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Juan Ceballos Sistemas de Comunicación Tarea 3 UNAD 2020

Tarea 3 Modulación angular 1.

Modulación angular

 Explique con sus palabras en que consiste la modulación angular e indique matemáticamente como se logra la modulación en sus dos formas: frecuencia modulada (FM) y fase modulada (PM). RTA: Como se vio en la tarea anterior, la modulación analógica puede modificar los tres parámetros de la portadora: amplitud, frecuencia y fase. Los últimos dos parámetros obedecen a procesos de modulación del ángulo de la portadora, de esa forma se habla de modulación angular. En otras palabras, la modulación angular se da cuando el ángulo de fase de la portadora (una onda senoidal) varia respecto a una unidad de tiempo y de forma proporcional a la información y por el contrario su amplitud se mantiene constante. [ CITATION Gar15 \l 9226 ] Matemáticamente la modulación angular se representa por: f ( t )=V C cos [ ωC t +θ ( t ) ] Y se debe cumplir: θ ( t )=k p ∙ m ( t ) Donde: k p=constante o grado de variación θ en función de la amplitud de m ( t ) m ( t )=Señal información de la moduladora Para obtener finalmente la expresión modulación angular de la forma general: f ( t )=V C cos [ ωC t+k p ∙ m ( t ) ] Modulación de Fase (PM): En este caso solamente se altera o modifica la fase de la portadora ( θ ) manteniéndose igual la amplitud y la frecuencia. [ CITATION Gar15 \l 9226 ] Matemáticamente la modulación de fase PM se a partir de la anterior expresión general de la modulación angular: Como en fase modulada se toma en cuenta a θ y la señal moduladora m ( t )

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Se expresa la siguiente relación de magnitud máxima V m de la señal moduladora denominada índice de modulación: θm =|k p ∙ m ( t )|( rad ) Como la señal moduladora se expresa de la siguiente forma: m ( t )=V m ( t )=V m cos ωm t f PM ( t )=V C cos [ ωC t+ k p ∙ m ( t ) ] f PM ( t )=V C cos [ ωC t+ k p ∙ V m cos ω m t ] Para tener finalmente la expresión matemática de la fase modulada: f PM ( t )=V C cos [ ωC t+θ m cos ωm t ] Donde: el índice de modulación de fase es: θm =k p ∙V m La desviación de fase instantánea: θ (t ) Fase instantánea puntual: ω c t+ θ ( t ) ; ω c=2 π f c t Radianes

Modulación de Frecuencia (FM): En este caso solamente se altera o modifica la frecuencia de la portadora ( f C ) manteniéndose igual la amplitud y la fase. Esta variación se hace en función y relación recíproca con la variación de amplitud de la señal moduladora m ( t ) . En este caso la amplitud de la onda modulada es la misma que la de la onda portadora. [ CITATION Gar15 \l 9226 ] Matemáticamente

la

frecuencia

modulada

se

A partir de la integración del índice de modulación de fase θ'm =k f ∙ V m θ ( t )=|k f ∫ m ( t ) dt|

da

por:

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f FM ( t )=V C cos [ ωC t+ k f ∫ m ( t ) dt ] Donde: k f es la constante que que indica la variación de la frecuencia respecto a la magnitud de señal m(t) Como la señal moduladora se expresa de la siguiente forma: m ( t )=V m ( t )=V m cos ωm t Entonces: θ ( t )=k f ∫ m ( t ) dt=k f ∫ V m cos ω m t dt Resolviendo la integral por sustitución e integral del coseno: θ ( t )=k f

Vm sen ω m t ωm

Teniendo:

[

f FM ( t )=V C cos ωC t+ k f

Vm sen ω m t ωm

]

Y planteando θm =

kf V m ωm

Se obtiene finalmente la expresión matemática para la frecuencia modulada: f FM ( t )=V C cos [ ωC t+θ m sen ω m t ] Donde: el índice de modulación de frecuencia es θm  Realice un aporte teórico donde explique matemáticamente cómo hallar el índice de modulación y la sensibilidad de desviación. RTA: La fase instantánea definida en un tiempo t se analiza a partir de la frecuencia angular instantánea ω i de una señal. [ CITATION Gar15 \l 9226 ] ω i ( t )=ϕ ' ( t ) ¿

d ϕ (t ) dt

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ϕ ( t )=ω c t +θ(t ) Recordando la integración del índice de modulación y hallando la relación con la frecuencia angular instantánea se tiene que: θ ( t )=|k f ∫ m ( t ) dt| ω i ( t )=

d [ ω t+ k f ∫ m ( t ) ] dt c

Al realizar la derivada obtenemos: ω i ( t )=ω c + k f m ( t ) Y recordando que m ( t ) es una señal senoidal: ω i ( t )=ω c + k f V m cos ωm t A partir de lo anterior se plantea la diferencia entre la frecuencia portadora y la de referencia inicial: ω i−ω c =k f V m cos ωm t Pudiéndose expresar de la siguiente forma como la desviación o variación de frecuencia pico ∆ f :

|

∆f =

ωi−ωc 2π

| | =

MAX

2 πf i−2 πf c 2π

|

MAX

Como restricción para la diferencia entre la frecuencia portadora y la de referencia se menciona: cos ωm t=1 Siendo así se expresa ecuación como: ω i−ω c =k f V m Entonces se puede expresar: ∆f =

ωi−ω c 2π

Como: ∆f =

kf V m 2π

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Y recordando la ecuación del índice de modulación de frecuencia θm =

kf V m ωm

Despejando k f V m se obtiene: ∆ f 2 π =k f V m θm =

∆f 2 π ωm

Donde:ω m=2 π f m θm =

∆f 2 π 2π f m

Obteniendo: θm =

∆f fm

Y donde m es el índice de modulación de FM demostrando que es la relación entre la desviación pico de frecuencia de la portadora y la frecuencia pico de la moduladora La sensibilidad de desviación del modulador FM se determina por k f y se refiere a la relación de la cantidad de desviación presente en la frecuencia de la portadora cada vez que se aplica al modulador 1 voltio de la señal moduladora. Se expresa en Hz por Voltio. [ CITATION Gar15 \l 9226 ] La sensibilidad de desviación se determina entonces de la siguiente forma: ∆ f =k f V m k f=

∆f Vm

 Apoyado en el material bibliográfico realice una breve explicación de las Funciones de Bessel. RTA: Las Funciones de Bessel son la solución de la Ecuación de Bessel la cual es una ecuación diferencial lineal de 2° orden: x

2

d2 y dy 2 2 + x + ( x −n ) y=0 2 dx dx

Para la que se obtiene la solución general:

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y ( x ) =C1 J v ( x ) +C 2 Y v ( x ) , v ∈ R Esta ecuación de Bessel es la respuesta a los cálculos de soluciones para ecuaciones de Laplace y Helmholtz usada ampliamente en el tratamiento de la propagación de ondas. De otra forma las funciones de Bessel son usadas en el procesamiento de señales para el cálculo espectral de la señal en modulación de frecuencia FM y de fase PM. Y eso se debe a que en la frecuencia modulada se generan un número infinito de bandas laterales, pero no todas son tomadas en cuenta pues no poseen la suficiente amplitud o potencia para ser caracterizadas por ancho de banda y presencia [ CITATION Gar15 \l 9226 ]. Partiendo de la ecuación general para la frecuencia modulada: f FM ( t )=V C cos [ωC t+θ m sen ω m t] Al expandir la expresión se tiene: f FM ( t )=V C cos ωC t ∙ cos ( θm sen ωm t )−V C sen ωC t ∙ sen ( θ m sen ω m t ) En AM se sabe que la señal modulada posee dos bandas laterales, pero en FM se hace más complejo pues la cantidad de bandas laterales responde a una serie infinita de funciones de Bessel que se expresan por:

f FM ( t )=V C { J 0 ( θm ) sen ωm t+ J 1 ( θm ) [ sen ( ω c + ωm ) t−sen ( ω c −ω m ) t ] + J 2 ( θm ) [ sen ( ω c +2 ω m ) t−sen ( ωc −2 ω m ) t ] + J 3 ( θm

Y aplicando identidades trigonométricas y series de Fourier por funciones periódicas se llega a: f ( t )=e

j ( θ m sen ω m t )

∞

=

∑

n=−∞ pi

C n=

1 ∫ e j (θ 2 π −π

m

senx−nx )

C n e jnω

m

t

dx

Y es aquí donde se plantea que los coeficientes c n representan las funciones de Bessel de primera clase donde se tiene la función generadora: 2

∞

e z ( x −1) /2 x = ∑ J n ( z ) x n n=−∞

y planteando:

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f ( t )=e

j ( θ m sen ω m t )

∞

=

∑

n=−∞

Cn e

jnω m t

∞

= ∑ J n ( z ) xn n=−∞

C n=J n (θ m) Y realizando la expansión de Fourier se obtienen las Funciones de Bessel de primera clase: ∞

cos ( θ m sen ω m t ) =J 0 ( θm ) +2 ∑ J 2 n ( θ m ) cos 2 n ωm t n=1

∞

sen ( θm sen ωm t )=2 ∑ J (2 n+1 ) ( θ m ) sen ( 2 n+1 ) ωm t n=0

Y de esta forma podemos obtener la distribución espectral de la señal FM que no es más que hallar los armónicos a través de la ecuación general definida a través de las Funciones de Bessel:

{

∞

f FM ( t )=V C J 0 ( θm ) cos ω c t + ∑ [ J n ( θm ) cos ( ωc +n ω m ) t ] + (−1 )

n

n=1

∞

∑ [ J n ( θm ) cos ( ωc−n ωm ) t ] n=1

}

Aquí entonces las funciones J 0 ( θm ) , J 1 ( θm ) , J 2 ( θ m ) , J 3 ( θ m ) … J n ( θ m ) son las funciones de Bessel de primera clase de orden n y argumento θm . La señal modulada de frecuencia posee entonces infinitas bandas laterales con amplitudes V C J n ( θ m ) que se separan de la frecuencia central n ω m y conociendo el valor de la Función de Bessel se puede saber la amplitud de una determinada banda lateral.

Figura 1 Funciones de Bessel. (2020). Fuente: Propia

4. Plan Nacional de Radiofusión Sonora FM

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 Identificar los parámetros de potencia de las estaciones de radio en FM clase A, clase B y clase C, de acuerdo con el ministerio de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones, cuya información la encuentran en el Plan Nacional de Radiofusión Sonora frecuencia modulada (FM). Según el plan técnico de la potencia:

en FM, se tiene la siguiente clasificación según

Clase A: Mínimo 15 Kw y máximo 100 Kw de P.R.A Clase B: Superior a 5 Kw e inferior a 15 Kw de P.R.A Clase C: superior a 250 w y máximo 5 Kw de P.R.A Clase D: Máximo 250 w de P.R.A y máximo 900 w de P.R.A en los municipios no capitales de guajira, Guainía, chocó, Putumayo, Caquetá, amazonas, Vaupés, Guaviare, Vichada, Meta, Casanare, Cauca.  Seleccione una emisora FM de su localidad, indique la frecuencia con la que trabaja, calcule la longitud de onda y clasifíquela según las clases del punto anterior. Olímpica FM Estéreo 104.5 MHz Estación clase A. Mínimo 15 Kw y máximo 100 Kw de P.R.A

λ=

c λ

3∗10 8 m/ s λ= =2.87 104,5∗106

 Para un modulador de FM con una sensibilidad de desviación de 3,2kHz/v, se modula con una señal vm(t) = A*cos(2ϖ*fm*t) y una portadora no modulada vc(t) = B*cos(2ϖ*fc*t). fm = 14 KHz

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fc = C MHz

a) Determine el número de conjuntos de bandas laterales significativas. b) Sus amplitudes. c) Dibuje el espectro de frecuencias. d) Determine el ancho de banda por Bessel (real)

A=8 B = 38 C = 46

Formula induce de modulación: θm =

∆f fm

Se calcula la desviación máxima de frecuencia: ∆ f =k f ∗V m ∆ f =3.2 KHz / v∗8=25.6 KHz

Se procede a hallar el índice de modulación: θm =

25.6 KHz =1.8 14 KHz

Así queda la función de onda modulada en FM: f FM ( t )=38 cos[2 π∗46 MHz∗t +1.8∗Sen ( 2 π∗14 KHz∗t ) ]

Utilizando las funciones de Bessel, se procede a hallar las bandas laterales superiores y amplitudes: f FM ( t )=38∗{ j 0 (1.8 ) cos ( 2 π∗46 MHz∗t )− j 1 (1.8) ¿}

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Teniendo en cuenta la teoría de Bessel, las bandas laterales superiores infinitas de f FM ( t ) son:

( 2 π ( 46 M +14 K ) ) , ( 2 π ( 46 M +2∗14 K ) ) , ( 2 π ( 46 M + 3∗14 K ) ) Las amplitudes de las portadoras están determinadas por m=1.8 y por Vc, j0, j1, j2, j3… Se tienen en cuenta los coeficientes

j 0 ( 1.8 )=38∗0.340=12.92 v j 1 ( 1.8 )=38∗0.406=15.42 v j 2 ( 1.8 )=38∗0.306=11.62 v Se calcula ancho de banda: 1