• Author / Uploaded
• academia

Citation preview

1

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ECBTI

ALGEBRA TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA TAREA 4- EJERCICIOS UNIDAD 3

PRESENTADO POR YEFRIT ANDRES RODRIGUEZ MARTINEZ Código 86.074.418

TUTOR: MARGOTH LORENA TORRES

TECNOLOGIA EN LOGISTICA INDUSTRIAL 2018

2

INTRODUCCION

Mediante el desarrollo de la presente actividad se pretende adquirir conocimientos en relación a fundamentos de Geometría Analítica, en temáticas como: La recta, circunferencia y eclipse, Hipérbola y parábola, sumatorias y productorias. Herramientas importantes para la resolución de problemas de la vida diaria y como herramienta importante en el campo profesional de diversos procesos formativos. A través del desarrollo de este taller se generarán habilidades en relación a cada uno de los temas abordados, donde se aplican estas temáticas para la resolución de los ejercicios planteado y a través del estudio teórico y el análisis de casos modelos, se e interpreta y analizan para ser utilizados como herramienta matemática en la solución a situaciones problema de su campo social y académico

3

3. La torre de control de un aeropuerto registra la posición de una aeronave comercial de pasajeros en el punto A (-2,5) y calcula que manteniendo su trayectoria pasará por B (6, -3), avanzando a 750km/h. Inmediatamente después, el aeropuerto detecta otra aeronave en C (-5,-6) y estima que, en 10 minutos, a la misma altitud, encontrará en ángulo recto la trayectoria de la primera aeronave.

a. Pendientes de las dos rectas. • Recta

del avión 1

𝑚1 =

−3 − 5 = −1 6+2

Recta del avión 2: como esta recta es perpendicular a la m1, por propiedades de las rectas, si dos son perpendiculares el producto de ellas es -1. 𝑚1 ∗ 𝑚2 = −1 −1 ∗ 𝑚2 = −1 → b.

𝑚2 = 1

Coordenadas del punto de intersección

Un punto de intersección es cuando dos rectas se tocan y tienen el mismo valor, hallando las dos rectas e igualándolas se despeja “x” y se obtiene el punto. Recta avión 1 𝑦1 − 5 = −1(𝑥1 + 2) → Recta avión 2 𝑦2 + 6 = 1(𝑥2 + 5) →

𝑦1 = −𝑥1 − 2 + 5 →

𝑦1 = −𝑥1 + 3

𝑦2 = 𝑥2 + 5 − 6 →

𝑦2 = 𝑥2 − 1

4

Sí 𝑦1 = 𝑦2 entonces −𝑥1 + 3 = 𝑥2 − 1 donde 𝑥1 = 𝑥2 3 + 1 = 𝑥1 + 𝑥1 𝑥1 =

4 =2 2

El valor “x” donde se tocan es en 2, que, evaluado en cualquiera de las dos ecuaciones, da 𝑦1 = −2 + 3 = 1, lo que indica que el punto de intersección es (2,1). c. El avión 1 tiene una velocidad de 750 km/h y la velocidad está definida como v=d/t para lo cual se necesita la distancia. Al tener dos puntos (-2,5) y (2,1) se puede calcular la distancia entre ellos que sería: 𝑑 = √(2 + 2)2 + (1 − 5)2 = 5.657 despejando de la ecuación t y reemplazando: 𝑑 5.657 𝑡= = = 0.0075 ℎ 𝑣 750 60 𝑚𝑖𝑛 𝑡 = 0.0075 ℎ ∗ = 0.45 𝑚𝑖𝑛 1ℎ d. Es imposible que los dos aviones se accidentes porque el primero llega al punto en 0.45 min y el 2 llega en 10 min.

4. Te asocias con un amigo y pones un negocio para renta de películas en DVD. Observas, al término del primer mes, que cuando el precio del alquiler es de $ 26 pesos por película, la renta promedio diaria es de 60 películas, y cuando es de $ 31 pesos, el alquiler disminuye a 30 películas. Hay una relación dependiente renta con precio de alquiler, que es lineal y puede modelarse. El precio de alquiler será la variable “x” y “y” la renta promedio. (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) = (𝟐𝟔, 𝟔𝟎) (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) = (𝟑𝟏, 𝟑𝟎) a.

Modelo que relaciona precio de alquiler y número de vídeos alquilados.

Usando los puntos, se elabora la ecuación de la recta que los modela. 𝑚=

30 − 60 = −6 31 − 26

5

𝑦 − 60 = −6 ∗ (𝑥 − 26)

→ 𝑦 = −6𝑥 + 156 + 60

𝑦 = −6𝑥 + 216 La recta que los modela es 𝑦 = −6𝑥 + 216. b. Significado de la pendiente en el modelo. Existe una relación entre el aumento del valor del alquiler y cómo esta afecta a la renta promedio del negocio, cuando hay proporcionalidades de este modo y siguen un patrón lineal, está proporción se atribuye a una pendiente que puede predecir la situación. c.

Precio desde el cuál nadie compraría películas.

Este inciso puede partir desde el hecho de que 0 es el valor mínimo de renta promedio de películas, y para saber qué valor de alquiler la causa, solo se iguala la ecuación a cero. 0 = −6𝑥 + 216 → 𝑥 =

216 6

= 36

Desde un valor de alquiler de $36 pesos, nadie rentaría películas.

6

7. Una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la ecuación: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝟎𝒙 + 𝟑𝟎𝒚 = 𝟗𝟕𝟓 Simplificando la ecuación y dejándola solo en términos de “x” es más fácil tabular y dibujar la ecuación. Se usará completar cuadrados para resolver. 𝑥 2 + 40𝑥 + 400 − 400 + 𝑦 2 + 30𝑦 + 225 − 225 = 975 (𝑥 + 20)2 − 400 + (𝑦 + 15)2 − 225 = 975 (𝑥 + 20)2 + (𝑦 + 15)2 = 1600 Ya con la ecuación general, se realiza la reducción a dependencia de un solo término. (𝑦 + 15)2 = 1600 − (𝑥 + 20)2 𝑦 = ±√1600 − (𝑥 + 20)2 − 15 Centro de la circunferencia (-20,-15) y radio 40.

7

8. En ciertas construcciones antiguas, y en otras recientes, el diseño del espacio en algunos salones permite escuchar en un sitio especial lo que se habla en otro lugar del mismo recinto, sin que en otros puntos se escuche la plática. Debido a esta peculiaridad, estas salas son conocidas como cámara de los secretos. Cerca de la ciudad de México, en uno de los patios del antiguo Convento del Desierto de los Leones, podemos apreciar una de estas cámaras construida en el siglo XVII. Aprovechando una particularidad de las elipses, tales construcciones poseen una bóveda elíptica y sitúan los focos justamente en los puntos desde los cuales se transmite o escucha el mensaje. La ecuación 16x2 + 41y2 – 131,20y – 551,04 = 0 describe la sección elíptica de un salón con cámara de los secretos.

a. Distancia del centro al punto donde dos personas se escuchen mutuamente. Según el enunciado para que las dos personas se escuchen deben estar ubicadas en los focos de la elipse. Si se quiere saber los focos hay que llegar a la ecuación general y reconocer a y b, como muestra la figura, se debe reducir la ecuación. 16𝑥 2 + 41𝑦 2 – 131,20𝑦 – 551,04 = 0 Completando cuadrados: 16(𝑥 2 ) + 41(𝑦 2 – 3,2𝑦) – 551,04 = 0 16(𝑥 2 ) + 41(𝑦 2 – 3,2𝑦 + 2,56 − 2,56) – 551,04 = 0 16(𝑥 2 ) + 41(𝑦 − 1,6)2 − 104,96 – 551,04 = 0 16(𝑥 2 ) + 41(𝑦 − 1,6)2 = 656 𝑥2 (𝑦 − 1,6)2 + = 1 41 16

8

Finalmente se tiene un centro en (0, 1,6), un 𝑎 = √41 y un 𝑏 = √16 = 4 con los cuales se puede obtener los focos(c,0) y (-c,0). 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 →

2

𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √√41 − 42 = 5

La distancia c=5 y c=-5 son las distancias del centro al punto donde deben estar ubicadas las dos personas respectivamente. b. Máxima altura desde el piso que alcanza la bóveda del salón. Si se supone que se habla de el extremo inferior (0,-b), entonces la distancia total hasta (0,b) es 2b, lo que equivale a 𝑑 = 2 ∗ 4 = 8

11. El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua? Simplificando la ecuación con el método de completar cuadrado, se llega a la ecuación general que contiene el vértice, es decir, el máximo valor que tiene una parábola. 𝑥 2 – 10𝑥 + 20𝑦 − 15 = 0 𝑥 2 – 10𝑥 + 25 − 25 + 20𝑦 − 15 = 0 (𝑥 − 5)2 + 20𝑦 − 40 = 0 (𝑥 − 5)2 = −20𝑦 + 40

9

(𝑥 − 5)2 = −20(𝑦 − 2) → Ecuación general de una parábola donde el vértice es (5,2), por tanto, la máxima altura del chorro de agua es 2 metros.

12.El movimiento parabólico está compuesto por dos movimientos rectilíneos: uno que impulsa al objeto en la dirección horizontal x, y otro en la dirección vertical y (en un mismo instante ocurren simultáneamente ambos). Así en este tipo de movimiento el desplazamiento, puede obtenerse con las fórmulas siguientes: Componente Horizontal Desplazamiento Velocidad Aceleración

x = xo + Vxo t Vx0 = V0 cos θ a=0

Componente Vertical (caída libre) y = y0 + vy0 t - gt2 / 2 Vy0 = v0 sen θ a = -g

Un jugador de béisbol batea un lanzamiento a 50 cm del piso, con un ángulo de 30° y una velocidad inicial de 45 m/seg. ¿Cuáles son la altura y distancia horizontal máximas que alcanza la pelota antes de tocar el piso? Teniendo en cuenta las fórmulas de la tabla, hay que definir el punto inicial y las velocidades para cada componente.El objeto parte de la posición (0,50) cm, como todo se trabajará en metros, entonces es (𝑥𝑜, 𝑦𝑜) = (0, 0,5) [𝑚].

10 𝑚

Por otra parte las velocidades son (con 𝑉𝑜 = 45 [ ] y ángulo 30°) 𝑉𝑥𝑜 = 45 ∗ 𝑠

𝑚

𝑚

𝑐𝑜𝑠(30°) = 38,97[ ] y 𝑉𝑦𝑜 = 45 ∗ 𝑠𝑒𝑛(30°) = 22,5 [ ] y la gravedad es 𝑠

𝑠

𝑚

aproximadamente 9,8 [ 2]. 𝑠

Reemplazando en las ecuaciones generales: 𝑥 = 0 + 38,97𝑡 = 38,97𝑡 𝑦 = 0,5 + 22,5𝑡 −

9,8 ∗ 𝑡 2 2

El siguiente paso es hallar la altura máxima y el avance máximo, para ello se debe considerar que la altura máxima se alcanza cuando: 𝑉𝑦0 − 𝑔𝑡 = 0

y 𝑡=

𝑉𝑦𝑜 𝑔

=

22,5 9,8

Por tanto:

𝑦𝑚𝑎𝑥 = 0,5 + 22,5 (

22,5 )− 9,8

22,5 2 ) 9,8 = 26,329 [𝑚] 2

9,8 ∗ (

Y el avance máximo se alcanza cuando “y” toma la posición 0, es decir, cae al suelo, esto ocurre en un tiempo determinado que para saberlo se debe despejar. 0 = 0,5 + 22,5𝑡 −

9,8∗𝑡 2 2

→ 𝑡=

−22,5±√22,52 −(−4,9∗0,5∗4) 2∗(−4,9)

[𝑠]

La t da dos valores debido a la raíz, siempre se toma el valor positivo 𝑡1 = −0,022 𝑠 , 𝑡2 = 4,614 𝑠. Con un tiempo t=4,614 s la x máxima es: 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 38,97𝑡 = 38,97 ∗ 4,614 = 179,81 [𝑚]

11

15. En una institución educativa hay 6 cursos, denominados del 1 al 6. Para cada uno de los cuales hay 5 secciones de estudiantes. Curso (i) /sección (j) 1 2 3 4 5 6 a.

1 30 31 34 25 23 23

2 25 23 30 34 20 25

3 22 36 34 28 35 29

4 42 20 31 20 36 39

Número total de estudiantes del curso 2 5

∑ 𝑛 2𝑖 = 31 + 23 + 36 + 20 + 37 = 147 𝑗=1

b. Número de estudiantes que pertenecen a la sección 4. Notación de sumatoria: ∑4𝑖=1 𝑛 4𝑖 Suma: 4

∑ 𝑁 4𝑖 = 42 + 20 + 31 + 20 + 36 + 39 = 188 𝑖=1

5 31 37 27 31 26 33

12

16. En un almacén hay 5 cajas registradoras codificadas con números del 1 al 5. Para un estudio de ventas durante una semana se llevó registro día a día del dinero recibido en cada caja. Los días se numeraron del 1 al 7. Caja (i)\Dia (j) 1

$ 559.660

$ 1.008.030

$ 886.386

2

$ 325.546

$ 1.165.561

3

$ 1.020.155

4

5

a)

1

2

3

4

5

6

7

$ 565.490

$ 549.497

$ 878.182

$ 319.580

$ 943.391

$ 858.817

$ 702.580

$1.081.730 $ 894.730

$ 407.854

$ 531.938

$ 723.493

$ 461.080

$ 374.433

$1.021.694

$ 76.176

$ 1.064.021

$ 828.276

$ 1.091.018

$ 990.094

$ 675.245

$ 985.183

$ 888.689

$ 781.542

$ 863.514

$ 974.406

$ 687.342

$ 816.584

$ 427.408

Las ventas totales correspondientes al tercer día, se representan por: 5

D i =1

i3

Utilice la definición de sumatoria para calcular las ventas totales del tercer dia ∑5𝑖=1 𝐷𝑖3 =886.386 +943.391+531.938+828.276+863.514= 4.053.505

b) Represente en notación de sumatorias, las ventas totales recibidas en la caja 4. Casillas del 1 al 7 en j , tomando toda la fila 4.

13 7

∑ 𝐷𝑗4 𝑗=1

∑7𝑗=1 𝐷𝑗4

= 76.176 + 1.064.021 + 828.276 + 1.091.018 + 990.094 + 675.245 + 985.183 = 5.710.013 Rpta=

$5.710.013

de

ventas

totales

recibidas

en

la

caja

4.

19. La probabilidad de que se presenten algunos resultados simultáneamente se puede calcular multiplicando las probabilidades de que se presenten dichos resultados por separado. En notación de productorias esto se representa así:P (Ocurra A1 y A2 y A3,….. y An) = n

P

i

i =1

donde Pi = P (Ai)

Problema Una gran casa de apuestas ha sacado al mercado un nuevo producto, en el cual el cliente puede tener entre 1 y 8 premios simultáneamente. Los cuales entre si no afectan sus probabilidades. Además, para cada posible premio determinó las siguientes probabilidades de obtención. Premio Pi = P(Ai)

1 0,004

2 0,003

3 0,001

4 0,002

5 0,003

6 0,009

7 0,006

8 0,001

6

A.

P i

i =3

es la representación de la productoria que da la probabilidad de que los

premios del 3 al 6 se obtengan simultáneamente por un cliente. Esta probabilidad es del:

14 6

∏ 𝑃𝑖 = 0,001 ∗ 0,002 ∗ 0,003 ∗ 0,009 = 5,4 ∗ 10−11 𝑖=3

B. Representación en productoria de la probabilidad de tener todos los premios: 8

∏ 𝑃𝑖 𝑖=1

La probabilidad de que un cliente tenga todos los premios simultáneamente es igual a: 8

∏ 𝑃𝑖 = 0,004 ∗ 0,003 ∗ 0,001 ∗ 0,002 ∗ 0,003 ∗ 0,009 ∗ 0,006 ∗ 0,001 𝑖=1

= 3,888 ∗ 10−21

20. En Colombia, el peso se devalúa de acuerdo con la inflación. De esta forma para saber cuánto dinero en el futuro (y) será necesario para comprar los mismos bienes que se compran con una cantidad de dinero del presente se puede usar la siguiente formula en notación de productorias:

15 a

y =  (1 + INFi) i =0

donde INF0 es el dinero de la actualidad y INFi es la inflación después de i años. Teniendo en cuenta la tabla con la inflación para Colombia dada. Usando esta fórmula y la notación de sumatorias, encontrar:

a)

El valor de una inversión de 100.000 pesos realizada en 1980, 5 años después

b)

El valor de una inversión de 350.000 pesos realizada en 1984, 4 años después

Año Inflación

1980 25.96%

1981 26.35%

1982 24.03%

1983 16.64%

1984 18.28%

Año Inflación

1985 22.45%

1986 20.95%

1987 24.02%

1988 28.12%

1989 26.12%

Solución

1990 32.37%

16

a. Aplicando la fórmula de productoria dada para calcular la inversión en unos años, 100.000 de inversión en 1980, 5 años después sería: En 1985 la inflación es del 22,45% 5

𝑦 = ∏(1 + 0,2245) = 1,22455 = 2,753 𝑖=0

Los $100.000 pesos en 1985 serían una inversión del: 100.000 ∗ 2,753 = $275.300 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 b.

Una inversión de $350.000 en 1984, 4 años después equivale a:

En 1988 la inflación es del 28,12% 4

𝑦 = ∏(1 + 0,2812) = 1,28124 = 2,694 𝑖=0

350.000 ∗ 2,694 = $942.900 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠

17

CONCLUSIONES

•

Estas temáticas son herramientas muy importantes para la resolución de problemas presentados en la vida cotidiana y a los cuales podemos darle solución, aplicando estas temáticas propuestas.

•

Son herramientas matemáticas que son de vital importancia en cualquier campo profesional.

•

Mediante el desarrollo de esta actividad fue posible conocer las propiedades de las temáticas 4 y 5 de manera que fue posible elegir la propiedad adecuada para resolver el problema planteado en la actividad.

18

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Geometría Analítica, Sumatorias, Productorias, Fundamentos de las Productorias Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional

Abierta

y

a

Distancia.

Páginas

285–347,348-354,360-372.Recuperado

de:

http://hdl.handle.net/10596/11583. Geometría Analítica Gallent, C., & Barbero, P. (2013). Programación didáctica. 4º ESO: matemáticas opción B. Alicante,

ES:

ECU.

Páginas

115

-

146.

Recuperado

de

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=115&docID=10751153&t m=1487191476956 Línea Recta, Circunferencia, Parábola y Elipse. Ortiz, C. F. J. (2014). Matemáticas 3 (2a. ed.). México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria.

Páginas

48

–

140.

Recuperado

de

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=5&docID=11046371&tm =1488213794691