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• Eliana Sofía Mayorga Giraldo

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Curso Matemáticas Discretas Ejercicios Tarea 2: Relaciones de recurrencia y técnicas de conteo Instrucciones. Escoger un grupo de ejercicios, Estudiante A, Estudiante B, etc. y anunciarlo en el foro de discusión para que no se presenten repeticiones. Los cinco primeros ejercicios, los de teoría de conteo son para realizar realimentación en el foro de discusión de la tarea 2. Los problemas de relaciones de recurrencia deberán ser sustentados a través de un vídeo. El enlace correspondiente deberá anotarse en el trabajo escrito al final, después del desarrollo de los cinco ejercicios de teoría de conteo.

Eliana Sofia Mayorga Giraldo cc 1054542803f ESTUDIANTE B Desarrolle los cinco ejercicios de teoría de conteo dados a continuación. Cada ejercicio debe mostrar el paso a paso de manera lógica, se debe resolver gráfica y/o analíticamente cuando sea posible. 1.

En una institución educativa 300 estudiantes conforman la matrícula total. De estos estudiantes, 50 toman el curso de matemáticas, 140 toman el curso de programación básica y 40 cursan las dos asignaturas. ¿cuántos estudiantes de esa institución no toman ninguna de estas asignaturas?

Pb

M 100

150 Rta: 150 Estudiante

40

10

Pb Programación Básica =140 M Matemáticas = 50 10 Estudiantes cursan solo matemáticas 100 Estudiantes cursan solo programación básica 150 Estudiantes no cursan ninguna de estas asignaturas 300-(100+40+10)=150

2.

Se van a producir placas para automóvil con las siguientes condiciones: cada placa empieza con dos letras tomadas del siguiente conjunto {A, B, C, D, E, F, G, H, I} y debe terminar con tres dígitos. Si ninguna letra o dígito puede repetirse. ¿Cuántas placas diferentes son posibles con las anteriores condiciones? Nota: importa el orden 9 P2 9 ! Letras: { A , B , C , D , E , F ,G , H , I } son 9 elementos (9 tomando de a 2) = =72¿ ¿ 9−2 ! Dígitos:{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }son 10 elementos(10 tomando de a 3)

10 P3 ¿

=

10 ! =720 ¿ 10−3 !

Placa= ( 9 x 8 x 10 x 9 x 8 )=51840

72 x 720=51840 Se pueden elaborar 51840 placas siguiendo las condiciones dadas.

3.

El menú de una cafetería consta de tres entradas, cuatro platos principales y tres bebidas de acuerdo con la siguiente tabla: Entrada

Plato principal

Bebidas

Nachos (N)

Perro caliente (P) Gaseosa (G)

Ensalada (E)

Hamburguesa (H)

Sopa del día (S)

Arepa con queso Cerveza (C) (Q)

Limonada (L)

Tamal (T) Total: 3

Total: 4

Total: 3

Muestre gráfica y analíticamente cuantas posibles combinaciones diferentes de este menú existen que consten de una entrada, un plato principal y una bebida.

Rta: 36 menús diferentes con la condición dada. 3 x 4 x 3=36

P

T

G L C

P

H

G L C

Q

G L C

G L C

T

G L C

P

H

G L C

Q

G L C

G L C

T

G L C

H

G L C

Q

G L C

G L C

4. a) De un grupo de 15 personas se deberá escoger un grupo conformado por un presidente, un secretario y un vocal. ¿De cuantas maneras se puede formar dicho comité? Permutación ya que importa el orden nPr=

n! De n tomando r objetos ( n−r ) !

n=15 r=3 15 P3=

15 ! 15 ! 15 x 14 x 13 x 12 ! = = =2730 maneras diferentes 12 ! ( 15−3 ) ! 12 !

El comité se puede escoger 2730 b) Determinar de cuántas maneras pueden formarse cuatro comités distintos de un grupo de 25 personas, si los comités deben tener 4,5,8 y 6 personas, respectivamente.

Combinación= No importa el orden 

25

25 personas tomándolas de a 4 c 4

C nr =

n! ( n−r )∗r !

c 25 4 =

25 ! 25 ! 25∗24∗23∗22∗21! = = =25∗23∗22=12650 21!∗4∗3∗2∗1 ( 25−4 ) !∗4 ! 21!∗4 !

De 25 personas tomándolas de a 4 se obtienes 12.650 comités 

c 25 5 =

25

25 personas tomándolas de a 5 c 5

25 ! 25! 25∗24∗23∗22∗21∗20 ! = = =5∗23∗22∗21=53130 20 !∗5∗4∗3∗2∗1 ( 25−5 ) !∗5 ! 20 !∗5!

De 25 personas tomándolas de a 5 se obtienes 53.130 comités 

c 25 8 =

25

25 personas tomándolas de a 8 c 8

25! 25 ! 25∗24∗23∗22∗21∗20∗19∗18∗17 ! 25∗23∗22∗2∗19∗18 = = = =1081575 17 !∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 8 ( 25−8 ) !∗8 ! 17 !∗8 !

De 25 personas tomándolas de a 8 se obtienes 1.081.575 comités 

25

25 personas tomándolas de a 6 c 6

c 25 6 =

25! 25 ! 25∗24∗23∗22∗21∗20∗19 ! 5∗23∗22∗21∗10 = = = =177100 19!∗6∗5∗4∗3∗2∗1 3 ( 25−6 ) !∗6 ! 19 !∗6 !

De 25 personas tomándolas de a 6 se obtienes 177.100 comités 5. a) ¿De cuantas maneras distintas puede escogerse un comité de dos mujeres y cuatro hombres de un grupo de seis mujeres y siete hombres? H=7 ----H=4 M=6 ----M=2 C 62 X C 74 =

6! 7! 6! 7! X = X ( 6−2 ) !∗2! ( 7−4 ) !∗4 ! 3 !∗2 ! 3 !∗4 !

6∗5∗4∗3 ! 7∗6∗5∗4 ! X =6∗5∗2∗7∗5=2100 3 !∗2∗1 4 !∗3∗2∗1 Hay 2100 maneras de escoger el comité con las condiciones dadas.

b) Determinar de cuantas formas pueden distribuirse 10 libros idénticos de física entre cinco estudiantes.

Números de Opciones 1°E 10

2°E 9

3°E 8

4°E 5°E 7 6

10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240 modos diferentes de distribuirlos 10 P5=

10 ! 10 ! 10∗9∗8∗7∗6∗5 ! = = =30240 5! ( 10−5 ) ! 5 !

Problemas relaciones de recurrencia. Estos dos problemas resueltos se deberán sustentar por medio del vídeo. 1.

En una progresión aritmética, el primer término a1 vale 4 y el último 16. Si se sabe que la diferencia común d vale 2. ¿Cuántos términos tiene la progresión?

P . A a1=4 d=2

{

a 1+ a2+ a3 , …… …+a n a n=16 →¿ n ? Qué lugar ocupa el término que suma 16

Formula general de las progresiones aritméticas: a n=a1 + ( n−1 )∗d 16=4 + ( n−1 )∗2 16 =4 + 2n – 2 despejo n 16+2−4 =n 2 7=n

2) Haga corresponder cada sucesión de recurrencia con su respectiva relación de recurrencia.

Sucesiones de recurrencia: a) -9, -3, 3, 9, ... Prueba a1=−9 a2=−3

{

Encontrar a 3 → n=3 a 3=2 a3−1−a 3−2 a 3=2 a2−a 1 a 3=2 (−3 )−(−9) a 3=−6+ 9 a 3=3

Encontrar a 4 →n=4 a 4=2 a 4−1−a 4−2 a 4=2 a3 −a2 a 4=2 ( 3 )−(−3) a 4=6 +3 a 4=9 En la sucesión de recurrencia: a 3=3 En la sucesión de recurrencia: a 4=9

La relación de recurrencia es: an = 2an-1 - an-2

b) -1, 3, 3, 15, ... Prueba a1=−1 a 2=3

{

Encontrar a 3 → n=3 a 3=2 a3−1−3 a3−2 a 3=2 a2−3 a1

a 3=2 (3 )+ 3(−1) a 3=6−3 a 3=3

Encontrar a 4 →n=4 a 4=2 a 4−1+ 3 a4 −2 a 4=2 a3 +3 a 2

a 4=2(3)+3( 3) a 4=6 +9 a 4=15 En la sucesión de recurrencia: a 3=3 En la sucesión de recurrencia: a 4=15

La relación de recurrencia es: 2an-1+3an-2

c) -9, -3, 9, -2457, ... Encontrar a 4 →n=4 a 4=−3 a4−1 +81 a4 −2−243 a4 −3 a 4=−3 a3+ 81 a2−243 a1 a 4=−3 ( 9 )+ 81 (−3 )−243(−9) a 4=−27−243+2187 a 4=1917 En la sucesión de recurrencia a 4=−2457 Y con la relación de recurrencia a 4=1917 Nota: Hay un error en la relación de recurrencia dada, ya que debería de ser la formula an = 3an-1- 81an-2-243an-3

d) -9, 3, -1, 1/3, ... Prueba

a1=−9 a2=3

{

Encontrar a 3 → n=3 a 3=(−a3−1)/3 a 3=(−a2)/3 a 3=−(3)/3 a 3=−1 Encontrar a 4 →n=4 a 4=(−a 4−1)/3 a 4=(−a3 )/3 a 3=−(−1)/3 a 3=1/3

En la sucesión de recurrencia: a 3=1 En la sucesión de recurrencia: a 4=1/3

La relación de recurrencia es: an = (-an-1) /3

e) -9, -3, 3, 45/8, ... Encontrar a 5 → n=5

a 5=(12 a5−1−12 a 5−2 + a5−3)/ 8 a 5=12 a4 −12a 3+ a2 /8 a 5=12 63 −12(3)+(−3)/8 8

a 5=

189 39 − /8 2 1

a 5=

189−76 37 /8 a5= 2 192

Encontrar a 4 →n=4 a 4=(12 a4−1−12 a 4−2 +a4 −3)/8 a 5=12 a3−12 a2 +a1 /8 a 5=12(3)−12(−3)+(−9)/ 8 a 5=36+36−9 /8 a 5=63/8 Nota: la sucesión de recurrencia a 4=45/8 y no 63/8 1. La relación de recurrencia an = (12an-1 -12an-2+an-3) /8 Hay un error en la relación de recurrencia dada

Relaciones de recurrencia: 2. an = (-an-1) /3 3. an = (12an-1 -12an-2+an-3) /8 4. an = 2an-1 - an-2 5. an = -3an-1+81an-2-243an-3 6. an = 2an-1+3an-2

Observaciones para tener en cuenta en el vídeo de sustentación. https://www.youtube.com/watch?v=xwrjlxxXSmw Desarrollo de video de sustentación abordando las soluciones de los dos problemas asignados. El video deberá ser de autoría del estudiante, con captura de la pantalla y voz de sustentación del estudiante y deberá tener una duración no mayor a 4 minutos. Mostrar en la pantalla al inicio el documento de identidad. El enlace del vídeo deberá aparecer escrito en el trabajo escrito donde se entrega el desarrollo de los cinco ejercicios de teoría de conteo.