la aceleraci´ on de la gravedad terrestre g = 9,8ms−2 en estas unidades. b Calcular la l´ınea de universo para el cohete en funci´on del tiempo propio de la nave, asumiendo que cuando la nave parte de la tierra t = 0, en el sistema de referencia tierra y τ = 0 el tiempo propio de la nave. Tomar el origen de coordenadas en la tierra. c Supongamos que el cohete, en su viaje hacia las Pl´eyades, parte de la tierra con aceleraci´ on propia g = 9,8ms−2 hasta alcanzar la mitad del camino y luego frena, en el resto del viaje, con la misma aceleraci´ on propia. Calcular el tiempo en llegar hasta la mitad del camino y hasta las Pl´eyades, medido en el sistema tierra y en el cohete. Cuando la nave se encuentra a mitad de camino e inicia el frenado, ¿a qu´e velocidad se est´ a moviendo el cohete respecto a la tierra? Si la nave regresa a la tierra siguiendo un recorrido similar al de ida, ¿cu´anto tiempo tarda el viaje total, ida y regreso, para el observador en la nave y para la tierra? d Una segunda nave parte de la tierra simult´ aneamente con la primera nave, pero con aceleraci´ on propia de 10g hasta la mitad del camino a las Pl´eyades y luego desacelera a 10g hasta llegar al reposo. Repetir los c´alculos de la parte c del presente problema y comparar los resultados. 19. Viaje interestelar 2. Consideremos de nuevo el viaje de un cohete que parte de la tierra hasta las Pl´eyades (ver problema anterior). La nave inicia su viaje con aceleraci´ on propia de 10g hasta alcanzar una velocidad de v = 0,999c, luego contin´ ua el viaje a velocidad constante y finalmente desacelera con aceleraci´ on propia de 10g, llegando a las Pl´eyades con velocidad final cero.

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2.3. PROBLEMAS AVANZADOS

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a ¿En cu´ anto tiempo, medido desde el cohete y desde la tierra, alcanza la nave la velocidad final v? b ¿A qu´e distancia de la tierra se encuentra la nave en ese instante, medida en el sistema tierra? c Si el cohete regresa a la tierra, siguiendo un recorrido similar al de ida, ¿Cu´ anto tiempo tarda el viaje completo para el cohete y para la tierra? Comparar el resultado con el problema anterior. 20. El horizonte de eventos. Una part´ıcula material es acelerada desde el reposo con aceleraci´ on propia constante α, con respecto a un sistema de referencia inercial Σ. La part´ıcula inicia su movimiento en el origen de Σ cuando t = 0 y se elige el eje x en la direcci´ on de movimiento de la part´ıcula. a Encontrar la l´ınea de universo de la part´ıcula en funci´on del tiempo propio, i. e., encontrar x(τ ) = (x0 (τ ), x1 (τ ), 0, 0) b Calcular la posici´ on de la part´ıcula con respecto al tiempo para el observador Σ, i. e., encontrar x1 = x1 (x0 ) Hacer un gr´ afico espacio-tiempo del movimiento de la part´ıcula con aceleraci´ on propia constante y analizar este gr´ afico. c Mostrar que si se env´ıa una se˜ nal de luz desde el origen un tiempo c/α despu´es de salir la part´ıcula, entonces esta se˜ nal nunca alcanza a la part´ıcula. Con base en este resultado, analizar el gr´ afico espacio-tiempo del movimiento de una part´ıcula sometida a una aceleraci´ on propia constante.

2.3.

Problemas avanzados

1. Grupo de Lorentz. Consideremos el producto minkowskiano en notaci´ on matricial x · y = xT ηy (2.48) donde x, y ∈ M, el espacio-tiempo de Minkowski, y con la notaci´ on  0  x = x x1 x2 x3 (2.49)

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´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA RELATIVISTA

 x0  x1   xT =   x2  x3 

y la matriz de Minkowski dada por  1 0 0 0  0 −1 0 0 η=  0 0 −1 0 0 0 0 −1

(2.50)

   

(2.51)

a Encontrar las propiedades generales de una transformaci´on de Lorentz Λ : M −→ M (2.52) ′ x 7−→ x = Λx

que deja invariante el producto minkowskiano. Ayuda: de la invarianza bajo el producto minkowskiano encontrar la ecuaci´ on de restricci´on para la matriz Λ. A partir de esta ecuaci´ on, encontrar el determinante y el n´ umero m´ aximo necesario de par´ ametros independientes, que caracterizan una transformaci´ on general de Lorentz y analizar el resultado.

b Sea Λ una matriz de transformaci´on de Lorentz y sea L otra matriz 4 × 4 tal que Λ = eL (2.53) La exponencial de una matriz se debe entender en el siguiente sentido: dado que la expansi´ on en serie de la funci´on exponencial est´ a dada por ∞ X 1 n 1 2 x e =1+x+ x +··· = 2 n! n=0 x

(2.54)

entonces

1 (2.55) eL = 1 + L + L2 + · · · 2 A partir de esta representaci´on de una transformaci´on de Lorentz, a trav´es de la exponencial de otra matriz L, encontrar la forma general de una transformaci´on de Lorentz. Ayuda: muestre en primer lugar que para una transformaci´on propia de Lorentz tenemos det |Λ| = eT rL

(2.56)

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2.3. PROBLEMAS AVANZADOS

donde T rL es la traza de la matriz L. Probar luego que la matriz ηL es antisim´etrica y de este resultado mostrar que la forma general de la matriz L se puede escribir como   0 L01 L02 L03  L01 0 L12 L13   L= (2.57)  L02 −L12 0 L23  L03 −L13 −L23 0 c Demostrar que la matriz L se puede escribir como una combinaci´ on lineal de las siguientes matrices:     0 0 0 0 0 1 0 0  0 0 0 0     ; B1 =  1 0 0 0  (2.58) R1 =   0 0 0 −1   0 0 0 0  0 0 1 0 0 0 0 0 

0 0 0  0 0 0 R2 =   0 0 0 0 −1 0  0 0 0  0 0 −1 R3 =   0 1 0 0 0 0

es decir, mostrar que

 0 1  ; 0  0  0 0  ; 0  0



0  0 B2 =   1 0  0  0 B3 =   0 1

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

 0 0   0  0  1 0   0  0

(2.59)

(2.60)

L = −α1 R1 − α2 R2 − α3 R3 − ζ 1 B1 − ζ 2 B2 − ζ 3 B3 (2.61) El signo menos es arbitrario y se introduce solo por conveniencia para su interpretaci´on f´ısica (ver parte d del presente problema). La ecuaci´ on anterior se puede escribir en forma compacta como ˜ − ~ζ · B ˜ L = −~α · R (2.62) donde ~α = (α1 , α2 , α3 )

(2.63)

~ζ = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 )

(2.64)

y con el producto punto usual en R3 .

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´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA RELATIVISTA

d Mostrar, por c´ alculo directo, que las matrices Ri y Bj , i, j = 1, 2, 3, cumplen con las siguientes propiedades: Los cuadrados de las seis matrices R2i y B2j son matrices diagonales y adem´ as (~α · R)3 = −~α · R

(2.65)

 3 ~ζ · B ˜ = ~ζ · B ˜

(2.66)

para cualesquiera trivectores reales unitarios ~α y ~ζ. Por lo tanto, cualquier potencia de las matrices Ri y Bj , i, j = 1, 2, 3, puede ser expresada como un m´ ultiplo de la matriz o de su cuadrado. e Con el resultado del numeral anterior y teniendo en cuenta la expansi´ on en serie de Taylor de la funci´on exponencial, ecuaci´ on (2.55), v´alida para L un n´ umero, funci´on, matriz o en general cualquier operador bien definido, considerar los casos particulares ~ζ = (ζ, 0, 0) ~α = (0, 0, 0) (2.67) y ~α = (0, 0, α)

~ζ = (0, 0, 0)

(2.68)

y calcular las correspondientes matrices de transformaci´ on de Lorentz Λ e interpretar f´ısicamente el resultado. 2. Transformaci´ on general de Lorentz. Sean Σ y Σ′ dos sistemas de referencia inerciales tal que el sistema Σ′ se mueve con velocidad ~v respecto a Σ. Si los dos observadores eligen los ejes coordenados paralelos y los or´ıgenes coinciden en t = t′ = 0, encontrar las transformaciones generales de Lorentz entre los dos observadores inerciales. ´ 3. Algebra de Lie del grupo de Lorentz. Sean A y B dos matrices cuadradas. Se define el conmutador de dos matrices [A, B] como la matriz C = [A, B] ≡ AB − BA (2.69) con el producto y la suma usual de matrices. a Demostrar las siguientes propiedades del conmutador: [A, B] = − [B, A]

(2.70)

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2.3. PROBLEMAS AVANZADOS

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[A, B + C] = [A, B] + [A, C]

(2.71)

[A, BC] = [A, B] C + B [A, C]   [A, B]T = BT , AT

(2.72)

[A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0

(2.73) (2.74)

La u ´ltima igualdad se conoce como la identidad de Jacobi. b Mostrar que las matrices Ri y Bj , i, j = 1, 2, 3, definidas en (2.58), (2.59) y (2.60), satisfacen las siguientes propiedades: [Ri , Rj ] = ǫijk Rk

(2.75)

[Ri , Bj ] = ǫijk Bk

(2.76)

[Bi , Bj ] = −ǫijk Rk

(2.77)

donde el s´ımbolo ǫijk se define por:  ijk permutaci´ on par de 123  +1 ǫijk = −1 ijk permutaci´ on impar de 123  0 en los dem´ as casos (2.78) Estas propiedades se conocen como el ´algebra de Lie del grupo de Lorentz y son de gran importancia en teor´ıa cu´ antica de campos. El primer conmutador corresponde a las relaciones de conmutaci´ on del momento angular, asociado con rotaciones. El segundo conmutador establece que el vector B se transforma como un trivector bajo rotaciones de los ejes espaciales y el tercer conmutador implica que, en general, dos transformaciones puras de Lorentz no conmutan, salvo si estas se realizan en la misma direcci´ on, pues en este caso i = j y por lo tanto ǫiik = 0 (2.79) y las matrices conmutan.

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Cap´ıtulo 3

Efecto Doppler En este cap´ıtulo se contin´ ua con el desarrollo de la cinem´ atica relativista, pero est´ a dedicado a la relatividad de las se˜ nales de luz. El fen´omeno del cambio en la frecuencia de una onda electromagn´etica, cuando esta es medida por diferentes observadores inerciales, se conoce como efecto Doppler. Por su gran importancia pr´ actica, en diferentes campos de la f´ısica y la astronom´ıa, le dedicaremos un cap´ıtulo de problemas independiente.

3.0.1.

Cuadrivector de onda

Por el principio de superposici´ on, cualquier onda electromagn´etica se puede escribir como una combinaci´ on lineal de ondas planas monocrom´ aticas, descritas por una funci´on de la forma ~

Ψ(t, ~r) = Ae±i(ωt−k·~r)

(3.1)

donde Ψ(t, ~r) representa la amplitud del campo (el´ectrico, magn´etico, potencial el´ectrico o potencial magn´etico) en un punto del espacio ~r y en un instante de tiempo t, A es la amplitud m´ axima del campo, ω la frecuencia angular de la onda y ~k = (kx , ky , kz ) el vector de onda, definido como ~k = 2π n ˆ (3.2) λ con λ su longitud de onda y n ˆ un vector unitario en la direcci´ on de propagaci´on de la onda. La frecuencia angular ω est´ a relacionada con la frecuencia ν (medida en ciclos por segundo) por la ecuaci´ on ω = 2πν =

2π T

(3.3)

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25 con T = 1/ν el per´ıodo. En la ecuaci´ on (3.1) el signo ± representa ondas incidentes (+) u ondas emergentes (−). La relaci´ on de dispersi´ on para las ondas electromagn´eticas en el vac´ıo est´ a dada por la ecuaci´ on q ω ~ (3.4) k = kx2 + ky2 + kz = c o en forma equivalente

λν = c

(3.5)

Puesto que la fase ωt − ~k · ~r de una onda electromagn´etica plana debe ser un invariante relativista, podemos definirla como el producto interno minkowskiano ωt − ~k · ~r = x · k (3.6) entre el cuadrivector posici´ on x = (ct, ~r) = (x0 , x1 , x2 , x3 )

(3.7)

y el cuadrivector de onda k, definido como ω ω k = ( , ~k) = ( , kx , ky , kz ) = (k0 , k1 , k2 , k3 ) c c

(3.8)

La norma al cuadrado del cuadrivector de onda est´ a dada por k2 = η µν kµ kν =

ω 2 ~ 2 − k c2

(3.9)

Debido a la relaci´ on de dispersi´ on para las ondas electromagn´eticas, ecuaci´ on (3.4), el cuadrivector de onda es nulo, i. e., k2 = 0

(3.10)

La definici´on del cuadrivector de onda implica que sus componentes se transforman como k′0 = γ(k0 − βk1 ) k′1 = γ(k1 − βk0 ) (3.11) k′2 = k2 k′3 = k3 cuando son medidas en dos sistemas de referencia inerciales, relacionados por una transformaci´on de Lorentz usual (2.4). Las ecuaciones (3.11) contienen todas las relaciones conocidas sobre la relatividad de las se˜ nales de luz, tales como el efecto Doppler longitudinal, transversal y la aberraci´ on de la luz estelar.

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CAP´ITULO 3. EFECTO DOPPLER

3.1.

Problemas sobre el efecto Doppler

1. Cuadrivector de onda. Consideremos dos sistemas de referencia inerciales Σ y Σ′ relacionados de la manera usual. Encontrar la relaci´ on entre la frecuencia, el n´ umero de onda y la longitud de onda, medidas por los dos observadores, de una onda electromagn´etica plana. 2. Efecto Doppler longitudinal. Una fuente monocrom´ atica de ondas electromagn´eticas se mueve con velocidad v, respecto a un observador inercial Σ y alej´andose del observador, situado en el origen del sistema. Si la fuente emite ondas de frecuencia propia ω 0 , ¿qu´e frecuencia ωD mide un detector situado en el origen del sistema de referencia Σ? Repetir el c´alculo si la fuente se mueve hacia el origen de Σ. Comparar los resultados anteriores en el l´ımite no relativista, con el efecto Doppler cl´asico, el cual es v´ alido para todos los fen´omenos ondulatorios ωD = ω0

vm − v c

(3.12)

donde vm es la velocidad de propagaci´on de las ondas respecto al medio. En esta ecuaci´ on se supone que la fuente de ondas est´ a en reposo respecto al medio de propagaci´on, y c es la velocidad de las ondas electromagn´eticas respecto al medio de propagaci´on. 3. Efecto Doppler transversal y aberraci´ on de la luz. Una fuente monocrom´ atica de ondas electromagn´eticas se mueve con velocidad v con respecto a un detector en reposo y en la direcci´ on del eje x positivo de un sistema de referencia ligado al detector. Supongamos que en el instante t = 0 la fuente se encuentra en un punto situado sobre el eje y y emite un tren de ondas de frecuencia propia ω 0 (medida en el sistema de la fuente). ¿Cu´ales son la frecuencia y el vector de onda medido por el detector? Comparar el resultado con el caso no relativista. 4. Comunicaci´ on espacial con Doppler. Dos naves espaciales A y B viajan en direcciones opuestas a velocidad constante v respecto a la tierra. Cuando las naves se cruzan se encuentran a una distancia L de la tierra, medida en el sistema de referencia de la tierra. En el instante del cruce de las naves se env´ıa una primera se˜ nal de luz desde la tierra hacia las naves y un tiempo posterior t0 se env´ıa

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3.1. PROBLEMAS SOBRE EL EFECTO DOPPLER

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una segunda se˜ nal. Las se˜ nales de luz se reflejan instant´aneamente en las naves regresando a la tierra. Asuma que t0 < L/v y utilice el efecto Doppler para el c´alculo. a ¿Con qu´e diferencia de tiempo llegan las dos se˜ nales a cada nave, medidas con respecto al sistema de referencia de las naves? b ¿Con qu´e diferencia de tiempo, medido en el sistema tierra, llegan las se˜ nales reflejadas a la tierra provenientes de cada una de las naves? 5. Expansi´ on del universo. Hubble descubri´o en 1929 que el universo se encuentra en expansi´ on. Observando los espectros caracter´ısticos de varias galaxias, encontr´ o que las frecuencias de emisi´ on presentaban un corrimiento hacia el rojo proporcional a la distancia de las galaxias. Esta relaci´ on, conocida como ley de expansi´on de Hubble, se expresa por la ecuaci´ on H0 dL = cz

(3.13)

donde H0 es la constante de Hubble, dL la distancia de luminosidad a la galaxia (la cual coincide con la distancia propia para galaxias no muy lejanas) y z es el factor de corrimiento (al rojo si z > 0 y al azul si z < 0) definido por 1+z =

λ λ0

(3.14)

donde λ0 es la longitud de onda emitida por la galaxia y λ la longitud de onda observada en la tierra. En un espectro de emisi´ on de la galaxia N GC −4649 se observ´ o que la l´ınea Hα del hidr´ogeno ˚ (Angstrom). Teniendo en tiene una longitud de onda de λ = 6650A ˚ cuenta que la longitud de onda propia de la l´ınea Hα es de 6563A, calcular el factor de corrimiento y la velocidad de la galaxia. 6. Ley de reflexi´ on en espejos planos. De la ´optica geom´etrica usual, se sabe que el ´angulo de incidencia de un rayo de luz sobre un espejo en reposo es igual al ´angulo de reflexi´on. Considerar un espejo plano que se mueve con velocidad v normal a su plano y un rayo de luz de frecuencia ω i que incide sobre el espejo formando un angulo θ i respecto a la normal. Calcular la frecuencia y el ´angulo de ´ reflexi´ on del rayo. Repetir el c´alculo si el espejo se est´ a moviendo en su plano.

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Cap´ıtulo 4

Din´ amica relativista 4.1.

Introducci´ on

La din´ amica relativista corresponde a la generalizaci´ on de las leyes de Newton. La primera ley de Newton est´ a contenida en los dos postulados de la relatividad, el principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo. La segunda ley de Newton admite una generalizaci´ on inmediata en t´erminos de cantidades cuadrivectoriales, mientras que la tercera ley de Newton deja de ser v´alida en general y es remplazada por el postulado de conservaci´on del cuadrivector momento total de un sistema aislado de part´ıculas.

4.2.

Postulados de la din´ amica relativista

Definici´ on 1 El cuadrivector momento p de una part´ıcula de masa propia m0 , con cuadrivector velocidad U , est´ a definido por p := m0 U = m0

dx dτ

(4.1)

Por definici´on, la masa propia, o en reposo, de una part´ıcula es un invariante relativista que caracteriza a la part´ıcula, la cual est´ a dada por la norma del cuadrivector momento, ecuaci´ on (4.1): p2 = m20 c2

(4.2)

dado que la norma al cuadrado del cuadrivector velocidad es c2 . 28 i

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´ 4.2. POSTULADOS DE LA DINAMICA RELATIVISTA

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Teniendo en cuenta que las componentes del cuadrivector velocidad est´ an relacionadas con la velocidad de la part´ıcula a trav´es de la ecuaci´ on U α = γ(~u)(c, ~u)

(4.3)

entonces las componentes del cuadrivector momento est´ an dadas por la relaci´ on pα = (m0 γ(~u)c, m0 γ(~u)~u) =: (E/c, p~) (4.4) donde se define la energ´ıa total E de la part´ıcula por E = m0 γ(~u)c2 = mc2

(4.5)

m = m0 γ(~u)

(4.6)

p~ = m0 γ(~u)~u = m~u

(4.7)

con la masa relativista y el momento f´ısico de la part´ıcula. La definici´on de energ´ıa total de una part´ıcula implica que, para el caso de una part´ıcula en reposo ~u = 0, tenemos que su energ´ıa total est´ a dada por E = m0 c2 ≡ E0 (4.8) la cual se llama energ´ıa propia o en reposo. Estas definiciones conducen a introducir el concepto de energ´ıa cin´etica K de una part´ıcula de masa propia m0 por la relaci´ on K = E − E0 = mc2 − m0 c2

(4.9)

Adem´ as, dado que la norma al cuadrado de todo cuadrivector es un invariante relativista, tenemos que si p es el cuadrivector momento de una part´ıcula, entonces p2 = =

p0


2

− |~p|2

E2 − |~p|2 = m20 c2 c2

(4.10)

es decir, la norma del cuadrivector momento mide la masa propia de la part´ıcula. Otra forma u ´til y usual de escribir este invariante es E 2 = E02 + |~p|2 c2

(4.11)

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´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

que relaciona la energ´ıa total E, la energ´ıa en reposo E0 y el momento |~ p| de la part´ıcula. A partir de la definici´on del cuadrivector momento de una part´ıcula, podemos mantener la misma definici´on de la segunda ley de Newton, pero formulada para las cantidades cuadrivectoriales. As´ı Axioma 2 La ecuaci´ on de movimiento relativista est´ a dada por dp = m0 A (4.12) dτ donde A es el cuadrivector aceleraci´ on y f es el cuadrivector fuerza. f=

La tercera ley de Newton no es v´alida en general y por lo tanto, en din´ amica relativista, se toman como postulado fundamental las leyes de conservaci´ on. Axioma 3 Para un sistema aislado de part´ıculas, con cuadrivectores momento pi , i = 1, 2, ..., entonces el cuadrivector momento total del sistema p, definido como X p := pi (4.13) i=1

es una constante de movimiento.

Este postulado implica que si expresamos la ecuaci´ on (4.13) en componentes, con pi = (Ei /c, p~i ) (4.14) y p = (E/c, p~)

(4.15)

obtenemos que la energ´ıa total del sistema E, definida como la suma de las energ´ıas de las part´ıculas individuales X E := Ei (4.16) i=1

y el momento total del sistema, definido como la suma vectorial de los momentos individuales de las part´ıculas X p~ := ~pi (4.17) i=1

se conservan. Adem´ as, una consecuencia adicional que se deriva de la equivalencia masa-energ´ıa es que el n´ umero de part´ıculas en un sistema aislado no es constante.

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´ 4.2. POSTULADOS DE LA DINAMICA RELATIVISTA

4.2.1.

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Sistema centro de masa

Definici´ on 4 Definimos la masa relativista total m ¯ del sistema y su cuadrivector momento total p¯ como X m ¯ := mi (4.18) i=1

p¯ :=

X i=1

X pi = (mi c, p~i ) = (mc, ¯ p~)

(4.19)

i=1

donde hemos definido el momento total del sistema p~ en la u ´ltima igualdad de la ecuaci´ on (4.19). Si el sistema de part´ıculas es aislado, los postulados de conservaci´on implican que p¯ y, por tanto, m ¯ y p~ son constantes en el tiempo. Dado que el cuadrivector momento total p¯ es un vector temporal, existe un sistema de referencia, que lo llamaremos ΣCM o sistema de referencia centro de masa, para el cual el cuadrivector momento total p¯ no tenga componentes espaciales, esto es, un sistema para el cual ~p = ~0. La velocidad ~uCM del sistema de referencia centro de masa respecto a Σ est´ a dada por ~uCM =

p~ m ¯

(4.20)

A partir de la velocidad ~uCM , el cuadrivector velocidad del centro de masa toma la forma UCM = γ(~uCM )(c, ~uCM )

(4.21)

Entonces, de la definici´on del cuadrivector momento total, ecuaci´ on (4.19), velocidad del centro de masa, ecuaci´ on (4.20) y la definici´on del cuadrivector velocidad del centro de masa (ecuaci´ on (4.21)), tenemos p¯ = (mc, ¯ p~) = m(c, ¯ ~uCM ) = mγ ¯ −1 (~uCM )UCM

(4.22)

La norma al cuadrado de esta ecuaci´ on p¯2 = m ¯ 2 γ −2 (~uCM )c2

(4.23)

permite definir la masa total del sistema de part´ıculas, en el sistema de referencia centro de masa ΣCM : mCM :=

m ¯ γ(~uCM )

(4.24)

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´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

Por lo tanto, podemos escribir el cuadrivector momento total del sistema como p¯ = mCM UCM (4.25) Es importante aclarar que mCM , la masa en reposo del sistema en ΣCM , excede a la suma de las masas en reposo de las part´ıculas del sistema, pues a ella contribuyen tambi´en las energ´ıas cin´eticas de las part´ıculas individuales. Por tanto la energ´ıa cin´etica del sistema en ΣCM est´ a dada por KCM = mCM c2 − m ¯ 0 c2 (4.26) donde hemos definido m ¯ 0 :=

X

m0i

(4.27)

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Definici´ on 5 La energ´ıa umbral se define como la energ´ıa m´ınima necesaria para que, en un proceso de colisi´ on, se cree una nueva part´ıcula de masa en reposo dada. De cualquier manera, la energ´ıa m´ınima (umbral) se tendr´ a cuando las part´ıculas resultantes de la colisi´ on est´en en reposo en el sistema de referencia del centro de masa del sistema. Esta u ´ltima afirmaci´on define operacionalmente el concepto de energ´ıa umbral.

4.2.2.

Fotones y estructura at´ omica

Una part´ıcula de masa en reposo cero m0 = 0 implica que el cuadrivector momento sea nulo. As´ı, si E es la energ´ıa total de la part´ıcula y momento p~, entonces   E , p~ (4.28) p= c con p2 = 0 (4.29) La relaci´ on entre el concepto de part´ıcula de masa en reposo nula y el concepto de fot´on o qu´antum de energ´ıa se basa en la generalizaci´ on de la hip´ otesis de Einstein, para el transporte de la energ´ıa en una onda electromagn´etica. Einstein postul´ o que si tenemos una onda electromagn´etica monocrom´atica de frecuencia ν, entonces la energ´ıa transportada por la onda est´ a concentrada en cantidades discretas de energ´ıa dada por la relaci´ on E = hν

(4.30)

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´ 4.2. POSTULADOS DE LA DINAMICA RELATIVISTA

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donde h es la constante de Planck. As´ı, dado que la onda transporta energ´ıa, entonces tambi´en debe transportar momento de magnitud |~p| =

E c

(4.31)

por lo tanto, se postula que una onda electromagn´etica monocrom´ atica descrita por el cuadrivector de onda ω  k= (4.32) , kx , ky , kz c posee un cuadrivector momento dado por la relaci´ on p = ℏk

(4.33)

donde ℏ = h/2π. Esta ecuaci´ on implica que la energ´ıa asociada a la onda es E = ℏω (4.34) y su momento f´ısico

p~ = ℏ~k

(4.35)

Definici´ on 6 Se define colisi´ on el´ astica en relatividad como aquella para la cual las masas propias de las part´ıculas iniciales (incluyendo las part´ıculas de masa en reposo cero) antes de la colisi´ on son las mismas despu´es de la colisi´ on. Una consecuencia de esta definici´on es que la energ´ıa cin´etica antes y despu´es de la colisi´ on no cambia, como se ver´ a en un problema. En relatividad, y en general en f´ısica, el concepto de part´ıcula est´ a asociado a un cuerpo material puntual, caracterizado por su masa propia, carga el´ectrica, momento angular intr´ınseco o spin y otros n´ umeros cu´ anticos. Aun cuando la mayor´ıa de las part´ıculas conocidas presentan estructura interna y por esta raz´ on no son part´ıculas puntuales en estricto sentido, para nuestros prop´ositos la aproximaci´on de part´ıcula puntual es suficiente. El ´ atomo de hidr´ogeno es un sistema de dos part´ıculas, un electr´ on y un prot´ on, ligados por la fuerza el´ectrica. La estructura interna y sus propiedades f´ısicas son objeto de estudio de la mec´ anica cu´ antica. Sin embargo, para efecto de estudiar procesos din´ amicos relativistas, como la colisi´ on del ´ atomo con otras part´ıculas, se puede considerar que el ´atomo es una part´ıcula el´ectricamente neutra, caracterizada por su masa propia

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´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

y por su estado interno de energ´ıa, el cual est´ a dado, para el ´atomo de hidr´ogeno, por un n´ umero entero n relacionado con la energ´ıa interna o de ligadura del ´ atomo por la ecuaci´ on En = −

13,6056981 eV ; n2

n = 1, 2, ...

(4.36)

donde la unidad de energ´ıa es el electronvoltio: 1eV = 1, 602 × 10−19 J

(4.37)

El estado base del ´ atomo de hidr´ogeno corresponde al nivel n = 1 y el ´ atomo solamente puede absorber y emitir una cantidad de energ´ıa Q si esta cantidad es igual a la diferencia entre dos niveles de energ´ıa permitidos, es decir si Q = Ef inal − Einicial = En − Em

(4.38)

si n > m significa que el ´ atomo absorbe energ´ıa y si n < m, que emite energ´ıa. La energ´ıa de ionizaci´ on del ´atomo corresponde a la energ´ıa m´ınima necesaria para quitarle un electr´ on al ´atomo, cuando este se encuentra en su estado base. Para el caso particular del ´atomo de hidr´ogeno, esto implica que la energ´ıa necesaria para que el ´atomo pase del estado base n = 1 al estado m = ∞ el cual representa que el electr´ on y el prot´ on no interaccionan y tienen energ´ıas cin´eticas nulas en el infinito, corresponde a la energ´ıa de ionizaci´ on del ´ atomo. As´ı, la energ´ıa de ionizaci´ on del hidr´ogeno est´ a dada por Qion = Ef inal − Einicial     13, 6057 13, 6057 eV − − eV = l´ım − n→∞ n2 12 = 13, 6057eV

(4.39)

La masa propia del ´ atomo est´ a dada por la suma de las masas propias del electr´ on y el prot´ on m´ as el equivalente en masa de la energ´ıa interna. As´ı, para el ´ atomo de hidr´ogeno, su masa propia (en unidades equivalentes de energ´ıa en electronvoltios) en el estado de energ´ıa En es Mm0 c2 = m0e c2 + m0p c2 + En

(4.40)

donde m0e es la masa propia del electr´ on y m0p la del prot´ on. De esta forma, para todos los efectos de la din´ amica relativista, dos ´atomos

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´ 4.3. PROBLEMAS DE DINAMICA RELATIVISTA

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qu´ımicamente iguales (e. g. de hidr´ogeno), pero en estados internos distintos, son part´ıculas diferentes. Por ejemplo, la masa propia del electr´ on, en udidades de ev, es m0e c2 = 510999,06eV = 0,51099906M eV

(4.41)

m0p c2 = 938272310eV = 938,27231M eV

(4.42)

y la del prot´ on

y si el ´ atomo de hidr´ogeno se encuentra en su estado base n = 1 entonces su masa propia est´ a dada por Mm0 c2 = m0e c2 + m0p c2 − 13,6056981eV

= 510999,06eV + 938272310eV − 13,6056981eV

= 9. 387 8 × 108 eV

(4.43)

Lo que se ha dicho en esta secci´ on es v´alido para todos los ´atomos y en general para todos los sistemas compuestos de part´ıculas, como los n´ ucleos at´ omicos; solamente que la estructura energ´etica interna del atomo o n´ ´ ucleo no est´ a dada por una relaci´ on tan sencilla como la encontrada para el ´ atomo de hidr´ogeno, ecuaci´ on (4.36).

4.3.

Problemas de din´ amica relativista

1. Cuadrivector momento. Sean p1 y p2 los cuadrivectores momento de dos part´ıculas de masas propias m01 y m02 respectivamente. Muestre que el momento total del sistema p = p1 + p2

(4.44)

es un cuadrivector temporal, es decir su norma es positiva. 2. Sistema centro de masa. En un sistema de referencia inercial Σ dos part´ıculas de masas propias m01 y m02 tienen cuadrivectores momento p1 y p2 respectivamente. Calcular la velocidad del sistema de referencia centro de masa ΣCM y la masa propia del sistema medida en Σ y en ΣCM . 3. Transformaci´ on del momento. Una part´ıcula de masa en reposo m0 tiene una energ´ıa total E y un momento p~ medido por un observador inercial Σ. Un segundo sistema de referencia Σ′ se

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est´ a moviendo con velocidad v en la direcci´ on del eje x positivo con respecto a Σ. Si los dos observadores eligen los ejes espaciales paralelos y toman t = t′ = 0 cuando los or´ıgenes coinciden, encontrar la energ´ıa total E´, momento p~´y energ´ıa cin´etica K ′ de la part´ıcula medidas en el sistema de referencia Σ′ , en t´erminos de las cantidades E, p~ y K medidas por el observador Σ. 4. Cuadrivector fuerza. Interpretar f´ısicamente las componentes del cuadrivector fuerza, definido por la ecuaci´ on de movimiento dp = m0 A (4.45) dτ donde m0 es la masa propia de una part´ıcula, sobre la cual act´ ua una fuerza F~ y A es su cuadrivector aceleraci´ on. f=

5. Transformaci´ on de la fuerza entre sistemas de referencia. Encontrar las ecuaciones de transformaci´on de las componentes de la fuerza f´ısica entre sistemas de referencia inerciales, relacionados por una transformaci´on de Lorentz usual. 6. Energ´ıa disponible para crear part´ıculas. En un experimento de colisi´ on de dos part´ıculas, donde, despu´es de la colisi´ on, emergen las dos part´ıculas iniciales m´ as una nueva part´ıcula de masa en reposo dada, surge la necesidad de considerar la m´ınima energ´ıa inicial necesaria para crear esta part´ıcula, la cual es llamada energ´ıa umbral. Otra forma de plantear el concepto de energ´ıa umbral es considerar la m´ axima cantidad de energ´ıa disponible en un proceso de colisi´ on de dos part´ıculas, las cuales emergen despu´es del choque junto con otra part´ıcula adicional. Los experimentos de colisi´ on de part´ıculas usualmente utilizan protones contra protones y estos experimentos se pueden disponer de dos maneras: en la primera forma, un prot´ on de energ´ıa propia E0 es acelerado hasta alcanzar cierta energ´ıa total E1 , el cual se hace chocar contra un prot´ on en reposo. En la segunda forma los dos protones se aceleran hasta una energ´ıa final de E2 cada uno y se hacen colisionar frontalmente. En ambos casos la energ´ıa total del sistema es E = E1 = 2E2 , sin embargo las energ´ıas disponibles son diferentes. Calcular la energ´ıa disponible ED en cada experimento. Asumir que E = 30Gev y E0 = 0,94Gev para el prot´ on. 7. Sistema de dos electrones. Un electr´ on de masa propia m0 se est´ a moviendo con una energ´ıa cin´etica que es el doble de su

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´ 4.3. PROBLEMAS DE DINAMICA RELATIVISTA

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energ´ıa propia, en la direcci´ on de otro electr´ on que se encuentra en reposo en el sistema de referencia del laboratorio Σ. a ¿Cu´ al es la velocidad del electr´ on m´ ovil medida en Σ? b Calcular los cuadrivectores momento de los dos electrones y el cuadrivector momento total del sistema en Σ. c ¿Cu´ al es la velocidad del sistema de referencia centro de masa? Calcular las componentes del cuadrivector momento de cada electr´ on en el sistema de referencia centro de masa ΣCM . d Calcular la masa propia total del sistema de dos part´ıculas, en Σ y en el sistema de referencia centro de masa ΣCM . 8. Sistema de dos fotones. Dos fotones de la misma energ´ıa E, con respecto a un sistema de referencia inercial Σ, se propagan, el primero en la direcci´ on del eje x positivo y el segundo en la direcci´ on del eje y positivo. a Calcular los cuadrivectores momento de los dos fotones y el cuadrivector momento total del sistema en Σ. b ¿Cu´ al es la velocidad del sistema de referencia centro de masa? c Calcular la masa propia del sistema de dos fotones. 9. Part´ıcula compuesta. En el sistema de laboratorio un electr´ on de energ´ıa cin´etica 2m0 c2 /3 choca con un positr´ on (part´ıcula de la misma masa que el electr´ on y de carga positiva) en reposo y forma un ´ atomo de positronio. a ¿Cu´ al es la masa propia del positronio? b ¿Qu´e velocidad final adquiere el ´atomo de positronio? c Si el ´ atomo de positronio, despu´es de un tiempo corto se desintegra de nuevo en un electr´ on y un positr´ on, ¿cu´al es la velocidad de las part´ıculas finales si ellas son emitidas formando el mismo ´ angulo con respecto a la direcci´ on de movimiento del positronio? ¿Cu´anto vale este ´angulo? d Analizar si el proceso de colisi´ on completo e− + e+ −→ Ap −→ e− + e+

(4.46)

es el´ astico o inel´ astico, donde e− representa al electr´ on, e+ al positr´ on y Ap al ´atomo de positronio.

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´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

10. Aniquilaci´ on de part´ıculas. Considere un electr´ on que se mueve con energ´ıa cin´etica de 2m0 c2 /3 y choca con un positr´ on en reposo aniquil´ andose el electr´ on y el positr´ on en dos fotones: e− + e+ −→ γ + γ a Con respecto a la direcci´ on de incidencia del electr´ on, ¿en qu´e direcciones deben salir los fotones para que uno de ellos tenga energ´ıa m´ axima? En este caso ¿cu´al es la energ´ıa de cada fot´on? b Si en el proceso de aniquilaci´on los dos fotones salen formando un ´ angulo igual (y opuesto) con respecto a la direcci´ on de incidencia, ¿cu´anto vale el ´angulo? y ¿qu´e energ´ıa tiene cada fot´on? c Resolver los dos numerales anteriores analizando el problema para un observador en reposo con respecto al sistema de referencia centro de masa de las part´ıculas iniciales. 11. Absorci´ on at´ omica. Un ´atomo de hidr´ogeno en su estado base, con masa propia M0 , se encuentra en reposo en el sistema laboratorio Σ. Un fot´on de energ´ıa Q choca contra el ´atomo y es absorbido por este, pasando a su primer estado excitado n = 2. Sea ˜ 0 la masa propia del ´atomo excitado y M ˜ 0 c2 − M0 c2 Q0 = M

(4.47)

la diferencia de las energ´ıas propias del hidr´ogeno despu´es y antes de la colisi´ on. a Encontrar una expresi´ on para la energ´ıa Q que debe tener el fot´on incidente, en funci´on de la energ´ıa de excitaci´on Q0 y la masa propia del ´atomo M0 en su estado base. b Demostrar que la diferencia entre la energ´ıa del fot´on incidente Q y la energ´ıa interna de excitaci´on del ´atomo corresponde a la energ´ıa cin´etica del ´atomo excitado. c Calcular num´ericamente Q teniendo en cuenta que Q0 corresponde a la diferencia entre los niveles de energ´ıa interna n = 2 y n = 1, y calcular la velocidad con que retrocede el ´atomo al absorber el fot´on de energ´ıa Q.

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´ 4.3. PROBLEMAS DE DINAMICA RELATIVISTA

12. Cohete fot´ onico. El motor de m´ axima eficiencia que se podr´ıa llegar a construir es el cohete fot´onico, el cual convierte el 100 % del combustible (materia) en radiaci´ on colimada (fotones). Supongamos que en los problemas del cap´ıtulo de cinem´ atica Viaje interestelar 1 y Viaje interestelar 2 la nave dispone de un cohete fot´onico. Calcular qu´e porcentaje de la masa inicial del cohete M0 se gasta en el viaje en cada caso. 13. Dispersi´ on el´ astica prot´ on-prot´ on. En el sistema laboratorio una part´ıcula de masa propia m0 y energ´ıa cin´etica K choca el´ asticamente contra otra part´ıcula id´entica en reposo. Calcular el ´ angulo entre las dos part´ıculas despu´es de la colisi´ on en funci´ on de K y m0 , si las dos part´ıculas salen con la misma energ´ıa. Aplicar el resultado para protones, con m0 c2 = 938,27231M eV y K = 437M eV . Sutton et ´al. ([8]) obtuvieron el valor experimental de 84,0o ± 0,2o . 14. Procesos prohibidos. Demostrar que los siguientes procesos de colisi´ on son prohibidos: un prot´ on en reposo emite un fot´on y retrocede p −→ p + γ (4.48) Un fot´on se desintegra en un par electr´ on-positr´ on γ −→ e− + e+

(4.49)

Un par electr´ on-positr´ on se aniquila dando lugar a un fot´ on e− + e+ −→ γ

(4.50)

donde γ representa un fot´on de energ´ıa dada, p un prot´ on, e− un electr´ on y e+ un positr´ on. 15. Experimentos de coincidencia. En el experimento original del efecto Compton se midi´ o la energ´ıa del fot´on dispersado en funci´on del ´ angulo de dispersi´ on, pero no se midi´ o el electr´ on dispersado. Calcular la energ´ıa y el ´angulo de dispersi´ on del electr´ on en funci´on de la energ´ıa del fot´on incidente y el ´angulo de dispersi´ on del fot´on. 16. Reflexi´ on inel´ astica de un fot´ on en un ´ atomo. Un fot´on de energ´ıa Qi choca contra un ´atomo de hidr´ogeno en reposo que se encuentra en su primer estado excitado. Despu´es de la colisi´ on el atomo pasa a su estado base y el fot´on se dispersa con la misma ´ energ´ıa retrocediendo.

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´ CAP´ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

a ¿El choque es el´ astico o inel´ astico? b Cu´ al es la velocidad del ´atomo despu´es de la colisi´ on? c ¿Cu´ al es la energ´ıa Qi del fot´on incidente?

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Cap´ıtulo 5

Tensores En este cap´ıtulo se introducen los conceptos fundamentales del c´alculo tensorial. Los tensores ser´ an definidos en t´erminos de sus propiedades de transformaci´on, bajo un cambio de sistemas de coordenadas. Todas las definiciones dadas, as´ı como sus propiedades, son generales, i. e. son v´alidas para transformaciones generales de coordenadas, pero este cap´ıtulo se restringir´ a exclusivamente a las transformaciones de Lorentz, aun cuando se mantiene en lo posible una notaci´ on general.

5.1.

Definiciones fundamentales

Definici´ on 7 Sean Σ y Σ′ dos sistemas de referencia inerciales y sean xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) y x′µ = (x′0 , x′1 , x′2 , x′3 ) las coordenadas de un evento f´ısico medidas en Σ y Σ′ respectivamente. Entonces una transformaci´ on de Lorentz de las coordenadas est´ a definida como: xµ 7−→ x′µ = Λµν xν

(5.1)

tal que el producto punto minkowskiano queda invariante bajo esta transformaci´ on de coordenadas. Definici´ on 8 Un escalar de Lorentz es una cantidad (en general una funci´ on de las coordenadas) que es invariante bajo transformaciones de Lorentz. Ejemplos de escalares de Lorentz son: la masa propia de una part´ıcula, el intervalo de tiempo propio entre dos eventos, la norma de todo cuadrivector, el producto interno de cuadrivectores, etc. 41 i

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CAP´ITULO 5. TENSORES

Definici´ on 9 Un cuadrivector V es una cantidad cuyas componentes, denotadas por V µ , µ = 0, 1, 2, 3, medidas por el observador inercial Σ, se transforman bajo una transformaci´ on de Lorentz de las coordenadas (ecuaci´ on (5.1)), de la misma manera que las coordenadas, es decir: V ′µ = Λµν V ν

(5.2)

donde V ′µ denota las componentes del cuadrivector V medidas en el sistema de referencia Σ′ . A las cantidades V µ se las llama las componentes contravariantes del cuadrivector V. Definici´ on 10 Un tensor T de segundo orden dos veces contravariante es un conjunto de 42 componentes T µν ; µ, ν = 0, 1, 2, 3, medidas en un sistema de referencia Σ, tales que bajo una transformaci´ on de Lorentz (ecuaci´ on (5.1)) sus componentes se transforman como: T ′µν = Λµα Λνβ T αβ

(5.3)

donde T ′µν denota las componentes del tensor T en el sistema de referencia Σ′ . Definici´ on 11 La definici´ on anterior se generaliza al caso de un tensor T contravariante de orden r, como un objeto de 4r componentes, medidas en un sistema de referencia Σ, cuyas componentes se transforman bajo una transformaci´ on de Lorentz (5.1) en la forma: µ

µ

µ

T ′µ1 µ2 ...µr = Λ ν11 Λ ν22 · · · Λ νrr T ν 1 ν 2 ...ν r

(5.4)

As´ı, se define un tensor de orden cero como un escalar y un tensor contravariante de orden uno como un cuadrivector. Definici´ on 12 La distancia espacio-tiempo entre dos eventos de coordenadas xµ y xµ + dxµ est´ a definida por ds2 = η µν dxµ dxν

(5.5)

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5.1. DEFINICIONES FUNDAMENTALES

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Esta distancia es un invariante bajo una transformaci´on de coordenadas, es decir: ds2 = η µν dxµ dxν = η µν dx′µ dx′ν (5.6) donde la matriz de Minkowski η (tambi´en llamada tensor m´etrico de Minkowski) est´ a definida por:   1; si µ = ν = 0 η µν := −1; si µ = ν = 1, 2, 3 (5.7)  0; si µ 6= ν Entonces por la invarianza de ds2 se tiene que

ds2 = η µν dx′µ dx′ν = η µν Λµα Λνβ dxα dxβ = η αβ dxα dxβ

(5.8)

por lo tanto se debe cumplir la relaci´ on: η αβ = Λµα Λνβ η µν

(5.9)

det(η αβ ) = −1

(5.10)

Dado que entonces existe la matriz de transformaci´on inversa (η αβ )−1 , cuyas componentes se denotan por η αβ , y satisfacen la siguiente relaci´ on: ηη −1 = 1

⇐⇒ η αβ η βσ =δ ασ

(5.11)

donde δ ασ son los elementos de la matriz identidad. Los elementos de la matriz inversa de Minkowski coinciden num´ericamente con η αβ , y adem´ as son matrices sim´etricas, i. e. η αβ = η βα η αβ = η βα

(5.12)

. La inversa de una transformaci´on de Lorentz est´ a dada por: xµ = Λν con Λν

µ

µ ′ν

x

= (Λµν )−1 ⇐⇒ Λν

(5.13) ε ν Λµ

= δ µε

(5.14)

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CAP´ITULO 5. TENSORES

Definici´ on 13 Se definen las “componentes” covariantes de un cuadrivector V como Vα := η αβ V β

(5.15)

As´ı, dadas las componentes covariantes Vµ , entonces sus correspondientes componentes contravariantes se obtienen de la transformaci´on inversa: V µ = η µν Vν

(5.16)

Esta definici´on se generaliza para el caso de tensores de cualquier rango. Por ejemplo, las componentes covariantes de un tensor de segundo orden est´ an relacionadas con sus componentes contravariantes por la ecuaci´ on: Tµν = η µα η νβ T αβ

(5.17)

y en forma similar se pueden definir las componentes de un tensor de segundo orden una vez contravariante y una vez covariante, con las siguientes posibilidades: T αβ = η βµ T αµ

Tαβ = η µα T µβ

;

(5.18)

De esta forma, T αβ , Tµν , T α β y Tα β son todas diferentes representaciones de un mismo tensor de segundo rango T. Las componentes covariantes de un tensor de rango uno, bajo una transformaci´on de Lorentz, se transforman como: Vα′ = Λα

µ

Vµ

(5.19)

La ley general de transformaci´on de las componentes covariantes y contravariantes de un tensor cualquiera T, r-veces contravariante y sveces covariante, est´ a dada por: ′µ µ ...µ

µ

µ

µ

...ν r 2 r = Λ ν11 Λ ν22 · · · Λ νrr Λγδ11 Λγδ22 · · · Λγδrr Tδν11δν22...δ Tγ 1 1γ 2 ...γ s s

(5.20)

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5.1. DEFINICIONES FUNDAMENTALES

5.1.1.

´ Algebra y propiedades de simetr´ıa de tensores

Definici´ on 14 Sea n Πrs = T |

...ν r Tδν11δν22...δ s

o

el conjunto de todos los tensores r-veces contravariante y s-veces covariante. As´ı, en esta notaci´ on, un escalar es un elemento de Π00 , un cuadrivector contravariante es un elemento de Π10 y uno covariante de Π01 , etc. Definici´ on 15 Dados dos tensores T, S ∈ Πrs definimos la suma y la multiplicaci´ on por un escalar λ ∈ R, por: ...ν r ...ν r ...ν r ...ν r + Sδν11δν22...δ := Tδν11δν22...δ := (T + S)νδ 11δν22...δ Qνδ11δν22...δ s s s s ...ν r ...ν r ...ν r Pδν11δν22...δ := (λT )δν11δν22...δ := λTδν11δν22...δ s s s

(5.21) (5.22)

Definici´ on 16 Dados dos tensores T ∈ Πrs y S ∈ Πpq , se define el producto tensorial como: ν ν ...ν ν

...ν

ν

ν

...ν

r+1 r+p ν 1 ν 2 ...ν r r+1 r+2 r+p Wδ 11δ22...δsrδs+1 ...δs+q := Tδ 1 δ 2 ...δs Sδs+1 δ s+2 ...δs+q

(5.23)

r+p . el cual es un tensor de Πs+q

Definici´ on 17 Dado un tensor T ∈ Πrs se define la contracci´ on del ´ındice contravariante αi (1 ≤ i ≤ r) con el ´ındice covariante β j (1 ≤ j ≤ s) por: (α )

...αi ...αr α1 α2 ...σ...αr r−1 C(β i) (Tβα1βα2...β ...β ) := Tβ β ...σ...β ∈ Πs−1 j

1 2

j

s

1 2

s

(5.24)

La operaci´ on de subir y bajar ´ındices es un caso particular de combinar las operaciones de producto tensorial y contracci´ on. Definici´ on 18 Un tensor T de segundo rango del tipo Π20 , con componentes T αβ en un sistema de referencia Σ, se llama sim´etrico si T αβ = T βα

(5.25)

T αβ = −T βα

(5.26)

y antisim´etrico si

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CAP´ITULO 5. TENSORES

Esta definici´on es v´alida tambi´en para las componentes covariantes de un tensor de segundo rango y puede ser generalizada a cualquier par de ´ındices de un tensor de rango n ≥ 2. Por ejemplo T αβγ = T βαγ

(5.27)

es un tensor sim´etrico en sus dos primeros ´ındices contravariantes y T αβγ = −T αγβ

(5.28)

es antisim´etrico en sus dos u ´ltimos ´ındices contravariantes. Definici´ on 19 Dado un tensor T de segundo rango del tipo Π20 , con componentes T αβ en un sistema de referencia Σ, se define un nuevo tensor, denotado como T (αβ) , por la operaci´ on T (αβ) :=

1 αβ (T + T βα ) 2

(5.29)

el cual por definici´ on es sim´etrico, es decir T (αβ) = T (βα) . Definici´ on 20 Se define la operaci´ on de antisimetrizaci´ on de un tensor dado T αβ , que se denota como T [αβ] , por: T [αβ] :=

1 αβ (T − T βα ) 2

(5.30)

De la misma manera se tiene que si un tensor T αβ es sim´etrico, entonces el tensor antisimetrizado es cero, y si T αβ es antisim´etrico, entonces T [αβ] = T αβ (5.31) Claramente estas operaciones son v´alidas tambi´en para tensores del tipo Π02 . Estas operaciones de simetrizaci´on y antisimetrizaci´on se pueden generalizar a tensores de orden mayor: T (α1 ···αr ) :=

1 X Pσ (α1 ···αr ) T r!

(5.32)

Pσ

T [α1 ···αr ] :=

1 X (−1)Nσ T Pσ (α1 ···αr ) r!

(5.33)

Pσ

donde la suma se realiza sobre todas las permutaciones de los ´ındices (α1 , · · ·, αr ) y Nσ = ±1 es el signo de la permutaci´ on.

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´ GENERAL DE COORDENADAS 5.2. TRANSFORMACION

La generalizaci´ on del producto cruz del ´algebra usual de vectores tridimensionales corresponde al producto tensorial de vectores antisimetrizado. As´ı, sean Aα y B β las componentes de dos cuadrivectores en un sistema de referencia Σ, entonces se define un nuevo tensor como el producto tensorial antisimetrizado de estos dos cuadrivectores: 1 C αβ := A[α B β] = {Aα B β − Aβ B α } 2

(5.34)

Un caso especial de un tensor de cuarto rango completamente antisim´etrico es el tensor de Levi-Civita, definido por la ecuaci´ on:  on par de 0123  +1 si αβγδ es permutaci´ εαβγδ := −1 si αβγδ es permutaci´ on impar de 0123 (5.35)  0 en los dem´ as casos

Este tensor, al igual que el tensor m´etrico de Minkowski, tiene la particularidad que en todos los sistemas de referencia inerciales sus componentes poseen el mismo valor num´erico.

5.2.

Transformaci´ on general de coordenadas

Un cambio general de coordenadas entre los sistemas Σ y Σ′ se puede expresar como un conjunto de cuatro ecuaciones, donde las nuevas coordenadas primadas son funciones continuas, con inversa continua, de las coordenadas no primadas. As´ı la transformaci´on de coordenadas y su inversa se pueden escribir como: x′µ = x′µ (xα )

(5.36)

xβ = xβ (x′ν )

(5.37)

Notemos que si exigimos que las transformaciones de coordenadas sean lineales, entonces estas ecuaciones se reducen a la forma: x′µ = Λµ α xα xβ = Λν

(5.38)

β ′ν

x

(5.39) µ

con los coeficientes de las transformaciones Λ α (y los de la transformaci´ on inversa Λνβ ) constantes, independientes de las coordenadas. Con la identificaci´ on ∂x′µ (5.40) Λµ α = ∂xα

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CAP´ITULO 5. TENSORES

Λν

β

=

∂xβ ∂x′ν

las ecuaciones que definen la ley de transformaci´on (y su inversa), para las componentes de cualquier vector en los dos sistemas de referencia, se pueden escribir en la forma V ′µ =

∂x′µ ν V ∂xν

(5.41)

Vµ =

∂xµ ′ν V ∂x′ν

(5.42)

Λµ α Λνα = δ µν

(5.43)

Entonces, la relaci´ on es equivalente a

∂x′µ ∂xα = δ µν (5.44) ∂xα ∂x′ν Esta relaci´ on se obtiene directamente si aplicamos la regla de la cadena para las derivadas a la transformaci´on id´entica x′µ (xα (x′ν )) ≡ x′µ .

5.2.1.

Operadores vectoriales

La generalizaci´ on del vector gradiente del c´alculo vectorial usual so3 bre R ~ =( ∂ , ∂ , ∂ ) (5.45) ∇ ∂x ∂y ∂z el cual al actuar sobre una funci´on escalar produce un vector en la direcci´ on del m´ aximo cambio de la funci´on, es el operador diferencial ∂µ =

∂ ∂xµ

que al actuar sobre una funci´on escalar de las coordenadas genera un cuadrivector covariante ∂µ Φ = (

∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ , , , ) ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3

Las componentes del operador gradiente se transforman, bajo un cambio de coordenadas, como las componentes covariantes de un cuadrivector, es decir ∂µ′ = Λµ ν ∂v (5.46)

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´ 5.3. PROBLEMAS DE ALGEBRA TENSORIAL

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A partir de esta definici´on se pueden construir los operadores de uso m´ as frecuente en f´ısica, siguiendo los mismos procedimientos que en el caso del c´ alculo vectorial tridimensional est´ andar. µ Para el caso de un campo vectorial Ψ (xα ), esto es, una funci´on vectorial de las coordenadas, si se toma el producto interno minkowskiano entre este campo vectorial y el vector gradiente: ∇ · Ψ = ∂ν Ψν

(5.47)

se obtiene la cuadridivergencia que corresponde a la generalizaci´ on del operador divergencia tridimensional. Adem´as, tomando el producto interno del operador gradiente consigo mismo, se obtiene el operador de D´Alembert que es un invariante (un escalar) bajo transformaciones de coordenadas, as´ı:  = η µν ∂µ ∂ν = ∂ µ ∂µ =

∂2 − ∇2 ∂x02

(5.48)

Finalmente la generalizaci´ on del rotacional se define como un tensor de segundo rango antisim´etrico obtenido por la operaci´ on: ∂[α Ψβ] = ∂α Ψβ − ∂β Ψα

5.3.

(5.49)

Problemas de ´ algebra tensorial

1. Transformaci´ on de componentes covariantes. A partir de la propiedad (5.50) η αβ = Λµα Λνβ η µν que debe satisfacer una transformaci´on de Lorentz Λµα y de la definici´on de componentes covariantes de un cuadrivector Vα := η αβ V β

(5.51)

y de la ley de transformaci´on para las componentes contravariantes V ′α = Λαβ V β

(5.52)

encontrar la ley de transformaci´on para las componentes covariantes del cuadrivector V, i. e., demostrar que Vα′ = Λα

µ

Vµ

(5.53)

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CAP´ITULO 5. TENSORES

2. Componentes covariantes del cuadrivector momento. Dadas las componentes contravariantes del cuadrimomento en un sistema de referencia Σ,
p0 , p1 , p2 , p2   E , px , py , pz = c

p =

(5.54)

encontrar las componentes covariantes. 3. Transformaci´ on de componentes covariantes. A partir de las ecuaciones de transformaci´on para las componentes covariantes de un cuadrivector, mostrar que las ecuaciones de transformaci´on para la energ´ıa y el momento de una part´ıcula son las mismas sin importar si se trabaja con sus componentes contravariantes o covariantes. 4. Propiedades de simetr´ıa. Considere un tensor de segundo rango contravariante T αβ . a Muestre que si el tensor es sim´etrico en un sistema de referencia tambi´en es sim´etrico en todos los sistemas de referencia. Similarmente si es antisim´etrico. b A partir de T αβ encontrar sus componentes covariantes Tαβ y mostrar que si T αβ es sim´etrico entonces Tαβ tambi´en lo es. Similarmente si es antisim´etrico. ¿Qu´e sucede con las componentes mixtas T α β y Tα β ? 5. Tensor m´ etrico de Minkowski. Mostrar, por c´alculo directo, que el tensor m´etrico de Minkowski η αβ tiene las mismas componentes en todos los sistemas coordenados. Similarmente η αβ y el tensor m´etrico mixto δ αβ . ...αr ...αr ´ las componentes y Rβα1...β 6. Algebra de tensores. Sean Tβα1...β 1 s 1 s de dos tensores r − veces contravariantes y s − veces covariantes medidas en un sistema de referencia Σ, y λ un n´ umero real.

a Demostrar que las cantidades ...αr ...αr = λTβα1...β Sβα1...β 1

s

1

s

(5.55)

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´ 5.3. PROBLEMAS DE ALGEBRA TENSORIAL

se transforman como las componentes de un tensor r − veces contravariante y s−veces covariante bajo una transformaci´on de Lorentz. b Demostrar que las cantidades ...αr ...αr ...αr + Rβα1...β = Tβα1...β Qαβ 1...β 1

s

1

s

1

s

(5.56)

se transforman como las componentes de un tensor r − veces contravariante y s−veces covariante bajo una transformaci´on de Lorentz. 7. Contracci´ on de tensores. Demuestre que la contracci´ on de tensores es una operaci´ on tensorial. Es decir, muestre que el conjunto de cantidades obtenidas por la contracci´ on de cualquier ´ındice covariante con cualquier ´ındice contravariante de un tensor dado T r − veces contravariante y s − veces covariante, conforman las componentes de un tensor r − 1 veces contravariante y s − 1 veces covariante. 8. Tensor de Levi-Civita. El tensor de Levi-Civita est´ a definido por la ecuaci´ on (5.35). a Mostrar que las componentes del tensor de Levi-Civita tienen el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales. b Calcular las componentes del tensor de Levi-Civita completamente covariante. c Calcular εαβγδ εαβγδ

(5.57)

9. El tensor dual. Dado un tensor de segundo rango covariante antisim´etrico, i. e. Fαβ = −Fβα (5.58) entonces: a Calcular las componentes contravariantes del tensor dual, definido como 1 (5.59) (∗F )αβ = εαβγδ Fγδ 2

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CAP´ITULO 5. TENSORES

b Bajando los ´ındices con el tensor m´etrico de Minkowski, encontrar las componentes covariantes del tensor dual: (∗F )αβ = η αµ η βν (∗F )µν

(5.60)

1 (∗F )αβ = εαβγδ F γδ 2

(5.61)

y demostrar que

c Comparar el resultado anterior si definimos el dual de un tensor de segundo orden contravariante antisim´etrico por la relaci´ on 1 ∗Fαβ = εαβγδ F γδ 2

(5.62)

teniendo en cuenta que las componentes covariantes y contravariantes del tensor F est´ an relacionadas por F αβ = η αµ η βν Fµν

(5.63)

d Demostrar que ∗ (∗F ) = −F 10. Transformaci´ on general de coordenadas. Las ecuaciones de transformaci´on de Lorentz usuales entre sistemas de referencia inerciales (5.64) x′α = Λα β xβ corresponden, matem´ aticamente, a una transformaci´on de coordenadas
x′α = x′α x0 , x1 , x2 , x3 = x′α (xµ ) (5.65)

con α = 0, 1, 2, 3.

a Encontrar la relaci´ on entre los elementos de la matriz jacobiana de la transformaci´on de coordenadas   ′0 ∂x′0 ∂x′0 ∂x′0 ∂x 0 1 2 3 ∂x′1 ∂x′1 ∂x′1 ∂x′1   ∂x′α  ∂x ∂x ∂x
  ∂x 0 1 2 3  ′ ∂x ∂x ∂x ∂x (5.66) J x, x =  ∂x′2 ∂x′2 ∂x′2 ∂x′2  = ∂xβ  ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3  ∂x′3 ∂x0

∂x′3 ∂x1

∂x′3 ∂x2

∂x′3 ∂x3

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´ 5.3. PROBLEMAS DE ALGEBRA TENSORIAL

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b Calcular los elementos de la transformaci´on de coordenas inversa (el jacobiano de la transformaci´on inversa), asumiendo que el determinante de la matriz de Jacobi no es nulo, y relacionarlos con los correspondientes elementos de la matriz de Lorentz inversa. 11. Derivada de un tensor. Sea T αβ (x) una funci´on tensorial de las coordenadas de segundo orden contravariante. Muestre que las funciones obtenidas, diferenciando con respecto a las coordenadas las componentes del tensor T αβ , es decir ∂ αβ T ≡ ∂γ T αβ ≡ T αβ ,γ ∂xγ

(5.67)

bajo una transformaci´on de Lorentz se comportan como las componentes de un tensor de tercer orden, dos veces contravariante y una vez covariante, es decir α β σ µν T ′αβ ,γ = Λ µ Λ ν Λγ T ,σ

(5.68)

Este resultado se puede generalizar a tensores arbitrarios, es de...αr es un tensor r − veces contravariante y s − veces cir si Tβα1...β 1 s covariante, entonces ∂ α1 ...αr ...αr ...αr = Tβα1...β Tβ ...β = ∂γ Tβα1...β γ 1 s ,γ 1 s 1 s ∂x

(5.69)

es un tensor r−veces contravariante y s+1−veces covariante. Este resultado es v´alido solamente si la transformaci´on de coordenadas es lineal (ver el siguiente problema). 12. Transformaci´ on general de coordenadas y derivadas. Sea Vα (x) un campo tensorial covariante y considerando una transformaci´ on de coordenadas general (no lineal) x′α = x′α (xµ )

(5.70)

entonces mostrar que las cantidades ∂ Vα = ∂γ Vα = Vα,γ ∂xγ

(5.71)

no se transforman como las componentes de un tensor dos veces covariante. ¿Bajo qu´e condici´ on las cantidades Vα,γ corresponden a las componentes de un tensor de segundo orden?

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CAP´ITULO 5. TENSORES

13. El tensor energ´ıa-momento. Muchos sistemas f´ısicos, como un fluido o el campo electromagn´etico, se pueden caracterizar por una cantidad f´ısica llamada el tensor energ´ıa-momento T αβ , con la propiedad que sea sim´etrico T αβ = T βα

(5.72)

y que cumpla con la ecuaci´ on ∂ αβ T =0 (5.73) ∂xβ El modelo simple, pero de inter´es f´ısico, de un fluido relativista es conocido como el fluido perfecto, el cual est´ a determinado por dos funciones escalares ρ0 (x) y p0 (x). La funci´on ρ0 representa la densidad de energ´ıa propia del fluido en cada punto del espaciotiempo x, es decir ρ0 corresponde a la densidad de energ´ıa del fluido en cada punto del espacio-tiempo medida por un observador inercial con respecto al cual el fluido se encuentra en reposo, as´ı ρ0 = c2

dm0 dV0

(5.74)

donde dm0 es la masa propia contenida en el elemento de volumen propio dV0 , y la funci´on p0 (x) representa la presi´on propia del fluido en el punto x. Las componentes del tensor energ´ıa-momento del fluido, en el sistema de referencia propio, est´ an dadas por   ρ0 0 0 0  0 p0 0 0   T0αβ (x) =  (5.75)  0 0 p0 0  0 0 0 p0

donde el sub´ındice cero se refiere al sistema de referencia propio. Utilizando la matriz de transformaci´on de Lorentz general, ecuaci´ on (7.334), encontrar los elementos del tensor energ´ıa-momento para un observador arbitrario que se mueve con velocidad ~u y mostrar que los elementos del tensor se pueden escribir como T αβ = (p0 + ρ0 )U α U β − p0 η αβ

(5.76)

donde U α es la cuadrivelocidad del fluido respecto al observador arbitrario, definida por Uα =

dxα = γ(~u)(1, ~β) ds

(5.77)

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Cap´ıtulo 6

Electrodin´ amica 6.1.

Introducci´ on

Las leyes de la electrodin´ amica, constituidas por las ecuaciones de Maxwell, la ecuaci´ on de continuidad para la carga y la ley de la fuerza de Lorentz, son v´alidas en el marco de los postulados de Einstein de la teor´ıa especial de la relatividad. En efecto, las leyes que rigen los fen´omenos electromagn´eticos no dependen del sistema de referencia inercial y por lo tanto las ecuaciones de la electrodin´amica deben permanecer invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Esta invarianza implica que los campos el´ectricos y magn´eticos deben satisfacer ciertas ecuaciones de transformaci´on entre sistemas de referencia, de tal manera que las leyes de la electrodin´ amica mantengan su forma para todos los observadores inerciales. Una consecuencia de la covarianza de las ecuaciones de Maxwell es que el campo el´ectrico y magn´etico debe describirse en forma unificada a trav´es del tensor campo electromagn´etico. Otra forma de ver el car´ acter relativista de los fen´omenos electromagn´eticos es a partir del campo el´ectrico est´ atico, asumiendo la validez de la ley de Coulomb para cargas en reposo y las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz, y mostrar mostrar que la existencia del campo magn´etico es un efecto relativista. A trav´es de los problemas del presente cap´ıtulo desarrollaremos estas dos formas de entender los fen´omenos electromagn´eticos en el marco de los postulados de la teor´ıa de la relatividad especial. 55 i

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6.2.

´ CAP´ITULO 6. ELECTRODINAMICA

Ecuaciones de Maxwell

Las leyes de la electrodin´ amica est´ an constituidas por dos conjuntos de ecuaciones. El primer conjunto lo conforman las ecuaciones de Maxwell que est´ an dadas por (en unidades cgs): ~ ·E ~ = 4πρ ∇

(6.1)

~ ·B ~ =0 ∇

(6.2)

~ ~ ×B ~ = 1 ∂ E + 4π J~ ∇ c ∂t c ~ ~ ×E ~ + 1 ∂B = 0 ∇ c ∂t

(6.3) (6.4)

~ y magn´etico B ~ en las cuales nos determinan los campos el´ectrico E t´erminos de sus fuentes (cargas y corrientes), con ρ la densidad volum´etrica de carga y J~ la densidad de corriente el´ectrica. La primera de estas ecuaciones (6.1) es la ley de Gauss y establece que las cargas el´ectricas son fuente del campo el´ectrico. La segunda ecuaci´ on (6.2), ley de Gauss para el campo magn´etico, nos dice que no existen fuentes para el campo magn´etico. La tercera ecuaci´ on de Maxwell (6.3) contiene dos t´erminos: la ley de Amp`ere, esto es, que las ~ corrientes el´ectricas (representadas en el t´ermino 4π J/c) producen cam~ pos magn´eticos y por otra parte est´ a el t´ermino 1/c∂ E/∂t, introducido por Maxwell, que nos dice que campos el´ectricos variables en el tiempo son tambi´en una fuente de campo magn´etico. La u ´ltima de las ecuaciones de Maxwell (6.4) es la ley de inducci´on de Faraday, la cual establece que campos magn´eticos variables en el tiempo inducen campos el´ectricos. El segundo conjunto de ecuaciones que conforman las leyes de la electrodin´amica lo constituyen la ecuaci´ on de continuidad y la ley de la fuerza de Lorentz: ~ · J~ + ∂ρ = 0 (6.5) ∇ ∂t d~ p ~ + q ~u × B ~ = qE (6.6) dt c donde q es la carga de la part´ıcula y ~u su velocidad medida con respecto a un sistema de referencia inercial. La primera de estas ecuaciones (6.5), la ecuaci´ on de continuidad, establece que la carga el´ectrica es conservada en la naturaleza. Es de anotar que esta ley de conservaci´on de la carga est´ a contenida en las

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6.2. ECUACIONES DE MAXWELL

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ecuaciones de Maxwell y por lo tanto no constituye una ley independiente de la electrodin´ amica, pues si tomamos la divergencia de la ecuaci´ on (6.3) tenemos que   ~ ~ · ∂ E + 4π ∇ ~ · J~ ~ · ∇ ~ ×B ~ = 1∇ (6.7) ∇ c ∂t c intercambiando la derivada espacial y temporal, utilizando la primera ecuaci´ on de Maxwell (6.1) y teniendo en cuenta que la divergencia del rotacional se anula, obtenemos la ecuaci´ on de continuidad: 0 = =

~ ·E ~ 4π ~ ~ 1 ∂∇ + ∇·J c ∂t c 4π ~ ~ 4π ∂ρ + ∇·J c ∂t c

(6.8)

Finalmente, la u ´ltima ecuaci´ on (6.6) corresponde a la ley de la fuerza de Lorentz, la cual nos da la ecuaci´ on de movimiento para una carga puntual en presencia de un campo electromagn´etico. La ley de Coulomb describe la fuerza entre part´ıculas cargadas estacionarias: q1 q2 f~12 = k 2 rˆ (6.9) r donde q1 y q2 miden las cargas el´ectricas de las part´ıculas, r es la distancia entre ellas, con rˆ un vector unitario en la direcci´ on del radio vector que une la carga 1 con la carga 2, y k es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegido (k = 1 en el sistema cgs). Entonces f~12 nos mide la fuerza que la carga q2 experimenta debido a la carga q1 , siendo esta fuerza atractiva o repulsiva dependiendo del signo de las cargas. Adem´as esta expresi´ on de la fuerza satisface, por su definici´on, la tercera ley de Newton, esto es f~12 = −f~21

(6.10)

A partir de la ecuaci´ on (6.9) podemos escribir la ley de Coulomb en la forma: ~ 1 (~r) f~12 = q2 E (6.11) ~ 1 (~r), definida como donde la cantidad E ~ 1 (~r) := q1 rˆ E r2

(6.12)

representa el campo el´ectrico producido por la carga q1 en el punto ~r.

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´ CAP´ITULO 6. ELECTRODINAMICA

Estas expresiones para la fuerza (6.9) y el campo el´ectrico (6.12) son v´alidas para un observador inercial Σ, con respecto al cual la carga q1 est´ a en reposo. Es un hecho experimental que la fuerza sobre la carga de prueba q2 es independiente del estado de movimiento de la carga de prueba, lo cual est´ a impl´ıcito en la expresi´ on para la fuerza de Coulomb, pues ella depende solamente de la posici´ on instant´anea de la carga q2 . Adem´ as, tanto la fuerza de Coulomb como el campo el´ectrico producido por la carga q1 , son independientes del tiempo siempre y cuando la carga q1 se encuentre en reposo. Experimentalmente determinamos la fuerza f~12 sobre la carga de prueba q2 en el sistema de referencia inercial Σ, midiendo la rata de cambio del momento p~2 de la carga q2 , es decir midiendo d~ p2 /dt, as´ı como tambi´en las otras variables cinem´ aticas y din´ amicas que entran en la definici´on de la fuerza de Coulomb, tales como la distancia entre la carga q1 y la de prueba, la velocidad (nula en este caso) de la carga q1 y el momento ~ p2 de q2 .

6.3.

Ecuaciones de Maxwell covariantes

La ecuaci´ on de continuidad (6.5) la podemos escribir, en forma expl´ıcitamente covariante, como: ∂µ J µ = 0

(6.13)

donde el cuadrivector corriente J ν se ha definido en la forma: ~ J ν := (J 0 , J 1 , J 2 , J 3 ) = (cρ, J)

(6.14)

La componente temporal J 0 representa la densidad de carga (siendo la carga un invariante relativista) y las componentes espaciales J i , i = 1, 2, 3 corresponden a las componentes del vector densidad de corriente el´ectrica. En las ecuaciones de Maxwell (6.1) a (6.4), los campos el´ectri~ y magn´eticos B ~ son vectores cartesianos usuales y por lo tanto cos E no corresponden a ninguna cantidad relativista, es decir a un escalar de Lorentz, o a un cuadrivector, o a un tensor. Por esta raz´ on se define el tensor campo electromagn´etico F medido por un observador inercial Σ, como un tensor de segundo rango antisim´etrico cuyas componentes contravariantes est´ an dadas por: F 12 = −F 21 = Bz F 01 = −F 10 = Ex F αα = 0

F 23 = −F 32 = Bx F 02 = −F 20 = Ey

F 31 = −F 13 = By F 03 = −F 30 = Ez ∀α = 0, 1, 2, 3

(6.15)

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6.3. ECUACIONES DE MAXWELL COVARIANTES

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Con esta definici´on, podemos escribir las dos primeras ecuaciones de Maxwell (ecuaciones (6.1) y (6.2)) en la forma: 4π β J (6.16) c la cual es una ecuaci´ on covariante relativista. Esto significa que esta ecuaci´ on tiene la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir, en un sistema de referencia Σ′ , para el cual F ′αβ y J ′β son las correspondientes componentes del tensor campo electromagn´etico y densidad de corriente, las dos primeras ecuaciones de Maxwell tienen la forma: 4π ∂α′ F ′αβ = − J ′β (6.17) c donde las componentes de la densidad de corriente J ′β y del tensor F ′αβ medidas en Σ′ , est´ an relacionadas con las medidas en Σ, por las ecuaciones de transformaci´on: ∂α F αβ = −

J ′µ = Λµα J α

(6.18)

F ′µν = Λµα Λνβ F αβ

(6.19)

Estas relaciones nos dan las ecuaciones de transformaci´on para las fuentes y los campos el´ectricos y magn´eticos medidas por dos observadores inerciales. Las ecuaciones de Maxwell homog´eneas (6.2) y (6.4), con la ayuda del tensor de Levi-Civita (5.35) introducido en el cap´ıtulo anterior, las podemos escribir en la forma: εαβγδ ∂β Fγδ = 0

(6.20)

en esta u ´ltima ecuaci´ on se ha utilizado el tensor de Minkowski para bajar los ´ındices del tensor electromagn´etico F, esto es: Fγδ = η αγ η βδ F αβ

(6.21)

la cual nos representa las componentes covariantes del tensor campo electromagn´etico. Finalmente consideremos la ecuaci´ on de la fuerza de Lorentz (ecuaci´ on (6.6)), que podemos escribir en forma covariante como: dpα (6.22) fα = dτ q dxγ η βγ F βα = c dτ γ dx q F α = c γ dτ

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´ CAP´ITULO 6. ELECTRODINAMICA

donde pα es el cuadrimomento de la part´ıcula de carga q, τ el tiempo propio, xγ sus coordenadas de posici´ on y Fγα las componentes mixtas del tensor campo electromagn´etico definidas por: Fγα = η γσ F σα

6.4.

(6.23)

Transformaciones Gauge

Hay dos teoremas del c´ alculo diferencial en varias variables, que nos permiten escribir las ecuaciones de Maxwell en forma m´ as compacta: Teorema 21 Sea F~ una funci´ on vectorial tal que su rotacional es cero, i. e., ~ × F~ = 0 ∇ (6.24)

entonces la funci´ on F~ se puede escribir como el gradiente de una funci´ on escalar Ψ(~r), esto es: ~ r) F~ = ∇Ψ(~ (6.25) Teorema 22 Sea F~ una funci´ on vectorial tal que su divergencia es cero, i. e., ~ ·F ~ =0 ∇ (6.26)

~ se puede escribir como el rotacional de una funentonces la funci´ on F ~ r ), esto es: ci´ on vectorial Υ(~ ~ × Υ(~ ~ r) F~ = ∇

(6.27)

Si aplicamos estos dos resultados del c´alculo vectorial, los campos el´ectrico y magn´etico se pueden escribir en t´erminos del potencial vec~ y del potencial escalar Φ en la forma: torial A ~ =∇ ~ ×A ~ B

(6.28)

~ ~ ~ = − ∂ A − ∇Φ (6.29) E ∂t El signo menos en la ecuaci´ on anterior permite interpretar directamente al potencial Φ, para el caso de campos independientes del tiempo, como el trabajo por unidad de carga realizado por el campo el´ectrico, llamado potencial electrost´ atico, el cual es un campo conservativo. Estos dos teoremas del c´ alculo vectorial corresponden a casos particulares de un teorema m´ as general de tensores:

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6.4. TRANSFORMACIONES GAUGE

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Teorema 23 Sean Tαβ las componentes covariantes de un tensor de segundo rango antisim´etrico, tal que εαβγδ ∂β Tγδ = 0

(6.30)

entonces el tensor Tαβ se puede escribir como el “rotacional” de una funci´ on cuadrivectorial W γ , es decir Tαβ = ∂[α Wβ] = ∂α Wβ − ∂β Wα

(6.31)

As´ı, dado que las dos ecuaciones de Maxwell homog´eneas (6.2) y (6.4) se pueden escribir en la forma εαβγδ ∂β Fγδ = 0

(6.32)

donde Fγδ es el tensor campo electromagn´etico; entonces, de acuerdo con el teorema anterior el tensor campo electromagn´etico Fγδ se puede escribir en la forma Fγδ = ∂γ Aδ − ∂δ Aγ =

∂Aγ ∂Aδ − γ ∂x ∂xδ

(6.33)

donde el cuadrivector Aµ , definido como: ~ Aµ := (Φ, A)

(6.34)

~ el potencial vectorial y Φ el potencial es llamado el cuadripotencial,con A escalar definidos en la ecuaciones (6.28) y (6.29) respectivamente. Con esta definici´on del cuadripotencial Aµ , podemos escribir las ecuaciones de Maxwell inhomog´eneas en la forma: ∂ µ ∂µ Aγ − ∂ µ ∂γ Aµ = −4πJγ

(6.35)

De esta manera, la u ´ltima ecuaci´ on es equivalente a las ecuaciones de campo de Maxwell, pues dadas las fuentes de los campos J α y resolviendo la ecuaci´ on (6.35), conocemos el cuadripotencial Aµ y as´ı los campos electromagn´eticos. Si realizamos la transformaci´on Aµ ⇀ A˜µ = Aµ + ∂µ Λ

(6.36)

donde Λ es una funci´ on cualquiera de las coordenadas, la funci´on Fγδ permanece invariante bajo la transformaci´on (6.36) y as´ı tambi´en los ~ y B. ~ La transformaci´on (6.36) se llama campos electromagn´eticos E una transformaci´on “gauge”.

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´ CAP´ITULO 6. ELECTRODINAMICA

Estas transformaciones juegan un papel fundamental en la teor´ıa cu´ antica de campos y en las teor´ıas de unificaci´on de las interacciones fundamentales. Finalmente, dado que el cuadripotencial Aµ no est´ a definido de manera u ´nica, entonces podemos imponer sobre ´el una condici´ on o ecuaci´ on de ligadura, llamada la elecci´on de un gauge particular, la ~ y B. ~ As´ı, cual no cambia la f´ısica, es decir no cambian los campos E por ejemplo si se escoge funci´on arbitraria Λ en la ecuaci´ on (6.36), de tal manera que el potencial cuadrivectorial Aµ cumpla con la ecuaci´ on: ∂ µ Aµ = 0

(6.37)

llamado el gauge de Lorentz, entonces la ecuaci´ on (6.35) se simplifica, reduci´endose a la ecuaci´ on: Aµ = −Jµ

(6.38)

que es la ecuaci´ on de ondas inhomog´enea. El operador , el cual es invariante bajo transformaciones de Lorentz, est´ a definido por la ecuaci´ on =

6.5.

1 ∂2 ~2 −∇ 2 2 c ∂t

(6.39)

Problemas de electrodin´ amica

1. Conservaci´ on de la carga. Muestre que la ecuaci´ on de continuidad para la carga ∂α J α = 0 (6.40) implica la conservaci´ on total de la carga el´ectrica. 2. Cuadricorriente de una part´ıcula. Consideremos una part´ıcula de carga q en reposo respecto a un observador inercial Σ. a Escribir las componentes del cuadrivector densidad de corriente medidas en el sistema Σ. b Considerar un segundo sistema de referencia inercial Σ′ que se mueve con velocidad −v respecto a Σ a lo largo del eje x. Encontrar las componentes del cuadrivector densidad de corriente en Σ′ , es decir para una part´ıcula que se mueve a velocidad constante respecto a un observador inercial. c ¿Qu´e sucede con la carga total del sistema medida por los dos observadores inerciales Σ y Σ′ ?

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´ 6.5. PROBLEMAS DE ELECTRODINAMICA

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3. Ecuaciones de Maxwell covariantes. Mostrar que las ecuaciones de Maxwell covariantes ∂α F αβ = −

4π β J c

εαβγδ ∂β Fγδ = 0

(6.41) (6.42)

implican las ecuaciones de Maxwell vectoriales. 4. Fuerza de Lorentz. A partir de la ecuaci´ on covariante para la fuerza sobre una part´ıcula cargada en un campo electromagn´etico fα = = =

dpα dτ q dxγ η βγ F βα c dτ γ q α dx F c γ dτ

(6.43)

encontrar la fuerza de Lorentz e interpretar las componentes del cuadrivector fuerza. 5. Campo el´ ectrico de carga en movimiento. El campo el´ectrico producido por una carga estacionaria Q se define como la relaci´ on entre la fuerza sobre una carga de prueba q por unidad de carga, es decir ~ ~ = l´ım Fq (6.44) E q→0 q con Qq (6.45) F~q = k 2 rˆ r donde asumimos que la carga Q est´ a en el origen de coordenadas y la carga de prueba q est´ a situada en un punto de coordenadas ~r. Notemos que la fuerza sobre q es v´alida independiente del estado de movimiento de la carga de prueba, es decir depende solo de su posici´ on instant´anea. Consideremos una part´ıcula de carga Q movi´endose con velocidad constante v respecto a un observador inercial Σ. A partir de la ley de Coulomb encontrar el campo el´ectrico medido en Σ debido a la carga Q. Para resolver este problema supongamos que la carga Q se encuentra en el origen de coordenadas de Σ en el instante t = 0 y se mueve en la direcci´ on del eje x positivo y la carga de prueba q est´ a en reposo respecto a

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´ CAP´ITULO 6. ELECTRODINAMICA

Σ en un punto de coordenadas ~r = (x, y, z). Considere primero el caso particular ~r = (x, 0, 0) y luego ~r = (0, y, 0) y a partir de estos resultados encuentre el caso general cuando ~r = (x, y, z).

Figura 6.1: Causalidad y el campo el´ectrico de una carga en movimiento uniforme. Campo el´ectrico en dos instantes para una carga en movimiento uniforme.

6. Causalidad y campo el´ ectrico de una carga en movimiento uniforme. El campo el´ectrico de una carga en movimiento uniforme obtenido en el problema anterior plantea una aparente contradicci´ on con el postulado de la constancia de la velocidad de la luz y por ende con el principio de causalidad en la f´ısica, pues el resultado obtenido establece que el campo el´ectrico de una carga en movimiento uniforme en un punto del espacio es radial y depende solo de la distancia entre la posici´ on instant´anea de la carga y el punto de observaci´on, como se muestra en la figura (6.1). Argumentar por qu´e este resultado para el campo el´ectrico no viola el principio de causalidad. Compare la situaci´ on anterior con una carga que se mueve a velocidad constante a lo largo del eje x respecto a un observador inercial y en un instante, por ejemplo t = 0, la carga es frenada r´ apidamente hasta alcanzar el reposo. Dibujar las l´ıneas de campo el´ectrico para un tiempo t < 0 y para t > 0, con t >> δt donde δt es el tiempo que tarda la carga en alcanzar el reposo. 7. Fuerza sobre una carga en movimiento. Calcular la fuerza sobre una part´ıcula de prueba q debida a una carga fuente Q. La carga q se mueve con velocidad ~u respecto a un sistema de

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´ 6.5. PROBLEMAS DE ELECTRODINAMICA

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referencia inercial Σ y se encuentra en el instante t = 0 en un punto de coordenadas ~r, mientras que la carga fuente Q se mueve a velocidad constante v en la direcci´ on del eje x positivo y la cual pasa por el origen de Σ en t = 0 (ver figura (6.2)). Para resolver este problema considere primero los dos casos siguientes: primero la carga de prueba q est´ a en la posici´ on ~r = (x, 0, 0)

(6.46)

y con velocidad arbitraria. Segundo, la carga q se encuentra en la posici´ on ~r = (0, y, 0) (6.47) y tiene velocidad ~u = (ux , 0, 0)

(6.48)

y generalice para una velocidad arbitraria. A partir de estos resultados considere la situaci´ on general.

Figura 6.2: Fuerza sobre una carga en movimiento. En el instante t = 0 la carga q se encuentra en la posici´ on ~r. En todos los casos anteriores compare la fuerza F~ sobre la part´ıcula de prueba con la fuerza F~E calculada en el problema 5 de esta secci´ on y encuentre la diferencia ~M = F~ − F~E F

(6.49)

la cual se interpreta como la fuerza magn´etica, y muestre que se puede escribir en la forma ~ F~M = q~u × B

(6.50)

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´ CAP´ITULO 6. ELECTRODINAMICA

8. Transformaci´ on general del campo electromagn´ etico. A partir del tensor campo electromagn´etico F αβ y de la ley de transformaci´ on para las componentes contravariantes bajo un cambio de sistema de referencia F ′′αβ = Λαµ Λβν F µν

(6.51)

encontrar las ecuaciones de transformaci´on de los campos el´ectrico y magn´etico, medidas por dos observadores inerciales relacionados por una transformaci´on de Lorentz usual. 9. Campo de una carga en movimiento. Encontrar los campos el´ectrico y magn´etico de una carga Q que se mueve a velocidad constante v a partir de las ecuaciones de transformaci´on de las componentes del campo electromagn´etico encontradas en el problema anterior. Suponga que la carga pasa por el origen de un sistema de referencia inercial Σ en t = 0 y se mueve en la direcci´ on del eje x positivo. 10. Invariantes del campo electromagn´ etico. A partir del tensor campo electromagn´etico F αβ construir dos invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Ayuda: considerar el tensor dual ∗F .

~ y 11. Campos ortogonales. Demuestre que si un campo el´ectrico E ~ forman el mismo ´angulo para todos los observauno magn´etico B dores inerciales, entonces los campos son ortogonales, i. e. ~ ·B ~ =0 E

(6.52)

12. El tensor energ´ıa-momento del campo electromagn´ etico. El tensor campo electromagn´etico est´ a definido por   1 1 αβ σδ ασ β αβ η F Fσδ − F F σ (6.53) T = 4π 4 ~ y B. ~ Moscalcular sus componentes en t´erminos de los campos E trar que la componente 1 h ~ 2 ~ 2i (6.54) E +B T 00 = 8π representa la densidad de energ´ıa del campo electromagn´etico, T 0i las componentes del vector de Pointing ~ ×B ~ ~= 1 E S 4π

(6.55)

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´ 6.5. PROBLEMAS DE ELECTRODINAMICA

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y T ij las componentes del tensor de tensiones del campo electromagn´etico:   1 1  ~ 2 ~ 2 +B (6.56) T ij = E i E j + B i B j + δ ij E 4π 2 13. Ecuaci´ on de continuidad del tensor Tµν . Demostrar que el tensor energ´ıa-momento del campo electromagn´etico tiene cuadridivergencia nula si no hay fuentes, es decir probar que ∂T αβ =0 ∂xβ

(6.57)

si J α = 0. ¿Qu´e ecuaci´ on cumple T αβ si J α 6= 0? 14. La traza del tensor Tµν . Demostrar que la traza del tensor energ´ıa-momento del campo electromagn´etico tiene traza cero, es decir T σσ = 0 (6.58) 15. Otro invariante relativista. Demostrar que T 00 es un invariante relativista.


2

~ |2 −|S

(6.59)

16. Trayectoria en campo el´ ectrico constante. Un prot´ on de carga +e incide con velocidad ~v0 en una regi´ on de campo el´ectrico ~ Si la velocidad inicial del prot´ constante E. on ~v0 es perpendicular al campo el´ectrico, encontrar la trayectoria del prot´ on. 17. Trayectoria en campo magn´ etico constante. Un prot´ on de carga +e se mueve con velocidad |~v | constante en una regi´ on de ~ Si la velocidad es perpendicular al campo magn´etico constante B. campo magn´etico, encontrar la trayectoria del prot´ on y calcular la frecuencia de giro en funci´on del radio de la trayectoria, el campo magn´etico, la velocidad y la masa propia del prot´ on.

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Cap´ıtulo 7

Cinem´ atica relativista 7.1.

Soluciones de problemas de cinem´ atica

1. Estructura causal. El intervalo espacio-temporal (2.12) para los eventos P1 = (3, 2, 0, 2), P2 = (4, −1, 0, 2) y P3 = (−2, −1, 0, −2) est´ a dado por: 2 = (4 − 3)2 − (−1 − 2)2 − (0 − 0)2 − (2 − 2)2 = −8 ∆S12

(7.1)

2 ∆S13 = (−2 − 3)2 − (−1 − 2)2 − (0 − 0)2 − (−2 − 2)2 = 0 (7.2) 2 = (−2 − 4)2 − (−1 + 1)2 − (0 − 0)2 − (−2 − 2)2 = 20 (7.3) ∆S23

a Si el intervalo espacio-temporal es mayor o igual a cero, los eventos est´ an causalmente conectados. Por lo tanto los eventos P1 y P3 son nulos y est´ an causalmente conectados y los eventos P2 y P3 son temporales y tambi´en est´ an causalmente conectados. b La condici´ on para que dos eventos separados en el espacio puedan ser simult´ aneos para un observador, es que no est´en causalmente conectados y por lo tanto su intervalo espaciotemporal debe ser menor que cero. As´ı, para los eventos P1 y P2 existe un sistema de referencia inercial Σ′ tal que los dos eventos son simult´ aneos. Para calcular la velocidad consideremos la transformaci´on de Lorentz usual, ecuaci´ on (2.4), ′0 ′0 para las componentes temporales x1 y x2 de los dos eventos medidas por Σ′ , 0 1 x′0 (7.4) 1 = γ(x1 − βx1 ) 68 i

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0 1 x′0 2 = γ(x2 − βx2 )

(7.5)

′0 x′0 1 = x2

(7.6)

e imponiendo la condici´ on que en Σ′ los eventos son simult´ aneos

podemos encontrar la velocidad Σ′ respecto a Σ, as´ı: γ(x01 − βx11 ) = γ(x02 − βx12 )

(7.7)

despejando β de esta ecuaci´ on y remplazando los valores para las coordenadas tenemos β=

1 x02 − x01 =− 1 1 3 x2 − x1

(7.8)

por lo tanto la velocidad del sistema Σ′ respecto a Σ es   1 (7.9) ~v = − c, 0, 0 3 c Para que exista un sistema de referencia Σ′ con respecto al cual los dos eventos sucedan en el mismo punto del espacio, se requiere que los dos eventos sean temporales, por lo tanto esta condici´ on se cumple para los eventos P2 y P3 . Para calcular la velocidad de Σ′ respecto a Σ aplicamos las transformaciones de Lorentz para la coordenada espacial. Dadas las coordenadas de los eventos y teniendo en cuenta que en este caso el movimiento relativo de los sistemas debe ser a lo largo de los ejes z − z ′ , tenemos 3 0 x′3 2 = γ(x2 − βx2 )

(7.10)

3 0 x′3 3 = γ(x3 − βx3 )

(7.11)

′3 igualando las coordenadas x′3 2 = x3 , despejando β y remplazando obtenemos 2 x3 − x32 (7.12) = β = 30 0 3 x3 − x2

por lo tanto la velocidad del sistema Σ′ respecto a Σ est´ a dada por   2 ~v = 0, 0, c (7.13) 3

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2. La paradoja del garaje. Con respecto al sistema de referencia del garaje los eventos, llegada del frente del bus a la pared posterior del garaje y llegada de la parte posterior del bus a la puerta del garaje, son simult´ aneos y suceden en puntos diferentes del espacio, pues la longitud f´ısica del bus ℓ es ℓ = ℓ0

r

1−

v2 = 10m × 0,6 = 6m c2

(7.14)

Esto significa que los dos eventos son espaciales y por lo tanto no est´ an conectados causalmente.

Figura 7.1: La paradoja del garaje. Llegada del bus al garaje vista por los dos observadores inerciales Σ y Σ′ .

Esto implica que para otros observadores los dos eventos pueden suceder en cualquier orden temporal. De esta forma, desde el punto de vista de un observador ligado al bus, primero llega la pared del fondo del garaje y un tiempo despu´es llega la entrada del garaje a la parte posterior del bus, sin que esto implique que los eventos est´en causalmente conectados. Para ver mejor este razonamiento consideremos dos sistemas de coordenadas, ligadas al bus (Σ′ ) y al garaje (Σ), y supongamos que elegimos los or´ıgenes de coordenadas en la puerta del garaje y en la parte posterior del bus y tomamos t = t′ = 0 cuando los or´ıgenes coinciden y el eje x positivo en la direcci´ on de movimiento del bus. Los dos eventos, P1 : llegada de la parte delantera del bus a la pared y P2 : llegada de la parte posterior del bus a la puerta del garaje, tienen las siguientes coordenadas

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con respecto al sistema Σ: P1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) = (0, ℓ, 0, 0)

(7.15)

P2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) = (0, 0, 0, 0)

(7.16)

Aplicando una transformaci´on de Lorentz usual, las coordenadas de los dos eventos respecto a Σ′ son: x′0 = γ(x01 − βx11 ) 1

= −γβℓ = −βℓ0

x′1 = γ(x11 − βx01 ) 1 = γℓ = ℓ0

(7.17)

(7.18)

as´ı ′1 ′2 ′3 P1 = (x′0 1 , x1 , x1 , x1 )

= (−βℓ0 , ℓ0 , 0, 0)

′1 ′2 ′3 P2 = (x′0 2 , x2 , x2 , x2 )

= (0, 0, 0, 0)

(7.19)

(7.20)

esto significa que para Σ′ el evento P1 sucede antes que el evento P2 , es decir, en el instante en que el bus impacta con la pared del garaje, la puerta del garaje a´ un no ha llegado a la parte posterior del bus. Adem´ as supongamos que en el momento del impacto se propaga una se˜ nal hacia la parte posterior del bus (por la onda de deformaci´ on) a la m´ axima velocidad posible c, entonces esta se˜ nal alcanza la parte posterior del bus un tiempo ℓ0 /c, despu´es del impacto, es decir en el instante −βℓ0 + ℓ0 = ℓ0 (1 − β) > 0

(7.21)

lo cual significa que la informaci´ on (viajando a la velocidad c) llega a la parte posterior del bus despu´es que ha llegado la puerta del garaje. En la figura (7.1) se ilustra en una secuencia lo que se “observa” desde cada sistema de referencia inercial.

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

3. Varilla inclinada. Para encontrar el ´angulo que forma la varilla respecto al sistema de referencia inercial Σ, consideremos las coordenadas de los extremos de la varilla medidas por Σ y por un observador Σ′ ligado a la varilla. Sean P1 y P2 los eventos que representan la medida hecha por el observador Σ de los extremos de la varilla, entonces las coordenadas en Σ de estos eventos son P1 = (x01 , x11 , x21 , 0)

(7.22)

P2 = (x02 , x12 , x22 , 0)

(7.23)

asumiendo que la varilla se encuentra en el plano x − y, adem´ as 0 0 x1 = x2 pues la medida de los extremos de la varilla deber ser realizada por Σ simult´ aneamente. Por lo tanto el ´angulo de inclinaci´ on de la varilla con respecto al eje x que mide Σ es tan θ =

x22 − x21 x12 − x11

(7.24)

Para el observador Σ′ el ´angulo θ0 est´ a dado por tan θ0 =

′2 x′2 2 − x1 ′1 x′1 2 − x1

(7.25)

Dado que la varilla se mueve a velocidad constante a lo largo del eje x, las coordenadas de los extremos de la varilla est´ an relacionadas por la transformaci´on de Lorentz usual; as´ı, teniendo en cuenta que x01 = x02 , tenemos tan θ0 = = por lo tanto

x22 − x21

γ(v) x12 − βx02 − γ(v) x11 − βx01 x22 − x21
γ(v) x12 − x11

tan θ = γ(v) tan θ0

(7.26)

(7.27)

es decir, el ´ angulo que forma la varilla con respecto a su direcci´ on de movimiento medido por el observador Σ es mayor en el factor γ(v). 4. Paradoja de la varilla inclinada. Para analizar el problema consideremos dos sistemas de referencia inerciales, Σ ligado a la

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plataforma con origen en el centro de la rendija y Σ′ ligado a la varilla con origen en su centro y orientemos los ejes x− x′ positivos en la direcci´ on de movimiento de la varilla y tomemos t = t′ = 0 cuando el centro de la varilla pasa por el centro de la rendija. Ver figura (7.2). El ´angulo que forma la varilla y la plataforma con respecto al observador inercial Σ es θ = 45o . Del resultado obtenido en el problema anterior, ecuaci´ on (7.27), el ´angulo θ0 que forma la varilla m´ ovil con respecto a la direcci´ on de movimiento, medido en el sistema de referencia propio de la varilla, es menor en el factor γ(v), es decir tan θ0 =

1 1 tan θ = 1

(7.29)

Estos resultados implican que, con respecto al sistema de referencia propio de la varilla, la plataforma (y por tanto el orificio) se mueve hacia la varilla con un ´angulo de inclinaci´ on mayor que el de la varilla y por lo tanto la varilla s´ı pasa por el orificio. En la

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

figura (7.3) se muestra la secuencia del paso de la varilla por el agujero, visto en el sistema de referencia Σ′ . La parte inferior del agujero llega primero a la varilla en un instante t′1 < 0, luego en el instante t′ = 0 el centro del agujero pasa por el centro de la varilla y finalmente en un instante posterior t′2 > 0 pasa la parte superior. Para probar esta afirmaci´on consideremos los tres eventos siguientes: P1 la parte inferior de la varilla y rendija coinciden, P2 la parte superior de la varilla y la rendija coinciden y P0 el centro de la varilla y el centro del orificio coinciden. La longitud propia de la rendija es ℓ0 y la plataforma forma un ´angulo de 45o con respecto al eje de las x, entonces, para el sistema de referencia Σ, los tres eventos son simult´ aneos y las coordenadas est´ an dadas por P0 = (0, 0, 0, 0)

√ √ P1 = (0, ℓ0 2/2, −ℓ0 2/2, 0) √ √ P2 = (0, −ℓ0 2/2, ℓ0 2/2, 0)

(7.30) (7.31) (7.32)

Figura 7.3: Paradoja de la varilla inclinada. Sistema de referencia de la varilla Σ′ .

Para calcular las coordenadas de estos eventos con respecto al sistema de referencia Σ′ de la varilla aplicamos una transformaci´ on de Lorentz usual. Entonces las coordenadas del evento P0 son (0, 0, 0, 0), pues elegimos los ejes de los sistemas que coincidieran en t = t′ = 0, cuando los centros de la varilla y del agujero se crucen. ′1 ′2 ′3 Si llamamos a las coordenadas del evento P1 = (x′0 1 , x1 , x1 , x1 ),

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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entonces

√ ℓ0 2 (7.33) = − = −βγ 2 √ ℓ0 2 ′1 1 0 x1 = γ(x1 − βx1 ) = γ (7.34) 2 √ ℓ0 2 2 x′2 (7.35) 1 = x1 = − 2 ′1 ′2 ′3 Para el evento P2 = (x′0 2 , x2 , x2 , x2 ) obtenemos √ ℓ0 2 ′0 0 1 x2 = γ(x2 − βx2 ) = βγ (7.36) 2 √ ℓ0 2 ′1 1 0 (7.37) x2 = γ(x2 − βx2 ) = −γ 2 √ ℓ0 2 2 (7.38) x′2 2 = x2 = 2 Estos resultados muestran que el evento P1 sucede antes que el evento P0 y este antes que el evento P2 , pasando la varilla por la rendija para todos los observadores inerciales. x′0 1

γ(x01

βx11 )

5. Adici´ on de velocidades no paralelas. Consideremos las dos transformaciones de Lorentz siguientes: Λ(vx ) : Σ −→ Σ′ x 7→ x′ = Λ(vx )x

con Λα y



γ(vx ) −β x γ(vx )  −β x γ(vx ) γ(vx )  β (vx ) =  0 0 0 0

0 0 1 0

(7.39)

 0 0   0  1

Λ(vz ) : Σ′ −→ Σ′′ x′ 7→ x′′ = Λ(vz )x′

con Λα



γ(vz )  0  β (vz ) =  0 −β z γ(vz )

0 1 0 0

 0 −β z γ(vz )  0 0   1 0 0 γ(vz )

(7.40)

(7.41)

(7.42)

donde β i = vi /c y γ i = γ(vi ), con i = x, z.

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

a La composici´ on de transformaciones de Lorentz Λ(vx ) Λ(vz ) ′ Σ −→ Σ −→ Σ′′ ′ ′′ x 7→ x = Λ(vx )x 7→ x = Λ(vz )Λ(vx )x corresponde al producto matricial de los elementos de la transformaci´ on,    γz 0 0 −β z γ z γx −β x γ x 0 0    −β x γ x 0 1 0 0 γx 0 0        0 0 1 0 0 0 1 0  −β z γ z 0 0 γz 0 0 0 1   γxγz −β x γ x γ z 0 −β z γ z  −β x γ x  γx 0 0  =  (7.43)   0 0 1 0 −γ x β z γ z β x γ x β z γ z 0 γz b La composici´ on de transformaciones de Lorentz Σ x

Λ(vz ) Λ(vx ) −→ Σ′ −→ Σ′′ ′ ′′ 7→ x = Λ(vz )x 7→ x = Λ(vx )Λ(vz )x

tiene como elementos matriciales   γx −β x γ x 0 0 γz  −β x γ x   0 γx 0 0    0 0 0 1 0  −β z γ z 0 0 0 1   γ xγ z −β x γ x 0 −γ x β z γ z  −β x γ x γ z γx 0 βxγxβz γz   =    0 0 1 0 −β z γ z 0 0 γz

0 1 0 0

 0 −β z γ z  0 0   1 0 0 γz (7.44)

los cuales son claramente diferentes al caso a. Este resultado muestra que, en general, la composici´ on de transformaciones puras de Lorentz no es conmutativa, salvo cuando las dos se realizan a lo largo del mismo eje.

6. Vida media de part´ıculas inestables. Dado que los mesones π se mueven a una velocidad constante v en el sistema laboratorio,

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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el tiempo que requieren para recorrer la distancia D es t=

D v

(7.45)

En el sistema laboratorio, al cabo de este tiempo, han sobrevivido 2/3 de las part´ıculas iniciales, as´ı 2 N0 = N0 2−t/tM = N0 2−D/(vtM ) 3

(7.46)

donde el tiempo de vida media tM de los mesones π, en el sistema laboratorio, est´ a relacionado con su vida media propia τ por

entonces ln

tM = γ(v)τ

(7.47)

2 D =− ln 2 3 vγτ

(7.48)

y por lo tanto τ =−

D ln 2 vγ(v) ln(2/3)

(7.49)

remplazando los valores para D y v obtenemos τ = 2,5 × 10−8 s

(7.50)

7. Cuadrivector velocidad. A partir de la definici´on de tiempo propio, ecuaci´ on (2.21), y tomando la derivada con respecto a la coordenada temporal t, obtenemos la siguiente relaci´ on: 2

c



dτ dt

2

2

=c −



dx1 dt

2

−



dx2 dt

2

−



dx3 dt

2

(7.51)

Entonces, teniendo en cuenta que la velocidad f´ısica de una part´ıcula medida por un observador inercial Σ est´ a definida como  1  d~r dx dx2 dx3 ~u = = , , = (ux , uy , uz ) (7.52) dt dt dt dt la ecuaci´ on (7.51) implica dt = γ(~u) = dτ

|~u|2 1− 2 c

!−1/2

(7.53)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

Aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta que x0 = ct, las componentes del cuadrivector velocidad se pueden escribir en t´erminos de la velocidad f´ısica de la part´ıcula: U=

dx dt dx = = γ(~u)(c, ux , uy , uz ) dτ dτ dt

(7.54)

es decir U 0 = cγ(~u) U i = γ(~u)ui ;

(7.55)

i = 1, 2, 3

(7.56)

Similarmente, dadas las componentes del cuadrivector velocidad, entonces las componentes de la velocidad f´ısica est´ an dadas por Ui ui = 0; c U

i = 1, 2, 3

(7.57)

Otra relaci´ on u ´til entre las componentes del cuadrivector velocidad la podemos obtener a partir de su norma: q (7.58) U 0 = c2 + (U 1 )2 + (U 2 )2 + (U 3 )2

Finalmente, calculemos la norma de la velocidad f´ısica en funci´on de la componente temporal del cuadrivector velocidad. Para este fin es suficiente despejar |~u| de la ecuaci´ on (7.55): γ(~u) =

1 q

2

=

U0 c

1 − |~uc2| r  c 2 |~u| = c 1 − U0

=⇒

(7.59)

8. Cuadrivector aceleraci´ on. Para encontrar la relaci´ on entre las componentes del cuadrivector aceleraci´ on y las componentes de la aceleraci´ on f´ısica de una part´ıcula medida por un observador inercial Σ, definida por la ecuaci´ on ~a =

d~u dt

(7.60)

donde ~u es la velocidad de la part´ıcula medida en Σ, sean
dU α A0 , A1 , A2 , A3 = Aα = dτ

(7.61)

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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las componentes del cuadrivector aceleraci´ on medida por Σ. Entonces, de los resultados obtenidos en el problema anterior para el cuadrivector velocidad y aplicando la regla de la cadena, tenemos d [γ (~u) (c, ~u)] dτ dt d = [γ (~u) (c, ~u)] dτ dt  dγ (~u) d , (γ (~u) ~u) = γ (~u) c dt dt   dγ (~u) dγ (~u) d~u = γ (~u) c , ~u + γ (~u) dt dt dt

Aα =

(7.62)

para expresar esta relaci´ on en forma expl´ıcita, calculemos la derivada del factor gama de Lorentz γ (~u), as´ı " #−1/2 |~u|2 d dγ (~u) 1− 2 = dt dt c " #−3/2 |~u|2 d~u 1 = 1− 2 ~u · 2 c c dt = γ 3 (~u)

~u · ~a c2

(7.63)

donde se tuvo en cuenta la definici´on en la ecuaci´ on (7.60). Entonces las componentes del cuadrivector aceleraci´ on toman la forma   ~u · ~a 1 3 3 α γ (~u) ~u · ~a, γ (~u) 2 ~u + γ (~u) ~a (7.64) A = γ (~u) c c Para interpretar f´ısicamente esta ecuaci´ on consideremos el sistema de referencia propio de la part´ıcula, es decir un sistema de referencia inercial con respecto al cual la part´ıcula est´e moment´aneamente en reposo. Entonces, con respecto a este sistema de referencia inercial, la part´ıcula est´ a en reposo (~u = 0) y por lo tanto las componentes del cuadrivector aceleraci´ on est´ an dadas por   d~u (7.65) Aα = 0, dt ~u=~0

donde el vector

d~u ~α = dt u~ =~0

(7.66)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

corresponde a la aceleraci´ on propia de la part´ıcula, es decir, a la aceleraci´ on de la part´ıcula medida en el sistema de referencia con respecto al cual la part´ıcula est´ a en reposo. Por lo tanto, el cuadrivector aceleraci´ on es espacial y su norma al cuadrado mide la magnitud de la aceleraci´ on propia de la part´ıcula: A2 = − |~α|2

(7.67)

Para demostrar la ortogonalidad de los cuadrivectores aceleraci´ on y velocidad podemos seguir tres m´etodos equivalentes: un m´etodo es calcular el producto punto minkowskiano A · U = A0 U 0 − A1 U 1 − A2 U 2 − A3 U 3

(7.68)

Remplazando las componentes de los cuadrivectores, ecuaciones (7.54) y (7.64), tenemos A·U

= γ 5 (~u) ~u · ~a − γ 5 (~u)

~u · ~a ~u · ~u − γ 3 (~u) ~a · ~u c!2

|~u|2 = γ (~u) ~u · ~a 1 − 2 c 5

= γ 5 (~u) ~u · ~a

− γ 3 (~u) ~a · ~u

1 − γ 3 (~u)~a · ~u = 0 γ 2 (~u)

(7.69)

Otro m´etodo, m´ as directo y que utiliza la propiedad de invarianza del producto punto minkowskiano, es calcular el producto punto en el sistema de referencia propio de la part´ıcula, pues dado que en este sistema las componentes de los cuadrivectores velocidad y aceleraci´ on est´ an dadas por U = (c, 0, 0, 0)

(7.70)

A = (0, αx , αy , αz )

(7.71)

entonces un c´ alculo directo muestra que A·U =0

(7.72)

El tercer m´etodo parte de la norma del cuadrivector velocidad U 2 = c2

(7.73)

Derivando esta expresi´ on con repecto al tiempo propio, tenemos la relaci´ on buscada: 0=

dU dU 2 = 2U · = 2U · A dτ dτ

(7.74)

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9. Transformaci´ on de la velocidad. Dado que las componentes del cuadrivector velocidad U = (U 0 , U 1 , U 2 , U 3 )

(7.75)

se transforman como las componentes del cuadrivector posici´ on, cuando pasamos de un sistema de referencia inercial a otro, entonces U ′0 = γ(U 0 − βU 1 ) (7.76) U ′1 = γ(U 1 − βU 0 )

U ′2 = U 2

U ′3 = U 3

(7.77) (7.78)

con β = v/c, γ = γ(v) y v la velocidad de Σ′ respecto a Σ. Si llamamos ~u la velocidad de la part´ıcula respecto a Σ y ~u′ respecto a Σ′ y remplazamos las componentes del cuadrivector velocidad en t´erminos de la velocidad f´ısica de la part´ıcula (ver problema anterior), obtenemos cγ(~u′ ) = γ(v) (cγ(~u) − βγ(~u)ux )

(7.79)

γ(~u′ )ux′ = γ(v) (γ(~u)ux − βcγ(~u))

(7.80)

γ(~u′ )uy′ = γ(~u)uy

(7.81)

γ(~u′ )uz ′ = γ(~u)uz

(7.82)

De la ecuaci´ on (7.79) obtenemos la ecuaci´ on para la transformaci´on del factor γ de Lorentz para la velocidad:  vux  (7.83) γ(~u′ ) = γ(v)γ(~u) 1 − 2 c

Remplazando este factor de Lorentz en las ecuaciones (7.80), (7.81) y (7.82) y despejando las componentes de la velocidad f´ısica en Σ′ , obtenemos las ecuaciones de transformaci´on buscadas: ux ′ =

uy γ(v) 1 − uz = γ(v) 1 −

uy′′ = uz ′′

ux − v x 1 − vu c2 vux c2 vux c2

(7.84)







(7.85) (7.86)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

10. Velocidad relativa. Sea ~v la velocidad de la part´ıcula 2 respecto a la part´ıcula 1. Un m´etodo para calcular la velocidad relativa ~v , en funci´ on de las velocidades de las part´ıculas ~v1 y ~v2 , es utilizando transformaciones de Lorentz, sin embargo el c´alculo es largo y algebraicamente tedioso. El m´etodo que seguiremos aqu´ı aprovecha las propiedades de los cuadrivectores y el car´ acter invariante del producto punto minkowskiano. Sean U1 = (c, 0, 0, 0)

(7.87)

U2 = γ(~v )(c, ~v )

(7.88)

las componentes del cuadrivector velocidad de las part´ıculas 1 y 2 respectivamente, medidas en el sistema de referencia propio de la part´ıcula 1. Tomando el producto punto de estos dos cuadrivectores velocidad, obtenemos el invariante U1 · U2 = c2 γ(~v )

(7.89)

Para llegar al resultado buscado basta con calcular este producto punto en el sistema de referencia Σ. As´ı, dado que las componentes del cuadrivector velocidad de las part´ıculas en Σ est´ an dadas por U1 = γ(~v1 )(c, ~v1 )

(7.90)

U2 = γ(~v2 )(c, ~v2 )

(7.91)

entonces U1 · U2 = γ(~v1 )γ(~v2 ) c2 − ~v1 · ~v2




(7.92)

Teniendo en cuenta la ecuaci´ on (7.89) y definiendo ~β = ~v /c tene-

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mos ~β 2 = 1 −

=

=

=

=

1 

2 γ 2 (~β 1 )γ 2 (~β 2 ) 1 − ~β 1 · ~β 2    2 2 1 − ~β 1 1 − ~β 2 1−  2 1 − ~β 1 · ~β 2   2   2 2 1 − ~β 1 · ~β 2 − 1 − ~β 1 1 − ~β 2 2  1 − ~β 1 · ~β 2 2  2 2 2 2 ~β · ~β − 2~β 1 · ~β 2 + ~β 1 + ~β 2 − ~β 1 ~β 2 1 2 2  1 − ~β 1 · ~β 2 2 2   2 2 ~β − ~β + ~β 1 · ~β 2 − ~β 1 ~β 2 2 1 2  1 − ~β 1 · ~β 2

(7.93)

Esta expresi´ on la podemos escribir de otra forma si tenemos en cuenta la identidad vectorial        ~×B ~ · C ~ ×D ~ ~ ·C ~ ~ ·D ~ A = A B    ~ ·C ~ ~·D ~ − B A (7.94) ~=C ~ = ~β 1 y B ~ =D ~ = ~β 2 por lo tanto, tomando A  2  2 ~β − ~β ~β × ~β − 2 1 1 2 ~β 2 = 2  1 − ~β 1 · ~β 2

(7.95)

11. Espacio-tiempo euclidiano. A partir de la definici´on del par´ ametro φ, en t´erminos de la velocidad v del sistema de referencia Σ′ respecto a Σ, v (7.96) tanh φ := β = c y las siguientes definiciones e identidades para las funciones hi-

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perb´ olicas sinh φ eφ − e−φ tanh φ = 2 cosh φ eφ + e−φ 1 cosh φ = sech φ = 2 cosh φ cosh2 φ − sinh2 φ = 1 1 − tanh2 φ = sech2 φ

(7.97)

sinh (φ1 + φ2 ) = sinh φ1 cosh φ2 + cosh φ1 sinh φ2 cosh (φ1 + φ2 ) = cosh φ1 cosh φ2 + sinh φ1 sinh φ2 tanh φ +tanh φ tanh (φ1 + φ2 ) = 1+tanh1φ tanh φ2

(7.98)

sinh φ =

1

2

podemos obtener las transformaciones de Lorentz en t´erminos del par´ ametro φ. A partir de la u ´ltima identidad de las ecuaciones (7.97) se obtiene que 1 − β2 =

1 cosh2 φ

(7.99)

por lo tanto, el factor γ de Lorentz toma la forma cosh φ = γ(v)

(7.100)

sinh φ = βγ(v)

(7.101)

y as´ı Con estos resultados los elementos de la matriz de la transformaci´ on de Lorentz (2.9) se pueden escribir en la forma   cosh φ − sinh φ 0 0  − sinh φ cosh φ 0 0   Λα β =  (7.102)  0 0 1 0  0 0 0 1

El teorema de adici´ on de velocidades se obtiene como consecuencia de la u ´ltima ecuaci´ on (7.98), pues si llamamos tanh φ1 = v1 /c y tanh φ2 = v2 /c tanh φ1 = v1 /c tenemos tanh(φ1 + φ2 ) = = =

β1 + β2 1 + β 1β2 1 v1 + v2 c 1 + v1c2v2 u c

(7.103)

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con u la velocidad resultante. Esto significa que al utilizar el par´ ametro φ = tanh−1 (v/c) para representar una transformaci´on de Lorentz, la adici´ on relativista de velocidades se reduce a la suma usual de los correspondientes par´ ametros φ. La interpretaci´on geom´etrica de las transformaciones de Lorentz y del teorema de adici´on de velociades se puede obtener si tenemos en cuenta la relaci´ on entre las funciones trigonom´etricas y las hiperb´ olicas. Para este fin es suficiente tener en cuenta las siguientes definiciones y propiedades de los n´ umeros complejos: sea z ∈ C, entonces z = x + iy = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) = |z| eiϕ x = Re z, y = Im z p x2 + y 2 ; ϕ = arg z |z| = 2

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(7.104)

(7.105)

= −1

De la ecuaci´ on (7.104) podemos despejar las funciones trigonom´etricas sin ϕ y cos ϕ, 1 iϕ (e + e−iϕ ) (7.106) 2 1 (7.107) sin ϕ = (eiϕ − e−iϕ ) 2i si hacemos el remplazo ϕ → iϕ en las ecuaciones anteriores, obtenemos las siguientes relaciones con las funciones hiperb´ olicas cos ϕ =

1 cos(iϕ) = (e−ϕ + eϕ ) = cosh ϕ (7.108) 2 1 (7.109) sin(iϕ) = (e−ϕ − eϕ ) = i sinh ϕ 2i Consideremos ahora la matriz de transformaci´on de Lorentz usual, la cual se puede escribir como una transformaci´on matricial  ′0    0  γ −βγ 0 0 x x  x′1   −βγ   γ 0 0   x1  =   (7.110) ′2  x   0 0 1 0   x2  x′3 x3 0 0 0 1

y consideremos la transformaci´on compleja de la coordenada temporal t → it, o equivalentemente (x0 , x1 , x2 , x3 ) → (ix0 , x1 , x2 , x3 ) ≡ (˜ x0 , x ˜1 , x˜2 , x ˜3 )

(7.111)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

entonces las transformaciones de Lorentz, para las nuevas coordenadas, se pueden escribir en la forma  ′0    0  γ −iβγ 0 0 x ˜ x ˜ ′1  1   −iβγ  x  x ˜ γ 0 0 ˜ =    (7.112)  x ˜′2   0 0 1 0  x ˜2  x ˜′3 x ˜3 0 0 0 1 Teniendo en cuenta las relaciones (7.108) y (7.109), la transformaci´ on de Lorentz toma la forma final:  ′0    0  cos(iϕ) − sin(iϕ) 0 0 x ˜ x ˜ ′1    x   ˜1   ˜  =  − sin(iϕ) cos(iϕ) 0 0   x  (7.113) ′2    x   ˜ 0 0 1 0 x ˜2  x ˜′3 0 0 0 1 x ˜3

Si comparamos esta ecuaci´ on de transformaci´on con las ecuaciones de transformaci´on que representan una rotaci´ on r´ıgida de ejes (ver por ejemplo la secci´ on 3.2 del libro [1]), la ecuaci´ on de transformaci´ on (7.113) se puede interpretar como una rotaci´ on en un angulo iϕ del plano complejo (˜ ´ x0 , x ˜1 ) = (ict, x) en sentido de las manecillas del reloj. Adem´as, teniendo en cuenta que la composici´ on de dos rotaciones r´ıgidas de los ejes en los ´angulos ϕ1 y ϕ2 , corresponde a otra rotaci´ on en un ´angulo ϕ1 + ϕ2 , el teorema de adici´ on de velocidades con par´ ametro tanh ϕ = v/c, muestra que la composici´ on de dos transformaciones de Lorentz, a lo largo del mismo eje espacial, corresponde a una rotaci´ on en el plano complejo en un ´ angulo iϕ1 +iϕ2 . Para finalizar este problema, el producto punto minkowskiano en las coordenadas complejas (˜ x0 , x ˜1 , x ˜2 , x˜3 ) (salvo un signo negativo global) corresponde al producto punto euclidiano: x ˜ · y˜ = −(˜ x0 y˜0 + x ˜1 y˜1 + x ˜2 y˜2 + x ˜3 y˜3 )

(7.114)

Esta transformaci´on t → it se conoce como la euclidianizaci´on de la teor´ıa y es ampliamente usada en teor´ıa cu´ antica de campos. 12. Adici´ on numerable de velocidades. La forma usual del teorema de adici´ on de velocidades establece que ux′ =

ux − v x ) (1 − vu c2

(7.115)

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donde ux es la componente en la direcci´ on x de la velocidad de una part´ıcula respecto a un sistema de referencia inercial Σ, ux′ la velocidad de la part´ıcula respecto a un segundo sistema de referencia Σ′ el cual se mueve con velocidad v relativo a Σ en la direcci´ on del eje x positivo. a Para aplicar este teorema de adici´ on a los bloques, tomemos en la expresi´ on anterior v1 = v la velocidad del bloque 1 y ux′ = v2 la velocidad del bloque 2 respecto al 1. Entonces despejando ux de la ecuaci´ on (7.115) (transformaci´on inversa) ′ e identificando ux = v2 tenemos v2′ =

2v v1 + v2 2 v1 v2 = 1 + c2 1 + vc2

(7.116)

Para demostrar que v2′ → c si v → c utilicemos las cantidades adimensionales β = v/c y β´2 = v2 /c, y veamos que β´2 → 1 si β → 1. Con esta notaci´ on la ecuaci´ on (7.116) toma la forma 2β 1 + β2

(7.117)

2β =1 1 + β2

(7.118)

β´2 = entonces l´ım

β→1

como se quer´ıa probar. b Para calcular la velocidad v3′ del tercer bloque respecto a Σ podemos aplicar dos veces el resultado de la parte a y luego proceder de la misma forma para calcular la velocidad del n-´esimo bloque respecto a Σ. Sin embargo los c´alculos los podemos simplificar significativamente si utilizamos el teorema de adici´ on de velocidades en t´erminos del par´ ametro φ definido por tan φ = v/c (ver el problema anterior). As´ı, si φ = tanh−1 β = tanh−1 (v/c)

(7.119)

es la velocidad de un bloque respecto al anterior, entonces la velocidad del bloque 2 respecto a Σ (en t´erminos del par´ ametro φ) es
tanh−1 v2′ /c = φ1 + φ2 = 2φ i

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

y la velocidad del bloque n-´esimo respecto a Σ es
tanh−1 vn′ /c = nφ

(7.120)

por lo tanto

 v   vn′ = tanh (nφ) = tanh n tanh−1 c c

(7.121)

Retomando la definici´on de las funciones hiperb´ olicas (problema anterior) tenemos que  2n eφ = (cosh φ + sinh φ)2n  n = (1 + tanh φ)2 cosh2 φ " #n (1 + tanh φ)2 = sech2 φ #n " (1 + tanh φ)2 = 1 − tanh2 φ   1 + tanh φ n (7.122) = 1 − tanh φ entonces



1+β nφ = ln 1−β

Por lo tanto vn′ c

n/2

"   # 1 + β n/2 = tanh ln 1−β

n/2

n/2

= = =

(7.123)

eln((1+β)/(1−β)) − e− ln((1+β)/(1−β)) n/2 n/2 eln((1+β)/(1−β)) + e− ln((1+β)/(1−β)) ((1 + β)/(1 − β))n/2 − ((1 − β)/(1 + β))n/2 ((1 + β)/(1 − β))n/2 + ((1 − β)/(1 + β))n/2 1 − [(1 − β)/(1 + β)]n (7.124) 1 + [(1 − β)/(1 + β)]n

Ahora, puesto que l´ım

n→∞



1−β 1+β

n

=0

(7.125)

entonces vn′ → c para n → ∞.

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13. Longitud aparente. Consideremos los eventos que se muestran en la figura (7.4). a Sea x la distancia del extremo izquierdo de la varilla en el momento en que se emite el fot´on (evento P1 ), de tal manera que este alcance la c´amara (evento P4 ) simult´ aneamente con el fot´on emitido cuando el centro de la varilla pasa por el origen de coordenadas (evento P3 ) y con el fot´on emitido desde el extremo derecho de la varilla (evento P2 ). El evento P4 corresponde a la foto tomada por la c´amara.

Figura 7.4: Longitud aparente. Sucesi´on de los eventos emisi´on de fotones que llegan simult´ aneamente al observador.

La condici´ on de simultaneidad de la llegada de los fotones implica que ellos debieron ser emitidos en instantes diferentes. El tiempo t1 que tarda en llegar el fot´on del evento P1 est´ a dado por √ x2 + D 2 t1 = (7.126) c Este tiempo debe ser igual al tiempo t3 que gasta el fot´on emitido desde el centro de la varilla hasta la c´amara D (7.127) t3 = c m´ as el tiempo t4 que gasta el centro de la varilla CM en llegar al origen de coordenadas t4 =

x− v

ℓ 2

(7.128)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

donde v es la velocidad y ℓ la longitud f´ısica de la varilla medida en el sistema de referencia de la c´amara, dada por la relaci´ on r v2 ℓ0 (7.129) ℓ = ℓ0 1 − 2 = c γ(v) con ℓ0 su longitud propia. As´ı, llamando β = v/c tenemos que   p ℓ 1 x− (7.130) x2 + D 2 = D + β 2 Siguiendo un procedimiento similar para el extremo derecho de la varilla, obtenemos la distancia a la cual debe ser emitido el fot´on (evento P2 ) para que llegue a la c´amara simult´ aneamente con el fot´on emitido por el centro de la varilla. Si llamamos x ˜ esta distancia obtenemos   p 1 ℓ x ˜2 + D 2 = D + −x ˜ (7.131) β 2 Las soluciones generales a las ecuaciones (7.130) y (7.131) son expresiones complicadas y por esta raz´ on, para ilustrar c´ omo se ve la varilla en la foto, consideremos un ejemplo num´erico particular. Supongamos que la varilla se mueve con una velocidad β = 4/5 y tiene longitud propia ℓ0 = 2m y la c´ amara est´ a situada a una distancia de D = 10m; entonces, remplazando estos valores en las ecuaciones (7.130) y (7.131) obtenemos x = 0,615 12 (7.132) y x ˜ = 0,586 26

(7.133)

La interpretaci´on f´ısica de estos resultados es directa: la longitud f´ısica de la varilla p medida en el sistema de referencia de la c´ amara es ℓ = ℓ0 1 − β 2 = 1, 2m, es decir, en el instante en que el centro de la varilla pasa por el origen de coordenadas, las coordenadas de los extremos de la varilla son x± ± 0, 6m; sin embargo, en la foto, lo que observamos es que cuando el centro de la varilla pasa por el origen de coordenadas, el extremo izquierdo aparenta estar en xI = −0,615 12m mientras que el extremo derecho aparenta estar en xD = 0,586 26m, es decir la longitud aparente ℓA de la varilla est´ a dada por ℓA = xD − xI = 1,20138m

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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Para comparar estos resultados con la parte b de este problema (aproximaci´on de rayos paralelos), en la siguiente tabla se muestran los resultados num´ericos para diferentes distancias de la c´ amara (dejando fija la longitud propia y la velocidad) y calculando con cuatro cifras decimales: D xI xD ℓA 2 −0,693 44 0,542 24 1,235 7 10 −0,615 12 0,586 26 1,201 4 100 −0,601 45 0,598 57 1,2000 Cuando la distancia a la c´amara es muy grande, la longitud aparente tiende a la longitud f´ısica, lo que significa que en estas condiciones los fotones que salen de los extremos de la varilla y del centro, pr´ acticamente salen simult´ aneamente. Este resultado num´erico se puede probar formalmente si tomamos el l´ımite cuando D → ∞ en las ecuaciones (7.130) y (7.131). Por ejemplo consideremos la primera de estas ecuaciones y dividamos por D ambos lados: r   1 ℓ x2 x− (7.134) 1+ 2 =1+ D βD 2 Dado que D >> x expandimos el radical hasta t´erminos de primer orden, entonces   1 ℓ x2 = 1+ x− =⇒ 1+ 2D2 βD 2   x2 1 ℓ = x− →0 (7.135) 2D β 2 p esto implica que x → ℓ0 1 − β 2 /2, con un resultado similar para x ˜, como se quer´ıa probar. b La aproximaci´on de rayos paralelos es v´alida cuando la distancia del objeto a la c´amara es mucho mayor que las dimensiones del objeto. Tambi´en es posible obtener experimentalmente la aproximaci´on de rayos paralelos cuando la distancia del objeto a la c´ amara no es mucho mayor que las dimensiones del objeto. En la figura (7.5) se muestra un posible montaje en el cual L es una lente convergente.

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

Figura 7.5: Longitud aparente. Aproximaci ´on de rayos paralelos.

Sean x1 y x2 las coordenadas de los extremos izquierdo y derecho de la varilla respectivamente en el instante en que se emiten los correspondientes fotones (ver figura (7.5)). As´ı la longitud aparente de la varilla ℓA (registrada en la foto) est´ a dada ℓA = x1 − x2

(7.136)

Si d representa la diferencia de caminos entre los fotones emitidos por los extremos de la varilla, entonces la distancia d est´ a dada por d = (x1 − x2 ) cos α (7.137) Esto significa que el fot´on emitido desde el extremo izquierdo de la varilla debe salir en un tiempo t, dado por t=

(x1 − x2 ) ℓA d = cos α = cos α c c c

(7.138)

antes que el fot´on emitido por el extremo derecho. Si ℓ es la longitud f´ısica de la varilla medida en el sistema de referencia de la c´ amara, entonces r v2 ℓA = ℓ + vt = ℓ0 1 − 2 + vt (7.139) c donde vt corresponde al espacio que avanza la varilla durante el tiempo entre las emisiones de los dos fotones. Por lo tanto,

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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la longitud aparente de la varilla est´ a dada por ℓA = x2 − x1 r = ℓ0

1−

as´ı ℓA =

ℓ0

v2 + βℓA cos α c2

q

1−

v2 c2

1 − β cos α

(7.140)

Notemos que si la foto es tomada cuando el centro de la varilla aparenta estar en el origen de coordenadas α = 90o , entonces la longitud aparente corresponde a la longitud f´ısica, en acuerdo con la primera parte de este problema. 14. Comunicaci´ on espacial. Consideremos el sistema de referencia Σ ligado a la tierra, con el origen en la tierra y el eje x positivo en la direcci´ on de movimiento de la nave A y tomemos t = 0 en el instante que se emite la primera se˜ nal. a Con las coordenadas elegidas, el diagrama espacio-tiempo de las l´ıneas de universo se muestra en la figura (7.6), teniendo en cuenta las siguientes convenciones: T l´ınea de universo de la tierra, A l´ınea de universo de la nave A, B l´ınea de universo de la nave B, t1 tiempo de llegada de la primera se˜ nal a la nave B, t2 tiempo de llegada de la primera se˜ nal a la nave A, t3 tiempo de llegada de la primera se˜ nal reflejada en la nave B a la tierra T , t4 tiempo de llegada de la primera se˜ nal reflejada en la nave A a la tierra T y t01 , t02 , t03 y t04 los correspondientes tiempos para la segunda se˜ nal enviada en el instante t0 . b Consideremos primero la nave B u ´nicamente, pues los c´alculos para la nave A son similares cambiando v → −v. Dado que el problema es bidimensional (movimiento a lo largo del eje x) describimos las coordenadas espacio-tiempo de los eventos solo con dos componentes (ct, x, 0, 0) ≡ (ct, x). Con esta notaci´ on, sea (ct1 , x1 ) las coordenadas del evento “llegada de la primera se˜ nal a la nave B”. Dado que la nave viaja a velocidad constante y la se˜ nal parte del origen en t = 0, cuando la nave se encuentra en la posici´ on x0B = L, entonces se debe

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

Figura 7.6: Comunicaci´on espacial. L´ıneas de universo de la tierra y las dos naves.

cumplir que L = ct1 + vt1

(7.141)

as´ı, la nave B se encuentra en la siguiente posici´ on cuando la se˜ nal la alcanza L x1 = ct1 = (7.142) 1+β Para la segunda se˜ nal las coordenadas del evento “llegada de la segunda se˜ nal a la nave B” son (ct01 , x01 ). Dado que durante el tiempo t0 la nave se ha movido una distancia vt0 , entonces su posici´ on, en el instante de emisi´ on de la segunda se˜ nal, ser´ a L − vto y por lo tanto, si llamamos t˜ el tiempo que tarda la segunda se˜ nal en llegar a la nave, se debe cumplir la relaci´ on L − vto = ct˜ + v t˜ (7.143) y la posici´ on de la nave B est´ a dada por x01 = ct˜ =

L − vt0 1+β

(7.144)

Para la nave A la posici´ on cuando llega la primera se˜ nal es x2 =

L 1−β

(7.145)

y para la segunda se˜ nal est´ a dada por x02 =

L + vt0 1−β

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

c Sea ∆tB el intervalo de tiempo entre la llegada de los dos pulsos a la nave B. De la parte b del presente problema, la primera se˜ nal la recibe en el instante t1 =

L/c 1+β

(7.146)

El segundo pulso llega a la nave en el instante L/c − βt0 t01 = t0 + t˜ = t0 + 1+β por lo tanto el intervalo de tiempo est´ a dado por ∆tB = t01 − t1 = t0 −

t0 βt0 = 1+β 1+β

(7.147)

El intervalo de tiempo ∆tA de la llegada de los pulsos a la nave A es t0 ∆tA = (7.148) 1−β d Para calcular los intervalos de tiempo de la llegada de las se˜ nales reflejadas a la tierra, consideremos primero el caso de la nave B. Dado que la reflexi´on es instant´anea, la primera se˜ nal se refleja en el instante y en el punto t1 = x1 =

L/c 1+β L 1+β

(7.149)

entonces tarda un tiempo tRA =

x1 L/c = c 1+β

(7.150)

en llegar a la tierra y por lo tanto esta se˜ nal alcanza la tierra en el instante 2L/c (7.151) t3 = t1 + tRA = 1+β La segunda se˜ nal reflejada parte de la nave en el instante t01 = t0 +

L/c − βt0 1+β

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

cuando la nave se encuentra en el punto x01 =

L − vt0 1+β

(7.152)

por lo tanto, la segunda se˜ nal llega a la tierra en el instante L/c − βt0 x01 = t0 + 2 c 1+β t0 − βt0 + 2L/c 1+β

t03 = t01 + =

(7.153)

entonces el intervalo de tiempo ∆tT B es ∆tT B = t03 − t3 = t0

1−β 1+β

(7.154)

y para los pulsos reflejados en la nave A el intervalo de tiempo ∆tT A est´ a dado por ∆tT A = t0

1+β 1−β

(7.155)

e Para calcular la posici´ on de las naves y los intervalos de tiempo de la llegada de los pulsos a las naves y a la tierra, basta con tener en cuenta la ecuaci´ on para la dilataci´ on temporal. Consideremos en primer lugar el intervalo de tiempo ∆t′A de la llegada de los dos pulsos a la nave A. Puesto que los eventos “llegada de cada uno de los pulsos a la nave” suceden en el mismo punto para el sistema de referencia de la nave, el intervalo de tiempo medido en A es un intervalo de tiempo propio y por lo tanto est´ a relacionado con ∆tA por la ecuaci´ on ∆tA = γ(v)∆t′A

(7.156)

Remplazando la ecuaci´ on (7.148) para ∆tA y despejando, tenemos s t 1+β 1 0 = t0 (7.157) ∆t′A = γ(v) 1 − β 1−β

Para el caso de la nave B, el intervalo de tiempo entre la llegada a la nave de los dos pulsos, medidas con respecto al sistema de referencia de la nave B, obtenemos s 1−β ∆t′B = t0 (7.158) 1+β

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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Los intervalos de tiempo ∆tT A y ∆tT B , calculados en la parte d del presente problema, son intervalos de tiempo propios, por lo tanto se aplica la misma relaci´ on de dilataci´ on tem′ poral. Por ejemplo si llamamos ∆tT A el intervalo de tiempo de la llegada a la tierra de los pulsos reflejados en la nave A, medidos en su sistema de referencia, entonces este intervalo est´ a relacionado con ∆tT A por ∆t′T A = γ(v)t0

1+β 1−β

(7.159)

15. Velocidades superluminosas aparentes. Supongamos que en alg´ un instante inicial t = 0 las dos fuentes f1 y f2 est´ an juntas (fuente f en la figura (2.2)) y un tiempo posterior δt la fuente f2 se ha desplazado una distancia vδt = f1 f2 . La primera observaci´on, cuando las fuentes se ven juntas, se mide en la tierra en un tiempo ti =

0f c

(7.160)

mientras que la segunda observaci´on (figura (2.2) inferior) se mide en la tierra en un tiempo tf = δt +

0f2 c

(7.161)

Entonces la velocidad transversal aparente de la fuente f2 , vista desde la tierra, es vT = 0f2

∆α ∆α = 0f2 ∆t tf − ti

(7.162)

En los objetos astron´omicos, como el quasar 3C-273, donde se ha observado este fen´omeno, la separaci´on angular de las fuentes, vista por el observador en tierra, es de unos pocos segundos de arco y as´ı podemos hacer la aproximaci´on 0f ≃ 0f2 + vδt cos ϕ ∆α ≃

vδt sin ϕ 0f2

(7.163) (7.164)

entonces ∆t = δt +

0f2 0f − ≃ δt (1 − β cos ϕ) c c

(7.165)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

con β = v/c, por lo tanto la velocidad transversal est´ a dada por βT =

β sin ϕ vT = c 1 − β cos ϕ

(7.166)

Figura 7.7: Velocidades superluminosas aparentes. La velocidad transversal β T en funci´ on de β y ϕ, con −0,99 ≤ β ≤ 0,99 y -π/2 ≤ ϕ ≤ π/2 En la figura (7.7) se muestra la gr´ afica de β T en funci´on del ´angulo ϕ para diferentes valores de la velocidad β = v/c de la fuente f2 , donde, para valores suficientes de la velocidad de la fuente, la velocidad transversal aparente puede ser mayor que la velocidad de la luz. Por ejemplo, las curvas muestran un m´ aximo de β T el cual est´ a dado por la condici´ on: β(cos ϕ − β) dβ T = =0 dϕ (1 − β cos ϕ)2

(7.167)

puesto que β < 1 el denominador nunca se anula y la condici´ on del m´ aximo se obtiene para cos ϕ = β entonces

(7.168)

p

1 − β2 = βγ(v) (7.169) 1 − β2 Dado que el factor γ puede tomar valores arbitrariamente grandes, entonces es posible medir velocidades transversales aparentes mayores que c. Este fen´omeno se ha observado en varios AGN, por ejemplo el quasar 3C-273 muestra este comportamiento (ver [7]). β Tm´ax = β

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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16. Relatividad sin el segundo postulado. Sean Σ y Σ′ dos sistemas de referencia inerciales relacionados de la manera usual. Entonces el principio de relatividad nos permite encontrar las siguientes relaciones entre las coordenadas de los dos sistemas de referencia: y ′ = y; z′ = z (7.170) x′ = γ(x − vt)

(7.171)

x = γ´(x′ + vt′ )

(7.172)

γ´= γ

(7.173)

remplazando x′ de la ecuaci´ on 7.171 en la ecuaci´ on 7.172 y despejando t′ obtenemos x = γ(γ(x − vt) + vt′ ) t′ entonces donde

= γ 2 x − γ 2 vt + γvt′ =⇒   2 γ2 − 1 1−γ + γt = γ t − x = x vγ vγ 2  v  t′ = γ t − 2 x K K2 =

v2 γ 2 γ2 − 1

(7.174)

(7.175)

(7.176)

despejando el factor γ de la u ´ltima ecuaci´ on tenemos γ2 =

1 1−

v2 K2

(7.177)

Esta ecuaci´ on implica que el factor γ es una funci´on de la velocidad y el par´ ametro K, es decir γ = γ(v, K)

(7.178)

Aun cuando la ecuaci´ on (7.176) implica aparentemente que el par´ ametro K depende de la velocidad, esto no es as´ı, si queremos que la composici´ on de transformaciones de Lorentz sea de nuevo una transformaci´on de Lorentz. Para este fin consideremos un nuevo sistema de referencia Σ′′ que se mueve con velocidad u respecto ˜ el par´ a Σ′ . Si llamamos K ametro para la transformaci´on entre Σ′

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

y Σ′′ , entonces las ecuaciones de transformaci´on de Lorentz entre Σ y Σ′ son x′ = γ(v; K)(x − vt) (7.179)   v (7.180) t′ = γ(v; K) t − 2 x K

y entre Σ′ y Σ′′ toman la forma

˜ ′ − ut′ ) x′′ = γ(u; K)(x 

˜ t − u x′ t = γ(u; K) ˜2 K ′′

′

(7.181) 

(7.182)

˜ son los correspondientes factores gamma donde γ(v; K) y γ(u; K) ˜ respectivamente. Remplazando que dependen de (v; K) y (u; K) las coordenadas primadas en las u ´ltimas ecuaciones, tenemos    u+v uv  ′′ ˜ (7.183) x− x = γ(u; K)γ(v; K) 1 + 2 uv t K 1+ K 2 

uv ˜ t′′ = γ(u; K)γ(v; K) 1 + ˜2 K



t−

u ˜2 K

v K2 uv ˜2 K

+

1+

!

x

(7.184)

˜ la composici´ un c´ alculo directo muestra que si K = K on de transformaciones de Lorentz es de nuevo una transformaci´on de Lorentz con velocidad u+v (7.185) w= uv 1+ K 2 pues

 uv  γ(u; K)γ(v; K) 1 + 2 = γ(w; K) (7.186) K El par´ ametro K debe ser determinado experimentalmente, por ejemplo con un experimento sobre dilataci´ on temporal o un experimento din´ amico, como el comportamiento de la masa inercial de una part´ıcula con la velocidad. Si experimentalmente se determina que K = ∞, las ecuaciones de transformaci´on obtenidas se reducen a las transformaciones de Galileo, o si el experimento arroja K = c tenemos las transformaciones de Lorentz. Esto implica que el segundo postulado de la relativitad pudiera ser remplazado por otro, el cual condujera a determinar en forma expl´ıcita el par´ ametro K.

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

17. Viaje al pasado. Supongamos que la primera se˜ nal tachy´onica es enviada desde el origen de Σ en el instante t0 a la velocidad βT =

dx1 vT = 0 c dx

(7.187)

y es recibida por un receptor situado en el origen de Σ′ , cuando este se encuentra a una distancia D medida con respecto a Σ. Entonces, el instante en el cual la se˜ nal es recibida est´ a dado por (en unidades de c) D (7.188) ct1 = ct0 + βT La se˜ nal es devuelta instant´aneamente, desde el origen de Σ′ hacia el origen de Σ a una velocidad igual de vT , pero medida con respecto al sistema Σ′ , es decir dx′ = −vT dt′

(7.189)

Para calcular el tiempo de regreso de la se˜ nal medida por Σ, debemos calcular primero la velocidad de la se˜ nal respecto al sistema de referencia Σ. Para este fin consideremos las transformaciones de Lorentz usuales x′0 = γ(x0 − βx1 ) (7.190) x′1 = γ(x1 − βx0 )

(7.191)

con β = v/c y γ = γ(v). Entonces −β T

= =

γd(x1 − βx0 ) dx1 − βdx0 dx′1 = = dx′0 γd(x0 − βx1 ) dx0 − βdx1 dx1 dx0

−β

(7.192)

1

dx 1 − β dx 0

despejando la velocidad de la se˜ nal tachy´onica respecto a Σ tenemos −

β −β dx1 = T 0 dx 1 − βT β

dx1 dx0

medida con

(7.193)

as´ı, el tiempo que tarda la se˜ nal en su viaje de ida y vuelta es   1 D 1 − βT β D + dx1 = D + cttotal = (7.194) βT βT βT − β 0 dx

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

por lo tanto, la se˜ nal es recibida en Σ en el instante t dado por   1 1 − βT β ct = ct0 + cttotal = ct0 + D + (7.195) βT βT − β si el factor que acompa˜ na al t´ermino D es menor que cero, entonces esto significa que la se˜ nal de regreso puede ser detectada en el origen de Σ antes que la primera se˜ nal sea enviada desde all´ı. Para ver si esto es posible analicemos la funci´on f (β T ; β) =

1 − βT β 1 + βT βT − β

(7.196)

En primer lugar, esta funci´on est´ a bien definida pues 0 ≤ β < 1 y β T > 1, por lo tanto los denominadores en la expresi´ on anterior nunca se anulan. Si los sistemas de referencia Σ y Σ′ est´ an en reposo relativo, entonces β = 0 y por lo tanto el tiempo total es cttotal =

2D βT

(7.197)

el cual es positivo. Por otra parte, si la se˜ nal tachy´onica es enviada a una velocidad arbitrariamente grande, entonces   1 1 − βT β + l´ım = −β (7.198) β T →∞ β T βT − β y por lo tanto ct = ct0 − βD

(7.199)

lo cual significa que la se˜ nal de regreso llega un tiempo βD antes que la primera se˜ nal sea enviada. De hecho, dada la velocidad ˜ tal que relativa de los sistemas de referencia β, entonces sea β T ˜ ˜ f (β T ; β) = 0, es decir β T dado por ˜ = β T

1+

p

1 − β2 β

corresponde a la velocidad a la que se deben enviar los tachyones, para que la se˜ nal reflejada llegue en el instante en que se env´ıa la se˜ nal inicial, y por lo tanto siempre es posible encontrar velocida˜ para las cuales la se˜ des tachy´onicas β T > β nal reflejada llega T

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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˜ T se tom´ antes que la se˜ nal sea enviada. En el c´alculo de β o la ra´ız positiva, pues p 1 + 1 − β2 < ∞ si 1 > β > 0 (7.200) 0< β y p 1 − 1 − β2 < 1 si 0 < β < 1 (7.201) 0< β Este ejemplo muestra uno de los problemas fundamentales en considerar los tachyones, pues el principio de causalidad de la f´ısica se rompe. Sin embargo, los tachyones han sido considerados en f´ısica, en el marco de algunos modelos te´oricos, no solo para tratar de entender algunos problemas fundamentales y por completez de la teor´ıa, sino tambi´en para buscar qu´e influencia observacional pudieran tener los tachyones (si existieran) sobre las part´ıculas usuales. Hasta el presente no se ha predicho ning´ un efecto observable (lo que no significa que no pudiera existir) y por esta raz´ on los tachyones no se han desechado del todo, pero tampoco se consideran en las teor´ıas usuales. 18. Viaje interestelar 1. Aun cuando las unidades que trabajaremos en el presente problema est´ an en a˜ nos-luz y el valor de la velocidad de la luz es c = 1, en las expresiones generales mantendremos c en forma expl´ıcita y solo utilizaremos las unidades para los c´alculos num´ericos. a Para calcular el valor de la aceleraci´ on de la gravedad en unidades de a˜ nos-luz (al) y en unidades de c = 1, tenemos que 2,99792458 × 108 m = 1s

(7.202)

1 al 9,46053 × 1015

(7.203)

y 1m = entonces g = 9,8ms−2

= 9,8m × 2,99792458 × 108 m

= 1,090 4 × 10−16 m−1


−2

= 1,090 4 × 10−16 × 9,46053 × 1015 al−1

= 1,0316al−1

(7.204)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

Para los c´ alculos del presente problema es suficiente aproximar el valor de la aceleraci´ on de la gravedad terrestre a g = 9,8ms−2 ≃ 1al−1

(7.205)

b Dado que el movimiento del cohete es unidimensional, elijamos el eje x positivo del sistema de referencia tierra en direcci´ on de las Pl´eyades. En estas condiciones, la l´ınea de universo del cohete est´ a descrita por el cuadrivector posici´ on
x(τ ) = x0 (τ ), x1 (τ ), 0, 0 (7.206) entonces los cuadrivectores velocidad y aceleraci´ on del cohete est´ an dados por U=

dx = (U 0 , U 1 , 0, 0) dτ

(7.207)

dU = (A0 , A1 , 0, 0) (7.208) dτ Dado que la aceleraci´ on propia es constante, entonces se deben cumplir las siguientes relaciones: A=

U2 = U0


2

− U1


2

= c2

(7.209)

= −g2

(7.210)

U · A = U 0 A0 − U 1 A1 = 0

(7.211)

A2 = A0


2

− A1


2

Despejando A0 de la ecuaci´ on (7.211) y remplazando en (7.210) tenemos que −g

2

=



1U

A

1

U0


1 2

=

A

=

A1 2

= −c


2

A1

2

− A1

U1


2


2

!

−1 (U 0 )2
2
2 ! U1 − U0 (U 0 )2


2

(U 0 )2

(7.212)

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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donde se utiliz´ o la ecuaci´ on (7.209) en el u ´ltimo paso. Tomando la ra´ız positiva de esta ecuaci´ on y despejando A1 obtenemos g (7.213) A1 = U 0 c Se tom´ o la ra´ız positiva por las condiciones iniciales del problema, pues la nave parte del reposo y se acelera. Procediendo en forma similar a la anterior deducci´on, pero despejando A1 de la ecuaci´ on (7.211) y remplazando en (7.210), llegamos a A0 =

g 1 U c

(7.214)

Derivando la ecuaci´ on (7.213) con respecto a τ , teniendo en cuenta las definiciones (7.207) y (7.208) y utilizando la ecuaci´ on (7.214), obtenemos la siguiente ecuaci´ on diferencial de segundo orden para U 1 : g dU 0  g 2 1 d2 U 1 U = = dτ 2 c dτ c

(7.215)

Un procedimiento similar, pero partiendo ahora de la ecuaci´ on (7.214), conduce a una ecuaci´ on diferencial de segun0 do orden para U . Este procedimiento permite desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales (7.209), (7.210) y (7.211) y convertirlo en el siguiente sistema de dos ecuaciones de segundo orden desacopladas, para las componentes del cuadrivector velocidad: d2 U 1  g 2 1 U =0 (7.216) − dτ 2 c d2 U 0  g 2 0 U =0 (7.217) − dτ 2 c Estas ecuaciones son integrables en forma exacta, en t´erminos de las funciones hiperb´ olicas: g  g  U 0 (τ ) = K1 sinh τ + K2 cosh τ (7.218) c c g  g  τ (7.219) U 1 (τ ) = K3 sinh τ + K4 cosh c c Las constantes de integraci´ on K1 , K2 , K3 y K4 se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema: U (τ = 0) = (U 0 (0), U 1 (0), 0, 0) = (c, 0, 0, 0)

(7.220)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

dU = (A0 (0), A1 (0), 0, 0) = (0, g, 0, 0) dτ τ =0

(7.221)

pues la nave parte del reposo con aceleraci´ on propia g. La primera condici´ on inicial para U 1 implica K4 = 0 y la segunda condici´ on inicial para A0 nos conduce a K1 = 0, entonces g  U 0 (τ ) = K2 cosh τ (7.222) c g  U 1 (τ ) = K3 sinh τ (7.223) c La primera condici´ on inicial para U 0 implica que K2 = c, mientras que derivando (7.223), la segunda condici´ on implica K3 = c; as´ı el cuadrivector velocidad del cohete, en funci´on del tiempo propio, est´ a dado por: g  g  τ , c sinh τ , 0, 0) (7.224) U (τ ) = (c cosh c c Para encontrar la l´ınea de universo de la nave falta integrar la ecuaci´ on (7.207), donde las componentes del cuadrivector velocidad est´ an dadas por la ecuaci´ on (7.224). Entonces integrando estas ecuaciones obtenemos: x0 (τ ) =

g  c2 sinh τ + K5 g c

(7.225)

x1 (τ ) =

g  c2 cosh τ + K6 g c

(7.226)

con K5 y K6 constantes de integraci´ on, que se determinan a partir de la condici´ on inicial x(τ = 0) = (x0 (0), x1 (0), 0, 0) = (0, 0, 0, 0)

(7.227)

pues, cuando la nave parte de la tierra, x1 = 0 y tomamos la condici´ on t = 0. Aplicando estas condiciones iniciales a las ecuaciones (7.225) y (7.226) obtenemos, finalmente, la l´ınea de universo de la nave: x(τ ) = (

 g  c2 g  c2 sinh τ , (cosh τ − 1), 0, 0) g c g c

(7.228)

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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c Trabajando en unidades de c = 1 y la distancia en al, la aceleraci´ on de gravedad es 1al−1 y el tiempo queda medido en a˜ nos. Cuando la nave alcanza la mitad del recorrido x1 = 212,5al y entonces 212,5al = cosh(τ ) − 1 (7.229) por lo tanto

τ = cosh−1 (213,5) = 6,056 8a˜ nos

(7.230)

el cual es el tiempo que indica un reloj que viaja en el cohete. El tiempo medido en la tierra est´ a dado por x0 = sinh (6,056 8) = 213,502a˜ nos

(7.231)

A partir de este instante la nave comienza a desacelerar a un g hasta llegar a las Pl´eyades. Por simetr´ıa, el tiempo que gasta la nave desde este punto hasta alcanzar el reposo en las Pl´eyades es igual que el tiempo calculado para la primera parte del viaje. As´ı, el tiempo total del viaje, desde la tierra hasta las Pl´eyades, medido en el cohete es τ ida = 2 × 6,056 8a˜ nos = 12,114a˜ nos

(7.232)

y medido desde el sistema tierra, est´ a dado por nos = 427,004a˜ nos x0ida = 2 × 213,502a˜

(7.233)

Para calcular la velocidad de la nave en el instante en que esta alcanza la mitad del viaje, utilizamos la ecuaci´ on (7.57), la cual nos da la velocidad en t´erminos de las componentes del cuadrivector aceleraci´ on; as´ı de la ecuaci´ on (7.224) tenemos
g  c sinh gc τ U1 v
= 0 = τ (7.234) = tanh c U c c cosh gc τ remplazando τ = 6,056 8a˜ nos en la ecuaci´ on anterior, tenemos v = tanh (6,056 8) = 0,99999 (7.235) c El viaje total de ida y regreso, para el observador del cohete es τ total = 2 × τ ida = 24,228a˜ nos (7.236)

y para la tierra

x0total = 2 × x0ida = 854,08a˜ nos

(7.237)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

d Cuando la nave alcanza la mitad del recorrido x1 = 212,5al tenemos g  c2 x1 (τ ) = (cosh τ − 1) (7.238) g c entonces, en las unidades que estamos trabajando 212,5al =

1 (cosh (10τ ) − 1)al 10

(7.239)

por lo tanto 1 cosh−1 (2125 + 1) = 0,835 51a˜ nos 10 y el tiempo medido en el sistema tierra es de τ=

(7.240)

1 sinh (10 × 0,835 51) 10 = 212,59a˜ nos (7.241)

x0 (0,835 51a˜ nos) =

por lo tanto el viaje total de ida y vuelta, medido en la nave es de τ total = 4 × 0,835 51a˜ nos = 3,342a˜ nos

(7.242)

y medido desde la tierra nos = 850,36a˜ nos x0total = 4 × 212,59a˜

(7.243)

La velocidad de la nave, cuando alcanza la mitad del camino de ida, est´ a dada por v c

U1 = tanh (10τ ) = tanh (8,35 51) U0 = 0,999999889.

=

(7.244)

Notemos que el tiempo propio del cohete se puede disminuir indefinidamente, aumentando la aceleraci´ on, pero el tiempo medido en la tierra est´ a acotado por 850al que es el tiempo que gastar´ıa un rayo de luz en ir desde la tierra hasta las Pl´eyades y regresar. 19. Viaje interestelar 2. Tomemos el origen del sistema de referencia en la tierra, con t = 0 = τ cuando la nave parte, y el eje x en la direcci´ on de movimiento. En unidades de c = 1 las distancias y los tiempos tienen las mismas unidades de longitud, las cuales tomaremos en al (a˜ nos luz).

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

109

a En el desplazamiento inicial, con aceleraci´ on propia constante de 10g, la velocidad de la part´ıcula est´ a dada por la relaci´ on (7.224)
g  c sinh gc τ U1 v
= 0 = τ (7.245) = tanh c U c c cosh gc τ

entonces, cuando la nave alcanza la velocidad β = v/c = 0,999, el tiempo transcurrido en la nave (tiempo propio) es τ=

1 tanh−1 (0,999) a˜ nos = 0,380 02a˜ nos 10

(7.246)

y por lo tanto el tiempo medido desde la tierra est´ a dado por 1 sinh (10 × 0,380 02) = 2,234 4a˜ nos 10 (7.247) a partir de este instante la nave contin´ ua su viaje con velocidad constante de 0,999c. b En el instante τ = 0,38002a˜ nos la nave alcanza la velocidad v, y por lo tanto la coordenada de posici´ on x1 (τ ), que en este caso nos da tambi´en la distancia a la tierra, est´ a dada por la relaci´ on (7.238) y por lo tanto x0 (0,380 02a˜ nos) =

x1 (0,380 02) =

1 (cosh (10 × 0,380 02) − 1)al = 2,136 6al (7.248) 10

Es decir el cohete se encuentra en ese instante a mitad de camino de la estrella m´ as cercana a nosotros, Pr´oxima del Centauro, la cual est´ a a una distancia de 4,3al de la tierra. c A partir de este momento la nave contin´ ua su recorrido a velocidad constante, hasta encontrarse a una distancia de 2,136 6al de las Pl´eyades, momento en el cual inicia la desaceleraci´on a 10g para llegar con velocidad cero a su destino. Esto significa que el cohete recorre una distancia D a velocidad constante dada por D = 425al − 2 × 2,136 6al = 420,73al

(7.249)

por lo tanto el intervalo de tiempo que gasta la nave en recorrer esta distancia, medida por el sistema tierra, es de ∆x0 =

420,73 D = = 421,15a˜ nos β 0,999

(7.250)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

Teniendo en cuenta que ∆x0 corresponde al intervalo de tiempo entre los eventos, “la nave alcanza la velocidad v” y “la nave inicia la desaceleraci´on”, medido por la tierra, entonces ∆x0 est´ a relacionado con el intervalo de tiempo propio ∆τ , entre los dos eventos, por la ecuaci´ on ∆τ ∆x0 = p 1 − β2

(7.251)

donde ∆τ corresponde al intervalo de tiempo propio medido por los relojes del cohete. As´ı, en el sistema cohete la parte del viaje a velocidad constante dura q nos (7.252) ∆τ = 421,15 1 − (0,999)2 = 18,830a˜

Por simetr´ıa, la u ´ltima parte del camino, cuando el cohete desacelera, dura un tiempo igual a la primera parte, cuando la nave est´ a acelerando, por lo tanto el tiempo total del viaje de ida y regreso a las Pl´eyades est´ a dado por τ total = 2 × (2 × 0,380 02 + 2 × 18,830) = 76,84a˜ nos (7.253) medido por los relojes del cohete y x0total = 2×(2 × 2. 234 4 + 2 × 421,15) = 1693,5a˜ nos (7.254) Los resultados obtenidos en este y el anterior problema los resumimos en la siguiente tabla: A B C τ total 24,228a˜ nos 3,342a˜ nos 76,84a˜ nos 0 nos 850,36a˜ nos 1693,5a˜ nos xtotal 854,0a˜ Esto muestra que, en condiciones normales, es realizable un viaje interestelar en tiempos propios razonables para los viajeros de la nave, pero su retorno a la tierra significar´ıa regresar cuando ya han pasado varias generaciones en la tierra. Este resultado de la relatividad especial, conocido como la paradoja de los mellizos de Langevan, ha sido utilizado en la literatura y el cine de ficci´ on, por ejemplo en la pel´ıcula “El planeta de los simios”. Es importante aclarar que la palabra “ficci´ on” se refiere a que a´ un no es posible realizar este tipo

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

111

de viajes interestelares, debido a las limitaciones tecnol´ ogicas. Sin embargo, el efecto del retraso de relojes viajeros se midi´ o con relojes de alta precisi´on en aviones, donde los atrasos registrados son del orden de 10−9 s. 20. El horizonte de eventos. Como la part´ıcula con aceleraci´ on propia constante α parte del reposo en el origen del sistema de referencia Σ, tomamos t = τ = 0 en este punto. a Para el caso de la part´ıcula que estamos considerando, la l´ınea de universo x(τ ) ya fue calculada en un problema anterior, entonces de la ecuaci´ on (7.228) tenemos  α  c2 α  c2 τ , (cosh τ − 1), 0, 0) (7.255) x(τ ) = ( sinh α c α c

donde solo se ha remplazado el valor de la aceleraci´ on de la gravedad g por la aceleraci´ on propia α.

b Para encontrar la trayectoria de la part´ıcula x1 = x1 (x0 ), medida por el observador inercial Σ, debemos despejar el par´ ametro τ de la ecuaci´ on (7.255) en t´erminos de la primera coordenada x0 . Entonces como α  c2 0 sinh τ (7.256) x = α c α  c2 τ − 1) (7.257) x1 = (cosh α c despejamos las funciones sinh y cosh de las ecuaciones anteriores, elevamos al cuadrado, restamos y utilizamos la identidad cosh2 θ − sinh2 θ = 1 de las funciones hiperb´ olicas, obteniendo α  α  τ − sinh2 τ 1 = cosh2 c c 2  0 2  1 αx αx +1 − = c2 c2 Esta ecuaci´ on la podemos escribir en la forma   2 2
2 x1 + cα x0 − c4 = 1 c4 α2

(7.258)

(7.259)

(7.260)

α2

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

Teniendo en cuenta que la ecuaci´ on general de una hip´erbola en el plano x − y tiene la forma (x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2

(7.261)

donde (h, k) es el centro de la hip´erbola, con as´ıntotas   b b y =± x+ k∓ h (7.262) a a la soluci´ on (7.260) representa una hip´erbola en el plano x1 −x0 (recordemos que en relatividad el eje temporal x0 se toma vertical) con centro en el punto (h, k) =



 c2 − ,0 α

(7.263)

y as´ıntotas con pendiente ±1. Esto implica que las as´ıntotas corresponden al cono de luz del evento  2  c 0 1 (7.264) (x , x ) = − , 0 α dadas por c2 x =± x − α 0



1



(7.265)

En la figura (7.8) se muestra la l´ınea de universo de una part´ıcula con aceleraci´ on propia constante. La parte de la hip´erbola en el cuadrante superior derecho representa la l´ınea de universo de la part´ıcula, que parte del origen con aceleraci´ on propia constante y por lo tanto, asint´ oticamente, la velocidad de la part´ıcula tiende a la velocidad de la luz. La parte inferior de esta rama de la hip´erbola corresponder´ıa a una part´ıcula que proviene de la regi´ on x1 → ∞ en el tiempo x0 → −∞ desacelerando, y la cual alcanza el origen con velocidad cero, en el instante x0 = 0. La rama izquierda de la hip´erbola corresponde a una part´ıcula que viene de la regi´ on x1 → −∞ desacelerando con α, llegando al reposo en un punto situado en la coordenada x1 = −2c2 /α y que vuelve a acelerar dirigiendose a x1 → −∞.

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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Figura 7.8: El horizonte de eventos. L´ınea de universo con aceleraci´on propia constante.

c En la parte b del presente problema vimos que el movimiento de una part´ıcula con aceleraci´ on propia constante est´ a repre0 1 sentado por una hip´erbola en el plano x − x , la cual tiene como as´ıntotas el cono de luz del punto  2  c 0 1 (7.266) (x , x ) = − , 0 α Esto significa que la recta con ecuaci´ on x0 = x1 −

c2 α

(7.267)

no intercepta a la hip´erbola y representa, en el cuadrante superior derecho, un rayo de luz que parte del origen en el instante c2 x0 = ct = (7.268) α en la direcci´ on del eje x1 positivo. El diagrama espacio-tiempo, figura (7.8), muestra que ninguna se˜ nal enviada desde un punto a la izquierda de la as´ıntota (7.267) puede interceptar la l´ınea de universo de la part´ıcula acelerada del lado derecho del diagrama. Por esta raz´ on se dice que la recta (7.267) representa un horizonte de eventos para la part´ıcula. Notemos, sin embargo, que la part´ıcula s´ı puede enviar una se˜ nal hacia la regi´ on de la izquierda de esta recta. Una situaci´ on similar

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

se presenta para la l´ınea de universo en los cuadrantes de la izquierda.

7.2.

Soluciones de problemas avanzados

1. Grupo de Lorentz. Sean x, y ∈ M dos cuadrivectores y Λ la transformaci´on de Lorentz Λ : M −→ M

(7.269)

con x′ = Λx y y ′ = Λy. a Dado que Λ debe dejar invariante el producto minkowskiano, tenemos que x′ · y ′ = x′T ηy ′ = xT ηy = x · y

(7.270)

remplazando los cuadrivectores primados en t´erminos de los no primados, se llega a la ecuaci´ on xT ηy = (Λx)T η (Λy) = xT ΛT ηΛy

(7.271)

Puesto que esta ecuaci´ on debe cumplirse para todos los cuadrivectores, tenemos que las matrices de transformaci´on de Lorentz deben satisfacer la condici´ on ΛT ηΛ = η

(7.272)

La primera propiedad que se deriva de la ecuaci´ on anterior, teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes, es que det |Λ| = ±1 (7.273)

El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz, que en la representaci´ on matricial corresponde a todas las matrices 4 × 4 reales que satisfacen la condici´ on (7.272), forman un grupo no abeliano, llamado el grupo general de Lorentz. Las transformaciones con determinante +1 se llaman propias y forman un subgrupo, el grupo de transformaciones propias de Lorentz, pues si Λ1 y Λ2 son dos transformaciones de Lorentz con determinante +1, entonces Λ1 Λ2 es de nuevo una transformaci´on con determinante det |Λ1 Λ2 | = det |Λ1 | det |Λ2 | = +1

(7.274)

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7.2. SOLUCIONES DE PROBLEMAS AVANZADOS

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Las transformaciones con determinante −1 se llaman impropias y no forman un subgrupo, pues dos transformaciones impropias sucesivas Λ1 y Λ2 dan una transformaci´on de Lorentz propia, dado que det |Λ1 Λ2 | = det |Λ1 | det |Λ2 | = (−1) (−1) = +1

(7.275)

Ejemplos de transformaciones impropias son la inversi´ on de ejes espaciales   0   0  1 0 0 0 x x  0 −1 0   x1   −x1  0     ΛE x =   0 0 −1 0   x2  =  −x2  (7.276) −x3 x3 0 0 0 −1

y la inversi´ on temporal  −1 0 0  0 1 0 ΛT x =   0 0 1 0 0 0

 0 0 x   0   x1 0   x2 x3 1

 −x0   x1   =   x2  x3 



(7.277)

sin embargo la inversi´ on espacio-temporal es una transformaci´ on propia:  0 x −1 0 0 0   x1  0 −1 0 0  ΛE−T x =   0 0 −1 0   x2 x3 0 0 0 −1 

 −x0   −x1   =   −x2  (7.278) −x3 



pues det |ΛE−T | = +1. Otra propiedad que se obtiene directamente de la ecuaci´ on (7.272) es que el n´ umero de par´ ametros independientes, de una transformaci´on de Lorentz general, es de seis, pues de las 16 ecuaciones de restricci´on en (7.272) hay solo 10 independientes, dado que la matriz de Minkowski es sim´etrica η T = η. As´ı, el sistema de 10 ecuaciones (7.272) independientes implica que, de los 16 elementos matriciales necesarios para representar una transformaci´on de Lorentz Λ, solamente seis par´ ametros son independientes. Es decir, una transformaci´on de Lorentz general queda determinada por seis par´ ametros libres. Estos seis par´ ametros, escogidos convenientemente, pueden ser interpretados como tres

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

par´ ametros que representan rotaciones de los ejes espaciales y tres que representan las componentes de la velocidad relativa entre dos sistemas de referencia inerciales. b Dada la matriz L tal que la transformaci´on de Lorentz Λ tiene la forma Λ = eL (7.279) obtenemos que det |Λ| = det eL = eT rL

(7.280)

donde T rL es la traza de la matriz L. Esta igualdad se puede probar teniendo en cuenta que la matriz Λ posee determinante diferente de cero y por lo tanto existe una transformaci´on de similitud S tal que S−1 ΛS = λ

S−1 LS = ℓ

y

(7.281)

son matrices diagonales y adem´ as esta transformaci´on deja el determinante y la traza de las matrices invariantes. Por lo tanto 3 −1 Y λαα (7.282) det |Λ| = det S ΛS = α=0

donde λαα son elementos de la diagonal de λ; entonces, dado que λαα = eℓαα (7.283) con ℓαα los elementos de la matriz diagonal ℓ, tenemos que ! 3 3 X Y ℓαα = eT rℓ = eT rL (7.284) eℓαα = exp det |Λ| = α=0

α=0

Si elegimos la matriz L real, la ecuaci´ on (7.279) excluye las transformaciones impropias y adem´ as dado que det |Λ| = 1, entonces T rL = 0 (7.285) Es decir, para transformaciones propias de Lorentz L es una matriz real sin traza. Teniendo en cuenta que la matriz de Minkowski posee las siguientes propiedades (por su definici´ on) η T = η; η2 = I (7.286)

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7.2. SOLUCIONES DE PROBLEMAS AVANZADOS

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con I la matriz identidad, la ecuaci´ on (7.272) se puede escribir en la forma ηΛT η = Λ−1 (7.287) y de la ecuaci´ on (7.279) se obtienen las siguientes propiedades ΛT = eL


T

= eL

ηΛT η = eηL

T

T

η

Λ−1 = e−L

(7.288) (7.289) (7.290)

Estas ecuaciones se pueden probar por c´alculo directo, utilizando la definici´on de la exponencial de una matriz. Por ejemplo veamos la primera ecuaci´ on: ΛT


T eL T  1 = 1 + L + L2 + · · · 2!
T 1 = 1T + LT + L2 + · · · 2!
2 1 = 1 + LT + LT + · · · 2! LT = e =

(7.291)

como se quer´ıa probar. Entonces ηLT η = −L

(7.292)

[ηL]T = −ηL

(7.293)

o en forma equivalente

es decir la matriz ηL es antisim´etrica y, por lo tanto, la forma m´ as general de la matriz L, que satisface estas propiedades, se puede escribir 

 0 L01 L02 L03  L01 0 L12 L13   L=  L02 −L12 0 L23  L03 −L13 −L23 0

(7.294)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

pues la matriz L tiene traza cero y  T  T L00 L01 L02 L03 1 0 0 0  L10 L11 L12 L13   0 −1 0 0     (ηL)T =   L20 L21 L22 L23   0 0 −1 0  L30 L31 L32 L33 0 0 0 −1   L00 −L10 −L20 −L30  L01 −L11 −L21 −L31   =  (7.295)  L02 −L12 −L22 −L32  L03 −L13 −L23 −L33 

 1 0 0 0 L00  0 −1 0   L10 0  −ηL = −   0 0 −1 0   L20 0 0 0 −1 L30  −L00 −L01 −L02 −L03  L10 L11 L12 L13 =   L20 L21 L22 L23 L30 L31 L32 L33

as´ı

Lαα = −Lαα ;

L01 L11 L21 L31 

L02 L12 L22 L32

  

 L03 L13   L23  L33 (7.296)

α = 0, 1, 2, 3

(7.297)

i = 1, 2, 3

(7.298)

y por lo tanto Lαα = 0,

L0i = Li0 ; y Lij = −Lji ;

i, j = 1, 2, 3

(7.299)

Esto muestra que una transformaci´on de Lorentz general queda determinada por seis par´ ametros L01 , L02 , L03 , L12 , L13 y L23 independientes. c Dada la forma general de la matriz L, encontrada en la ecuaci´ on (7.294), es suficiente elegir α = (−L23 , −L13 , −L12 ); ~

~ζ = (−L01 , −L02 , −L03 )

(7.300)

de tal manera que la matriz L se puede escribir como la combinaci´ on lineal: ˜ − ~ζ · B ˜ L = −~α · R

(7.301)

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7.2. SOLUCIONES DE PROBLEMAS AVANZADOS

˜ yB ˜ est´ donde las componentes de los vectores R an dadas por las matrices (2.58), (2.59) y (2.60). d Consideremos primero la matriz R1 y calculemos su cuadrado: 

0  0 R21 =   0 0

 0 0 0 0 0 0   = diag(00 − 1 − 1) 0 −1 0  0 0 −1

(7.302)

la cual es diagonal. Un c´alculo similar para las otras matrices conduce a R22 = diag(0 − 10 − 1) R23 = diag(0 − 1 − 10) B21 = diag(1100) B22 B23

(7.303)

= diag(1010) = diag(1001)

 2 ˜ para cualquier vector real unitario Calculemos ahora ~α · R α: ~  2
2
2
2 ˜ ~α · R = α1 R21 + α2 R22 + α3 R23 + α1 α2 R1 R2 +α1 α2 R2 R1 + α1 α3 R1 R3 + α1 α3 R3 R1 +α2 α3 R3 + α2 α3 R3 R2

(7.304)

remplazando las matrices Ri tenemos  2 ˜ α·R ~  0 0  0 α2
2 + α3
2  = −  0 −α1 α2 0 −α1 α3

0 −α1 α2

2 2 α1 + α3 −α2 α3

(7.305) 

0 −α1 α3 −α2 α3
2
2 α1 + α2

   

˜ y teniendo en cuenta la Multiplicando esta matriz por ~α · R condici´ on de unitariedad α1


2

+ α2


2

+ α3


2

=1

(7.306)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

tenemos 

0  3  0 ˜ = ~α · R  0 0

 0 0 0 0 α3 −α2   = −~α · R ˜ −α3 0 α1  α2 −α1 0

(7.307)

Un c´ alculo similar conduce al resultado  3 ~ζ · B ˜ = ~ζ · B ˜

(7.308)

por lo tanto cualquier potencia de las matrices Ri y Bj , i, j = 1, 2, 3 puede ser expresada como un m´ ultiplo de la matriz o de su cuadrado, pues, por ejemplo, si tomamos el vector unitario ~ζ = (1, 0, 0) tenemos que  3 ~ζ · B ˜ = B31 = B1

(7.309)

B41 = B31 B1 = B1 B1 = B21

(7.310)

y

con un resultado similar para las dem´ as matrices. e Consideremos en primer lugar el caso particular ~α = (0, 0, 0);

~ζ = (ζ, 0, 0)

(7.311)

Entonces la matriz de transformaci´on de Lorentz Λ est´ a dada por ˜ ~ ˜

Λ = eL = e−~α·R−ζ·B = e−ζB1

(7.312)

Para calcular la funci´on exponencial hacemos uso de la expansi´on en serie de Taylor Λ = I − ζB1 +

(ζB1 )2 (ζB1 )3 (ζB1 )4 − + −··· 2! 3! 4!

(7.313)

Utilizando el resultado de la parte d del presente problema para las potencias de la matriz B1 , la serie anterior se puede

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7.2. SOLUCIONES DE PROBLEMAS AVANZADOS

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escribir en la forma ! (ζB1 )3 (ζB1 )5 Λ = I + −ζB1 − − −··· 3! 5! ! (ζB1 )2 (ζB1 )4 (ζB1 )6 + + +··· + 2! 4! 6!   ζ3 ζ5 = I− ζ + + + · · · B1 3! 5!  2  ζ ζ4 ζ6 + + + + · · · B12 (7.314) 2! 4! 6! Las expansiones en potencias de ζ en la expresi´ on anterior corresponden a las series de Taylor del sinh y cosh respectivamente, salvo el primer t´ermino de la serie de cosh, el cual lo sumamos y lo restamos, as´ı Λ = 1 − B21 − B1 sinh ζ + B21 cosh ζ

(7.315)

Remplazando expl´ıcitamente las matrices B1 , su cuadrado y la matriz identidad I, tenemos 

cosh ζ − sinh ζ  − sinh ζ cosh ζ Λ=  0 0 0 0

0 0 1 0

 0 0   0  1

(7.316)

la cual coincide con la transformaci´on de Lorentz usual (ver ecuaci´ on (7.102)), donde el par´ ametro ζ est´ a relacionado con ′ la velocidad v del sistema de referencia Σ respecto a Σ por la ecuaci´ on v (7.317) tanh ζ = c Consideremos ahora el segundo caso particular ~α = (0, 0, α);

~ζ = (0, 0, 0)

(7.318)

y procedamos en forma similar al caso anterior: ˜ ~ ˜ −~ α·R− ζ·B

Λ = eL = e

= e−αR1

(7.319)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

Expandiendo la exponencial en serie de Taylor y utilizando las propiedades de las potencias de la matriz R1 , tenemos (αR1 )2 (αR1 )3 − +··· 2! 3! (αR1 )2 α3 R1 + −··· (7.320) = I − αR1 + 2! 3!

Λ = I − αR1 +

remplazando las matrices I, R1 y R21 , recordando las expansiones en serie de Taylor para las funciones sin α y cos α, tenemos que la transformaci´on de Lorentz est´ a dada por   1 0 0 0  0 cos α sin α 0   Λ= (7.321)  0 − sin α cos α 0  0 0 0 1

la cual representa una rotaci´ on r´ıgida de los ejes espaciales en un ´ angulo α alrededor del eje z. A partir de estos resultados es f´acil convencerse que las matrices Ri corresponden a rotaciones r´ıgidas de los ejes espaciales y las matrices Bi a transformaciones puras de Lorentz. Por ejemplo, una transformaci´ on de la forma ˜ −~ ζ·B

Λ=e

(7.322)

representa una transformaci´on pura de Lorentz en la direcci´ on ~ del vector ζ, el cual est´ a relacionado con la velocidad del sistema de referencia por ~ζ = β ˆ tanh−1 β

(7.323)

~β = ~v /c

(7.324)

con

2. Transformaci´ on general de Lorentz. Teniendo en cuenta el resultado del problema anterior, la transformaci´on pura de Lorentz m´ as general est´ a dada por la ecuaci´ on (7.322), donde el par´ ametro ~ζ se relaciona con la velocidad ~v por las ecuaciones (7.323) y (7.324). Entonces, expandiendo en serie de Taylor la ecuaci´ on ˆ B ˜ tanh−1 β −β·

Λ=e

(7.325)

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7.2. SOLUCIONES DE PROBLEMAS AVANZADOS

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ˆ es un vector unitario en la direcci´ donde β on de la velocidad, obtenemos  2 ˆ·B ˜ tanh−1 β β ˆ·B ˜ tanh−1 β + − Λ = I−β 2!  3  4 ˆ·B ˆ·B ˜ tanh−1 β ˜ tanh−1 β β β + − · · (· 7.326) 3! 4! ˜ deducidas en Teniendo en cuenta las propiedades de la matriz B, el problema anterior (ecuaci´ on (7.308)), y agrupando los t´erminos ˜ y su cuadrado, tenemos que en ~ζ · B !
3 −1 tanh β ˆ·B ˜ tanh−1 β + +··· (7.327) Λ = I−β 3! !
2
4 −1 −1  2 tanh β tanh β ˆ·B ˜ + β + −··· 2! 4! Las series entre par´entesis en la ecuaci´ on anterior corresponden a la expansi´ on en serie de Taylor de sinh(tanh−1 β) y cosh(tanh−1 β); por lo tanto  2 ˜ sinh(tanh−1 β) + ~ζ · B ˜ cosh(tanh−1 β) (7.328) Λ = I − ~ζ · B teniendo en cuenta las ecuaciones (7.100) y (7.101) que relacionan la velocidad con las funciones hiperb´ olicas sinh(tanh−1 β) = βγ

(7.329)

cosh(tanh−1 β) = γ

(7.330)

la transformaci´on de Lorentz toma la forma  2 ˜ + γ ~ζ · B ˜ Λ = I − βγ~ζ · B

(7.331)

 2 ˜ y ~ζ · B ˜ , utilizando las deCalculando ahora las matrices ~ζ · B finiciones para las matrices B (ecuaciones (2.58), (2.59) y (2.60)), obtenemos

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

γ ˆ  −βγ β 1 Λ=  −βγ β ˆ 2 ˆ −βγ β 

3

 ˆ ˆ ˆ −βγ β −βγ β −βγ β 1 2 3 ˆ (γ − 1) β ˆ β ˆ ˆ β ˆ  1+β β 1 1 2 (γ − 1) 1 3 (γ − 1)  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ β 1 β 2 (γ − 1) 1 + β 2 (γ − 1) β 2 β 3 (γ − 1)  ˆ β ˆ ˆ β ˆ ˆ (γ − 1) β β 1+β 1 3 (γ − 1) 2 3 (γ − 1) 3 (7.332)

Dado que ~
ˆ ,β ˆ ,β ˆ ) ˆ = β = 1 β , β , β = (β β x y z 1 2 3 β β

con β x = vx /c, etc., llegamos finalmente a la matriz general  γ −β x γ −β y γ −β z γ  (γ−1)β x β y (γ−1)β x β z (γ−1)β 2x  −β x γ 1 + β 2 β2 β2  Λ= (γ−1)β x β y (γ−1)β 2y (γ−1)β y β z  −β y γ 1 + β2 β2 β2  (γ−1)β y β z (γ−1)β x β z (γ−1)β 2z −β z γ 1 + β2 β2 β2

(7.333) de Lorentz 

    (7.334)  

A partir de esta matriz podemos obtener las ecuaciones generales para la transformaci´on de las coordenadas entre los sistemas de referencia inerciales Σ y Σ′ ,   γ −β x γ −β y γ −β z γ  ′0  2 x  (γ−1)β x β y (γ−1)β x β z  x   −β x γ 1 + (γ−1)β 2  x′1  β β2 β2    =   2 (γ−1)β x β y (γ−1)β y (γ−1)β y β z   x′2    −β y γ 1 + β2 β2 β2   ′3 2 (γ−1)β y β z x (γ−1)β z (γ−1)β x β z 1 + −β z γ β2 β2 β2  0  x  x1   (7.335) ×  x2  x3 las cuales se pueden reescribir en la forma usual x′0 = γ(x0 − ~β · ~x) ~x′ = ~x +

(γ − 1) ~  ~ β · ~x β − γx0~β β2

(7.336) (7.337)

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7.2. SOLUCIONES DE PROBLEMAS AVANZADOS

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´ 3. Algebra de Lie del grupo de Lorentz. La demostraci´on de las propiedades del conmutador es directa a partir de la definici´on y de las propiedades del producto y la suma de matrices, recordando que el producto de matrices no es conmutativo. a De la definici´on de conmutador tenemos [A, B] = AB − BA = − (BA − AB) = − [B, A]

(7.338)

[A, B + C] = A (B + C) − (B + C) A = AB + AC − BA − CA = AB − BA + AC − CA = [A, B] + [A, C]

(7.339)

donde se ha hecho uso de la conmutatividad de la suma de matrices. [A, BC] = ABC − BCA

= ABC − BAC − BCA + BAC

= (AB − BA) C + B (AC − CA)

= [A, B] C + B [A, C]

(7.340)

en el segundo paso se sum´o y rest´ o el t´ermino BAC. [A, B]T

= (AB − BA)T = (AB)T − (BA)T   = BT AT − AT BT = BT , AT (7.341)

Para probar la identidad de Jacobi basta con desarrollar expl´ıcitamente los conmutadores y aplicar las propiedades (2.70), (2.71) y (2.72) demostradas: [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = [A, BC − CB] + [C, AB − BA] + [B, CA − AC]

= [A, BC] − [A, CB] + [C, AB] − [C, BA] + [B, CA] − [B, AC]

= 2 [A, B] C + 2B [A, C] + 2 [C, A] B +2C [B, A] + 2A [C, B] + 2 [B, C] A = 2ABC − 2BAC + 2BAC − 2BCA

+2CAB − 2ACB + 2CBA − 2CAB

+2ACB − 2ABC + 2BCA − 2CBA

≡ 0

(7.342)

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

b La prueba del ´ algebra de Lie para las matrices Ri y Bj se realiza directamente calculando los conmutadores. Ilustraremos un solo caso de cada una de las ecuaciones. Consideremos en primer lugar el conmutador de R1 con R2 :

 0 0 0 0   0 0  0 0 0 −1   0 0 0 −1 1 0  0 0 0 0 0 0  0 0 0 1  0 0  −  0 0 0 0  0 0 0 0 0 −1 0 0   0 0 0 0  0 0 −1 0   =   0 1 0 0  0 0 0 0 = R = ǫ123 R3 

0  0 [R1 , R2 ] =   0 0 

0 0 0 0

0 0 0 0

 0 1   0  0

 0 0 0 0   0 −1  1 0

(7.343)

Similarmente calculemos el conmutador de R1 y B1 :



 0 0 0 1   0 0  1 0 0 −1   0 0 1 0 0 0  0 1 0 0 0 0  1 0 0 0  0 0  −  0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0  0 0 0 0   =   0 0 0 0  0 0 0 0 = ǫ11k Bk = 0

0  0 [R1 , B1 ] =   0 0 

0 0 0 0

0 0 0 0

 0 0   0  0

 0 0 0 0   0 −1  1 0

(7.344)

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7.2. SOLUCIONES DE PROBLEMAS AVANZADOS

El conmutador de R1 con B2 est´ a dado por:   0 0 0 0 0 0  0 0 0 0  0 0  [R1 , B2 ] =   0 0 0 −1   1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0  0 0 0 0  0 0  −  1 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 1  0 0 0 0   =   0 0 0 0  1 0 0 0 = B3 = ǫ123 B3

 0 0   0  0

1 0 0 0

 0 0 0 0   0 −1  1 0

(7.345)

Finalmente calculemos el conmutador [B3 , B2 ]:  0 0 1  0 0 0   0  1 0 0 0 0  0 0 0 1 0  0 0 0 0  0  −  1 0 0 0  0 1 0 0 0 0   0 0 0 0  0 0 0 0   =   0 0 0 −1  0 0 1 0 = R3 = −ǫ321 R3 

0  0 [B3 , B2 ] =   0 1 

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

 0 0   0  0

0 0 0 0

 1 0   0  0

(7.346)

pues ǫ321 = −1 porque 321 es una permutaci´ on impar de 123. En general, cualquier conjunto de seis matrices (u operadores de cualquier naturaleza), que obedezcan el ´algebra de Lie del grupo de Lorentz, constituyen una representaci´on de las transformaciones de Lorentz. Teniendo en cuenta que los 6 par´ ametros necesarios para describir una transformaci´on propia de Lorentz se pueden elegir de manera arbitraria,

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´ CAP´ITULO 7. CINEMATICA RELATIVISTA

se debe utilizar, en general, otro conjunto de seis matrices de representaci´ on, las cuales, no necesariamente, tienen un significado geom´etrico o f´ısico expl´ıcito, como fue el caso que consideramos para las matrices Ri y Bj y los par´ ametros ~α y ~ζ.

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Cap´ıtulo 8

Efecto Doppler 8.1.

Soluciones de problemas del efecto Doppler

1. Cuadrivector de onda. Sean λ, ω y ~k la longitud de onda, la frecuencia angular y el vector de onda, medidos por el observador Σ, y λ´, ω´ y ~k′ las cantidades correspondientes para el observador Σ′ . A partir de las ecuaciones de transformaci´on (3.11), para las componentes del cuadrivector de onda y su definici´on en t´erminos de la frecuencia y n´ umero de onda, ecuaci´ on (3.8), obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones: ω ω´ = γ( − βkx ) c c

(8.1)

ω kx′ = γ(kx − β ) c

(8.2)

ky′ = ky

(8.3)

kz ′ = kz

(8.4)

La primera de estas ecuaciones la podemos escribir tambi´en en la forma ν´= γ(ν − vkx ) (8.5) Dado que la relaci´ on de dispersi´ on para las ondas electromagn´eticas en el vac´ıo es la misma, i. e. λ´ν´= c, entonces de esta relaci´ on se obtiene la longitud de onda, dada la frecuencia. Tambi´en se puede obtener la relaci´ on entre las normas del vector de onda, medidas ′ en Σ y Σ , a partir de la relaci´ on entre las longitudes de onda, 129 i

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CAP´ITULO 8.

EFECTO DOPPLER

o calcul´ andola directamente de las ecuaciones de transformaci´on anteriores: q ′ k = kx2′ + ky2′ + kz2′ r ω2 ω = γ 2 (kx2 + β 2 2 − 2kx β ) + ky2 + kz2 c c q =

=

q

|k|2 + kx2 β 2 γ 2 + γ 2 β 2 |k|2 − 2γ 2 βkx k |k|2 γ 2 + kx2 β 2 γ 2 − 2γ 2 βkx |k|

= γ ||k| − kx β|

(8.6)

2. Efecto Doppler longitudinal. Consideremos un sistema de referencia Σ′ ligado a la fuente y con origen en ella y relacionado con el sistema Σ de la manera usual. Supongamos que en alg´ un instante t > 0 la fuente emite ondas monocrom´ aticas en la direcci´ on del eje x negativo, como se muestra en la figura (8.1).

Figura 8.1: Efecto Doppler longitudinal. Sistema de referencia inercial para el observador Σ y para la fuente Σ′ .

Las componentes del cuadrivector de onda, en el sistema de referencia Σ′ , para una onda plana monocrom´ atica que se mueve hacia el origen del sistema Σ (ver figura (8.1) superior), est´ an dadas por: ω0 (8.7) k = (k′0 , k′1 , k′2 , k′3 ) = ( , kx0 , 0, 0) c donde kx0 = − ~k x ˆ (8.8) i

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8.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DEL EFECTO DOPPLER

131

Debido a la relaci´ on de dispersi´ on, ecuaci´ on (3.9), tenemos que ω 20 ~ 2 ω 20 2 − k = 2 − kx0 =0 c2 c

(8.9)

y por lo tanto las componentes del cuadrivector de onda toman la forma ω0 ω0 k = (k′0 , k′1 , k′2 , k′3 ) = ( , − , 0, 0) (8.10) c c Para encontrar la frecuencia medida por el detector, situado en el origen del sistema Σ, aplicamos la transformaci´on de Lorentz inversa (de Σ′ a Σ) para las componentes del cuadrivector de onda. Si llamamos k = (k0 , k1 , k2 , k3 ) = (

ωD , kxD , kyD , kzD ) c

(8.11)

a las componentes del cuadrivector de onda medidas en el sistema Σ, tenemos ω0 ωD = γ(−v)( + βkx0 ) (8.12) c c ω0 kxD = γ(−v)(kx0 + β ) (8.13) c kyD = kzD = 0 (8.14) Entonces, de la primera ecuaci´ on anterior obtenemos s 1−β ω D = γω 0 (1 − β) = ω 0 1+β

(8.15)

La segunda ecuaci´ on nos conduce a la misma relaci´ on encontrada y por lo tanto no da nueva informaci´ on. Si la fuente se est´ a moviendo hacia el detector basta con cambiar v → −v y obtenemos que la frecuencia detectada en Σ est´ a dada por s 1+β (8.16) ωD = ω0 1−β Notemos que en el primer caso, cuando la fuente se aleja, la frecuencia detectada es menor que la frecuencia emitida y se conoce en la literatura como “corrimiento al rojo”, mientras que en el segundo caso, cuando la fuente se acerca, la frecuencia medida es mayor y se conoce como “corrimiento al azul”. Esta denominaci´on

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CAP´ITULO 8.

EFECTO DOPPLER

se refiere a que, en el espectro visible, el rojo corresponde a frecuencias menores y el azul a frecuencias mayores. El efecto Doppler longitudinal cl´ asico (no relativista) es un fen´omeno t´ıpicamente ondulatorio, que se presenta en todos los fen´omenos ondulatorios, incluidas las ondas electromagn´eticas. Cl´ asicamente el corrimiento Doppler longitudinal est´ a dado por ωD = ω0

c−v c

(8.17)

Este resultado lo podemos obtener a partir de la ecuaci´ on (8.15), si expandimos el factor γ en potencias de v/c: γ(v) =



v2 1− 2 c

−1/2

=1+

1 v2 + O(v 4 /c4 ) 2 c2

(8.18)

remplazando en la ecuaci´ on (8.15) tenemos

ω D = ω 0 (1 −

„ « v 1 v2 v 4 4 ) 1+ + O(v /c ) = ω 0 (1 − ) + ω 0 O(v 2 /c2 ) (8.19) c 2 c2 c

donde no se han escrito expl´ıcitamente t´erminos cuadr´aticos en β, los cuales corresponden a la correcci´ on relativista del resultado cl´ asico. 3. Efecto Doppler transversal y aberraci´ on de la luz. Consideremos un sistema de referencia Σ′ ligado a la fuente relacionado con el sistema Σ de la manera usual y con la fuente en alg´ un punto sobre el eje y ′ positivo. Las componentes del cuadrivector de onda, medidas en el sistema de la fuente, est´ an dadas por k = (k′0 , k′1 , k′2 , k′3 ) = (

ω0 ω0 ω0 , 0, ky0 , 0) = ( , 0, − , 0) c c c

(8.20)

donde la u ´ltima igualdad se obtiene de la relaci´ on de dispersi´ on. Las componentes del cuadrivector de onda (

ωD , kxD , kyD , kzD ) c

(8.21)

en el sistema Σ se obtienen por una transformaci´on de Lorentz de Σ′ → Σ, as´ı ω0 ωD = γ(−v)( + β) (8.22) c c

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8.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DEL EFECTO DOPPLER

kxD = γ(−v)(kx0 + β

ω0 ) c

133 (8.23)

kyD = ky0

(8.24)

kzD = 0

(8.25)

Dado que en Σ′ la componente kx0 se anula, la primera ecuaci´ on implica que ω0 ωD = γ(v)ω 0 = p (8.26) 1 − β2 Esta relaci´ on es conocida como efecto Doppler transversal y coresponde a un efecto netamente relativista porque su origen se debe al efecto de dilataci´ on temporal y no tiene correspondencia a nivel cl´ asico, pues en primera aproximaci´on γ(v) ∼ 1. Las ecuaciones de transformaci´on (8.23) y (8.24) implican que v ω0 (8.27) c2 ω0 (8.28) kyD = − c esto significa que para el detector el frente de ondas incide formando un ´ angulo de kxD v tan θ = = −γ(v) (8.29) kyD c kxD = γ(v)

con respecto al eje y. Este efecto es conocido como aberraci´ on de la luz y fue observado con las estrellas situadas perpendicularmente al plano de la ´ orbita terrestre. El c´alculo cl´asico y el valor observado est´ a dado por v (8.30) tan θ = − c el cual corresponde al l´ımite cl´asico de la ecuaci´ on (8.29), donde se hace la aproximaci´on γ ∼ 1. 4. Comunicaci´ on espacial con Doppler. De igual manera que en el problema 10 del primer cap´ıtulo, supongamos que la nave A se est´ a alejando de la tierra. Para resolver este problema, utilizando el efecto Doppler, consideremos que las dos se˜ nales enviadas desde la tierra con una diferencia de tiempos t0 corresponden a dos frentes de onda consecutivos y por lo tanto t0 representa el periodo de una onda y as´ı la frecuencia angular de la se˜ nal es ω0 =

2π t0

(8.31)

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CAP´ITULO 8.

EFECTO DOPPLER

a Consideremos primero el caso de la nave A la cual se aleja de la fuente (tierra) y por lo tanto podemos aplicar el efecto Doppler longitudinal (problema 2 ecuaci´ on (8.15)): s 1−β (8.32) ωD = ω0 1+β as´ı, la diferencia de tiempos ∆t′A entre las dos se˜ nales medidas por la nave A es s s 1+β 2π 2π 1 + β ′ ∆tA = = t0 (8.33) = ωD ω0 1 − β 1−β Para el caso de la nave B, la cual se est´ a acercando a la fuente, basta con cambiar v → −v, por lo tanto s 1−β (8.34) ∆t′B = t0 1+β b El c´ alculo de la diferencia de tiempos de los pulsos que llegan a la tierra procede en forma similar. Para el caso de la nave A podemos considerar que los pulsos reflejados en la nave corresponden a un frente de ondas emitido por la nave A con una frecuencia ω D y por lo tanto, aplicando efecto Doppler longitudinal, en la tierra se detecta un frente de ondas de frecuencia s 1−β (8.35) ωT = ωD 1+β remplazando la ecuaci´ on (8.32) para ω D tenemos ωT = ω0

1−β 1+β

(8.36)

y la diferencia de tiempos de la llegada de los dos pulsos est´ a dada por 1+β 2π = t0 (8.37) ∆tT A = ωT 1−β Para calcular la diferencia de tiempos de la nave B es suficiente cambiar v → −v: ∆tT B = t0

1−β 1+β

(8.38)

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8.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DEL EFECTO DOPPLER

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5. Expansi´ on del universo. El factor de corrimiento est´ a definido como λ −1 (8.39) z= λ0 Remplazando los valores para la longitud de onda propia y observada de la l´ınea Hα obtenemos z=

6650 − 1 = 1. 325 6 × 10−2 6563

(8.40)

Teniendo en cuenta que el corrimiento es hacia el rojo, pues z > 0, expresemos la velocidad en t´erminos del corrimiento al rojo. De la ecuaci´ on (8.15) tenemos que la frecuencia detectada est´ a dada por s 1−β ω0 (8.41) ω= 1+β donde β = v/c es la velocidad con que se est´ a alejando la galaxia y ω 0 es la frecuencia propia de emisi´ on. Teniendo en cuenta la relaci´ on entre frecuencia angular y longitud de onda ω0 =

2πc λ0

(8.42)

tenemos que λ = λ0

s

1+β =z+1 1−β

(8.43)

despejando la velocidad en funci´on de z obtenemos β=

(z + 1)2 − 1

(z + 1)2 + 1

(8.44)

entonces remplazando β=


2 1. 325 6 × 10−2 + 1 − 1

(1. 325 6

× 10−2

2

+ 1) + 1

= 1. 316 8 × 10−2

(8.45)

6. Ley de reflexi´ on en espejos planos. Consid´erese el sistema de referencia de laboratorio L Σ, con respecto al cual el plano del espejo est´ a en el plano y − z y se est´ a moviendo con velocidad ~v = −vˆ x y sin p´erdida de generalidad el rayo de luz se mueve en el plano x − y hacia el espejo (ver figura (8.2)).

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CAP´ITULO 8.

EFECTO DOPPLER

Figura 8.2: Ley de reflexi´on en espejos planos. Reflexi´on sobre espejo m´ovil normal al plano del espejo.

Las componentes del cuadrivector de onda ki del rayo incidente, en el sistema laboratorio, est´ an dadas por:
ki = ki0 , ki1 , ki2 , ki3  ω ω ωi i i , cos θi , sin θ i , 0 (8.46) = c c c

Consid´erese ahora un sistema de referencia E Σ ligado al espejo con sus ejes paralelos a los ejes del sistema L Σ. Las componentes del cuadrivector de onda incidente en el sistema de referencia del espejo
E ki = E ki0 ,E ki1 ,E ki2 ,E ki3 (8.47)

se obtienen a partir de ki por una transformaci´on de Lorentz usual de L Σ a E Σ con velocidad −v. As´ı, las componentes no nulas son
E 0 ki = γ ki0 + βki1  ω ωi i + β cos θi = γ c c ωi = γ (1 + β cos θ i ) (8.48) c E 1 ki


= γ ki1 + βki0 ω ωi  i cos θi + β = γ c c ωi = γ (cos θi + β) c

(8.49)

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8.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DEL EFECTO DOPPLER

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ωi sin θi (8.50) c En el sistema de referencia del espejo, el rayo de luz se refleja siguiendo la ley de ´ angulo de incidencia igual al ´angulo de reflexi´on; entonces el cuadrivector de onda reflejado en E Σ tiene componentes dadas por
E kr = E kr0 ,E kr1 ,E kr2 ,E kr3 =  ω  ωi ωi i γ (1 + β cos θi ) , −γ (cos θ i + β) , (8.51) sin θi c c c Realizando la transformaci´on de Lorentz inversa se obtienen las componentes del cuadrivector de onda reflejado kr en el sistema laboratorio, as´ı
kr0 = γ E kr0 − β E kr1   ω ωi i = γ γ (1 + β cos θi ) + βγ (cos θi + β) c c
2 ωi 2 = γ 1 + 2β cos θi + β (8.52) c E 2 ki

= ki2 =


− β E kr0  ω  ωi i = γ −γ (cos θi + β) − βγ (1 + β cos θ i ) c c
2 ωi 2 = −γ (8.53) cos θi + 2β + β cos θi c

kr1 = γ

E 1 kr

ωi sin θi (8.54) c por lo tanto la frecuencia del rayo reflejado cambia y est´ a dada por
ω r = ω i γ 2 1 + 2β cos θi + β 2 (8.55) kr2 =E kr2 =

y el ´ angulo de reflexi´on θr est´ a dado por (medido con respecto a la normal) 1 1 k k r cos θr = = r0 kr ~kr
γ 2 ωci cos θi + 2β + β 2 cos θi
= γ 2 ωci 1 + 2β cos θi + β 2
2β + 1 + β 2 cos θi = (8.56) 1 + 2β cos θ i + β 2

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CAP´ITULO 8.

EFECTO DOPPLER

Consid´erese ahora el caso del espejo movi´endose con velocidad constante en el plano del espejo. Sin p´erdida de generalidad, se asume que el espejo est´ a en el plano x − z y se mueve con velocidad v en la direcci´ on del eje x positivo del sistema laboratorio y el rayo de luz se mueve en el plano x − y e incide en el espejo con un ´ angulo θi , respecto a la normal. Entonces las componentes del cuadrivector de onda incidente, en el sistema laboratorio, est´ an dadas por
ki0 , ki1 , ki2 , ki3  ω ω ωi i i , sin θi , cos θ i , 0 = c c c

ki =

(8.57)

Pasando al sistema de referencia del espejo (ahora con velocidad v) las componentes del cuadrivector de onda incidente E

ki =

E 0 E ki ,

ki1 ,E ki2 ,E ki3

est´ an dadas por E 0 ki

E 1 ki





= γ ki0 + βki1  ω ωi i − β sin θi = γ c c ωi = γ (1 − β sin θ i ) c
= γ ki1 + βki0 ω ωi  i sin θi − β = γ c c ωi = γ (sin θ i − β) c

(8.58)

(8.59)

(8.60)

ωi c cos θ i (8.61) c En el sistema de referencia del espejo el rayo de luz se refleja siguiendo la ley de ´ angulo de incidencia igual al ´angulo de reflexi´on y por lo tanto las componentes del cuadrivector de onda reflejado en E Σ son
E kr = E kr0 ,E kr1 ,E kr2 ,E kr3 =   ω ωi ωi i (8.62) γ (1 − β sin θi ) , γ (sin θ i − β) , − cos θi , 0 c c c E 2 ki

= ki2 =

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8.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DEL EFECTO DOPPLER

139

Aplicando la transformaci´on de Lorentz inversa se obtienen las componentes del cuadrivector de onda reflejado kr en el sistema laboratorio, as´ı
kr0 = γ E kr0 + β E kr1   ω ωi i = γ γ (1 − β sin θi ) + βγ (sin θi − β) c c
2 ωi 2 = γ 1−β (8.63) c ωi = (8.64) c es decir la frecuencia no cambia y
kr1 = γ E kr1 − β E kr0   ω ωi i = γ γ (sin θi − β) + βγ (1 − β sin θi ) c c
2 ωi 2 = γ sin θi 1 − β c ωi = sin θi c

(8.65) (8.66)

ωi cos θi (8.67) c por lo tanto el ´ angulo de reflexi´on es (medido con respecto a la normal) 2 2 kr k cos θr = = r0 kr ~kr kr2 =

E 2 kr

=

=−

ωi c

cos θi ωi c

= cos θi

(8.68)

es decir, para este caso se sigue cumpliendo que el ´angulo de incidencia es igual al de reflexi´on.

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Cap´ıtulo 9

Din´ amica relativista 9.1.

Soluciones de problemas sobre din´ amica

1. Cuadrivector momento. Debemos probar que p2 > 0, si p21 > 0 y p22 > 0. Entonces p2 = (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 · p2

(9.1)

El producto interno minkowskiano p1 · p2 de los cuadrivectores momento, por ser una cantidad invariante, lo podemos calcular en el sistema de referencia propio de una cualquiera de las dos part´ıculas, por ejemplo de la part´ıcula 1. Entonces, en este sistema de referencia, los cuadrivectores momento de las part´ıculas est´ an dados por p1 = (m01 c, 0, 0, 0)

(9.2)

p2 = (m02 γ(v21 )c, m02 γ(v21 )~v21 )

(9.3)

donde ~v21 es la velocidad de la part´ıcula 2 respecto a la part´ıcula 1. Entonces p1 · p2 = m01 m02 γ(v21 )c2 > 0

(9.4)

pues el factor γ siempre es positivo. Por lo tanto p2 = m201 c2 + m202 c2 + 2m01 m02 γ(v21 )c2 > 0

(9.5)

como se quer´ıa probar. 140 i

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´ 9.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS SOBRE DINAMICA

2. Sistema centro de masa. El cuadrivector momento total del sistema est´ a dado por p = p1 + p2 = (m1 c, p~1 ) + (m2 c, p~2 ) = ((m1 + m2 ) c, p~1 + p~2 ) = (mc, ¯ p~)

(9.6)

donde mi = m0i γ(~vi ), i = 1, 2 con ~vi las velocidades de las part´ıculas en el sistema de referencia Σ. La velocidad ~uCM del sistema centro de masa est´ a dada por ~uCM =

m01 γ(~v1 )~v1 + m02 γ(~v2 )~v2 p~ = m ¯ m01 γ(~v1 ) + m02 γ(~v2 )

(9.7)

La masa propia del sistema de part´ıculas M0 medida por el observador Σ se puede calcular a partir de la norma al cuadrado del cuadrivector momento total del sistema, as´ı p2 = M02 c2

(9.8)

entonces p2 = (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 · p2

p1 · p~2 = m201 c2 + m202 c2 + 2m1 m2 c2 − 2~

= m201 c2 + m202 c2 +

2

2m01 m02 γ(~v1 )γ(~v2 )c



~v1 · ~v2 1− c2



(9.9)

Si las dos part´ıculas estuvieran en reposo en el sistema Σ, entonces la masa propia total ser´ıa la suma de las masas propias de las part´ıculas que conforman el sistema. La masa propia total del sistema medida en el sistema centro de masa ΣCM est´ a dada por M0CM =

m01 γ(~v1 ) + m02 γ(~v2 ) m ¯ = γ(~uCM ) γ(~uCM )

(9.10)

donde la velocidad del sistema centro de masa ~uCM est´ a dada por la ecuaci´ on (9.7).

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´ CAP´ITULO 9. DINAMICA RELATIVISTA

3. Transformaci´ on del momento. El cuadrivector momento de una part´ıcula de masa propia m0 y velocidad ~u, medidas en el sistema de referencia inercial Σ, est´ a dado por   E 0 1 2 3 , p~ p = (p , p , p , p ) = c   E = , px , py , pz (9.11) c donde E = mc2 = m0 γ(~u)c2

(9.12)

p~ = m0 γ(~u)~u

(9.13)

es la energ´ıa total y su momento, est´ an relacionados con las componentes del cuadrivector momento en Σ′ por la transformaci´on de Lorentz usual:
p′0 = γ(v) p0 − βp1 (9.14)
p′1 = γ(v) p1 − βp0 (9.15) p′2 = p2 ′3

p =p

3

(9.16)

(9.17)

con β = v/c la velocidad de Σ′ respecto a Σ. Entonces E ′ = γ(v) (E − vpx )  v  p′x = γ(v) px − 2 E c ′ py = py p′z

= pz

(9.18) (9.19) (9.20) (9.21)

La energ´ıa cin´etica K de la part´ıcula se define como K = E − E0 = m0 c2 (γ(~u) − 1)

(9.22)

entonces, en el sistema Σ′ tenemos que K ′ = E´− E0

= m0 c2 (γ(~u′ ) − 1)

(9.23)

donde ~u′ es la velocidad de la part´ıcula medida por Σ′ . Teniendo en cuenta c´ omo el factor γ se transforma entre sistemas de referencia, ecuaci´ on (7.83), se obtiene    vux  (9.24) K ′ = m0 c2 γ(v)γ(~u) 1 − 2 − 1 c

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´ 9.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS SOBRE DINAMICA

143

4. Cuadrivector fuerza. Para interpretar f´ısicamente las componentes del cuadrivector fuerza, definido por la ecuaci´ on de movimiento dp (9.25) f = m0 A = dτ consideremos sus componentes medidas por un observador inercial Σ. Teniendo en cuenta la definici´on del cuadrivector momento p, tenemos f 0, f 1, f 2, f 3




dpα dτ  dt d E , p~ = dτ dt c   1 dE d~ p = γ(~u) , c dt dt

= fα =

(9.26)

Para interpretar f´ısicamente esta ecuaci´ on consideremos el producto punto minkowskiano entre el cuadrivector fuerza y el cuadrivector velocidad: f · U = m0 A · U (9.27) Dado que el producto punto es un invariante relativista, calculemos su valor en el sistema de referencia propio de la part´ıcula, es decir en el sistema de referencia con respecto al cual la part´ıcula se encuentra en reposo, as´ı U α = (c, 0, 0, 0)

(9.28)

Aα = (0, ~α)

(9.29)

donde ~ α es la aceleraci´ on propia de la part´ıcula; entonces f ·U =0

(9.30)

Para un sistema de referencia inercial Σ, las componentes de los cuadrivectores velocidad y fuerza (ver ecuaci´ on (9.26)) est´ an dadas por U α = γ (~u) (c, ~u) (9.31)   p 1 dE d~ , (9.32) f α = γ(~u) c dt dt

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´ CAP´ITULO 9. DINAMICA RELATIVISTA

entonces 0 = f ·U 2

= γ (~u)



 d~ p dE − · ~u dt dt

(9.33)

~ que act´ Por lo tanto, dado que el efecto de la fuerza f´ısica F ua sobre una part´ıcula es cambiar su momento, entonces tenemos que d~ p F~ = dt

(9.34)

y si se adopta la definici´on usual del trabajo, realizado por una fuerza sobre una part´ıcula, como dW = F~ · d~r

(9.35)

entonces la ecuaci´ on (9.33) implica que el cambio en la energ´ıa total de la part´ıcula por unidad de tiempo d~ p dE = · ~u = F~ · ~u dt dt

(9.36)

es el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado por la ~ sobre la part´ıcula, lo cual est´ fuerza externa F a de acuerdo con la interpretaci´on de E como la energ´ıa total de la part´ıcula. As´ı, las componentes del cuadrivector fuerza se pueden escribir en la forma   p 1 dE d~ α , f = γ(~u) c dt dt   1~ ~ = γ(~u) F · ~u, F (9.37) c es decir, la componente temporal representa el trabajo por unidad de tiempo realizado por la fuerza externa y las componentes espaciales (salvo el factor γ) corresponden a las componentes de la fuerza f´ısica que act´ ua sobre la part´ıcula. 5. Transformaci´ on de la fuerza entre sistemas de referencia. Consideremos dos sistemas de referencia Σ y Σ′ relacionados por una transformaci´on de Lorentz usual. Entonces las componentes del cuadrivector fuerza se transforman como
f ′0 = γ f 0 − βf 1 (9.38) i

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´ 9.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS SOBRE DINAMICA

f ′1 = γ f 1 − βf 0 f

′2

=f

2




f ′3 = f 3

145 (9.39) (9.40) (9.41)

con γ = γ(v), β = v/c y v la velocidad del sistema Σ′ respecto a Σ en la direcci´ on del eje x positivo. La interpretaci´on f´ısica de las componentes del cuadrivector fuerza encontradas en el problema anterior implica que  
1~ 0 1 2 3 ~ F · ~u, F (9.42) f , f , f , f = γ(~u) c

donde ~u es la velocidad de la part´ıcula. Estamos interesados en ~ . Si encontrar las ecuaciones de transformaci´on para la fuerza F llamamos
~ (9.43) F´= Fx′ , Fy′ , Fz ′

las componentes de la fuerza medida en Σ′ , de la segunda ecuaci´ on de transformaci´on tenemos   v ~ · ~u (9.44) γ(~u′ )Fx′ = γ(v) γ(~u)Fx − 2 γ(~u)F c

teniendo en cuenta la manera como el factor γ(~u′ ) se transforma, ver ecuaci´ on (7.83),  vux  γ(~u′ ) = γ(v)γ(~u) 1 − 2 (9.45) c entonces obtenemos

Fx′ =

Fx − cv2 F~ · ~u x 1 − vu c2

(9.46)

Para las otras dos componentes tenemos γ(~u′ )Fy′ = γ(~u)Fy

(9.47)

γ(~u′ )Fz ′ = γ(~u)Fz

(9.48)

por lo tanto Fy′ = Fz ′ =

Fy γ(v) 1 −

Fz γ(v) 1 −

vux c2 vux c2





(9.49) (9.50)

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´ CAP´ITULO 9. DINAMICA RELATIVISTA

6. Energ´ıa disponible para crear part´ıculas. Si se elige el eje x en la direcci´ on de movimiento de los protones, en el primer caso el cuadrivector momento de cada prot´ on est´ a dado por     E1 E1 , p~1 = , px , 0, 0 (9.51) p1 = c c   E0 , 0, 0, 0 (9.52) p2 = c

Despu´es de la colisi´ on emergen los dos protones m´ as una nueva part´ıcula de masa propia M0 = ED /c2 , es decir, se est´ a asumiendo que toda la energ´ıa disponible en el experimento se transforma en energ´ıa propia de la nueva part´ıcula. Entonces la conservaci´on del cuadrivector momento implica p1 + p2 = p1f + p2f + pf

(9.53)

con p1f y p2f los cuadrivectores momento finales de los protones y pf el cuadrivector momento final de la nueva part´ıcula. Elevando al cuadrado ambos miembros de esta ecuaci´ on obtenemos el invariante relativista (p1 + p2 )2 = (p1f + p2f + pf )2

(9.54)

El lado izquierdo se calcula en el sistema laboratorio, entonces (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 · p2 E0 E1 E2 = 2 20 + 2 2 c c

(9.55)

Para calcular el lado derecho se impone la condici´ on de energ´ıa umbral, donde las part´ıculas despu´es de la colisi´ on quedan en reposo en el sistema de referencia centro de masa, entonces   E0 E0 ED 2 2 (p1f + p2f + pf ) = + + (9.56) c c c Igualando las dos expresiones y despejando ED se tiene 2

2 E0 E1 E02 ED E0 ED E02 + 2 = 4 + +4 2 2 2 2 2 c c c c c

(9.57)

2 ED + 4E0 ED + 2E02 − 2E0 E1 = 0

(9.58)

entonces

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´ 9.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS SOBRE DINAMICA

resolviendo la ecuaci´ on cuadr´atica para ED y tomando la ra´ız positiva se obtiene q (9.59) ED = −2E0 + 2E02 + 2E0 E1 Para el caso donde E1 = 30Gev y E0 = 0,94Gev la energ´ıa disponible es ED = 5. 746 7Gev (9.60)

Para el segundo caso, los cuadrivectores momento de los protones iniciales son   E2 , |~p2 | , 0, 0 (9.61) p1 = c   E2 p2 = , − |~p2 | , 0, 0 (9.62) c entonces (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 · p2  2  E02 E2 2 = 2 2 +2 + |~p2 | c c2

(9.63)

dado que p21 =

E22 E02 = − |~p2 |2 c2 c2

por lo tanto 2

(p1 + p2 )

E2 = 2 20 + 2 c E2 = 4 22 c



E22 E22 E02 + 2 − 2 c2 c c

 (9.64)

Entonces, de la ecuaci´ on de conservaci´on del cuadrivector momento al cuadrado, se tiene que 4

2 ED E22 E02 E0 ED = 4 + +4 2 2 2 2 c c c c

(9.65)

despejando la energ´ıa disponible se llega a la ecuaci´ on cuadr´atica 2 ED + 4E0 ED + 4E02 − 4E22 = 0

(9.66)

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´ CAP´ITULO 9. DINAMICA RELATIVISTA

cuya soluci´ on positiva est´ a dada por   q 1 2 2 2 −4E0 + 16E0 − 16E0 + 16E2 ED = 2 = 2E2 − 2E0

(9.67) (9.68)

tomando E2 = 15Gev se obtiene ED = 28, 12Gev

(9.69)

lo cual implica que en el segundo experimento se tiene cinco veces m´ as energ´ıa disponible. O en forma equivalente, si se quiere tener una energ´ıa disponible de 28, 12Gev, se requiere que, en el primer experimento, el prot´ on sea acelerado a una energ´ıa de 2 + 4E E + 2E 2 ED 0 D 0 2E0 = 477, 78Gev

E1 =

(9.70)

7. Sistema de dos electrones. Elijamos el eje x del sistema de referencia del laboratorio Σ en la direcci´ on de movimiento del electr´ on y sean p1 el cuadrivector momento del electr´ on m´ ovil y p2 el cuadrivector momento del electr´ on en reposo. a La energ´ıa cin´etica del electr´ on 1 (m´ ovil) es K1 = E1 − E0

(9.71)

donde E1 es su energ´ıa total y E0 = m0 c2 su energ´ıa en reposo. Entonces 2m0 c2 = γ(u)m0 c2 − m0 c2

(9.72)

con u la velocidad del electr´ on. Despejando el factor γ(u) se tiene 1 =3 (9.73) γ(u) = q 2 1 − uc2 y por lo tanto la velocidad del electr´ on est´ a dada por s 1 u = βu = 1 − c γ(u)2 √ 2 2 (9.74) = 3

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´ 9.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS SOBRE DINAMICA

149

b El cuadrivector momento del electr´ on 2, en reposo respecto al sistema laboratorio Σ, es   E2 p2 = , p~2 = (m0 c, 0, 0, 0) (9.75) c y el del electr´ on 1 est´ a dado por   E1 , p~1 = (m0 cγ(u), m0 γ(u)u, 0, 0) p1 = c √ (9.76) = (3m0 c, 2 2m0 c, 0, 0) Por lo tanto, para el cuadrivector momento total del sistema en Σ se obtiene p = p1 + p2

√ = (4m0 c, 2 2m0 c, 0, 0)

(9.77)

c La velocidad del centro de masa para un sistema de part´ıculas est´ a dada por ~p (9.78) ~uCM = m ¯ donde p~ es el momento total del sistema y mc ¯ 2 su energ´ıa total. Entonces, para el sistema de los dos electrones tenemos ! √  2 1  √ ~uCM = c, 0, 0 (9.79) 2 2m0 c, 0, 0 = 4m0 2 Para calcular las componentes del cuadrivector momento de los electrones, en el sistema de referencia ΣCM , es suficiente tener en cuenta la transformaci´on de Lorentz entre los sistemas Σ y ΣCM , donde ΣCM se mueve con velocidad uCM = √ 2/2 en la direcci´ on del eje x positivo (ver ecuaci´ on (9.79)). Bajo esta transformaci´on de Lorentz las componentes del cuadrivector momento, en los dos sistemas de referencia, est´ an dadas por
p′0 = γ(uCM ) p0 − β CM p1 (9.80)
p′1 = γ(uCM ) p1 − β CM p0 (9.81) p′2 = p2 ′3

p =p

3

(9.82)

(9.83)

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´ CAP´ITULO 9. DINAMICA RELATIVISTA

donde β CM = uCM /c. Aplicando estas transformaciones a p1 y p2 tenemos:
p′1 0 = γ(uCM ) p01 − β CM p11 ! √ √ 2 √ 2 3m0 c − 2 2m0 c = 2 √ (9.84) = 2m0 c
p′1 1 = γ(uCM ) p11 − β CM p01 ! √ √ √ 2 = 2 2 2m0 c − 3m0 c 2 = m0 c2

(9.85)

y las dem´ as componentes son cero. Para el segundo electr´ on se tiene
p′2 0 = γ(uCM ) p02 − β CM p12 √ 2 (m0 c − 0) = √ 2m0 c (9.86) = p′2 1 = γ(uCM ) p12 − β CM p02 ! √ √ 2 m0 c = 2 0− 2 = −m0 c Entonces

√  p′1 = 2m0 c, m0 c, 0, 0  √ 2m0 c, −m0 c, 0, 0 p′2 =


(9.87) (9.88) (9.89)

d La masa propia del sistema, por definici´on, es un invariante relativista y debe ser la misma calculada en cualquier sistema de referencia inercial. Para calcular la masa propia en Σ tomamos la norma del cuadrivector momento total del sistema, entonces √ p2 = (p1 + p2 )2 = (4m0 c, 2 2m0 c, 0, 0)2 = 16m20 c2 − 8m20 c2 = 8m20 c2

(9.90)

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“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 151 — #155 i

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´ 9.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS SOBRE DINAMICA

as´ı

√ M0 = 2 2m0

En el sistema centro de masa tenemos 
2  √ p′2 = p′1 + p′2 = 2 2m0 c, 0, 0, 0 = 8m20 c2

151

(9.91)

(9.92)

y se obtiene, como se esperaba, el mismo resultado. 8. Sistema de dos fotones. Sean p1 y p2 los cuadrivectores momento de los dos fotones en el sistema de referencia Σ. a La relaci´ on entre la energ´ıa E y la magnitud del momento |~p| de un fot´on est´ a dada por la ecuaci´ on E (9.93) c entonces los cuadrivectores momento de los fotones toman la forma   E E p1 = , , 0, 0 (9.94) c c para el fot´on en movimiento a lo largo del eje x positivo, y   E E p2 = , 0, , 0 (9.95) c c |~ p| =

para el fot´on en movimiento a lo largo del eje y positivo. El cuadrivector momento total del sistema est´ a dado por p = p1 + p2   2E E E , , ,0 = c c c

(9.96)

b La velocidad del centro de masa para un sistema de part´ıculas est´ a dada por ~p ~uCM = (9.97) m ¯ donde p~ es el momento total del sistema y mc ¯ 2 su energ´ıa total. As´ı, para el sistema de dos fotones tenemos   c2 E E ~p = , ,0 ~uCM = m ¯ 2E c c c c  , ,0 (9.98) = 2 2

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´ CAP´ITULO 9. DINAMICA RELATIVISTA

la cual corresponde a la velocidad del sistema de referencia ΣCM respecto al sistema laboratorio Σ, de tal manera que en el sistema ΣCM el momento total es cero. La magnitud de la velocidad ~uCM est´ a dada por r  c 2  c 2 + |~uCM | = 2 2 √ 2 c 0, entonces las l´ıneas del campo toman la forma que se ilustra en la figura (11.2): para distancias menores a ct las l´ıneas de campo corresponden a las de una carga en reposo y si suponemos que el proceso de frenado de la carga dur´o un tiempo δt, entonces para distancias mayores a c(t + δt) el campo el´ectrico corresponde al de una carga movi´endose a velocidad constante y cuya posici´ on instant´anea se encuentra en el punto A de la figura (11.2) y representa la posici´ on que la carga tendr´ıa si ella hubiera continuado movi´endose a la velocidad constante v. La regi´ on intermedia representada por los dos c´ırculos conc´entricos separados una distancia cδt corresponde a las l´ıneas de campo el´ectrico emitidas por una carga acelerada (ondas electromagn´eticas o campo de radiaci´ on), las cuales se propagan a la

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

Figura 11.2: Causalidad y el campo el´ectrico de una carga en movimiento uniforme. L´ıneas de campo el´ectrico de una carga que se frena en un tiempo δt.

velocidad de la luz y llevan la informaci´ on que la carga ha sido acelerada (frenada en este caso). 7. Fuerza sobre una carga en movimiento. Para el primer caso, cuando la carga fuente est´ a, en el instante t = 0, en la posici´ on ~r = (x, 0, 0) y se mueve con velocidad ~u, transformemos a un sistema de referencia inercial Σ′ con respecto al cual la carga fuente se encuentra en reposo. En este sistema el campo el´ectrico de la carga fuente Q en reposo, en un punto de coordenadas (x′ , 0, 0), est´ a dado por ~ kQ E´= x′2

(11.79)

y por lo tanto la fuerza sobre una carga de prueba en ese punto, independientemente de su velocidad, est´ a dada por


~ F´= Fx′ , Fy′ , Fz ′ =



 Qq k ′2 , 0, 0 x

(11.80)

En el sistema de referencia Σ′ la velocidad de la carga de prueba es ~u = (ux′ , uy′ , uz ′ ) y por lo tanto las ecuaciones de transformaci´on

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

215

inversas para la fuerza medida en el sistema Σ implican que ! ~ ~u′ Fx′ + cv2 F´· , 0, 0 F~ = (Fx , Fy , Fz ) = vu 1 + c2x′ ! Qq 1 + cv2 ux′ = k ′2 , 0, 0 x 1 + vuc2x′   Qq = k ′2 , 0, 0 x   Qq = k 2 , 0, 0 (11.81) γ (v)x2 el cual es el mismo resultado obtenido en el problema 5 de esta secci´ on, donde la carga de prueba se encontraba en reposo en el punto ~r = (x, 0, 0). Consideremos ahora la carga q situada en el punto de coordenadas ~r = (0, y, 0) en t = 0 y con velocidad ~u = (ux , 0, 0). Pasando al sistema de referencia Σ′ donde la carga fuente se encuentra en reposo en el origen, el campo el´ectrico en el punto ~r´= (0, y ′ , 0) est´ a dado por   ~ ′ = 0, k Q , 0 (11.82) E y ′2 y por lo tanto la fuerza sobre la carga de prueba es   Qq F~ ′ = 0, k ′2 , 0 y

(11.83)

Transformando esta expresi´ on al sistema de referencia Σ, teniendo en cuenta que la velocidad de la carga de prueba es ~u′ = (ux′ , 0, 0), obtenemos ! ~ ~u′ Fx′ + cv2 F´· ′ ′ F F y z ~ = F , vu vu
, vu
1 + c2x′ γ(v) 1 + c2x′ γ(v) 1 + c2x′ ! Fy′ = 0, (11.84) vu
, 0 γ(v) 1 + c2x′ considerando que y = y ′ y

ux ′ =

ux − v x 1 − vu c2

(11.85)

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

tenemos que la u ´nica componente no nula de la fuerza sobre la carga de prueba est´ a dada por Fy = k = k

1 Qq 1 ux −v v 2 y γ(v) 1 + c2 1− vux Qq 1 y 2 γ(v)

= γ(v)k

x 1 − vu c2 2 1 − vc2

c2

Qq  vux  1 − y2 c2

(11.86)

En el problema 5 de esta secci´ on encontramos que la fuerza sobre una carga de prueba en reposo situada en el eje y, debida a la carga Q que se mueve con velocidad constante v a lo largo del eje x positivo, cuando la carga est´ a pasando por el origen en t = 0, es ~ = F



 Qq 0, γ(v)k 2 , 0 y

(11.87)

esto significa que sobre la carga de prueba en movimiento aparece una fuerza adicional, la cual es una funci´on de la velocidad ux de la carga q, dada por la expresi´ on ~M F

=



0, −γ(v)k

= −

vux ~ FE c2

 Qq vux , 0 y 2 c2 (11.88)

con F~E la fuerza de origen el´ectrico dada por la ecuaci´ on (11.87) (F~M hace referencia a la fuerza magn´etica como veremos m´ as adelante). Consideremos ahora c´omo se modificar´ıa la fuerza en el caso anterior si la carga de prueba se mueve con velocidad arbitraria ~u = (ux , uy , uz ). El cambio para este caso surge de la transformaci´ on de las componentes de la fuerza del sistema Σ′ al sistema Σ, pues de la ecuaci´ on (11.83) tenemos F~

=

~ ~u′ Fx′ + cv2 F´· Fy′ , vux′ 1 + c2 γ(v) 1 +

=

v F ′u ′ c2 y y vu , 1 + c2x′

Fy′ γ(v) 1 +

Fz ′ vux′
, γ(v) 1 + c2 !

vux′
, 0 c2

vux′
c2

!

(11.89)

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

Transformando las cantidades primadas al sistema Σ, con ux′ = =

uy ′

ux − v x 1 − vu c2 uy γ(v) 1 −

(11.90) vux c2

se obtiene F~

= k

= k

= k



” “ uy γ(v) 1− vu2x

Qq  v  y 2 c2 1 + 

Qq  v  y 2 c2

c

v ux −v c2 1− vu2x

,

c

” “ uy γ(v) 1− vu2x

1 γ 2 (v)

(11.91)


1



γ(v) 1 +

v ux −v c2 1− vu2x c



 , 0 

  vux  c
, 0 vux , γ(v) 1 − c2 1 − c2 

 Qq  vux   vuy , γ(v) 1 − γ(v) ,0 y2 c2 c2

(11.92)

De acuerdo con el problema 5 de esta secci´ on, en el sistema Σ la carga de prueba experimenta una fuerza debida al campo el´ectrico de la carga fuente dada por la ecuaci´ on (11.87):   Qq ~ FE = 0, γ(v)k 2 , 0 (11.93) y y por lo tanto de la ecuaci´ on (11.92) tenemos que sobre la part´ıcula de prueba act´ ua una fuerza adicional F~M

= F~ − F~E    vuy vux   Qq Qq  = k 2 γ(v) 2 , γ(v) 1 − 2 , 0 − 0, γ(v)k 2 , 0 y c c y   Qq v Qq v = k 2 γ(v) 2 uy , −k 2 γ(v) 2 ux , 0 (11.94) y c y c

la cual depende de la velocidad ~u de la carga de prueba. Esta fuerza F~M la identificamos con la fuerza magn´etica, pues si definimos ~ = γ(v) v Q (0, 0, 1) B c y2

(11.95)

como el campo magn´etico debido a la carga Q en el punto de coordenadas ~r = (0, y, 0), entonces la fuerza magn´etica se puede escribir en la forma q ~ (11.96) F~M = ~u × B c

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

pues q ~ = γ(v) v qQ (ux , uy , uz ) × (0, 0, 1) ~u × B c c y2   Qq v Qq v = k 2 γ(v) uy , −k 2 γ(v) ux , 0 (11.97) y c y c

Adem´ as podemos encontrar la relaci´ on entre el campo el´ectrico y el campo magn´etico producido por la part´ıcula de prueba, pues ~ = γ(v) v Q (0, 0, 1) B c y2 vQ = γ(v) 2 (1, 0, 0) × (0, 1, 0) cy 1 ~ ~v × E (11.98) = c Veamos ahora el caso general donde la part´ıcula de prueba en el instante t = 0 se encuentra en el punto ~r = (x, y, z) y posee una velocidad ~u = (ux , uy , uz ). La fuerza en el sistema de referencia Σ′ est´ a dada por (ver problema 5 de esta secci´ on, ecuaci´ on (11.67))   ′ ′ ′
~ ′ = Fx′ , Fy′ , Fz ′ = k Qqx , k Qqy , k Qqz (11.99) F r ′3 r ′3 r ′3 donde

r´2 = x′2 + y ′2 + z ′2

(11.100)

Transformando las componentes de la fuerza al sistema de referencia Σ tenemos que Fx =

Fx′ + cv2 F~ ′ · ~u′ vu 1 + c2x′

(11.101)

y teniendo en cuenta que x′ = γ(v)x y′ = y z′ = z

(11.102)

y aplicando las ecuaciones de transformaci´on para las componentes de la velocidad se tiene que 1 1   = vux′ ux −v 1 + c2 1 + cv2 1− vux c2   vu x = γ 2 (v) 1 − 2 (11.103) c

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

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entonces   v vux   Fx′ + 2 F~ ′ · ~u′ Fx = γ 2 (v) 1 − 2 c c  vux   v vux′ Qq 2  γx(1 + 2 ) + 2 (yuy′ + zuz ′ ) = k ′3 γ 1 − 2 r c c c !   vux Qq 2 γx v yuy + zuz
+ 2
= k ′3 γ 1 − 2 x x r c c γ 1 − vu γ 2 1 − vu c2 c2 vuy vuz  Qq  (11.104) = k ′3 γ x + 2 y + 2 z r c c

con

r′ =

p γ 2 x2 + y 2 + z 2

(11.105)

Para las otras componentes de la fuerza tenemos Fy′ vu
γ(v) 1 + c2x′ vux  Qq  = k ′3 yγ 1 − 2 r c

Fy =

y

Fz ′ vu
γ(v) 1 + c2x′ Qq  vux  = k ′3 zγ 1 − 2 r c

(11.106)

Fz =

(11.107)

Por lo tanto la fuerza sobre la carga de prueba q, de origen magn´etico, est´ a dada por F~M

~E = F~ − F vuz vux vux  Qq  vuy y + z, − y, − z (11.108) = k 3γ c2 c2 c2 c2 r´

esta expresi´ on la podemos escribir en la forma   Q v q ~ ~u × k 3 γ (0, −z, y) FM = c r´ c q ~ = ~u × B c identificando

~ = k Q γ v (0, −z, y) B r´3 c

(11.109)

(11.110)

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

con el campo magn´etico producido por la carga fuente Q en el punto ~r, el cual est´ a relacionado con el campo el´ectrico por ~ = 1 ~v × E ~ B c

(11.111)

8. Transformaci´ on general del campo electromagn´ etico. Las componentes del tensor campo electromagn´etico est´ an dadas por:   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 Bz −By   F αβ =  (11.112)  −Ey −Bz 0 Bx  −Ez By −Bx 0

y los elementos de la matriz de transformaci´on de Lorentz usual son   γ −βγ 0 0  −βγ γ 0 0   Λαβ =  (11.113)  0 0 1 0  0 0 0 1

donde β = v/c es la velocidad del sistema de referencia Σ′ respecto a Σ a lo largo de los ejes x − x′ . Entonces, de las ecuaciones de transformaci´on para las componentes contravariantes de un tensor de segundo orden F ′αβ = Λαµ Λβν F µν (11.114) tenemos que Ex′ = F ′01 = Λ0µ Λ1ν F µν

(11.115)

realizando la doble suma sobre los ´ındices repetidos, y reteniendo solo los t´erminos no nulos, obtenemos Ex′

= Λ00 Λ11 F 01 + Λ01 Λ10 F 10 = γ 2 Ex − γ 2 β 2 Ex = Ex

(11.116)

Procediendo en forma an´ aloga para las otras componentes del campo el´ectrico, tenemos Ey′

= F ′02 = Λ0µ Λ2ν F µν = Λ00 Λ22 F 02 + Λ01 Λ22 F 12 = γEy − βγBz

(11.117)

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

Ez ′

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= F ′03 = Λ0µ Λ3ν F µν = Λ00 Λ33 F 03 + Λ01 Λ33 F 13 = γEz + βγBy

(11.118)

y las componentes del campo magn´etico est´ an dadas por Bx′ = F ′23 = Λ2µ Λ3ν F µν = Λ22 Λ33 F 23 = Bx

(11.119)

By′ = F ′31 = Λ3µ Λ1ν F µν = Λ33 Λ10 F 30 + Λ33 Λ11 F 31 = βγEz + γBy Bz ′

(11.120)

= F ′12 = Λ1µ Λ2ν F µν = Λ10 Λ22 F 02 + Λ11 Λ22 F 12 = −βγEy + γBz

(11.121)

9. Campo de una carga en movimiento. Para aplicar los resultados obtenidos en el problema anterior, consideremos un sistema de referencia Σ′ relacionado con Σ de la manera usual. As´ı, con respecto a Σ′ la carga Q est´ a en reposo en su origen y por lo tanto el campo de la carga en un punto ~r ′ = (x′ , y ′ , z ′ ) es solamente el´ectrico y est´ a dado por la ley de Coulomb:
~ ′ = Ex′ , Ey′ , Ez ′ E   Qx′ Qy ′ Qz ′ (11.122) = k ′3 , k ′3 , k ′3 r r r Para utilizar las ecuaciones de transformaci´on de los campos obtenidas en el problema anterior, debemos aplicar las ecuaciones de transformaci´on inversas, las cuales se obtienen cambiando v por −v. Entonces, de las ecuaciones (11.116), (11.117) y (11.118), las componentes del campo el´ectrico en el sistema de referencia Σ est´ an dadas por: Qx′ (11.123) Ex = Ex′ = k ′3 r

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

teniendo en cuenta las ecuaciones de transformaci´on de Lorentz para las coordenadas, x′ = γ(v)x (11.124) entonces Ex = k

γQx (γ 2 x2 + y 2 + z 2 )3/2

(11.125)

Para las otras componentes del campo el´ectrico obtenemos Ey = γEy′ + βγBz ′ Qy ′ = γk ′3 r γQy = k 2 2 (γ x + y 2 + z 2 )3/2

(11.126)

y Ez = γEz ′ + βγBy′ Qz ′ = γk 3 r´ γQz = k 2 2 (γ x + y 2 + z 2 )3/2

(11.127)

Este resultado coincide con el obtenido en el problema 5 de este cap´ıtulo (ver ecuaci´ on (11.73)). Para obtener las componentes del campo magn´etico, consideremos ahora las inversas de las ecuaciones (11.119), (11.120) y (11.121) del problema anterior. Entonces Bx = Bx ′ = 0 By = −βγEz ′ + γBy′ Qz ′ = −βγk ′3 r βγQz = −k 2 2 (γ x + y 2 + z 2 )3/2 Bz = βγEy′ + γBz ′ Qy ′ = βγk ′3 r βγQy = k 2 2 (γ x + y 2 + z 2 )3/2

(11.128)

(11.129)

(11.130)

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

223

escribiendo el resultado en forma vectorial obtenemos ~ = k Q γ v (0, −z, y) B r ′3 c2

(11.131)

de acuerdo con la ecuaci´ on (11.110) del problema 5. 10. Invariantes del campo electromagn´ etico. A partir del tensor campo electromagn´etico F αβ podemos construir un primer invariante considerando la traza del tensor, es decir F αα = η ασ F ασ = 0

(11.132)

el cual es id´enticamente nulo, pues F αβ es antisim´etrico. Consideremos ahora la contracci´ on del tensor F αβ consigo mismo, esto es (escribiendo solo los t´erminos no nulos) F αβ Fαβ = F 01 F01 + F 02 F02 + F 03 F03 + F 10 F10 + F 12 F12 + F 13 F13 + F 20 F20 + F 21 F21 + F 23 F23 + F 30 F30 + F 31 F31 + F 32 F32 = 2[F 01 F01 + F 02 F02 + F 03 F03 + F 12 F12 + F 31 F31 + F 23 F23 ]

(11.133)

donde se ha utilizado la propiedad antisim´etrica del tensor F αβ para la u ´ltima igualdad. De las ecuaciones (6.15) y (11.30) que nos dan las componentes contravariantes y covariantes del tensor F αβ en t´erminos de las componentes de los campos el´ectrico y magn´etico, tenemos F αβ Fαβ = 2[−Ex2 − Ey2 − Ez2 + Bz2 + By2 + Bx2 ] ~ ·B ~ −E ~ · E] ~ = 2[B (11.134) Otro invariante que podemos construir es la contracci´ on del tensor F αβ con su dual, as´ı (∗F )αβ F αβ =

1 εδγαβ F δγ F αβ 2

(11.135)

Desarrollando la suma sobre los cuatro ´ındices (sin escribir los

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

t´erminos nulos), tenemos (∗F )αβ F αβ =

1 [ε0123 F 01 F 23 + ε0132 F 01 F 32 + ε0213 F 02 F 13 2 +ε0231 F 02 F 31 + ε0312 F 03 F 12 + ε0321 F 03 F 21 +ε1023 F 10 F 23 + ε1032 F 10 F 32 + ε1203 F 12 F 03 +ε1230 F 12 F 30 + ε1302 F 13 F 02 + ε1320 F 13 F 20 +ε2013 F 20 F 13 + ε2031 F 20 F 31 + ε2103 F 21 F 03 +ε2130 F 21 F 30 + ε2301 F 23 F 01 + ε2310 F 23 F 10 +ε3012 F 30 F 12 + ε3021 F 30 F 21 + ε3102 F 31 F 02 +ε3120 F 31 F 20 + ε3201 F 32 F 01 + ε3210 F 32 F 10 ]

= 4[ε0123 F 01 F 23 + ε0213 F 02 F 13 +ε0312 F 03 F 12 ]

(11.136)

Remplazando las componentes del tensor F αβ en t´erminos de los campos, obtenemos (∗F )αβ F αβ = 4 [−Ex Bx − Ey By − Ez Bz ] ~ ·B ~ = −4E

(11.137)

as´ı ~ = − 1 (∗F ) F αβ ~ ·B E αβ 4 1 = − εδγαβ F δγ F αβ 8

(11.138)

11. Campos ortogonales. En el problema anterior encontramos dos invariantes formados a partir del tensor campo electromagn´etico F αβ : ~2 − E ~ 2 = 1 F αβ Fαβ B (11.139) 2 ~ ·B ~ = − 1 εδγαβ F δγ F αβ (11.140) E 8 ~ 2 ni B ~ 2 son invariantes indepenesto muestra adem´ as que ni E dientes; de hecho no existen m´ as invariantes construidos a partir αβ de F que no sean m´ ultiplos o combinaci´ on lineal de los dos ~ yB ~ forman invariantes anteriores. Supongamos que los campos E un ´ angulo φ para un sistema de referencia inercial Σ, entonces ~ ·B ~ E cos φ = ~ ~ B E

(11.141)

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

esto significa que para Σ ~ E 6= 0 y

~ B 6= 0

225

(11.142)

por lo tanto, si por hip´ otesis los campos forman el mismo ´angulo en todos los sistemas de referencia inerciales, entonces en Σ′ tenemos ~′ · B ~′ E cos φ = ~ ~ B´ E´

(11.143)

Puesto que el producto punto es un invariante ~ ·B ~ =E ~′ · B ~′ E

(11.144)

mientras que las normas de los campos el´ectrico y magn´etico no lo son, se debe tener que ~ ·B ~ =0 E (11.145) para todos los observadores y adem´ as en ning´ un sistema de referencia se puede anular uno de los campos. 12. El tensor energ´ıa-momento del campo electromagn´ etico. El tensor campo electromagn´etico est´ a definido por la expresi´ on   1 1 αβ σδ η F Fσδ − F ασ F βσ (11.146) T αβ = 4π 4 entonces consideremos primero la componente temporal:   1 1 00 σδ 0σ 0 00 η F Fσδ − F F σ T = 4π 4   1 1  ~ 2 ~ 2 01 0 02 0 03 0 B −E −F F1−F F2−F F3 = 4π 2

(11.147)

por otra parte tenemos que

F αβ = η βσ F ασ

(11.148)

entonces, para i = 1, 2, 3 obtenemos F 0i = η iσ F 0σ = η ii F 0i = −Ei

(11.149)

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

por lo tanto T

00

= =

1 4π 1 8π

   1 ~ 2 ~ 2 ~ 2 B −E −E 2 h i ~2 + B ~2 E

(11.150)

la cual corresponde a la densidad de energ´ıa del campo electromagn´etico. Consideremos ahora los t´erminos T 0i , con i = 1, 2, 3:   1 1 0i σδ 0σ i 0i η F Fσδ − F F σ T = 4π 4 1 = − F 0σ F iσ 4π  1  01 i = − F F 1 + F 02 F i2 + F 03 F i3 (11.151) 4π puesto que

F ij = η jσ F iσ = η jj F ij = −F ij

(11.152)

as´ı  1  02 1 F F 2 + F 03 F 13 4π 1 = − [−Ey Bz + Ez By ] 4π i 1 h~ ~ = E×B 4π x

T 01 = −

(11.153)

y de forma similar para las otras componentes, esto es T 0i =

i 1 h~ ~ E×B 4π i

(11.154)

con i = x, y, z, las cuales corresponden a las componentes del vector de Pointing ~= 1 E ~ ×B ~ S (11.155) 4π Para las componentes i, j = 1, 2, 3 se obtiene   1 1 ij σδ iσ j ij η F Fσδ − F F σ T = (11.156) 4π 4   1 1 ij σδ i0 j i1 j i2 j i3 j = − F F 0 + F F 1 + F F 2 + F F 3 + δ F Fσδ 4π 4

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

227

teniendo en cuenta que F j0 = η 0σ F jσ = η 00 F j0 = F j0

(11.157)

el primer t´ermino de la expresi´ on anterior (ecuaci´ on (11.156)) da F i0 F j0 = Ei Ej Para los otros tres t´erminos, con i = j, tenemos
2 ~2 F i1 F i + F i2 F i + F i3 F i = B i − B 1

2

3

(11.158)

(11.159)

con la notaci´ on B i = Bx , By , Bz para i = 1, 2, 3, pues, por ejemplo, para i = j = 1 se obtiene F 11 F 11 + F 12 F 12 + F 13 F 13 = −Bz Bz − By By

(11.160)

Consideremos ahora los t´erminos con i 6= j, F i1 F j1 + F i2 F j2 + F i3 F j3 = B i B j

(11.161)

Por ejemplo si i = 1 y j = 2 tenemos que F 11 F 21 + F 12 F 22 + F 13 F 23 = By Bx

(11.162)

Por lo tanto T

ij

  1 1 ij  ~ 2 ~ 2  i j i j = E E +B B + δ E +B 4π 2

(11.163)

el cual corresponde al tensor de tensiones tridimensional del campo electromagn´etico. 13. Ecuaci´ on de continuidad del tensor Tµν . A partir de la definici´ on del tensor energ´ıa-momento del campo electromagn´etico tenemos ∂T αβ ∂xβ

= T αβ,β = = =

  1 αβ σδ 1 ∂ ασ β η F Fσδ − F F σ 4π ∂xβ 4  1 αβ ∂  σδ 1 ∂  ασ β  η F F − F Fσ σδ 16π ∂xβ 4π ∂xβ  1 αβ  σδ F ,β Fσδ + F σδ Fσδ,β − η 16π  1  ασ β (11.164) F ,β F σ + F ασ F βσ,β 4π

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

El primer t´ermino de la u ´ltima igualdad lo podemos escribir en la forma   1 αβ  σδ 1  (11.165) Fσδ F σδ,α F ,β Fσδ + F σδ Fσδ,β = η 16π 8π

donde se ha utilizado el hecho que

F σδ Fσδ = Fσδ F σδ

(11.166)

y η αβ F σδ ,β = η αβ

∂F σδ ∂F σδ = = F σδ,α ∂xβ ∂xα

(11.167)

por lo tanto

T αβ,β

= =


1  ασ β 1 F ,β F σ + F ασ F βσ,β Fσδ F σδ,α − 8π  4π  1 1 β ασ ασ β σδ,α − F F σ,β + F ,β F σ − Fσδ F (11.168) 4π 2

De la ecuaci´ on de Maxwell en ausencia de fuentes tenemos ∂α F αβ = −

4π β J =0 c

(11.169)

entonces el primer t´ermino de la ecuaci´ on (11.168) se anula, pues F ασ F βσ,β = η σγ F ασ F βγ ,β = 0

(11.170)

As´ı, subiendo y bajando el ´ındice β en el segundo t´ermino de la ecuaci´ on (11.168) e intercambiando los ´ındices mudos de suma de este t´ermino en la forma β → σ y σ → δ, tenemos   1 1 αβ σδ,α ασ β T ,β = − F ,β F σ − Fσδ F 4π 2   1 1 σδ,α ασ,β = Fσδ F −F Fβσ 4π 2   1 1 σδ,α αδ,σ Fσδ F −F Fσδ = 4π 2   1 1 = Fσδ F σδ,α − F αδ,σ (11.171) 4π 2

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

229

Esta ecuaci´ on la podemos transformar teniendo en cuenta la antisimetr´ıa del tensor campo electromagn´etico, y redefiniendo ´ındices mudos en el u ´ltimo t´ermino σ → δ y δ → σ, obtenemos   i h 1 σδ,α 1 αδ,σ σδ,α δα,σ δα,σ −F Fσδ F +F +F Fσδ F = 2 2 i 1h Fσδ F σδ,α + Fσδ F δα,σ + Fδσ F σα,δ = 2 i 1h Fσδ F σδ,α + Fσδ F δα,σ + Fσδ F ασ,δ = 2 i h 1 = Fσδ F σδ,α + F δα,σ + F ασ,δ 2 = 0 (11.172) pues el t´ermino entre par´entesis corresponde a la ecuaci´on de Maxwell homog´enea, i. e. F σδ,α + F δα,σ + F ασ,δ = 0

(11.173)

es decir, en ausencia de fuentes externas la cuadridivergencia del tensor energ´ıa-momento del campo electromagn´etico se anula: ∂T αβ = T αβ,β = 0 ∂xβ

(11.174)

Si hay fuentes entonces obtenemos que T αβ,β = F ασ Jσ

(11.175)

14. La traza del tensor Tµν . Dado el tensor energ´ıa-momento   1 1 αβ σδ αβ ασ β T = η F Fσδ − F F σ (11.176) 4π 4 su traza la podemos calcular a trav´es de la relaci´ on T αγ = η γβ T αβ   1 αβ σδ 1 ασ β η η F Fσδ − F F σ = 4π γβ 4   1 1 αβ σδ ασ β η η F Fσδ − η γβ F F σ = 4π 4 γβ   1 1 α σδ ασ = δ F Fσδ − F Fγσ 4π 4 γ

(11.177)

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

entonces 1 4π 1 = 4π = 0

T αα =



1 α σδ δ F Fσδ − F ασ Fασ 4 α i h F σδ Fσδ − F ασ Fασ

 (11.178)

pues δ αα = 4

(11.179)

15. Otro invariante relativista. De la definici´on de densidad de energ´ıa y del vector de Pointing tenemos que 2  2  2 
2 2 ~ ×B ~ ~2 + B ~2 − 1 E ~ = 1 E T 00 − S 8π 4π   2  1 4 4 2 ~2 2~2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ E + B + 2E B − 4E B + 4 E · B = 64π 2  2  2  1 2 2 ~ ~ ~ ~ = E −B +4 E ·B 64π 2  2  2 1  1 δγ αβ αβ εδγαβ F F (11.180) = F Fαβ − 256π 2 4 el cual es un invariante relativista. 16. Trayectoria en campo el´ ectrico constante. Eligiendo un sistema de coordenadas con su origen en el instante y en el punto donde el prot´ on entra a la regi´ on de campo el´ectrico, y tomando el 1 eje x = x en la direcci´ on de incidencia del prot´ on y el eje y = x2 en la direcci´ on del campo, tenemos que la cuadrivelocidad inicial del prot´ on est´ a dada por U0 = γ(v0 ) (c, v0 , 0, 0)

(11.181)

La ecuaci´ on de movimiento viene dada por la fuerza de Lorentz dxγ q dpα = η βγ F βα (11.182) dτ c dτ Las componentes del tensor campo electromagn´etico est´ an dadas por   0 0 E 0  0 0 0 0   F βα =  (11.183)  −E 0 0 0  0 0 0 0 fα =

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

por lo tanto las componentes del cuadrivector fuerza de Lorentz son: la temporal dp0 dτ

e dxγ e dx2 η βγ F β0 = η 22 F 20 c dτ c dτ e 2 EU c e Eγ(~v )vy c

= = =

(11.184)

la componente en la direcci´ on del eje x dp1 dxγ e = η βγ F β1 =0 dτ c dτ

(11.185)

en la direcci´ on del eje y dp2 dτ

e dxγ e dx0 η βγ F β2 = η 00 F 02 c dτ c dτ e 0 = EU c = eEγ(~v )

=

(11.186)

y en la direcci´ on del eje z dxγ e dp3 = η βγ F β3 =0 dτ c dτ

(11.187)

De la ecuaci´ on (11.185) para la componente x tenemos que p1 (τ ) = m0 U 1 (τ ) = C1 = const.

(11.188)

donde m0 es la masa propia del prot´ on y por la condici´ on inicial (ecuaci´ on (11.181)) obtenemos p1 (τ = 0) = m0 γ(v0 )v0

(11.189)

dx1 = U 1 (τ ) = γ(v0 )v0 dτ

(11.190)

y por lo tanto

Integrando esta ecuaci´ on tenemos x1 (τ ) = γ(v0 )v0 τ + C2

(11.191)

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

y puesto que hemos elegido x1 = 0 en τ = 0 la constante de integraci´ on C2 = 0. As´ı x1 (τ ) = γ(v0 )v0 τ

(11.192)

Por las condiciones iniciales la componente z (ecuaci´ on (11.187)) y por tanto la coordenada z son nulas. Las ecuaciones (11.184) y (11.186) las podemos reescribir en la forma m0

e dU 0 = EU 2 dτ c

(11.193)

e dU 2 = EU 0 (11.194) dτ c derivando la segunda ecuaci´ on y remplazando la primera tenemos m0

m0

e2 d2 U 2 e dU 0 E = = E2U 2 dτ 2 c dτ m0 c2

(11.195)

Integrando esta ecuaci´ on     eE eE 2 τ + C4 cosh τ U (τ ) = C3 sinh m0 c m0 c

(11.196)

de la condici´ on inicial U 2 (τ = 0) = 0

(11.197)

obtenemos C4 = 0 y para establecer la otra constante de integraci´ on utilizamos la ecuaci´ on (11.194) en τ = 0, as´ı dU 2 (τ ) e m0 = EU 0 (τ = 0) = eEγ(v0 ) (11.198) dτ c τ =0

pero

dU 2 (τ ) = m0 dτ τ =0

eE m0 C3 cosh m0 c eE = C3 c



 eE τ m0 c τ =0

(11.199)

y por lo tanto C3 = cγ(v0 )

(11.200)

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

De esta forma obtenemos dx2 = U 2 (τ ) = cγ(v0 ) sinh dτ



eE τ m0 c



(11.201)

Integrando esta ecuaci´ on tenemos   m0 c eE 2 x (τ ) = cγ(v0 ) cosh τ + C5 eE m0 c

(11.202)

La constante de integraci´ on se determina con la condici´ on inicial 2 que x = 0 para τ = 0, as´ı     eE m0 c2 2 τ −1 (11.203) cosh x (τ ) = γ(v0 ) eE m0 c De la ecuaci´ on (11.194) podemos obtener la componente U 0 de la cuadrivelocidad m0 c dU 2 eE dτ

U0 =

= cγ(v0 ) cosh



eE τ m0 c



(11.204)

As´ı el cuadrivector velocidad del prot´ on est´ a dado por U= 

cγ(v0 ) cosh



eE τ m0 c



, γ(v0 )v0 , cγ(v0 ) sinh

cuya norma al cuadrado es U

2



eE τ m0 c



(11.205)  ,0

 eE = c γ (v0 ) cosh τ − γ 2 (v0 )v02 m0 c   eE 2 2 2 τ −c γ (v0 ) sinh m0 c 2 2

2



= c2 γ 2 (v0 ) − γ 2 (v0 )v02 = c2

(11.206)

como debe ser. Notemos que, a diferencia del caso no relativista, la velocidad del prot´ on no es constante en la direcci´ on normal al campo, pues lo que se conserva en esta direcci´ on es el momento y debido a que la part´ıcula est´ a acelerada en la direcci´ on del campo,

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´ CAP´ITULO 11. ELECTRODINAMICA

su velocidad va aumentando y por lo tanto su masa inercial relativista, lo que exige que la velocidad en la direcci´ on del eje x, dada por U1 v0 vx   = 0 = (11.207) c U c cosh eE τ m0 c

disminuya. La l´ınea de universo de la part´ıcula est´ a dada por
x(τ ) = x0 (τ ), x1 (τ ), x2 (τ ), x3 (τ )       eE m0 c2 0 τ − 1 ,0 (11.208) cosh = x , γ 0 v0 τ , γ 0 eE m0 c

donde γ 0 = γ(v0 ). Para encontrar la coordenada temporal ct = x0 (τ ) integramos la ecuaci´ on (11.204) con la condici´ on inicial t = 0 en τ = 0:   m0 c2 γ(v0 ) eE x0 (τ ) = sinh τ (11.209) eE m0 c Para encontrar la trayectoria del prot´ on, es decir
~r(t) = x1 (t), x2 (t), x3 (t) = (x(t), y(t), z(t))

despejamos τ en funci´ on de t de la ecuaci´ on (11.209)   m0 c eE −1 τ= sinh t eE m0 cγ(v0 ) y lo remplazamos en las coordenadas x1 y x2 . As´ı   m0 c eE x1 (t) = γ(v0 )v0 sinh−1 t eE m0 cγ(v0 )  s  2 2 eE m c 0  1− t − 1 x2 (t) = γ(v0 ) eE m0 cγ(v0 )

(11.210)

(11.211)

(11.212)

(11.213)

La curva que sigue el prot´ on y = y(x) en el campo el´ectrico constante la podemos obtener eliminando el tiempo en las dos ecuaciones anteriores. Sin embargo es m´ as sencillo si utilizamos la ecuaci´ on (11.192) para eliminar τ en funci´on de x1 = x y remplazamos en la ecuaci´ on para x2 = y; de esta forma obtenemos     eE m0 c2 x −1 (11.214) cosh y(x) = γ(v0 ) eE m0 cγ(v0 )v0

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

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En el caso no relativista sabemos que la trayectoria que sigue una part´ıcula cargada en un campo el´ectrico uniforme, con velocidad inicial perpendicular al campo, est´ a dada por la relaci´ on para el tiro parab´olico; as´ı, eligiendo las mismas coordenadas anteriores, la trayectoria que sigue el prot´ on est´ a dada por x(t) = v0 t y(t) =

1 eE 2 t 2 m0

(11.215) (11.216)

y por lo tanto la curva es una par´ abola y=

1 eE 2 x 2 m0 v02

(11.217)

Calculemos el l´ımite de bajas velocidades de la ecuaci´ on (11.214), teniendo en cuenta que la expansi´ on en serie de Taylor de la funci´on cosh est´ a dada por 1 cosh z = 1 + z 2 + · · · 2

(11.218)

reteniendo t´erminos hasta segundo orden: tenemos     eE m0 c2 y = γ(v0 ) x −1 cosh eE m0 cγ(v0 )v0 2  eE m0 c2 ∼ x = γ(v0 ) 2eE m0 cγ(v0 )v0 eE 1 = x 2 γ(v0 )m0 v02 1 eE 2 ∼ x (11.219) = 2 m0 v02 con γ ∼ = 1 para v0