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• Luz Victoria Mora

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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Entregado por: Pacifico Silvara Triana Código: Deivi Jose Maria Ortiz - Código: 73194220 Wilson Albeiro González - Código: Fabio Mauricio Gutierrez - Código: 7063150 Andrés Salamanca - Código: 1072664934

Grupo:100412_17

Presentado a: Ramiro Peña Rodriguez Tutor

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA 23 MARZO 2020

INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales no son únicamente de orden lineal. Es aquí necesario adentrarse en problemas de mayor complejidad, en donde las ecuaciones de primer orden no son capaces de modelar ciertos problemas. Las ecuaciones de orden superior se resuelven por otros métodos, y aquí exploramos las propiedades y el modo a seguir para obtener las soluciones tanto general como específica, dependiendo del caso. Se desarrollan aquí 3 tipos de ejercicios. Uno en donde se investiga las ecuaciones diferenciales no homogéneas. Otro en donde se indaga sobre las ecuaciones diferenciales no homogéneas y un último en donde se desarrollan ejercicios de tipo Cauchy Euler. Adicional a ello se debe realizar una explicación sobre algún desarrollo, el cual es asignado por el tutor del curso.

OBJETIVOS General: tener los conceptos claros para poder resolver los problemas que se planteen durante el curso sobre ecuaciones diferenciales de orden superior Específicos: -

Desarrollar los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de orden superior

-

Conocer y aplicar los conceptos en el desarrollo de las ecuaciones lineales de segundo orden

-

Tener el conocimiento para desarrollar las ecuaciones diferenciales de orden n

-

Obtener habilidades en el desarrollo de ecuaciones de orden superior, y así mismo implementar la aplicación de diferentes métodos para la solución de ecuaciones diferenciales de este tipo.

-

Practicar los conocimientos adquiridos por medio de la búsqueda de posibles soluciones al problema planteado en específico en ecuaciones homogéneas y no homogéneas.

-

Aplicar los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales de orden superior, dirigidos a la construcción de un conocimiento de manera autónoma con el fin de dar solución a problemas relacionados con las diferentes áreas del conocimiento.

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante Deivi José María Ortiz

Rol a desarrollar Alertas

Pacifico Silvara Triana

Revisor

Wilson Albeiro González

Evaluador

Andrés Salamanca

Compilador

Fabio Mauricio Gutiérrez

Entregas

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios Desarrollo el ejercicio e en todos los 3 Tipo de ejercicios.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3. TIPO DE EJERCICIOS 1 –ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Deivi Jose Maria Ortiz Ejercicio A 20y ´´´ − 80y´´ − 100y´ = 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA 20y ´´´ − 80y´´ − 100y ´ = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ecuación diferencial homogénea original

𝑒 𝑦𝑥 (20𝑦 3 − 80𝑦 2 − 100𝑦) = 0

Luego proponemos la solución 𝑦 = 𝑒 𝑦𝑥 , entonces, la ecuación diferencial seria:

20𝑦 3 − 80𝑦 2 − 100𝑦 = 0

Ya que 𝑒 𝑦𝑥 ≠ 0, resolveremos la ecuación cuadrática

20𝑦(𝑦 2 − 4𝑦 − 5) = 0

Sacamos factor común

20𝑦(𝑦 + 1)(𝑦 − 5) = 0

Realizamos factorización

𝑦=0

Ahora determinamos el valor que tomara 𝑦

𝑦 + 1 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = −1

Utilizamos el principio de la multiplicación por 0

𝑦 − 5 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 5 𝑦1 = 0,

𝑦2 = −1,

𝑦3 = 5

Respuesta: 𝒚 = 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 𝒆−𝒙 + 𝒄𝟑 𝒆𝟓𝒙

Los valores de las raíces son

Por lo tanto, la solución final tiene como fórmula general 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑦1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑦2𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑒 𝑦𝑛𝑥

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Pacifico Silvara Triana 𝑏.

15 ´´ y 6

− 10y´ +

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

25 6

y=0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Multiplicamos la ecuación por 3𝑦´´ − 12𝑦´ + 5𝑦 = 0

6 5

𝑦 = 𝑒 𝜆𝑥 ; 𝑦´ = 𝜆𝑒 𝜆𝑥 ; 𝑦´´ = 𝜆𝑒 𝜆𝑥

Sabiendo que la solución general es de la forma: 𝑦 = 𝑒 𝜆𝑥 se realiza la siguiente sustitución:

Como: 𝑒 𝜆𝑥 ǂ 0

Entonces:

3𝜆2 − 12𝜆 + 5 = 0

3𝜆2 𝑒 𝜆𝑥 − 12𝜆𝑒 𝜆𝑥 + 5𝑒 𝜆𝑥 = 0 Así: 𝑦 = 𝐶1 𝑒

√21 )𝑥 3

(2−

+ 𝐶2 𝑒

√21 )𝑥 3

(2+

Calculando las raíces: 𝜆1 = 2

√21 3

; 𝜆2 = 2 +

√21 3

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Wilson Albeiro Gonzalez

𝑐. 2 y´´ + 6y´ − 176y = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA 2𝑚2 + 6𝑚 − 176 = 0 𝑚1 = −11

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ecuación característica Raíces de la ecuación característica

𝑚2 = 8 𝑐1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑚2 𝑥 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −11𝑥 + 𝑐2 𝑒 8𝑥

Según las raíces se obtiene el modelo Solución de la ecuación diferencial

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:Andres Salamanca

d.

2 3

y´´´ −

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA Y= 𝒆𝒂𝒃

2 3

a3 −

10 3

𝑎2 + 2a + 6

(𝑥 + 1)

2 = a2 − 4𝑎 + 6 3 2

4 ± √42 − 4 ∗ 3 ∗ 6 2

2∗3

=3

+ 2y´ + 6y = 0 RAZÓN O EXPLICACIÓN

-

Y′ = a ∗ eab Y′′ = 𝑎2 ∗ eab Y′′′ = 𝑎3 ∗ eab 2 3 10 2 a − 𝑎 + 2a + 6 = 0 3 3 𝑎 = −1

10 ´´ y 3

-

-

La ecuación se resolverá mediante el coeficiente constante ya que la solución es a las derivadas. Utilizamos las derivadas y sustituimos las contantes en la ecuación principal

Hacemos la división de polinomios (x+1) Sacamos las raíces la raiz -1= 𝑦 = 𝑒 −𝑥 y a su vez tiene una raíz doble en 3, en el momento que la ecuación auxiliar tenga una raíz doble del valor de t.

Respuesta: 𝑌 (𝑥 ) = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2𝑒 2𝑥 + 𝑥𝑐3 𝑒 2𝑥

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: FABIO MAURICIO GUTIERREZ 𝑒.

2 ´´ y − 4y´ + 10y = 0; si y(0) = 1, 5

y(1) = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝒚 = 𝒆𝒗𝒕

Primero que todo, es observar que es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes y sustituimos “𝒚 = 𝒆𝒗𝒕 para la ecuación característica

2 𝑣𝑡 ′′ (𝑒 ) − 4(𝑒 𝑣𝑡 )′ + 10(𝑒 𝑣𝑡 ) = 0 5

2 2 𝑣𝑡 ′′ (𝑣 𝑒 ) − 4(𝑣𝑒 𝑣𝑡 )′ + 10(𝑒 𝑣𝑡 ) = 0 5

Obtenemos la ecuación característica de la función

2 𝑒 𝑣𝑡 [ 𝑣 2 − 4𝑣 + 10] = 0 5

Sacamos factor común para dejar la expresión cuadrática

2 2 𝑣 − 4𝑣 + 10 = 0 5

Con esta expresión cuadrática, multiplicamos por 5 para eliminar fraccionarios

2𝑣 2 − 20𝑣 + 50 = 0 𝑣= 𝑣=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Usamos la ecuación cuadrática para calcular el valor de 𝑣

−(−20) ± √(−20)2 − 4(2)(50) 2(2) 𝑣=

20 ± √0 4

𝑣=5 𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑣𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒 𝑣𝑡

Ecuación general

𝑦 = 𝐶1𝑒 5𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒 5𝑡

Reemplazamos 𝑣 = 5

Con t=0

Aplicamos la condición inicial y(0)=1 y y(1)=0 𝑦(0) = 𝐶1𝑒 5(0) + 𝐶2(0)𝑒 5(0) 1 = 𝐶1 + 0

𝐶1 = 1

Con t=1 𝑦(1) = 𝐶1𝑒 5(1) + 𝐶2(1)𝑒 5∗(1) 0 = 𝐶1𝑒 5 + 𝐶2𝑒 5 ; 𝐶2 = −1 𝑦 = (1)𝑒 5𝑡 + (−1)𝑡𝑒 5𝑡

Reemplazamos C1 Y C2 en la ecuación

𝑦 = 𝑒 5𝑡 − 𝑡𝑒 5𝑡

EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Deivi Jose Maria Ortiz Ejercicio A 𝑦 ´´ + 9𝑦 = sec 𝑥 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

a.

𝑦 ´´ + 9𝑦 = sec 𝑥

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Una EDO lineal, no homogénea de segundo orden tiene la siguiente forma 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 Solución general para 𝑎(𝑥 )𝑦 ′′ + 𝑏(𝑥 )𝑦 ′ + 𝑦ℎ Es la solución para la EDO 𝑐 (𝑥 )𝑦 = 𝑔(𝑥) se puede escribir como homogénea 𝑎(𝑥 )𝑦 ′′ + 𝑏(𝑥 )𝑦 ′ + 𝑐 (𝑥 )𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑦𝑝 Es la solución particular, es cualquier función que satisface la ecuación no homogénea 𝑦 = 𝑐1 cos(3𝑥 ) + 𝑐2 sin (3𝑥) sin(3𝑥 ) sec(𝑥 ) 𝑑𝑧 3 + sin(3𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)sec (𝑥) ∗∫ 𝑑𝑥 3

𝑦𝑝 = cos(3𝑥 ) ∗ ∫ −

𝑦 = 𝑐1 cos(3𝑥 ) + 𝑐2 sin(3𝑥 ) + cos(3𝑥 ) sin(3𝑥 ) sec(𝑥 ) ∗∫− 𝑑𝑥 3 + sin(3𝑥 ) cos (3𝑥)sec (𝑥) ∗∫ 𝑑𝑥 3

Hallar 𝑦ℎ resolviendo 𝑦 ′′ + 9𝑦 = 0 Encontrar 𝑦𝑝 que satisfaga 𝑦 ′′ + 9𝑦 = sec (𝑥)

La solución general de 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 es:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Pacifico Silvara Triana

𝑏.

3 ´´ 9 ´ 𝑦 + 𝑦 + 3𝑦 = sin 𝑒 𝑥 2 2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 2

RAZÓN O EXPLICACIÓN 2

𝑦´´ + 3𝑦´ + 2𝑦 = 3 sin 𝑒 𝑥

Multiplicando la expresión por 3 se obtiene:

𝑦´´ + 3𝑦´ + 2𝑦 = 0 sabiendo que 𝑦 = 𝑒 𝜆𝑥

Calculamos la solución fundamental para:

𝜆2 𝑒 𝜆𝑥 + 3𝜆𝑒 𝜆𝑥 + 2𝑒 𝜆𝑥 = 0 𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0 𝜆1 = −1 ; 𝜆2 = −2

𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 −𝑥 𝑒 −2𝑥 | 𝑤(𝑒 −𝑥 , 𝑒 −2𝑥 ) = | 𝑒 −𝑥 −𝑒 −2𝑒 −2𝑥 = −2𝑒 −𝑥 𝑒 −2𝑥 + 𝑒 −2𝑥 𝑒 −𝑥 = −𝑒 −3𝑥

La solución fundamental es: Con el fin de encontrar la solución particular 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 , se deben calcular 𝑢1 (𝑥 )𝑦 𝑢2 (𝑥 ) para la ecuación original, empleando el wronskiano.

Entonces: 𝑢1 (𝑥 ) = ∫ − 2

2𝑒 −2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑒 𝑥 −3𝑒 −3𝑥 2

𝑑𝑥 =

∫ 3 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = − 3 𝑐𝑜𝑠𝑒 𝑥 + 𝑘1 Para 𝑢2 (𝑥 ) tenemos que: 2𝑒 −𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑒 𝑥 𝑢2 (𝑥 ) = ∫ 𝑑𝑥 −3𝑒 −3𝑥 2 = − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑒 𝑥 𝑑𝑥 3

𝑢=𝑧 | 𝑑𝑢 = 𝑑𝑧

𝑑𝑣 = −𝑠𝑖𝑛𝑧𝑑𝑧 | 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑧

Sustituyendo 𝑧 = 𝑒 𝑥 , 𝑑𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 y utilizando el método de integración por partes:

2

2

𝑢2 (𝑥 ) = − 3 ∫ 𝑧𝑠𝑖𝑛𝑧𝑑𝑧 = − 3 [𝑧𝑐𝑜𝑠𝑧 − 2

∫ −𝑧𝑐𝑜𝑠𝑧𝑑𝑧] = − 3 (−𝑧𝑐𝑜𝑠𝑧 + 𝑠𝑖𝑛𝑧) Como 𝑧 = 𝑒 𝑥 : 2 𝑢2 (𝑥 ) = (𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑒 𝑥 ) + 𝑘2 3 La solución particular a la ecuación es: 2

2

𝑦 = (− 3 𝑐𝑜𝑠𝑒 𝑥 + 𝑘1 ) 𝑒 −𝑥 + [3 (𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑒 𝑥 ) + 𝑘2 ] 𝑒 −2𝑥

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Wilson Albeiro Gonzalez

5 5 5 𝑐. 𝑦 ´´ + 𝑦 ´ − 𝑦 = 14𝑥 2 − 4𝑥 − 11 3 2 3 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 5 ´´ 5 ´ 5 𝑦 + 𝑦 − 𝑦=0 3 2 3

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ecuación característica de la solución homogénea

5 2 5 5 𝑚 + 𝑚− =0 3 2 3 𝑚1 = −2 𝑚2 =

Raíces de la ecuación característica homogénea

1 2

𝑦ℎ = 𝑐1𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝑐2𝑒 𝑚2 𝑥 𝑥

𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 2

Según las raíces se obtiene el modelo Solución homogénea

5 5 5 (2𝑎) + (2𝑎𝑥 + 𝑏) − (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 3 2 3 + 𝑐𝑥) = 14𝑥 2 − 4𝑥 − 11

Polinomio de grado 2:

5 5 5 10 − 𝑎𝑥 2 + (5𝑎 − 𝑏 − 𝑐) 𝑥 + 𝑎 3 3 3 3 5 + 𝑏 2

𝑦𝑝′ = 2𝑎1 𝑥 + 𝑎2

5 − 𝑎1 = 14 3

Raíces de la ecuación característica particular

𝑎1 = −

10 5 𝑎1 + 𝑎2 = −11 3 2

𝑎2 =

5 5 5𝑎1 − 𝑎2 − 𝑎3 = −4 3 3 148 =− 5

𝑦𝑝 = −

42 5

𝑥

−

148 5

Derivadas del polinomio

𝑦𝑝′′ = 2𝑎1 Ecuación característica de la solución particular

34 5

𝑎3

42 2 34 148 𝑥 + 𝑥− 5 5 5

𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 2 −

𝑦𝑝 = 𝑎1 𝑥 2 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥

42 2 34 𝑥 + 𝑥 5 5

Según las raíces se obtiene la solución particular Solución de la ecuación diferencial general

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Andres Salamanca Herrera 2 20 ´ 50 𝑑. 𝑦 ´´ − 𝑦 + 𝑦 = 20𝑥 + 2 3 3 3 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

2 ´´ 20 ´ 50 𝑦 − 𝑦 + 𝑦=0 3 3 3

Para la solución de la operación lo primero que debemos hacer es resolver la ecuación diferencial homogénea. Aplicamos coeficientes constantes que anteriormente se habían realizado en función de a.

2 20 50 a^2 − a + =0 3 3 3 20

𝑎=

3

20 2

2

± √( 3 ) − 4 ∗ 3 ∗

-

Solucionamos la raíz encontrar el resultado

-

En la segunda parte de la ecuación mediante coeficientes indeterminados, se define cuales derivamos a hasta poder igualar en función de y mientras la otra parte de la ecuación. La segunda derivada de a se elimina porque es igual a 0 y aplicamos propiedad distributiva para Ym, resolvemos y despejamos las incógnitas

50 3

2

2∗3 𝑎=5

Resultado: 𝑦𝑛 = 𝑐1𝑒 5𝑥 + 𝑐1 𝑥𝑒 5𝑥 𝑦𝑚 = 𝐴𝑥 + 𝑏 𝑦′ = 𝐴 𝑦 ′′ = 0 3 20 50 𝐴′′ − 𝐴+ (𝐴𝑥 + 𝑏) = 20𝑥 + 2 2 3 3 −

20 50 50 𝐴+ 𝐴𝑥 + 𝑏 = 20𝑥 + 2 3 3 3

20 =

50 𝐴 3

Despejamos A 6 5 50 20 6 2= 𝑏− ∗ 3 3 5 50 2= 𝑏−8 3 50 10 = 𝑏 3 𝐴=

𝐵=

3 5

Respuesta: 6 3 𝑦 = 𝑐1 𝑒5𝑥 + 𝑐1 𝑥𝑒5𝑥 + 𝑥 + 5 5

En la solución del problema se tiene en cuenta que la ecuación diferencial no homogénea el resultado es 𝒚 = 𝒚𝒏 + 𝒚𝒎

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: FABIO MAURICIO GUTIERREZ 𝑒. 𝑦 ´´ − 𝑦 ´ + 𝑦 = 2 sin 3𝑥

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝒎𝟐 − 𝒎 + 𝟏 = 𝟎

=> 𝒎 =

𝑚=

𝟏 ± √(−𝟏)𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟏) 𝟐(𝟏)

1 ± √3 𝑖 ∴ √−1 = 𝑖 2

1

𝑦𝑐 = 𝑒 2𝑥 (𝐶1 cos 𝑦𝑝 = =

√3 √3 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 2 2

2𝑠𝑒𝑛3𝑥 2𝑠𝑒𝑛3𝑥 = − 𝐷 + 1 −(32 ) − 𝐷 + 1

RAZÓN O EXPLICACIÓN

La ecuación auxiliar es: Realizamos la ecuación cuadrática

Encontramos los valores de m Entonces la solución de la parte homogénea es:

La integral particular es:

𝐷2

2𝑠𝑒𝑛3𝑥 −𝐷 − 8

=

−2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 (𝐷 + 8)

Racionalizando tenemos:

−2(𝐷 − 8) 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 𝐷 2 − 64 −2(3𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 16𝑠𝑒𝑛3𝑥) = −73 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 1

√3 √3 𝑥 ) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥) 2 2 1 + (6 cos(3𝑥 ) 73 + 32𝑠𝑒𝑛(3𝑥 ))

= 𝑒 2𝑥 (𝐶1𝐶𝑜𝑠 (

La solución general es:

EJERCICIOS 3 - ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER. De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Deivi Jose Maria Ortiz Ejercicios A 2 3 ´´´ 8 2 ´´ 4 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 − 𝑦=0 7 7 7 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 2 3 ´´´ 8 2 ´´ 4 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 − 𝑦=0 7 7 7

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Una EDO lineal, ecuación de cauchy tiene la siguiente forma 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 (𝑛) + ⋯ + 𝑎1 𝑥𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 0

Para una ecuación 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 (𝑛) + ⋯ + 𝑎1 𝑥𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 0, asumir una solución de la forma 𝑥 𝑦 2 3 8 4 ′′′ ′′ 𝑥 (( 𝑥 𝑦 ) ) + 𝑥 2 (( 𝑥 𝑦 ) ) − 𝑥 𝑦 = 0 7 7 7 2(𝑦 3 + 𝑦 2 − 2𝑦 − 2) 𝑥𝑦 ( )=0 7

2(𝑦 3 +𝑦 2−2𝑦−2)

𝑥𝑦 (

) = 0 donde 𝑟 = −1, 𝑟 =

7

Reescribir la ecuación con 𝑦 = 𝑥 𝑦 Simplificamos

Resolvemos de la siguiente manera

√2, 𝑟 = −√2

𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑦1 + 𝑐2 𝑥 𝑦2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑦𝑛 𝑐1 𝑥 −1 + 𝑐2 𝑥 √2 + 𝑐3𝑥 −√2

𝑦=

𝑐1 𝑐3 + 𝑐2𝑥 √2 + 𝑥 𝑥 √2

Para las raíces reales no repetidas r1, r2,…rn, la solución general toma la forma:

Simplificamos

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Pacifico Silvara Triana

𝑏.

1 2

3

𝑥 3 𝑦 ´´´ − 2 𝑥 2 𝑦 ´´ + 3𝑥𝑦 ´ − 3𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑥 3 𝑦´´´ − 3𝑥 2 𝑦´´+6xy´-6y=0

Multiplicamos la ecuación por 2:

𝑦 = 𝑥 𝑛 ; 𝑦´ = 𝑛𝑥 𝑛−1 ; 𝑦´´ = 𝑛(𝑛 − 1)𝑥 𝑛−2 ; 𝑦´´´ = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝑥 𝑛−3 =

Haciendo la sustitución:

𝑥 3 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝑥 𝑛−3 − 3𝑥 2 𝑛(𝑛 − 1)𝑥 𝑛−2 + 6𝑥𝑛𝑥 𝑛−1 − 6𝑥 𝑛 = 0 𝑥 𝑛 [𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) − 3𝑛(𝑛 − 1) + 6𝑛 − 6] =0 𝑛3 3𝑛2 + 2𝑛 − 3𝑛2 + 3𝑛 + 6𝑛 − 6 = 0 𝑛3 − 6𝑛2 + 11𝑛 − 6 = 0 𝜆3 − 6𝜆2 + 11𝜆 − 6 = 0

Calculamos las raíces de:

𝜆1 = 1 ; 𝜆2 = 2 ; 𝜆3 = 3

La solución fundamental es: 𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 3

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Wilson Albeiro Gonzalez

3

15

2

2

𝑐. 𝑥2 𝑦´´ +

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 3 2

𝑥2 (𝑎 (𝑎 − 1)𝑥 𝑎−2 ) +

15

2 + 6𝑥 𝑎 = 0

𝑥(𝑎𝑥 𝑎−1 )

𝑥𝑦´ + 6𝑦 = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ecuación característica del método de Cauchy

3 15 (𝑎(𝑎 − 1)𝑥𝑎 ) + (𝑎𝑥𝑎 ) + 6𝑥𝑎 = 0 2 2

Simplificando

3 15 𝑥 𝑎 ( 𝑎(𝑎 − 1) + 𝑎 + 6) = 0 2 2 3 𝑥 𝑎 ( 𝑎2 + 6𝑎 + 6) = 0 2 3 2 𝑎 + 6𝑎 + 6 = 0 2

Ecuación característica simplificada

𝑎1 = −2

Valor de a

𝑦 = 𝑐1 𝑥 −2 + 𝑐2 ln(𝑥) 𝑥 −2

Solución de la ecuación diferencial

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Andres Salamanca Herrera

𝒅. 𝑥2 𝑦´´ + 𝑥𝑦´ − 𝑦 = ln 𝑥 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝑥 2 𝑦 ´´ + 𝑥𝑦 ´ − 𝑦 = ln 𝑥

𝑥2

RAZÓN O EXPLICACIÓN

-

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 −𝑥 + 𝑦 = ln (𝑥) 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑒𝑡

-

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑡 𝑑𝑦 = = 𝑒 =𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑡 = ( ) = ( 𝑒 )= 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 Derivada del producto= [ [

𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑 ( )] 𝑒 𝑡 + ∗ ( 𝑒𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑡 𝑑𝑦 ( ) ]𝑒 + ∗ (𝑒 𝑡 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥

-

Para la solución planteamos la ECUACIÓN DE CAUCHY – EULER que tendrá la siguiente formula: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0 La ecuacion es no homogénea por medio de coeficientes constantes. Se deberá obtener las derivadas de y con respecto a t, luego que la ecuación general esta por la derivada de x. Iniciamos derivar dy con respecto a dt utlizando la regla de la cadena y luego aplicamos la misma regla a su segunda derivada con la derivada del producto

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 =𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2

𝑥2

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 − 𝑥 + 𝑦 = ln (𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

-

𝑑𝑦

Remplazamos en la ecuación 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 2 + 𝑥 = 𝑥 +𝑥 2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡

-

Vamos Sustituir en la ecuación los resultados obtenidos en la primera parte los cual nos dice que el logaritmo natural puede ser remplazado por t ya que 𝑥 = 𝑒 𝑡 ln(𝑥 ) = 𝑡 Podemos solucionar con la siguiente formula

𝑑 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑2𝑦 2 − =𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2

𝑦𝑝 = 𝐴𝑡 + 𝐵

(𝑦 ′′ − 𝑦 ′) − (𝑦 ′) + 𝑦 = 𝑡

𝑦′𝑝 = 𝐴

𝑦 ′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑡

𝑦′′𝑝 = 0 -

−2𝐴 − 𝐴𝑡 + 𝐵 = 𝑡 𝐴=1

-

−2𝐴 + 𝐵 = 0 −2(1) + 𝐵 = 0

𝐵=2

Debemos Igualar los coeficientes de las potencias de t e igualamos términos independientes. Luego vamos a sustituir en la ecuación inicial general. 𝑦𝑝 = 𝑡 + 2

El resultado al despejar: 𝑦 = ln(𝑥 ) + 2 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑦 = 𝑡 + 2 + 𝑐1 𝑒 𝑡 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑡 Se debe despejar en cuestión de x 𝑦 = ln(𝑥 ) + 2 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2𝑥𝑙𝑛𝑥

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: FABIO MAURICIO GUTIERREZ 𝑒.

1 2 ´´ 13 𝑥 𝑦 − 𝑥𝑦 ´ + 𝑦 = 4 + 3𝑥 3 3

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝟏

(𝟑 𝒙𝟐 𝑫𝟐 − 𝒙𝑫 +

𝟏𝟑 𝟑

𝑥 2 𝐷 2 = 𝜎(𝜎 − 1),

Realizamos el cambio de variable

) 𝒚 = 𝟒 + 𝟑𝒙 𝑥𝐷 = 0,

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑥 = 𝑒𝑧

Damos valores a las diferentes variables

1 13 𝜎(𝜎 − 1) − 𝜎 + =0 3 3 1 2 13 𝜎 −𝜎−𝜎+ =0 3 3

Ecuación auxiliar Ajustamos la ecuación para convertirla en cuadrática

1 2 13 𝜎 − 2𝜎 + =0 3 3 𝜎 2 − 6𝜎 + 13 = 0 𝜎=

6 ± √36 − 52 = 2

𝜎=

Utilizamos la fórmula cuadrática para hallar 𝜎

6 ± √−16 2

𝜎=

6 ± 4𝑖 2

𝜎 = 3 + 2𝑖 𝑦𝑐(𝑧) = 𝑒 3𝑧 (𝑐1𝑐𝑜𝑠2𝑧 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2𝑧)

Solución homogénea

𝑦𝑐(𝑥 ) = 𝑥 3 (𝑐1𝑐𝑜𝑠2(𝑙𝑛𝑥 ) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2(𝑙𝑛𝑥) 4 + 3𝑒 𝑧 4𝑒 0 + 3𝑒 2 𝑦𝑝(𝑧) = 2 = (𝐷 − 6𝐷 + 13 (𝐷 2 − 6𝐷 + 13) 𝑦𝑝(𝑧) =

4 3𝑒 𝑧 + (0 + 0 + 13) (1 − 6 + 13) 4 3𝑒 𝑧 = + 13 8 𝑦𝑝(𝑥 ) =

Solución partícular

Resolvemos la integral particular

4 3 + 𝑥 13 8

𝑦(𝑥 ) = 𝑦𝑐(𝑥 ) + 𝑦𝑝(𝑥) 𝑦(𝑥 ) = 𝑥 3 [𝑐1 cos(2(𝑙𝑛𝑥 )) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(2(𝑙𝑛𝑥 )] 3 4 + 𝑥+ 8 13

La solución completa es:

PASO 4 PRESENTACIÓN DE APORTES A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PLANTEADO EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 𝑚 es 𝜃 = 0,2 𝑟𝑎𝑑 y la velocidad angular inicial

𝑑𝜃 𝑑𝑡

=1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

+ 10𝜃 = 0: Si para 𝑡 = 0 ,

, Al determine 𝜃 en función de t para el

movimiento se tiene: a. 𝜃 (𝑡) = 0,5 cos √10𝑡 + b. 𝜃 (𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 + c. 𝜃 (𝑡) = 0,5 cos √10𝑡 − d. 𝜃 (𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 −

1 √10 1 √10 1 √10 1

sin √10𝑡 sin √10𝑡 sin √10𝑡

√10

sin √10𝑡

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA Ɵ = 𝑒 𝜆𝑥

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Sabiendo que la solución es de la forma:

𝜆2 + 10 = 0 𝜆 = ±√−10 = ±√10𝑖 Ɵ = 𝐶1 𝑠𝑖𝑛√10𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠√10𝑡 = solución general En 𝑡 = 0 , Ɵ = 0.2𝑟𝑎𝑑 0.2 = 𝐶1 𝑠𝑖𝑛√10(0) + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠√10𝑡0 0.2 = 𝐶2 𝑑Ɵ = √10𝐶1 𝑐𝑜𝑠√10𝑡 − √10𝐶2 𝑠𝑖𝑛√10𝑡 𝑑𝑡 Para: 𝑡 = 0 , Ɵ´ = 1𝑟𝑎𝑑/𝑠

Derivando: Ɵ

𝑑Ɵ = √10𝐶1 𝑐𝑜𝑠√10(0) 𝑑𝑡 − √10𝐶2 𝑠𝑖𝑛√10(0) = 1 Para: 𝑡 = 0 , Ɵ´ = 1𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑑Ɵ 𝑑𝑡

= √10𝐶1 𝑐𝑜𝑠√10(0) −

√10𝐶2 𝑠𝑖𝑛√10(0) = 1 𝐶1 =

1

entonces:

√10

𝑦 = 0.2𝑐𝑜𝑠√10𝑡 +

1 √10

𝑠𝑖𝑛√10𝑡

La solución al ejercicio es la opción b. Solución: Deivi Maria

Tomamos la EDO

𝜃′′ + 10𝜃 = 0

Escribimos La Ecuación Característica 10 = 0

Hallamos Los Ceros

𝑦2 +

𝑦 2 = −10 𝑦 = ±√−10 𝑦 = ±√10𝑖

Hallamos la solución general 𝐶1 cos(√10𝑡) + 𝐶2 sen(√10𝑡)

𝜃=

Hallamos La Derivada De Θ Respecto A “T” 𝑑𝜃 = −√10𝐶1 sen(√10𝑡) + √10𝐶2 cos(√10𝑡) 𝑑𝑡

Aplicamos Las Condiciones Iniciales

0,2 = 𝐶1 cos(√10(0)) + 𝐶2 sen(√10(0)) 1 𝐶1 = 5 1 = −√10𝐶1 sen(√10(0)) + √10𝐶2 cos(√10(0)) 1 𝐶2 = √10

Determinamos 𝜃 en función de t para el movimiento 𝜽 = 𝟎. 𝟐𝐜𝐨𝐬(√𝟏𝟎𝒕) +

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

+ 10𝜃 = 0

𝜃(𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 +

𝐬𝐞𝐧(√𝟏𝟎𝒕)

1 sin √10𝑡 √10

-

Realizamos la determinación de una ecuación diferencial para resolver la ecuación y aplicamos raíces.

-

Derivamos la ecuación de la velocidad angular y la derivada de la velocidad angular es igual a aceleración angular

-

Remplazamos los datos teniendo en cuenta la primera ecuación.

-

Tomando la ecuación de velocidad angular tendríamos que:

𝜃(𝑡) = 𝐶1𝑠𝑒𝑛(√10 𝑡) + 𝐶2 cos (√10 𝑡) velocidad angular 𝑑𝜃 = √10𝐶1𝑐𝑜𝑠(√10 𝑡) 𝑑𝑡 − √10𝐶2 𝑠𝑒𝑛 (√10 𝑡)

√𝟏𝟎

Solución Andrés Salamanca Herrera

𝑟 2 + 10 = 0 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 = ±√10

𝜃 ′(𝑡) =

𝟏

Aceleración angular 𝜃 ′ ′(𝑡) = 𝑑 2

𝜃 = −10𝐶1𝑠𝑒𝑛(√10 𝑡) 𝑑𝑡 2 − 10𝐶2 cos(√10 𝑡)

𝜃(0) = 𝐶1𝑠𝑒𝑛(√10 0) + 𝐶2 cos (√10 0) 𝜃° = 𝐶2

𝐶2 = 𝜃° 𝜃 ′(0) = √10𝐶1𝑐𝑜𝑠(√10 0) − √10𝐶2 𝑠𝑒𝑛 (√10 0) 𝜃′° = √10𝐶1 𝐶1 = 1/√10𝜃 ′(0)

Sustituimos:

𝜃(𝑡) = 𝐶1𝑠𝑒𝑛(√10 𝑡) + 𝐶2 cos (√10 𝑡)

-

𝜃(𝑡) = 1/√10𝜃′° 𝑠𝑒𝑛(√10 𝑡) + 𝜃° (0)cos (√10 𝑡)

Sustituimos ambos resultados de C en la ecuación: 𝜃(𝑡) = 𝐶1𝑠𝑒𝑛(√10 𝑡) + 𝐶2 cos (√10 𝑡)

-

Debemos reemplazar Y con los datos que nos da el ejercicio.

-

Tenemos la solución que es el punto B

𝜃° = 0.2 𝑟𝑎𝑑 𝜃′° = 1𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝐶1 =

1 √10𝜃 ′(0)

=

1 √10 ∗ 1

=

1 √10

𝐶2 = 0.2𝑟𝑎𝑑

𝜃(𝑡) =

1

√10

𝑠𝑒𝑛(√10 𝑡) + 0.2cos (√10 𝑡)

La ecuación del movimiento de un Solución: Wilson Albeiro González péndulo con longitud 1 𝑚 es

𝑑2 𝜃

+ Paso 1: Solución: Wilson Albeiro González 10𝜃 = 0: Si para 𝑡 = 0 , 𝜃 = 0,2 𝑟𝑎𝑑 y la velocidad angular inicial

𝑑𝜃 𝑑𝑡

𝑑𝑡 2

=1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

,

Definir la ecuación del movimiento de un Al determine 𝜃 en función de t para el péndulo movimiento se tiene: 𝑑2𝜃 𝜃 (𝑡) = 0,5 cos √10𝑡 − + 10𝜃 = 0 𝑑𝑡 2 1 sin √10𝑡 √10 Paso 2: Hacer una sustitución de la forma 𝑑2𝜃 = 𝑦2 𝑑𝑡 2 𝑦 2 + 10 = 0 Paso 3: Encontrar la solución del polinomio 𝑦 = ±√10𝑖 Paso 4: A partir de la forma de la solución se tiene la forma de la solución de teta 𝜃 = 𝐶1 cos(√10𝑡) + 𝐶2 sen(√10𝑡)

Paso 5: Evaluar condiciones iniciales 𝑡=0

𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡

= 0,2 𝑟𝑎𝑑 =1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

Como se ve necesitamos la derivada la solución 𝑑𝜃 = −√10 𝐶1 sen(√10𝑡) 𝑑𝑡 + √10 𝐶2 cos(√10𝑡) Ahora se reemplaza 𝜃 = 0,2 𝑟𝑎𝑑 en la solución 0,2 = 𝐶1 cos(√10(0)) + 𝐶2 sen(√10(0)) 𝐶1 = Ahora se reemplaza

𝑑𝜃 𝑑𝑡

1 ≈ 0.2 5 𝑟𝑎𝑑

=1

𝑠

en la solución

1 = −√10𝐶1 sen(√10(0)) + √10𝐶2 cos(√10(0)) 𝐶2 =

1 √10

Paso 6: Escribimos la solución del ejercicio reemplazando los valores de las constantes 𝜃 = 0,2 cos(√10𝑡) +

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝑑2𝜃 + 10𝜃 = 0 𝑑𝑡 2 𝜃(𝑡 = 0) = 0,2 [𝑟𝑎𝑑]

1 √10

sen(√10𝑡)

RAZÓN O EXPLICACIÓN Solución: Fabio Mauricio Gutiérrez ED del problema Condiciones iniciales del problema

𝑑𝜃 (𝑡 = 0) 𝑟𝑎𝑑 =1 [ ] 𝑑𝑡 𝑠 𝑟 2 + 10 = 0

Ecuación auxiliar de la ED homogénea

𝑟 2 = −10

Resolvemos la ecuación y encontramos las posibles raíces del polinomio.

𝑟 = ±√−10

Raíces complejas de la forma: 𝑟 = 𝑝 ± 𝑖𝑞

𝑟 = ±𝑖√10

𝑝: 0 ; 𝑞 = √10 𝜃(𝑡) = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(√10𝑡) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(√10𝑡)

Se plantea la solución 𝜃(𝑡) = 𝑒 𝑝𝑡 [𝑐1 𝑐𝑜𝑠(𝑞𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(𝑞𝑡)] Y se reemplaza los valores de p y q.

𝜃 (0) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠(0) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(0) = 0,2

Aplicamos la primera condición inicial 𝜃 (𝑡 = 0) = 0,2 [𝑟𝑎𝑑]

𝑐1 = 0,2 𝑑𝜃(𝑡) 𝑑𝑡

Determinamos el valor de la constante 𝑐1 Derivamos la expresión para 𝜃(𝑡)

= −𝑐1 √10𝑠𝑒𝑛(√10𝑡) + √10𝑐2 𝑐𝑜𝑠(√10𝑡)

𝑑𝜃(𝑡) 𝑑𝑡

= √10[−𝑐1 𝑠𝑒𝑛(√10𝑡) + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠(√10𝑡)]

𝑑𝜃(0) 𝑑𝑡

= 1 = √10[−𝑐1 𝑠𝑒𝑛(0) + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠(0)] 1

√10

𝑑𝜃(𝑡 = 0) 𝑟𝑎𝑑 =1 [ ] 𝑑𝑡 𝑠

= 𝑐2

𝜃(𝑡) = 0,2 cos(√10𝑡) +

Aplicamos la segunda condición inicial

1 √10

OPCIÓN B

sin(√10𝑡)

Reemplazamos las constantes 𝑐1 𝑦 𝑐2

RESPUESTA CORRECTA

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Solución planteada: Enunciado: La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son 𝑚1 y 𝑚2 . Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son 𝑘1 y 𝑘2 . El movimiento horizontal del suelo es 𝑦. Para el caso en que las masas son idénticas (𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚) y las rigideces son idénticas (𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 ) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea. Se tiene la siguiente situación:

Los signos son incorrectos

Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos 𝑥1̈ − 2𝛼𝑥1 − 𝛼𝑥2 = 𝛼𝑦 masas y teniendo en cuenta las Leyes de 𝑥2̈ − 𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2 = 0 Newton: 𝑚𝑥1̈ + 2𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 𝑘𝑦 Los signos son incorrectos

𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑 2 𝑥2 𝑑2𝑦 + 2𝛼 − 𝛼 = 𝛼 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2

𝑚𝑥2̈ − 𝑘𝑥1 + 𝑘𝑥2 = 0 Dividiendo la ecuación entre 𝑚 y asumiendo 𝑘 𝛼 = 𝑚 el resultado es: 𝑥1̈ − 2𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2 = 𝛼𝑦 𝑥2̈ + 𝛼𝑥1 − 𝛼𝑥2 = 0

(1)

𝑋1 + 2𝛼𝑋´´1 𝛼𝑋´´2 = 𝛼𝑦´´ (3) De la ecuación (2) se tiene que 𝑥2̈ = 𝛼𝑥1 − 𝛼𝑥2

(2)

Ahora para tener una ecuación en términos Reemplazando en (3) sólo de 𝑥1 se diferencia la ecuación (1) dos 𝑥1 + 2𝛼𝑥1̈ − 𝛼 (𝛼𝑥1 − 𝛼𝑥2 ) = 𝛼𝑦´´ veces para obtener: 𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑 2 𝑥2 𝑑2𝑦 + 2𝛼 − 𝛼 = − 𝛼 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2

(1) (2)

(4)

De la ecuación (1) se tiene que 𝑥2 =

𝑦1̈ 𝛼

+ 2𝑋1 − 𝑦

Ahora sustituyendo 𝑥2̈ de la ecuación (2) y 𝑥2 Reemplazando en (4) de la ecuación (1) se obtiene: 𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2𝑦 2 2 + 3𝛼 + 𝛼 𝑥 = 𝛼 𝑦 + 𝛼 1 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2

𝑥1 + 2𝛼𝑥1̈ − 𝛼 2 𝑥1 − 𝛼 (

𝑦1̈ + 2𝑥1 − 𝑦) = 𝛼𝑦´´ 𝛼

̈ 𝛼 − 1) − 𝑥1 (𝛼 2 + 2𝛼 ) = 𝛼(𝑦´´ − 𝑦) Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio 𝑥1 + 𝑥1 (2 característico es: 𝛽4 + 3𝛼𝛽2 + 𝛼 2 = 0. Como no hay ningún término en 𝛽3 ni 𝛽, esta Polinomio característico: ecuación es cuadrática en 𝛽2 y se puede usar 𝛽4 + (2𝛼 − 1)𝛽2 − (𝛼 2 + 2𝛼) = 0 la fórmula cuadrática: 𝛽2 =

−3𝛼 ± √9𝛼 2 − 4𝛼 2 −3 ± √5 =( )𝛼 2 2

Entonces, las raíces características son: 𝑘 𝛽 = ±0,618𝑖 √ 𝑚

𝛽2 −(2𝛼 − 1) ± √(2𝛼 − 1)2 + 4(1)(𝛼 2 + 2𝛼) = 2 𝛽2 =

−2𝛼 + 1 ± √4𝛼 2 + 4𝛼 + 1 + 4𝛼 2 + 8𝛼) 2

𝛽2 =

1 − 2𝛼 ± √8𝛼 2 + 4𝛼 + 1 2

𝛽 = ±1,618𝑖 √

𝑘 𝑚

Las raíces características son: 𝛽1,2 = ±√

1 − 2𝛼 ± √8𝛼 2 + 4𝛼 + 1 2

Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma: 𝛽3,4 = ±√

𝑚 𝑡 𝑘

𝑥1 (𝑡) = 𝐶1 sin 0,618√

𝑚 𝑡 𝑘 𝑚 + 𝐶3 sin 1,618√ 𝑡 𝑘 𝑚 + 𝐶4 cos 1,618√ 𝑡 𝑘 + 𝐶2 cos 0,618√

La solución contiene frecuencias en 𝑘

0,618√

𝑚

1 − 2𝛼 ± √8𝛼 2 + 4𝛼 + 1 2

𝑋1 (𝑡) = 𝐶1 𝑠𝑖𝑛𝛽1 𝑡 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠𝛽2 𝑡 + 𝐶3 𝑠𝑖𝑛𝛽3 𝑡 + 𝐶4 𝑐𝑜𝑠𝛽4 𝑡

oscilaciones con radianes de

𝑘

y − 1,618√

𝑚

PASO 8 TABLA ENLACES VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante Deivi Jose Maria Ortiz Pacifico Silvara Triana Wilson Albeiro González

Ejercicios sustentados A de todos los tipos de ejercicios. B de todos los tipos de ejercicios. C de todos los tipos de ejercicios.

Enlace video explicativo https://www.youtube.com/watch?v=gCKlBCq-Imw

https://www.loom.com/share/a251fc78c88f4590a5ab83c57bad89fe

No presenta

Andres Salamanca Herrera Fabio Mauricio Gutierrez

D de todos https://www.loom.com/share/034974363be04cec9e09bc709e7feeb5 los tipos de ejercicios. E de todos https://www.loom.com/share/285e5c2b080b49bd90738bc7d7b4280f los tipos de ejercicios.

CONCLUSIONES

Utilizando las diferentes fórmulas estudiadas en la literatura de esta unidad podemos desarrollar los ejercicios planteados y entenderlos a través de la literatura desarrollada en los e-books , pudiendo entender que son las ecuaciones diferenciales de orden superior, ecuaciones lineales de segundo orden, y ecuaciones diferenciales de orden ( n ).

Una Ecuación diferencial de orden superior se resuelve aplicando reducción de orden. Esto se logra a través de la ecuación característica. Se hallan las raíces del polinomio característico.

La solución de una ED homogénea puede ser de 3 formas: reales y diferentes, reales e iguales y complejas y conjugadas.

Una ED no homogénea se resuelve en dos capítulos. El primero haciendo igual a cero lo que no depende de la variable dependiente. Lo otro y denomina función complementaria y gracias a esta se obtiene la solución particular.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 59-63). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022

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García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 72-76). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467

López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España: Editorial Tébar. (pp.58-135). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?

García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67-112). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467

Granados, A. (2017). Presentación Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. [OVI]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11507

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