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• Cristian Ricaurte

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SEÑALES Y SISTEMAS 1

Tarea 2: Señales en el Dominio de la Frecuencia

Juan Fernando Ceballos Gil 1041324647 Universidad Nacional Abierta y a Distancia

Julio Cesar Bedoya Pino Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Señales y Sistemas. 203042_69 Medellín Noviembre de 2019

SEÑALES Y SISTEMAS 2 Introducción

Objetivos

SEÑALES Y SISTEMAS 3 Definición de Conceptos . Juan Fernando Ceballos Gil

a. Explique que es convolución continua y discreta. De cuatro ejemplos de usos y/o aplicaciones en la ingeniería. Podemos decir que la convolución en el dominio del tiempo es un método que nos ayuda a encontrar la respuesta de estado cero en sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Además, al realizar convolución entre dos señales se genera una tercera señal. Convolución Continua: Para la convolución en tiempo continuo tenemos que es la operación de integrar sin importar el orden en que se realice, su resultado depende de la naturaleza de cada una de las señales. La operación de integración puede hacerse de manera analítica, gráfica o numérica. En esta podemos destacar algunas propiedades como al realizar una operación en la entrada tendremos una operación similar en la salida, si se desplaza la entrada se desplaza la salida, la integración de la entrada es la integración de la salida, entre otras.

Imagen 1 Convolución continua

(Fedalto, 2015)

SEÑALES Y SISTEMAS 4

Convolución Discreta: Para la convolución en tiempo discreto que llamaremos convolución lineal haremos la operación de sumatoria o serie, por tanto, la operación tendrá el nombre de suma de convulsión. Al igual que en la convolución continua no es importante el orden en que realicemos la operación. Imagen 2 Convolución discreta

(Fedalto, 2015)

Algunas de las propiedades de la convulsión discreta se basan en la linealidad. Ejemplos: 

La convolución aplicada a la óptica, para describir tipos de manchas.



En acústica, un eco es la convulsión del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo representen.



En acústica para saber las condiciones de un recinto al medir las condiciones de reverberación de este, es decir con que claridad se escucha el sonido. Esto se hace por medio de la medición de las señales de eco o respuesta impulsiones y la señal que se determina para este propósito.



En ingeniería la salida de un sistema lineal es la convulsión de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso.



En el campo de las señales digitales nos permite conocer la señal de salida a partir de la señal de entrada y la respuesta al impulso.

SEÑALES Y SISTEMAS 5 b. ¿ Qué es estabilidad y casualidad de sistemas LTI ? Sistemas continuos: La estabilidad en los sistemas LTI ( Lineales Invariantes en el Tiempo) hace referencia en sistemas continuos a que estos deben ser integrados de forma total, es una condición que debe cumplirse, si esta se cumple el sistema LTI es totalmente estable. La casualidad también es llamada realizables físicamente. En esta se hace referencia a que las partes pares o impares no pueden ser independientes unas de otras. En la casualidad la respuesta al impulso es cero Imagen 3 Estabilidad y casualidad Continuo.

(Ambardar, 2002)

Sistemas discretos: La estabilidad en sistemas LTI hace referencia a que el sistema debe ser absolutamente sumable, es decir que para ser estable, se debe cumplir siempre con esta condición. Esto debe aplicarse para determinar la estabilidad de los sistemas lineales. La casualidad en sistemas discretos implica que no es un sistema anticipado, es decir, que cuando se da en tiempo la señal de inicio, así mismo se da la señal de respuesta.

SEÑALES Y SISTEMAS 6 Imagen 4 Estabilidad y casualidad Discreto

(Ambardar, 2002)

c. Explique que es correlación y de un ejemplo de uso y/o aplicación en la Ingeniería. La correlación es una operación similar a la convulsión, pero no tiene reflexión. Para la correlación encontramos dos funciones, la autocorrelación que es para funciones similares y la correlación cruzada que es para funciones diferentes. Con la correlación podemos detectar señales de ruido. Ejemplos: 

La correlación es de gran importancia y aplicación en la determinación de blancos y en la estimación de señales con ruido.



También puede ser utilizada en la identificación de una señal periódica oculta en una señal ruidosa.

SEÑALES Y SISTEMAS 7 d. Explique que es autocorrelación y de un ejemplo de uso y/o aplicación en la ingeniería. La autocorrelación hace referencia a la correlación de dos funciones idénticas. Por tanto, la autocorrelación puede entonces explicarse como una medida de similitud. La autocorrelación puede realizarse en cualquier orden y de forma conmutativa. Ejemplo: En el procesamiento de señales, la autocorrelación proporciona información con respecto a los armónicos de una nota musical producida por un instrumento determinado. Puede precisar la señal generada con una ya establecida para determinar la afinación del instrumento musical.

e. ¿ Cuál es la diferencia entre correlación continua y correlación discreta ? Correlación continua: Implica el desplazamiento de una función y va más allá de otra. Como en la convulsión en el tiempo continuo tenemos la operación de integración.

Imagen 5 Correlación Continua

(Ambardar, 2002)

SEÑALES Y SISTEMAS 8

Correlación discreta: En este tipo de correlación se suman los productos de cada par de valores, similar a la convolución en tiempo discreto. Imagen 6 Correlación discreta

(Ambardar, 2002)

f. ¿ Qué son series de Fourier ? Las series de Fourier describen una señal periódica en funciones del seno y el coseno para una serie de Fourier trigonométrica, como una suma de armónicos o senoides, es decir que puede expresarse como la suma de senos de una señal periódica. También podemos encontrar las series de Fourier de forma polar como la combinación de senos y cosenos y además de forma exponencial donde se utiliza la relación de Euler. Imagen 7 Series de Fourier

(Ambardar, 2002)

SEÑALES Y SISTEMAS 9 g. ¿ Qué es la transformada continua de Fourier ? De dos ejemplos de uso y/o aplicación en la ingeniería. La transformada de Fourier es una transformación matemática entre señales en el dominio de la frecuencia con señales en el dominio del tiempo. Se consideran una extensión de las series de Fourier. Con la transformada de Fourier también podemos trasformar señales periódicas a señales no periódicas. Imagen 8 Transformad de Fourier

(Ambardar, 2002)

Ejemplos: La transformada de Fourier se utiliza para compactar archivos de audio como los de MP3 y MP4. Se utiliza para el análisis de las señales de frecuencia en la entrada de un sistema. Se utiliza en el análisis de señales generadas por las vibraciones de motores y sistemas rotativos.

SEÑALES Y SISTEMAS 10 Ejercicio 1- Convolución continua. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía Ambardar y teniendo en cuenta las propiedades de dicha operación determine la convolución entre 𝑥(𝑡) y ℎ(𝑡) descritas a continuación: x(t) = (3 + e−at )u(t) h(t) = 3 ∗ e−at u(t − 3) Nota: Para la solución de este ejercicio, se deben repasar los métodos de integración vistos en el curso de cálculo integral. Constantes: a= 4 y b= 7 Solución: Señal de entrada: x(t) = (3 + e−4t )u(t) Siendo esta: x(λ) = (3 + e−4λ )u(λ) Señal de salida: h(t) = 3 ∗ e−4t u(t − 3) Siendo esta: h(t) = 3 ∗ e−4(t−λ) u(t − λ − 3)

SEÑALES Y SISTEMAS 11 Puesto que: 𝑢(𝜆) = 0 , 𝜆 < 0

𝑦 𝑢(𝑡 − 𝜆 − 3) = 0 , 𝜆 > 𝑡 − 3

Tenemos: ∞

𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ∫ (3 + 𝑒 −4𝜆 )(3 ∗ 𝑒 −4(𝑡−𝜆) (𝑢𝜆)𝑢(𝑡 − 𝜆 − 3)𝑑𝜆 −∞

Eliminamos términos para ordenar la integral y definimos los límites. ∞

∫ (3 + 𝑒 −4𝜆 )(3 ∗ 𝑒 −4(𝑡−𝜆) ) 𝑑𝜆 −∞ 𝑡−3

(3 + 𝑒 −4𝜆 )(3 ∗ 𝑒 −4(𝑡−𝜆) ) 𝑑𝜆

∫ 0

Multiplicación de los exponentes. 𝑡−3

(3 + 𝑒 −4𝜆 )(3 ∗ (𝑒 −4𝑡 × 𝑒 4𝜆 )) 𝑑𝜆

∫ 0

Aplicamos la propiedad distributiva, propiedades de las integrales, sacamos todo aquello que multiplica y es constante:

𝑡−3

(9𝑒 −4𝑡+4𝜆 + 3𝑒 −4𝑡 ) 𝑑𝜆

∫ 0

𝑡−3

∫

3𝑒 −4𝑡 (3𝑒 +4𝜆 + 1) 𝑑𝜆

0 𝑡−3

𝑡−3

3𝑒 −4𝑡 [∫

(3𝑒 4𝜆 ) 𝑑𝜆 + ∫

0

0

𝑑𝜆]

SEÑALES Y SISTEMAS 12 Integramos: 𝑡−3 3 3𝑒 −4𝑡 [ 𝑒 4𝜆 + 𝜆]| 4 0 Limite superior menos el límite inferior: 3 3 3𝑒 −4𝑡 [ 𝑒 4(𝑡−3) − 𝑒 4(0) + (𝑡 − 3 − 0)] 4 4 Propiedad distributiva y de los exponentes: 3 3 3𝑒 −4𝑡 [ 𝑒 4𝑡−12 − + 𝑡 − 3] 4 4 Operamos términos que no tienen variable: 3 15 3𝑒 −4𝑡 [ 𝑒 4𝑡−12 − + 𝑡] 4 4 Realizamos propiedad distributiva. 9 −12 45 −4𝑡 𝑒 − 𝑒 + 3𝑡𝑒 −4𝑡 4 4

SEÑALES Y SISTEMAS 13

Ejercicio 2- Convolución Discreta. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro Ambardar, determine la respuesta de un filtro FIR (ℎ[𝑛]), a la entrada 𝑥[𝑛]. Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script con el método gráfico de convolución, en Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script (práctica): Constantes: a= 4 y b= 7 Solución: Señal de entrada: ̌ , a, b, 4] x[n] = [4, a, −2 Siendo esta: ̌ , 4,7,4] x[n] = [4,4, −2 Señal de salida: h[n] = [0.5, 𝑏̌, 2.5] Siendo esta: h[n] = [0.5, 7̌, 2.5]

SEÑALES Y SISTEMAS 14

Para dar la respuesta de convolución y[n], a la respuesta al impulso de h[n] para la entrada x[n] tenemos que: 𝑥[𝑛] = 2𝛿[𝑛] − 𝛿[𝑛 − 1] + 3𝛿[𝑛 − 2] Tabulación: __________________________________________________________________________________ 𝑥[𝑛] = 4 4 −2 4 7 4 ℎ[𝑛] = 0.5 7 2.5 ____________________________________________________________________________________ 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 ___________________________________________________________________________________ 2𝛿[𝑛]

2ℎ[𝑛] =

2

−𝛿[𝑛 − 1] − ℎ[𝑛 − 1] = 3𝛿[𝑛 − 2] 3ℎ[𝑛 − 2]

=

𝑆𝑢𝑚𝑎 = 𝑥[𝑛] 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑦[𝑛] =

2

−1

28

28 − 14 10

2

30 37

2

10 −2

3.5

2

28

49

28

−5

10

17.5 10

26.5 61

̌ , 𝟐𝟔. 𝟓, 𝟔𝟏, 𝟒𝟓. 𝟓, 𝟏𝟎] 𝒚[𝒏] = [𝟐, 𝟑𝟎, 𝟑𝟕, −𝟐

45.5 10

SEÑALES Y SISTEMAS 15 Gráficas y Script:

imágenes 9 y 10 Convolución discreta Juan Ceballos

(Scilab)

SEÑALES Y SISTEMAS 16 Ejercicio 3-Series de Fourier. Usando como guía el capítulo 8 de la página 197 del libro Ambardar, dibuje tres (3) periodos de la siguiente señal 𝑥(𝑡) y calcule los coeficientes trigonométricos de la serie de Fourier. 𝑥(𝑡) = 9 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 − 𝑏)

con T=6 s

Encuentre los coeficientes 𝑎0 , 𝑎𝑘 𝑦 𝑏𝑘 Nota: Para encontrar los coeficientes de la serie de Fourier, se tienen las siguientes expresiones matemáticas: Imagen 11 Coeficientes de Fourier

(Ambardar, 2002)

Constantes: a= 4 y b= 7 Por tanto: 𝑥(𝑡) = 9 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 − 7)

con T=6 s

𝑡 = [−0.5,0,0.5] 𝑦 𝑥 = [1,1,1]

SEÑALES Y SISTEMAS 17 Generación de los límites: Nuestra gráfica está determinada con centro en 7, a partir de esto definimos las siguientes operaciones para nuestra señal: Desplazamiento: Este dado por (𝑡 − 7), esto nos dice que será un desplazamiento a la derecha. Sumamos: 𝑡 = [6.5,7,7.5] 𝑦 𝑥 = [1,1,1] Escalamiento: El escalamiento está dado por : 9*(𝑡), este se da para el eje en función de la amplitud: 𝑡 = [6.5,7,7.5] 𝑦 𝑥 = [9,9,9] Limites: Nuestra gráfica para el primer periodo irá desde 6.5 hasta 7.5, para los tres periodos a partir del primero y como este se repite cada seis segundos entonces al tiempo sumaremos seis.



Primer periodo: 𝑡 = [6.5,6.5,7,7.5,7.5] 𝑦 𝑥 = [0,9,9,9,0]



Segundo periodo: 𝑡 = [12.5,12.5,13,13.5,13.5] 𝑦 𝑥 = [0,9,9,9,0]



Tercer periodo: 𝑡 = [18.5,18.5,19,19.5,19.5] 𝑦 𝑥 = [0,9,9,9,0]

SEÑALES Y SISTEMAS 18

Solución: Gráfica: Imagen 12 Juan Ceballos

(Scilab)

Script: Imagen 12 Juan Ceballos

(Scilab)

SEÑALES Y SISTEMAS 19

Coeficientes: 

1

𝑎0 = 𝑇 ∫𝑇 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 Donde: 𝑇 = 6 𝑠,

𝑥(𝑡) = 9 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (𝑡 − 7), 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 ∶ 6.5 𝑦 7.5 7.5

1 𝑎0 = ∫ 9 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 − 7) 𝑑𝑡 𝑇 6.5

Como 𝑟𝑒𝑐𝑡 (𝑡 − 7) = 1 7.5

1 𝑎0 = ∫ 9 𝑑𝑡 6 6.5

7.5

1 𝑎0 = ∫ 9 𝑑𝑡 6 6.5

7.5

9 𝑎0 = ∫ 𝑑𝑡 6 6.5

7.5 3 𝑎0 = × 𝑡| 2 6.5 𝑎0 =

3 (7.5 − 6.5) 2

𝑎0 =

3 = 1.5 2

SEÑALES Y SISTEMAS 20 

2

𝑎𝐾 = 𝑇 ∫𝑇 𝑥(𝑡) cos(2𝜋𝑘𝑓𝑜 𝑡) 𝑑𝑡 Donde: 𝑇 = 6 𝑠,

𝑥(𝑡) = 9 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (𝑡 − 7), 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 ∶ 6.5 𝑦 7.5 7.5

2 𝑎𝐾 = ∫ 9 × cos(2𝜋𝑘𝑓𝑜 𝑡) 𝑑𝑡 6 6.5

7.5

18 𝑎𝐾 = ∫ cos(2𝜋𝑘𝑓𝑜 𝑡) 𝑑𝑡 6 6.5

𝑎𝐾 = 3 (

𝑎𝐾 = 3 (

7.5 sin(2𝜋𝑘𝑓𝑜 𝑡) | ) 2𝜋𝑘𝑓𝑜 6.5

sin(2𝜋𝑘𝑓𝑜 (7.5)) sin(2𝜋𝑘𝑓𝑜 (6.5)) − ) 2𝜋𝑘𝑓𝑜 2𝜋𝑘𝑓𝑜

Donde:

𝑇=

1 1 1 , 𝑓𝑜 = 𝑌 𝑓𝑜 = = 0.1666 𝑓𝑜 𝑇 6

sin(15𝜋𝑘(0.1666)) sin(13𝜋𝑘(0.1666)) 𝑎𝐾 = 3 ( − ) 2𝜋𝑘(0.1666) 2𝜋𝑘(0.1666)

𝑎𝐾 = 3 (

sin(2.5 𝜋𝑘) − sin(2.1666 𝜋𝑘) ) 2𝜋𝑘(0.1666)

𝑎𝐾 = 3 (

sin(2.5 𝜋𝑘) − sin(2.1666 𝜋𝑘) ) 0.333 𝜋𝑘

𝑎𝐾 = 9 (

sin(2.5 𝜋𝑘) − sin(2.1666 𝜋𝑘) ) 𝜋𝑘

SEÑALES Y SISTEMAS 21 

2

𝑏𝐾 = 𝑇 ∫𝑇 𝑥(𝑡) sin(2𝜋𝑘𝑓𝑜 𝑡) 𝑑𝑡 Donde: 𝑇 = 6 𝑠,

𝑥(𝑡) = 9 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (𝑡 − 7), 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 ∶ 6.5 𝑦 7.5 7.5

2 𝑎𝐾 = ∫ 9 × sin(2𝜋𝑘𝑓𝑜 𝑡) 𝑑𝑡 6 6.5

7.5

18 𝑎𝐾 = ∫ sin(2𝜋𝑘𝑓𝑜 𝑡) 𝑑𝑡 6 6.5

7.5 − cos(2𝜋𝑘𝑓𝑜 𝑡) 𝑎𝐾 = 3 ( | ) 2𝜋𝑘𝑓𝑜 6.5 − cos(2𝜋𝑘𝑓𝑜 𝑡(7.5)) cos(2𝜋𝑘𝑓𝑜 𝑡(6.5)) 𝑎𝐾 = 3 ( + ) 2𝜋𝑘𝑓𝑜 2𝜋𝑘𝑓𝑜 Donde:

𝑇=

𝑎𝐾 = 3 (

1 1 1 , 𝑓𝑜 = 𝑌 𝑓𝑜 = = 0.1666 𝑓𝑜 𝑇 6

−cos(15𝜋𝑘(0.1666) cos(13𝜋𝑘(0.1666) + ) 2𝜋𝑘(0.1666) 2𝜋𝑘(0.1666)

cos(2.5 𝜋𝑘) + cos(2.1666 𝜋𝑘) 𝑎𝐾 = 3 ( ) 2𝜋𝑘(0.1666) cos(2.5 𝜋𝑘) + cos(2.1666 𝜋𝑘) 𝑎𝐾 = 3 ( ) 0.333 𝜋𝑘 cos(2.1666 𝜋𝑘) − cos(2.5 𝜋𝑘) 𝑎𝐾 = 9 ( ) 𝜋𝑘

SEÑALES Y SISTEMAS 22 Ejercicio 4-Transformadas de Fourier. Usando como guía los ejemplos 9.5 de las páginas 259 del libro Ambardar y las tablas 9.1 y 9.2, determine la transformada de Fourier de las señales 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡), usando pares de transformadas y propiedades reconocibles. Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script con la combinación lineal de señales usadas para obtener x(t) y y(t), en Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script (práctica):

Variables: a= 4 y b=7 Script y Gráfica: Imagen 13 Juan Ceballos

(Matlab)

SEÑALES Y SISTEMAS 23 Generación de la expresión para la señal: 𝑥(𝑡) = −2𝑢(𝑡) + 2𝑢(𝑡 − 14) + 2𝑢(𝑡 − 14) − 2𝑢(𝑡 − 28) Transformada: Para realizar la transofrmada debemos tener en cuenta la tabla 9.1 del libro de Ambardar referente a transformadas de Fourier y la tabla 9.2 de las propiedades operacionales de la trnasformada de Fourier. En nuestro ejercicio tendremos en cuenta: Transformada de Fourier: Imagen 14 Transformada de Fourier

(Ambardar, 2002)

Propiedades: Imagen 15 Propiedades Transformada de Fourier

(Ambardar, 2002)

SEÑALES Y SISTEMAS 24 Todo aquello que está en función de t pasa a w: 𝑥(𝑡) = −2𝑢(𝑡) + 2𝑢(𝑡 − 14) + 2𝑢(𝑡 − 14) − 2𝑢(𝑡 − 28)

𝑋(𝑤) = −2 + 2 (𝑒 −𝑗𝑤14 (𝜋𝛿(𝑤) +

1 1 1 )) + 2 (𝑒 −𝑗𝑤14 (𝜋𝛿(𝑤) + )) − 2 (𝑒 −𝑗𝑤28 (𝜋𝛿(𝑤) + )) 𝑗𝑤 𝑗𝑤 𝑗𝑤

Llevamos la expresión a transforamda de Laplace para comprobar el resultado: Eliminamos términos de impulso:

𝑋(𝑤) = −2 (

1 1 1 1 ) + 2 (𝑒 −𝑗𝑤14 ( )) + 2 (𝑒 −𝑗𝑤14 ( )) − 2 (𝑒 −𝑗𝑤28 ( )) 𝑗𝑤 𝑗𝑤 𝑗𝑤 𝑗𝑤

Jw lo reemplazamos por s: 1 1 1 1 𝑋(𝑤) = −2 ( ) + 2 (𝑒 −𝑠14 ( )) + 2 (𝑒 −𝑠14 ( )) − 2 (𝑒 −𝑠28 ( )) 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑒 −𝑠14 𝑒 −𝑠28 2 𝑋(𝑤) = 4 ( )− 2( )−( ) 𝑠 𝑠 𝑠 Imagen 15 Juan Ceballos

(Matlab)

SEÑALES Y SISTEMAS 25

Script y Gráfica: Imagen 16 Juan Ceballos

(Matlab)

Generación de la expresión para la señal: 𝜋 𝑦(𝑡) = 3 ∗ sin ( ∗ 𝑡) 7 La amplitud de nuestra señal corresponde a 3, la función seno para generar la curva y la 𝜋

operación de expansión corresponde a ( 7 ∗ 𝑡).

SEÑALES Y SISTEMAS 26

Transformada de Laplace: Imagen 16 Transformada de Laplace

(docsity, 2015)

Para nuestro ejercicio podemos expresar de la siguiente manera:

𝑦(𝑤𝑡) =

𝑤 ; 𝑠2 + 𝑤2

𝑏=

𝜋 7

𝑜

𝑤=

Reemplazando: 𝜋 7

𝑦(𝑤𝑡) = 3 ∗ ( 𝑠2

) 𝜋 2

+ (7 )

Ley de la oreja:

𝜋

𝑦(𝑤𝑡) = 3 ∗ ( 7∗

(𝑠 2

𝜋 2

+ (7 ) )

Realizando operaciones matemáticas:

𝑦(𝑤𝑡) =

3∗𝜋 𝜋 2

7 ∗ (𝑠 2 + (7 ) )

)

𝜋 7

SEÑALES Y SISTEMAS 27 𝑦(𝑤𝑡) =

3∗𝜋 𝜋2

7 ∗ (𝑠 2 + 49 )

Imagen 17 Juan Ceballos

(Matlab)

SEÑALES Y SISTEMAS 28 Conclusiones

Referencias Bibliográficas.

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