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• Edgar Jimenez

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Relatividad Especial Manel Bosch Aguilera Noviembre 2010 1. Postulados

4. Din´ amica Relativista

i. Todas las leyes f´ısicas, mec´ anicas o electromagn´eticas, son las mismas en todos los sistemas de referencia inceriales. ii. La velocidad de la luz es una constante c en todos los sistemas de referencia inerciales.

“Todas las leyes f´ısicas tienen que ser invariantes por una transformaci´ on de Lorentz.” Espacio de Minkowsky: (x, y, z, ict) = (x, y, z, τ ) −ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 + (dτ )2

2. Transformaci´ on de Lorentz γ(v) = q

x0 = γ(x − vt);

“Una rotaci´ on en el espacio de Minkowsky es una transformaci´ on de Lorentz.”

1 1−


v 2 c

y 0 = y;

Definiciones: Cuadrivector posici´on:

z 0 = z;

r = (rx , ry , rz , rτ ) = (x, y, z, τ ) → − v  t0 = γ t − 2 x c 

Tiempo propio: 1 dt0 = ds = dt c

3. Cinem´ atica relativista Efectos relativistas: a) Contracci´ on de longitudes:

r 1−

v2 c2

Cuadrivector velocidad: r L = L0

v2 1 − 2 < L0 c

d− r u = → → − dt0

b) Dilataci´ on de tiempos: T0

T =q 1−

v2 c2

i. |→ u |2 = −c2 − d→ u − ii. → u · − dt0 = 0

> T0

Ley relativista de la din´amica: determinadas por su masa invariante o masa en reposo m (es un invariante relativista).

c) Relatividad de la simultaneidad: t0a − t0b = γ

v (xa − xb ) c2

a) Cuadrimomento

d ) Ley relativista de la adici´ on de velocidades: vx 0 + v vx = 1 + vxc0 2+v

p = m→ u; − → − pα = γ(mvα ) α ∈ {x, y, z};

pτ = γimc

p~ = γm~v e) Efecto Doppler Relativista: b) Acci´ on externa r νO = νE

c+v ; c−v

r νO = νE

c−v c+v

dp → − = (K , K , K , K ) K = x y z τ → − dt0

f ) Invariancia del intervalo relativista

(Kx , Ky , Kz ): ∆s =

p



c2 (tb − ta )2 − [(xb − xa )2 + (yb − ya )2 + (zb − za )2 ] ∆s = ∆s0

Kα =

Kτ

dpα 1 =q dt0 1−

v2 c2



d  mvx  q 2 dt 1− v c2

p → Fτ = Kτ 1 − v 2 /c2

i d Fτ = F~ ·~v → F~ ·~v = c dt

mc2 p

1 − v 2 /c2

! =

dE dt

c) Energ´ıa cin´etica relativista

E=p

mc2

1 ≈ mc2 + mv 2 = E0 +Ec 2 2 2 1 − v /c

mc2 −mc2 T =p 1 − v 2 /c2

d ) Algunas relaciones y expresiones u ´tiles pτ = p

imc 1−

v 2 /c2

=i

E c

px + i Ec pτ E − i vc px0 = p pτ 0 = p 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2 p p~ E = p~2 c2 + m2 c4 ~v = c2 E