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Problemas de Relatividad General Francisco Cordob´es Aguilar Curso 2007-2008 24 de febrero de 2008

Problema 1: Tensor de energ´ıa-momento. Considera un campo escalar real masivo φ acoplado m´ınimamente a la gravedad a trav´es del Lagrangiano L=

p

  1 2 2 1 µν µν |g| g Rµν + g (∂µ φ)(∂ν φ) + m φ , 2 2

(1)

donde la constante m es la masa del campo φ. 1. Calcula la ecuaci´on de Einstein y la ecuaci´on de movimiento de φ para este Lagrangiano.Puedes suponer que el formalismo de Palatini es conocido. 2. Demuestra que el tensor de energ´ıa-momento T µν (φ) del campo φ satisface la condici´on ∇µ T µν (φ) = 0 si se satisface la ecuaci´on de movimiento de φ. Soluci´ on spacing 1. El formalismo de Palatini se basa en variar la acci´on considerando que la conexi´on es arbitraria, es decir, no es compatible con la m´etrica y puede tener t´erminos de torsi´on. En nuestro caso, adem´as la acci´ on tiene un t´ermino de acoplamiento con el campo escalar φ as´ı que para calcular la variaci´on total de la acci´on hay que hacerlo con respecto a tres objetos matem´aticos: la m´etrica gµν , la conexi´on Γρµν y el campo φ. δS =

Z 

δL δL δL + ρ + δgµν δΓµν δφ



dn x

Por el formalismo de Palatini, sabemos que la variaci´on respecto de la conexi´on es nula para la conexi´on de Levi-Civita. As´ı, para obtener las ecuaciones de Einstein para la m´etrica con este lagrangiano s´olo hay que variar la acci´on con respecto a la m´etrica inversa gµν sin tener en cuenta la dependencia del tensor de Ricci con la misma. As´ı, se obtienen las ecuaciones de Einstein para la conexi´on de Levi-Civita. Esto resulta en:   p 1 δL = |g| Rµν + (∂µ φ)(∂ν φ) + δgµν 2   1p 1 1 − |g|gµν gρσ Rρσ + gρσ (∂ρ φ)(∂σ φ) + m2 φ2  2 2 | {z } 2 R   p 1 1 1 1 ρσ 2 2 = |g| Rµν − gµν + (∂µ φ)(∂ν φ) − gµν g (∂ρ φ)(∂σ φ) − gµν m φ 2 2 4 4 =0

1

(2)

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p p p 6 0) se puede donde se ha usado que δ |g| = − 21 |g|gµν δgµν . De ah´ı (suponiendo |g| = escribir la ecuaci´on de Einstein para este lagrangiano como: 1 1 1 1 Rµν − gµν R = gµν gρσ (∂ρ φ)(∂σ φ) − (∂µ φ)(∂ν φ) + gµν m2 φ2 (3) 2 4 2 4 Para obtener la ecuaci´on de movimiento del campo se usan las ecuaciones de Euler-Lagrange, que son equivalentes a la variaci´on respecto del campo φ del lagrangiano. ∂µ



∂L ∂(∂µ φ)



−

∂L = 0, ∂φ

(4)

usando el lagrangiano (1):    ∂ p 1 2 2 ∂L 1 µν µν |g| g Rµν + g (∂µ φ) (∂ν φ) + m φ = ∂φ ∂φ 2 2     :0 *0 p  p ∂  p ∂ 1 2 2 ∂ 1   µν µν    = |g| (g Rµν ) + |g| g (∂µ φ)(∂ν φ) + |g| m φ ∂φ ∂φ ∂φ 2 2  p 2 = |g|m φ 

(5)

  1 1 |g| gρσ Rρσ + gρσ (∂ρ φ)(∂σ φ) + m2 φ2 2 2     :0  :0 p p p 2  ∂ ∂ ∂ 1 ρσ 1  ρσ 2    |g| |g| = |g| (g R ) + g (∂ φ)(∂ φ) + m φ   ρσ ρ σ µ µ ∂(∂ φ) ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂ φ) 2   p p p   1 1 1 |g|gρσ δµρ ∂σ φ + δµσ ∂ρ φ = |g|gρσ δµρ ∂σ φ + |g|gρσ δµσ ∂ρ φ = 2 2 2 p p = |g|gµν ∂ν φ = |g|∂ µ φ, (6)

∂L ∂ = ∂(∂µ φ) ∂(∂µ φ)

p

donde se ha tenido en cuenta que

∂µ



∂L ∂(∂µ φ



∂ ∂φ

p

 |g| = 0 y

∂ ∂(∂µ φ)

p

 |g| .

o p np p |g|∂ µ φ = |g|∇µ ∂ µ φ = |g|∇µ ∇µ φ =∂µ p = |g|φ

(7)

donde se ha usado queppara un tensor totalmente antisim´etrico F µν1 ...νn se cumple que ∇µ F µν1 ...νn = √1 ∂µ ( |g|F µν1 ...νn ) y se ha identificado F µ = ∂ µ φ.  = ∇µ ∇µ es el |g|

operador D´Alambertiano. p De lo anterior, la ecuaci´on de movimiento del campo es(suponiendo de nuevo que |g| = 0): φ − m2 φ = 0

(8)

2. El tensor energ´ıa-momento de este lagrangiano vendr´a dado por: 1 δLφ Tµν = p |g| δgµν

donde Lφ = Francisco Cordob´ es Aguilar

p



1 1 |g| gµν (∂µ φ)(∂ν φ) + m2 φ2 2 2 2

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por lo que la variaci´on de Lφ respecto de gµν ser´an los t´erminos de la ecuaci´on de Einstein, (3), del campo que dependa de φ o ∂λ φ, es decir:

Tµν

   p 1 1 1 1 ρσ 2 2 |g| (∂µ φ)(∂ν φ) − gµν g (∂ρ φ)(∂σ φ) − gµν m φ =p 2 4 4 |g| 1 1 1 = (∂µ φ)(∂ν φ) − gµν gρσ (∂ρ φ)(∂σ φ) − gµν m2 φ2 2 4 4

(9)

Cambi´ando los ´ındices seg´ un µ → α, ν → β y multiplicando por gµα gνβ en (9) obteniendo as´ı T µν = gµα gνβ Tαβ . Expl´ıcitamente: 

1 1 1 (∂α φ)(∂β φ) − gαβ gρσ (∂ρ φ)(∂σ φ) − gαβ m2 φ2 2 4 4 1 1 1 = (∂ µ φ)(∂ ν φ) − gµν gρσ (∂ρ φ)(∂σ φ) − gµν m2 φ2 2 4 4

T µν = gµα gνβ



(10)

Calculamos ahora la derivada covariante de T µν ,

∇µ T

µν

= ∇µ



     1 1 1 µ ν ρσ 2 2 (∂ φ)(∂ φ) − ∇µ gαβ g (∂ρ φ)(∂σ φ) − ∇µ gαβ m φ 2 4 4

(11)

Es m´as c´ omodo calcular cada derivada covariante de las que aparecen en (11):

∇µ

∇µ





 1 µ 1 1 ν (∂ φ)(∂ φ) = (∇µ ∇µ φ)∇ν φ + ∇µ φ(∇µ ∇ν φ) 2 2 2 1 1 = φ∇ν φ + ∇µ φ(∇µ ∇ν φ) 2 2

 1 1 ρσ gαβ g (∂ρ φ)(∂σ φ) = gµν gρσ [(∇µ ∇ρ φ)∇σ φ + ∇ρ φ(∇µ ∇σ φ)] 4 4 1 = gµν gρσ [(∇ρ ∇µ φ)∇σ φ + ∇ρ φ(∇σ ∇µ φ)] 4 1 = [(∇ρ ∇ν φ)∇ρ φ + ∇ρ φ(∇ρ ∇ν φ)] 4 1 = ∇ρ φ(∇ρ ∇ν φ) 2   1 1 1 2 2 ∇µ gαβ m φ = gµν m2 φ∇µ φ = m2 φ∇ν φ 4 2 2

(12)

(13)

(14)

Introduciendo (12), (13), (14) en (11), cambiando adem´as los ´ındices seg´ un ρ → µ y operando se tiene:

∇µ T µν

:0     1 1 1  ν 1 = φ∇ν φ + ∇µ φ(∇µ ∇ φ) − ∇µ φ(∇µ ∇ν φ) − m2 φ∇ν φ    2 2 2 2    1  1

=

2

(15)

φ − m2 φ ∇ν φ = 0 2

donde la u ´ltima igualdad se obtiene usando la ecuaci´on de movimiento del campo, (8). Francisco Cordob´ es Aguilar

3

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Referencias ˜ [1] Bert Janssen. Teor´ıa de la Relatividad General. http://www.ugr.es/bjanssen/text/relatividad.pdf, Septiembre. [2] Sean M. Carroll. Spacetime and Geometry: An introduction to General Relativity. Addison Wesley, San Francisco, 1st edition, 2004.

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