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TAREA 3- ESPACIOS VECTORIALES

Por: HENRY GEOVANY ROJAS ARÉVALO

ALGEBRA LINEAL Grupo 208046_11

Tutor: JOHN ALBEIRO MARTINEZ

Ing. INDUSTRIAL

Centro Comunitario de Atención Virtual CCAV Zipaquirá-Zona Centro Bogotá Cundinamarca (ZCBC)

Colombia, Zipaquirá

Mayo de 2019

INTRODUCCIÓN

Mediante la aplicación de conceptos matemáticos de espacios vectoriales, que es propia de los vectores y es aplicable a las matrices, a los polinomios y a las funciones y permite identificar matrices como vectores y con los cuales se espera dar herramientas básicas para enfrentar distintos problemas de aplicación, dentro de la matemática y fuera de ella. Adicionalmente, el carácter teórico del curso nos permite desarrollar habilidades de razonamiento matemático, facilitando la activación del proceso de aprendizaje a través de espacios en los que éste puede involucrar tanto sus conocimientos previos como los nuevos.

Ejercicio 1: Conceptualización de Espacios vectoriales Descripción del ejercicio 1: Los estudiantes del grupo colaborativo deben seleccionar 1 tema con las definiciones, imágenes y conceptos necesarios se debe elaborar un MAPA MENTAL en la herramienta GoConq (https://www.goconqr.com/es/). Tema seleccionado: b) Propiedad de la cerradura

Ejercicio 2. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales Descripción del ejercicio 2 a) U = ; α = 8; β = 3 que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 8 denominado Ley distributiva; siendo α y β variables escalares.

(α + β)𝑥 = α𝑥 + β𝑥 (8 + 3)(3𝑥 + 4𝑦 = 8(3𝑥 + 4𝑦) + 3(3𝑥 + 4𝑦) 24𝑥 + 9𝑥 + 32𝑦 + 12𝑦 = 24𝑥 + 32𝑦 + 9𝑥 + 12𝑦 b) U = ; W = ; V= vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 1 denominado Ley de la cerradura; siendo que V es el vector resultante de la suma de vectores.

〈3,4,10〉 + 〈8,5,6〉 = 〈11,9,16〉 〈3 + 8,4 + 5,10 + 6〉 = 〈11,9,16〉 〈11,9,16〉 = 〈11,9,16〉 Ejercicio 3. Demostraciones matemáticas a partir del uso de conjuntos generadores y combinación lineal. Descripción del ejercicio 3 a) El vector U pertenece al espacio vectorial V. Demuestre que el subconjunto de vectores S es un conjunto generador de R3

3 2 9 126 𝑎 (5) + 𝑏 (4) + 𝑐 (8) = (253) → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 6 180 7 7

𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 3𝑎 + 2𝑏 + 9𝑐 = 126 5𝑎 + 4𝑏 + 8𝑐 = 153 7𝑎 + 6𝑏 + 7𝑐 = 180 3 (5 7

2 4 6

3 2 ( 0 2⁄3 7 6 3 (0 0

3 (0 0

9 126 5 8|153) → 𝑅2 − ( . 𝑅1) 3 7 180 9 126 7 −7|−57) → 𝑅3 − ( . 𝑅1) 3 7 180

2 9 126 2⁄3 −7 | −57 ) → 𝑅3 − (2. 𝑅1) 4⁄3 −14 −114

2 9 126 ⁄ 2 3 −7|−57)} 0 0 0

→ 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑒𝑛 “c”, S no es sistema general de R3.

2 𝑑𝑒𝑡 = 3. . 0 = 0 → 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 3

b) Encontrar los valores de m y n que garanticen que la matriz U sea una combinación lineal de las matrices A y B. Justificar la respuesta.

4 6 𝑢 = 𝑚 (10 2 3 7 4𝑚 𝑢 = (10𝑚 3𝑚

6𝑚 2𝑚 7𝑚

4𝑚 + 4𝑛 𝑢 = (10𝑚 + 7𝑛 3𝑚 + 9𝑛

7 4 23 8) + 𝑛 (7 15 9 9 12 7𝑚 4𝑛 8𝑚) + 𝑛 (7𝑛 9𝑚 9𝑛 6𝑚 + 23𝑛 2𝑚 + 15𝑛 7𝑚 + 12𝑛

11 6) 8

23𝑛 15𝑛 12𝑛

11𝑛 6𝑛 ) 8𝑛

7𝑚 + 11𝑛 8𝑚 + 6𝑛 ) 9𝑚 + 8𝑛

4𝑚 + 4𝑛 = 200. (−10) 10𝑚 + 7𝑛 = 395. (4)

40𝑚 − 40𝑛 = −2000 40𝑚 + 28𝑛 = 1580 −12𝑛 = −420 𝑛=

−420 12

𝑛 = 35 4𝑚 + 4(35) = 200 4𝑚 + 140 = 200 4𝑚 = 200 − 140 𝑚=

60 4

𝑚 = 15 4(15) + 4(35) 6(15) + 23(35) 7(15) + 11(35) 𝑢 = (10(15) + 7(35) 2(15) + 15(35) 8(15) + 6(35) ) 3(15) + 9(35) 7(15) + 12(35) 9(15) + 8(35)

200 895 490 𝑢 = (395 555 330) 360 525 415 200 895 490 200 895 (395 555 330) = (395 555 360 525 415 360 525

490 330) 415

Ejercicio 4 Demostraciones matemáticas a partir del uso de rango de una matriz, dependencia e independencia lineal. Descripción del ejercicio 4 X = < 1,3,5 >; Y = < 2,4,5>; Z= Agrupe estos tres vectores de un espacio vectorial, en una matriz y calcule: a) El determinante y concluya si hay dependencia o independencia lineal.

𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑡 = 0 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑡 ≠ 0 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑠𝑎𝑟𝑟𝑢𝑠 1 3 (2 4 1 0

1× 3× 5 5 2× 4× 5 ) 5 → 1× 0× 2 1× 3× 5 2 2× 4× 5

𝑑𝑒𝑡 = (1.4.2) + (2.0.5) + (1.3.5) − ((2.3.2) + (1.0.5) + (1.4.5)) 𝑑𝑒𝑡 = 8 + 0 + 15 − (12 + 0 + 20) 𝑑𝑒𝑡 = 23 − 32 𝑑𝑒𝑡 = −9 →≠ 0 → 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 b) Halle el rango de la matriz e interprete la dependencia e independencia

El rango de la matriz es 3, porque el determinante es diferente a cero, lo que quiere decir que todas las terminales son independientes lineales.

c) Plantee el sistema de ecuaciones necesario para respaldar la misma conclusión del numeral (a), usando el método de Gauss Jordán.

1 [2 1

3 4 0

5 5] 2

𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 0 2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 0 } 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1𝑥 + 2𝑧 = 0 1 [2 1

3 4 0

5 5] → 𝑅2 − (𝑅1.2) 2

1 [0 1

3 5 −2 −5] → 𝑅3 − 𝑅1 0 2

1 3 5 −3 [0 −2 −5] → 𝑅3 − (𝑅2. ) −2 0 −3 −3 1 3 5 [0 −2 −5] → 𝑑𝑒𝑡 = 1. −2 − 4,5 = −9 0 0 4,5

Ejercicio 5 Demostraciones matemáticas a partir del uso de dependencia e independencia lineal Descripción del ejercicio 5 Determine gráficamente la dependencia de los siguientes vectores. a. V= (2,2,0). V2= (3,3,3). V3= (0,4,0).

𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑣2 + 𝑐. 𝑣3 = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 2 3 0 0 𝑎 (2) + 𝑏 (3) + 𝑐 (4) = (0) 0 3 0 0

2𝑎 + 3𝑏 =0 2𝑎 + 3𝑏 + 4𝑐 = 0 } 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 3𝑏 =0 2 [2 0

3 0 3 4] → 𝑅2 − 𝑅1 3 0

2 3 [0 0 0 3 2 [0 0

0 4] → 𝑅3 ⇔ −𝑅2 0

3 0 3 0 ] → 𝑑𝑒𝑡 = 2.3. −4 = −24 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 0 −4

b. V1= (8,-2, 6). V2= (0, 4, 1/2). V3= (2, 6, -10). V4= (4,1,2).

0 8 2 4 0 𝑎 (−2) + 𝑏 ( 4 ) + 𝑐 ( 6 ) + (1) = (0) → 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 1⁄2 6 −10 0 2

8𝑎 + 2𝑐 + 4𝑑 = 0 −2𝑎 + 4𝑏 + 6𝑐 + 𝑑 = 0 } 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 6𝑎 + 1⁄2 𝑏 − 10𝑐 + 2𝑑 = 0 8 [−2 6

8 [0 0

0 2 16 26 0 −20

0 2 4 6 1⁄2 −10

4 1 2

0 |0] → (𝑅2.4) + 𝑅1 0

8 [0 6

0 2 16 26 1⁄2 −10

4 8 2

0 |0] → (𝑅3 + 2) − 𝑅2 0

8 [0 0

0 16 2,5

4 8 0

0 |0] → 𝑅1. 𝑅3 0

4 8 0

2 26 −10

0 |0] → 𝑑𝑒𝑡 = 8.16. −20 = −2560 ≠ 0 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 0

CONCLUSIONES



La realización de este trabajo me permitió comprender temas de aplicación de conceptos matemáticos de espacios vectoriales, expresando soluciones a problemas básicos.



Se obtuvo herramientas básicas para enfrentar distintos problemas de aplicación, dentro de la matemática y fuera de ella.



El carácter teórico del curso me permitió desarrollar habilidades de razonamiento matemático, facilitando la activación del proceso de aprendizaje a través de espacios en los que puede involucrar mis conocimientos previos como los nuevos.

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