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• Samantha Sánchez Rodríguez

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ESPACIOS VECTORIALES

Castaño Ospina, Angy Carolina Cód. 1.116.251.030

Universidad Nacional Abierta y a Distancia. UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Álgebra Lineal Noviembre 2019

1. Infografía

2. Dado los vectores 𝑢 = (4,0 − 3) y 𝑣 = (0,2,5), calcular: a. 𝑢 + 𝑣 4 0 4 [ 0 ] + [2] = [2] −3 5 2

b. 𝑢 − 𝑣 4 0 4 [ 0 ] − [2] = [−2] −3 5 −8

c. 2𝑢 +

1 𝑣 3

0 8 2 2 4 8 1 0 2 [ 0 ] + [2] = [ 0 ] + 3 = 3 3 13 5 −3 5 −6 [− 3 ] [3]

Conjunto Generador y Dependencia Lineal. Determine si el conjunto S genera a 𝑅 3 : 𝑆 = {(4,7,3), (−1,2,6), (2, −3,5)} 𝑆 = {(4,7,3), (−1,2,6), (2, −3,5)} 𝑆 = 𝑔𝑒𝑛{𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∈ 𝑅 3 : 𝑦 = 0 𝑆 = 𝑘1 (4,7,3) + 𝑘2 (−1,2,6) + 𝑘3 (2, −3,5) 𝑆 = (4𝑘1 , 7𝑘1 , 3𝑘1 ) + 𝑘2 (−1𝑘2 , 2𝑘2 , 6𝑘2 ) + 𝑘3 (2𝑘3 , −3𝑘3 , 5𝑘3 ) 𝑆 = 4𝑘1 − 𝑘2 + 2𝑘3 7𝑘1 + 2𝑘2 — 3𝑘3 3𝑘1 + 6𝑘2 + 5𝑘3 4 −1 2 𝑥 −3𝑓 + 4𝑓 → 𝑓 1 3 3 (7 2 3|𝑦) 1/4𝑓1 → 𝑓1 3 6 5𝑧 1 −1/4 (7 2 0 27

1/2 1/4𝑥 ) − 𝑓2 + 7𝑓1 → 𝑓2 𝑦 3 | 14 −3𝑥 + 4𝑧

1 (0 0

−1/4 1/2 1/4𝑥 −15/4 1/2| 7 − 𝑦 ) 4/15𝑓2 → 𝑓2 4𝑥 27 14 −3𝑥 + 4𝑧

1 (0 0

1/4𝑥 −1/4 1/2 7 4 27𝑓2 + 𝑓3 → 𝑓3 ) −1 2/15| 𝑥 − −𝑓2 → 𝑓2 15 15𝑦 27 14 −3𝑥 + 4𝑧

1 1 −4 0

1

(0

0

1 1/4𝑥 2 7 4 27𝑓2 + 𝑓3 → 𝑓3 2| − 15 𝑥 + 15𝑦 −𝑓2 → 𝑓2 15| 88 48 − 36 𝑦 + 4𝑧 5 ) 5 5𝑥

48 36 88 𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 5 5 5 El sistema tiene una única solución. b. Determine si el conjunto 𝑆 = {(−2,4), (1, −2)} 𝑆: 𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 = 0 𝑐1 (−2,4) + 𝑐2 (1, −2) = 0 −2𝑐1 + 𝑐2 = 0 4𝑐1 − 2𝑐2 = 0

(

−2 1 0 | ) − 4𝑓1 + 2𝑓2 → 𝑓2 4 −2 0

(

1 −2 1 0 | ) − 𝑓1 0 00 2

(1 0

1 − 2|0) 0 0

1 𝑐1 − 𝑐2 = 0 2 𝑐1 =

1 𝑐 2 2

Son dependientes. Dada la Matriz: −1 2 3 0 ( 2 3 −2 3 4 1 1 0

7 2𝑓 + 𝑓 → 𝑓 1 2 2 0) 4𝑓1 + 𝑓3 → 𝑓3 −3

−1 2 3 (0 7 4 0 9 13

7 1/2𝑓 → 𝑓 2 2 14) −𝑓1 → 𝑓1 4

1 (0 0

−2 −3 4 1 7 9 13

0 3 0

0 −7 3 2 ) − 9𝑓2 + 𝑓3 → 𝑓3 7 0 4

1 −2 −3 0 −7 4 3 0 1 2 − 9𝑓2 + 𝑓3 → 𝑓3 7 7 55 27 0 0 − 7 ( 7 7 ) 1 −2 −3 0 −7 4 3 0 1 2 7/55𝑓3 → 𝑓3 7 7 55 27 0 0 − 7 ( 7 7 ) 1 −2 −3 4 0 1 7 (

0

0

Ran(A) = 3

1

0 −7 3 2 7 27 49 − 55 55 )

Rango con Determinantes −1 2 3 0 ( 2 3 −2 3 4 1 1 0

7 0) −3

−1 2 D=| | = −7 ≠ 0, 𝑅 ≥ 2 2 3 1 D = |2 4

2 3 3 −2| = −55 ≠ 0, 𝑅 > 3 1 1

Dependencia Lineal 𝑐1 − 2𝑐2 + 3𝑐3 + 7𝑐4 = 0 4 3 𝑐2 + 𝑐3 + 𝑐4 + 2𝑐5 = 0 7 7 𝑐3 −

27 49 𝑐4 + 𝑐 =0 55 55 5

Son dependientes. 5. Demostrar ‖𝑢 ⃗ 𝑥𝑣‖ = ‖𝑢 ⃗ ‖‖𝑣‖𝑆𝑖𝑛𝜃 ‖𝑢 ⃗ 𝑥𝑣‖2 = ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 𝑆𝑖𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃 =

𝑢 ⃗ .𝑣 →𝑢 ⃗ . 𝑣 = ‖𝑢 ⃗ 𝑥𝑣‖𝐶𝑜𝑠𝜃 ‖𝑢 ⃗ 𝑥𝑣‖

‖𝑢 ⃗ 𝑥𝑣‖2 = ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 − (‖𝑢 ⃗ ||||𝑣‖𝐶𝑜𝑠𝜃)2 ‖𝑢 ⃗ 𝑥𝑣‖2 = ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 − ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 ‖𝑢 ⃗ 𝑥𝑣‖2 = ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 (1 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃) √‖𝑢 ⃗ 𝑥𝑣 ‖2 = √‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 𝑆𝑖𝑛𝜃 ‖𝑢 ⃗ 𝑥𝑣‖ = ‖𝑢 ⃗ ‖‖𝑣‖𝑆𝑖𝑛𝜃