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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS

Ejercicios y Graficas Tarea 3 –DERIVADAS

Presentado a: Cristian Camilo Trujillo

Entregado por: Eliana Andrea Rincones Crespo Código: 1065659100

Grupo: UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS VALLEDUPAR -CESAR FECHA 03-03-2020

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A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Estudiante 2

f ( x )=9 x 3−7 x f ( x +h ) =9( x +h)3−7 ( x+ h) Resolvemos f ( x +h ) =9 ( x 3+ 2 xh+ h3 )−7 x +7 h Resolvemos f ( x +h ) =9 x 3+18 xh+ 9 h3−7 x +7 h Remplazamos f ´ ( x )=lim h →0

9 x 3 +18 xh+9 h3 −7 x+7 h−9 x 3 +7 x h

Simplificamos

Ejercicio f ( x )=9 x 3−7 x

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f ´ ( x )=lim h →0

9 h3 +18 xh+ 7 h−7 x +7 x h

Factorizamos h ( 9 h2 +18 x+7 ) f ´ ( x )=lim h h →0 Simplificamos f ´ ( x )=lim ( 9 h2 +18 x +7 ) h →0

Evaluamos f ´ ( x )=9¿ f ´ ( x )=18 x +7

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2. En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. Ejercicio Estudiante f ( x )=( √ x+3)(5 x 2−7 x) 2 Se aplica la regla: ( f . g ) ´=f ´ . g+ f . g ´ f =√ x +3 , g=5 x 2−7 x

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d d 2 2 =( √ x +3 ) ( 5 x −7 x ) + =(5 x −7 x)( √ x+ 3) dx dx Se aplica la regla de la suma/diferencia: ( f ≠ g ) ´=f ´ ≠ g ´

d d =( √ x ) + ( 3) dx dx 1

Se aplica la ley de exponentes √ a=a 2 1

( )

d = x2 dx

Se aplica la regla de la potencia

(

Se simplifica=

d a ( x )=a . x a−1 dx

1 1−1 1 x 2 : 2 2√ x

)

d (3)=0 dx d =( 5 x2 −7 x ) =10 x−7 dx 1 ( 5 x2 −7 x ) +(10 x+7 x )(√ x+3) 2√ x

Se simplifica ¿

25 x √ x +60 x+ 21 x √ x −21 2

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3. Ejercicio 2 Estudiante ( x )= 84x +24 f 2 3 x −7 x + 4

Aplicamos la regla

f ´ f ´ ∙ g−g´ ∙ f = g g2

()

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¿

d ( 8 x 2−24 ) ( 3 x 4−7 x + 4 ) − d ( 3 x 4 −7 x +4 ) ( 8 x2 −24 ) dx dx 2

( 3 x 4 −7 x+ 4 )

Se aplica la regla de la suma/diferencia: ( f ≠ g ) ´=f ´ ≠ g ´

d ( 8 x 2−24 ) dx ¿

d ( 8 x 2 )+ d (24) dx dx

d (8 x2 ) dx Sacar la constante ( a . f ) ´ =a . f ´ 8

d 2 (x ) dx

Se aplica la regla de la potencia ¿ 8. 2 x 2−1 ¿ 16 x

d a ( x )=a . x a−1 dx

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d (24 ) dx Se deriva la constante

d ( a ) =0 dx

¿0

¿

¿

d 16 x ( 3 x 4−7 x +4 )−( 12 x 3−7 )( 8 x 2 +24 ) dx

( 3 x 4−7 x +4 )

2

−48 x 5−288 x 3−56 x 2+64 x+168 2

( 3 x 4 −7 x+ 4 )

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4. Estudiante 2 Se aplica la regla del producto ( f . g ) ´=f ´ . g+ f . g ´ 2

f =( 13 x 2+ 3 ) , g=( 12 x )4 x 2 2 d ( 4x d ( 4x 2 2 ) ( ) ) ( ) = 13 x +3 . 12 x + 12 x 13 x +3 dx dx

Ejercicio 2 f ( x )=( 13 x 2 +3 ) . (12 x )4 x

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS 2 d ( 13 x 2+3 ) dx

Se aplica la regla de la cadena: ¿

df (u) df du = . dx du dx

d 2 d (u ). ( 13 x 2 +3 ) du dx

d 2 (u ) du Se aplica la regla de la potencia

d a ( x )=a . x a−1 dx

¿ 2. u2−1

¿2u ¿

d ( 13 x2 +3 ) dx

Se aplica la regla de la suma/diferencia: ( f ≠ g ) ´=f ´ ≠ g ´ ¿

d ( 13 x2 ) + d ( 3 ) dx dx

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¿

d ( 13 x2 ) dx

Se saca la constante( a . f ) ´ =a . f ´

¿ 13

d 2 (x ) dx

¿ 13 .2 x 2−1

¿ 26 x ¿

d (3) dx

Se deriva la constante

d ( a ) =0 dx

¿0

¿ 26 x+ 0 ¿ 26 x ¿ 2 u.26 x Sustituir en la ecuación u=( 13 x2 +3 )

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¿ 2 ( 13 x 2 +3 ) 26 ¿ 52 x ( 13 x 2+3 ) Se aplica la regla del producto ( f . g ) ´=f ´ . g+ f . g ´ f =( 12 x ) 4 x❑ , g=x

¿

d ¿ dx

d ( 12 x ¿¿¿ 4 )=82944 x3 dx d ( x )=1 dx 3

¿ 82944 x x +1. ( 12 x )

4x

¿ 103680 x 4 4x

¿ 52 x ( 13 x 2+3 ) ( 12 x ) +103680 x 4 ¿ 31539456 x 8+11321816 x6 + 933120 x 4

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5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3 Estudiante 4 Estudiante 5

Ejercicio 5 x −3 yx+ 7 y 2=3 3 y 4 +6 xy + 4 x=9 x 2 y 2 + y + x=2 6y 4 xy− =6 2x x 3 y 3 − y=x 3

6. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Estudiante 2

Ejercicio f ( x )=4 x 6 +3 x 4−5 x 3

Derivada de orden superior f ' ' ' (x)=?

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Primera derivada f ' ( x )=24 x 5 +12 x 3−15 x 2 Segunda derivada f ' ' ( x ) =120 x 4 + 36 x2−30 x ❑ Tercera derivada f ' ' ' ( x )=30 x

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Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). Estudiante 2 a. f ( x )=12 x 2−7 x

b. f ( x )=cos ( x ) +7

a. f ( x )=12 x 2−7 x

b. f ( x )=cos ( x ) +7

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3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Problemas

Asignación

2 3 Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f ( x )= x −2 x +6 7 Estudiante 2 B Se requiere construir una caja con base cuadrada y parte superior abierta con un volumen de 32000 cm3 . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. 2 3 A. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f ( x )= x −2 x +6 7 A

Un punto de inflexión es un punto de la gráfica en donde la segunda derivada cambia de signo Si f '' ( x ) >0 entonces f ( x ) es concavo hacia arriba

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Si f '' ( x )