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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS TAREA 3: Espacios vectoriales

TAREA 3 – ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS “A”

DIANA PAOLA GUAVITA

GRUPO 208046_310

TUTOR ING. MANUEL ALEJANDRO GUTIERREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ALGEBRA LINEAL VILLAVICENCIO 2019

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ACTIVIDADES A DESARROLLAR

A continuación, encontrará una tarea compuesta por 5 ejercicios individuales y 1 ejercicio grupal. En los ejercicios del 1 al 5 cada estudiante debe elegir un (1) ítem a desarrollar a), b) c) d) ó e), y anunciarlo en el foro de la actividad, para garantizar que la selección de cada estudiante sea diferente a la de los demás compañeros. Cada estudiante debe asumir un rol dentro del grupo, anunciarlo en el foro de la actividad, y presentar en el foro el desarrollo de los ejercicios propuestos. Presentar en el foro de trabajo colaborativo de la unidad 3, mínimo tres (3) aportes para dar solución a los ejercicios propuestos.

Ejercicio 1. Conceptualización de Espacios vectoriales

Cada estudiante debe seleccionar un sólo ítem de los propuestos en la Tabla 1, y elaborar una infografía en donde se conceptualice sobre los siguientes temas, para lo cual puede emplear las herramientas Easily (https://www.easel.ly/), Canva (https://www.canva.com/), Visme (https://www.visme.co/) o en cualquier otra herramienta similar disponible. a) Combinación lineal y espacio generado. Link https://www.canva.com/design/DADrOuNCtdM/jimckegk9nxgqObzhdC9jQ/view?utm_content=DADrOuNCtdM&utm_campaign =designshare&utm_medium=link&utm_source=publishsharelink

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Ejercicio 2. Axiomas y propiedades de espacios vectoriales Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado en el ejercicio 1: a) Dados los vectores 𝒖 = (𝟒, 𝟎, −𝟑) y 𝒗 = (𝟎, 𝟐, 𝟓) I.

calcular:

𝑢+𝑣 𝑉 = (4, 0, −3) + (0, 2, 5) 𝑉 = (4 + 0, 0 + 2, −3 + 5) 𝑉 = (4, 2, 2)

II.

𝑢−𝑣 𝑉 = (4, 0, −3) + (0, 2, 5) 𝑉 = (4 − 0, 0 − 2, −3 − 5) 𝑉 = (4, −2, −8)

III.

1

2𝑢 + 𝑣 3

1 𝑉 = 2(4, 0, −3) + (0, 2, 5) 3 𝑉 = (8, 0, −6) + (0,

2 3

5

, ) 3

2

5

𝑉 = (8 + 0, 0 + , −6 + ) 3 3

𝑉 = (8,

2 3

13

, − ) 3

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Ejercicio 3. Conjuntos generadores y Dependencia lineal Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado previamente: a) Ejercicios para desarrollar 1. Determine si el conjunto 𝑺 genera a 𝑹𝟑 :

𝑆 = {(4, 7, 3), (−1, 2, 6), (2, −3, 5)} Buscamos los escalares 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 :

(𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) = 𝑘1 (4, 7, 3), 𝑘2 (−1, 2, 6), 𝑘3 (2, −3, 5) (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) = (4𝑘1 − 𝑘2 + 2𝑘3 , 7𝑘1 + 2𝑘2 − 3𝑘3 , 3𝑘1 + 6𝑘2 + 5𝑘3 )

Esto origina el sistema

4𝑘1 7𝑘1 3𝑘1

− 𝑘2 + 2𝑘2 + 6𝑘2

+ 2𝑘3 − 3𝑘3 + 5𝑘3

La matriz de coeficientes

4 𝑨 = [7 3

−1 2 2 −3] 6 5

= 𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣3

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Hallamos el Det(A)

4 −1 2 4 −1 𝑨 = [7 2 −3] 7 2 3 6 5 3 6 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = [(4 ∗ 2 ∗ 5) + (−1 ∗ −3 ∗ 3) + (2 ∗ 7 ∗ 6)] − [(3 ∗ 2 ∗ 2) + (6 ∗ −3 ∗ 4) + (5 ∗ 7 ∗ −1)] 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = [40 + 9 + 84] − [12 − 72 − 35] 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 40 + 9 + 84 − 12 + 72 + 35 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝟐𝟐𝟖 Como el determinante es diferente de cero, entonces hay solución única, lo que demuestra que 𝑆 genera a 𝑅 3 .

2. Determine si el conjunto 𝑺 es linealmente dependiente.

𝑆 = {(−2, 4), (1, −2)} Planteamos la ecuación vectorial

𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 = 0 Debemos determinar que el sistema tenga solamente solución trivial. Entonces

𝑐1 (−2, 4) + 𝑐2 (1, −2) = (0, 0)

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Esto origina el sistema

−2𝑐1 4𝑐1

+ 𝑐2 − 2𝑐2

= 0 = 0

Al resolver por matrices, por el método de Gauss – Jordan

−2 𝑨=[ 4 𝑭𝟏 →

𝑭𝟏 −𝟐

1 0 | ] −2 0 1

1

𝑨=[

1 − 0 2| ] 4 −2 0

𝑭𝟐 → 𝑭𝟐 − 𝟒𝑭𝟏

𝑨=[

1 − 0 2| ] 0 0 0

La última matriz nos muestra

1 𝑐1 − 𝑐2 = 0 2 1

Para 𝑐1 = 1 , entonces 1 − 𝑐2 = 0 2

1

1 = 𝑐2 2

1 ∗ 2 = 1𝑐2

2 = 𝑐2

La solución

𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 = 0

𝑣1 + 2𝑣2 = 0

𝑣1 = −2𝑣2

Por lo anterior se muestra que los vectores del conjunto 𝑆 son linealmente dependientes

𝑐2 = 2

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Ejercicio 4. Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado previamente: a) Dada la siguiente matriz:

−1 2 3 𝑨 = [ 2 3 −2 4 1 1

0 7 3 0] 0 −3

1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán

𝑭𝟐 → 𝑭𝟐 + 𝟐𝑭𝟏

−1 𝑨=[ 0 4

2 3 0 7 7 4 3 14 ] 1 1 0 −3

𝑭𝟑 → 𝑭𝟑 + 𝟒𝑭𝟏

−1 𝑨=[ 0 0

2 3 0 7 7 4 3 14] 9 13 0 25

𝑭𝟑 → 𝑭𝟑 (𝟕) − 𝑭𝟐 (𝟗)

−1 2 3 0 7 𝑨=[ 0 7 4 3 14] 0 0 55 −27 49

Como la matriz escalonada tiene tres filas diferentes de cero, entonces el:

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 (𝑨) = 𝟑

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2. Calcular el rango por el método de determinantes

−1 2 3 𝑨 = [ 2 3 −2 4 1 1

0 7 3 0] 0 −3

Hallamos el det(A) en una matriz de orden 2x2

−1 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = [ 2

2 ] = (−1 ∗ 3) − (2 ∗ 2) = −3 − 4 = −7 3

Como 𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎 por lo tanto

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 (𝑨) >= 𝟐

Hallamos el det(A) en una matriz de orden 3x3 que incluya la matriz de orden 2x2 anterior

−1 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = [ 2 4

2 3 −1 2 3 −2| 2 3] 1 1 4 1

𝒅𝒆𝒕(𝑨) = [(−1 ∗ 3 ∗ 1) + (2 ∗ −2 ∗ 4) + (3 ∗ 2 ∗ 1)] − [(4 ∗ 3 ∗ 3) + (1 ∗ −2 ∗ −1) + (1 ∗ 2 ∗ 2)] 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = [(−3) + (−16) + (6)] − [(36) + (2) + (4)] 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = [−13] − [42] = (−13 − 42) 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = −55 Como 𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎 por lo tanto

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 (𝑨) = 𝟑

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3. Indique si existe dependencia o independencia lineal Como el determinante es diferente de cero, entonces hay solución única, lo que demuestra que existe independencia lineal.

Ejercicio 5. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales. a) Sean 𝒖 𝒚 𝒘 vectores en 𝑹𝟑 y sea 𝜽 el ángulo entre 𝒖 𝒚 𝒘. Demuestre que

‖𝑢 𝑥 𝑤‖ = ‖𝑢‖‖𝑤‖ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) Para iniciar demostraremos otra proposición que es la que nos va a ayudar a demostrar la que nos mencionan en el ejercicio, la cual es la siguiente:

‖𝑢 𝑥 𝑤‖2 = ‖𝑢‖2 ‖𝑤‖2 − (𝑢 𝑥 𝑤)2 Aplicamos la siguiente formula para hallar el ángulo entre dos vectores:

𝑐𝑜𝑠(𝜃) =

𝑢𝑥𝑤 ‖𝑢‖‖𝑤‖

Despejamos y nos quedaría así

𝑢 𝑥 𝑤 = ‖𝑢‖‖𝑤‖ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

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Reemplazamos en la formula o proposición

‖𝑢 𝑥 𝑤‖2 = ‖𝑢‖2 ‖𝑤‖2 − (‖𝑢‖‖𝑤‖ 𝑐𝑜𝑠(𝜃))2 ‖𝑢 𝑥 𝑤‖2 = ‖𝑢‖2 ‖𝑤‖2 − ‖𝑢‖2 ‖𝑤‖2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃) Ahora factorizamos la parte de la formula que tiene factor común

‖𝑢 𝑥 𝑤‖2 = ‖𝑢‖2 ‖𝑤‖2 (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜃)) Aplicamos la identidad trigonométrica que nos dice 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝜽) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 y reemplazamos

‖𝑢 𝑥 𝑤‖2 = ‖𝑢‖2 ‖𝑤‖2 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃) Sacamos raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación

√‖𝑢 𝑥 𝑤‖2 = √ ‖𝑢‖2 ‖𝑤‖2 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃) Simplificamos la raíz cuadrada con los exponenciales al cuadrado para llegar a lo que se necesitaba demostrar

‖𝒖 𝒙 𝒘‖ = ‖𝒖‖‖𝒘‖ 𝒔𝒆𝒏(𝜽)

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Bibliografía 

Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra http://hdl.handle.net/10596/7081

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Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 61 a 78. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11013215&p00=algebra+lineal

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Guzmán, A. F. (2014). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual UNAD. Páginas 72 a la 123. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=76&docID=11013205&tm=1469034479383

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Gutiérrez, G. E., & Ochoa, G. S. I. (2014). Álgebra lineal y sus aplicaciones. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=278&docID=11013199&tm=1472145724998

Lineal.

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