• Author / Uploaded
• Sara Gonzalez

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

TRABAJO COLABORATIVO DE LA TAREA SEÑALES Y SISTEMAS

Tutor: LEONARDO ANDRES PEREZ

Grupo: 203042-24

Integrantes (nombre y cédula de los estudiantes que participaron en la actividad): EDWIN CORDERO URIBE. C.C. 13544333 JONATHAN ALBERTO GOMEZ. C.C. 1032422827 Nombre completo. C.C. ####### Nombre completo. C.C. ####### Nombre completo. C.C. #######

2020 – 1604

INTRODUCCIÓN

En el siguiente informe realizamos un análisis de conceptos, donde se da respuesta a varias preguntas teóricas para el análisis completo de una señal, y como por ejemplo por medio de dos señales analógicas una es rectangular y otra triangular dalas las operaciones de convulsión y correlación

OBJETIVOS

a. Identificar muestras después de una convulsión b. Calcular definición matemática entre coeficientes c. Hallar los espectros solicitados d. Definir conceptos teóricos de la actividad e. Realizar tablas y graficas de los ejercicios

CUERPO

1. Definición de conceptos: estudiando el libro de (Ambardar), el estudiante investiga de manera individual y da respuesta a las siguientes preguntas teóricas: a. ¿Cuántas muestras se obtienen después de realizar convolución discreta entre una señal x[n] que sólo tiene una muestra y una señal g[n] que tiene tres muestras? Señal x[n] = 1 muestra Senal g[n] = 3 muestras Según la teoría de la convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Según esta teoría tendríamos 4 muestras en una tercera señal resultante. b. Se tiene dos señales análogas, una es rectangular unitario y la otra es triangular unitario. Si se aplican las operaciones de convolución y correlación, ¿Qué diferencia existirá entre el resultado de ambas operaciones? En este caso el resultado de la convolución y la correlación es el mismo por simetría de las señales:

c. Indique la definición matemática del coeficiente a0 de la serie trigonométrica de Furrier de la siguiente señal: x(t) = 2sen(3t)

𝑤 = 3 = 2𝜋𝑓

𝑓 = 3⁄2 𝜋

𝑇 = 2 𝜋⁄3

1

3

2𝜋 ⁄3

𝑎0 = 𝑇 ∫𝑇 2𝑠𝑒𝑛(3𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜋 ∫0

𝑠𝑒𝑛(3𝑡) 𝑑𝑡

d. Indique la definición matemática de los coeficientes a " de la serie trigonometrica de Fourier de la siguiente señal: x(t) = 4cos(t)

𝑤 = 1 = 2𝜋𝑓

𝑓 = 1⁄2 𝜋 𝑎𝑘 =

𝑇 = 2𝜋

2 4 2𝜋 ∫ 𝑥(𝑡)𝑐𝑜𝑠⁡(2𝜋𝑘𝑓0 |𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑐𝑜𝑠⁡(𝑘|𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑇 𝜋 0

e. ¿Cómo es el espectro resultante de la transformada de Fourier de una señal rectangular unitaria no periódica? ¿Cómo es el espectro resultante de la transformada de Fourier de una señal rectangular unitaria periódica? ¿Qué diferencia existe entre el espectro resultante de ambas? Señal Rectangular Unitaria no Periódica.

Señal Rectangular Unitaria Periódica.

La diferencia que existe entre el espectro resultante de ambas está formada por un patrón que se repite continuamente. El espectro de la transformada de fourier de periodo de una señal (T) se expresa en segundos. El espectro de la transformada de fourier de periodo de una señal, no tiene un patrón repetitivo, puede ser descompuesta en Un número de señales periódicas.

f. La multiplicación en el dominio frecuencia, ¿qué operación representa en el dominio del tiempo?

La multiplicación en el dominio frecuencia representa una convolución en el dominio del tiempo

EJERCICIO 1 CONVOLUCIÓN CONTINUA (ANALÍTICA) Nota : El ítem que es grupal, sólo se debe anexar una respuesta, entre los integrantes del grupo seleccionan cual. Ítem Grupal de convolución continua (analítica) Ítem Grupal de convolución continua (analítica) Constante a: 24

Solución parte teórica: 𝑥(𝑡) = (2 − 𝑒| |𝑎𝑡)𝑢(𝑡) 𝑎 ℎ(𝑡) = ∗ 𝑒 −𝑎𝑡 𝑢(𝑡 − 𝑎) 2 Reemplazando a 𝑥 (𝜆) = (2 − 𝑒| |24𝜆)𝑢 (𝜆) ℎ(𝑡 − 𝜆) = 12𝑒 −21(𝑡−𝜆) 𝑢(𝑡 − 𝜆 − 24) 𝑦(𝑡) = 𝑥 (𝑡) ∗ ℎ(𝑡) Planteamos la integral que me define la convolución como ∞

𝑦(𝑡) = ∫ (2 − 𝑒| |24𝜆)𝑢 (𝜆)12𝑒 −24(𝑡−𝜆) 𝑢(𝑡 − 𝜆 − 24)𝑑𝜆 −∞

(𝜆) = 0 (𝑡 − 𝜆 − 24) = 0 𝑡 − 24 = 𝜆 Haciendo las debidas sustituciones tenemos la integral lista para desarrollar

𝑡−24

𝑦(𝑡) = ∫ 0

Integramos ambas partes de la función por separado 𝑡−24

𝑦(𝑡) = 12 ∫ 0

𝑡−24

𝑦(𝑡) = 12 ∫ 0

𝑡−24

𝑦(𝑡) = 12𝑒 −24𝑡 ∫ 0

𝑦(𝑡) = 12𝑒 −24𝑡 [

𝑦(𝑡) = 12𝑒 −24𝑡 [

2𝑒 24𝜆 𝑒 48𝜆 𝑡 − 24 ]| − 0 24 48

𝑒 24(𝑡−24) 1 𝑒 48(𝑡−24) 1 − − + ] 12 12 48 48

𝑦(𝑡) = 12𝑒 −24𝑡 [

𝑒 24𝑡−576 𝑒 32𝑡−1152 1 − − ] 12 48 16

EJERCICIO 2 CONVOLUCIÓN DISCRETA (TABULAR Y GRÁFICA)

Nota 1: cada estudiante debe agregar su solución individual del ejercicio 2. Nombre del estudiante: EDWIN CORDERO URIBE Código universitario: 13544333 Constante a: 24 Constante b: 23

Solución parte teórica: 𝑥[𝑛] = [1,24, −1, 2ˇ, 1, −2,23] ˘ , 0.5] ℎ[𝑛] = [12,0.5, 23

𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] Definimos que las dos funciones comienzan en -3 y -2 respectivamente Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑑𝑒𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠𝑒𝑟í𝑎 = −3 − 2 = −5 Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 3 + 1 = 4 𝐿𝑦 = 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 − 1 = 7 + 4 − 1 = 10

Aplicando el método de lápiz y papel tenemos la siguiente tabla 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] n x[n]

-5 1

-4 24

-3 -1

-2

-1

2

1

h[n]

12

0.5

23

0.5

12

288 0.5

-12 12 23

24

12

-0.5 525 0.5 576

1

y[n]

12

288.5

23

-23 12 2

0 -2

1 23

-24 0.5 46 -0.5 22

276 -1 23 1

270

2

3

4

11.5 -46 0.5 -34

529 -1 528

11.5 11.5

Asi la convolución serán los valores de la suma de las columnas 𝑦[𝑛] = [12,288.5,23,300,2,22,270, −34,528,11.5] Solución práctica:

Código:

Imágenes resultantes:

EJERCICIO 3 SERIES DE FOURIER Nota: cada estudiante debe agregar su solución individual del ejercicio 3. Nombre del estudiante: EDWIN CORDERO URIBE Código universitario: 13544333 Constante a: 24 Constante b: 23 Solución parte teórica:

𝑎

a) 𝑥 (𝑡) = ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 − 𝑎) 𝑏

con T=a s

Tomamos los siguientes valores 𝑇 = 24 𝑓0 =

1 24

Coeficiente 𝑎0 𝑎0 =

1 𝑙2 ∫ 𝑥 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑙1

1 24.5 24 ∫ 𝑎0 = 𝑑𝑡 24 23.5 23 𝑡 24.5 | 23 23.5 (24.5 − 23.5) 𝑎0 = 23 1 𝑎0 = 23 𝑎0 =

Coeficiente 𝑎𝑘 𝑎𝑘 =

2 𝑙2 ∫ 𝑥 (𝑡)𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑙1

2 24.5 24 2 24.5 ( ) ∫ ∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 𝑎𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑘𝑓0 𝑡 𝑑𝑡 = 24 23.5 23 23 23.5 𝑎𝑘 =

2 24.5 2 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡) 24.5 ∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 = | ( ) (2𝜋𝑘𝑓0 ) 23.5 23 23.5 23

1 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑘 (24) (24.5))

2 𝑎𝑘 = 23

2𝜋𝑘 ( (

1 ) 24

−

1 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑘 (24) (23.5)) 2𝜋𝑘 (

1 ) 24

) ( 24 𝑠𝑒𝑛(1.02 ∗ 2𝜋𝑘) − 𝑠𝑒𝑛(0.979 ∗ 2𝜋𝑘) 𝑎𝑘 = ( ) 23 𝜋𝑘

Coeficiente 𝑏𝑘 𝑏𝑘 =

2 𝑙2 ∫ 𝑥 (𝑡)𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑙1

𝑏𝑘 =

2 24.5 24 2 24.5 ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 = 24 23.5 23 23 23.5

𝑏𝑘 =

2 24.5 2 −𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡) 24.5 ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 = | ( ) (2𝜋𝑘𝑓0 ) 23.5 23 23.5 23 𝑏𝑘 =

2 23

𝑏𝑘 =

24 23

Solución práctica:

Código:

Imágenes resultantes:

)

EJERCICIO 4 TRANSFORMADA DE FOURIER Nota 1: cada estudiante debe agregar su solución individual del ejercicio 4. Nota 2: El ítem que es grupal, sólo se debe anexar una respuesta, entre los integrantes del grupo seleccionan cual. Nombre del estudiante: EDWIN CORDERO URIBE Código universitario: 13544333 Constante a: 24 Constante b: 23

Solución parte teórica: 𝑎𝑥(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 𝑏 ∗ 60𝑡)

La transformada es directa se encuentra en la tabla 9.1 𝑥 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 23 ∗ 60𝑡) 𝑋(𝑤) = 𝜋[𝛿(𝑤 − 2760𝜋 ) + 𝛿 (𝑤 + 2760𝜋)]

Magnitud :

|𝑋(𝑤)| = 𝜋[𝛿 (𝑤 − 2760𝜋) + 𝛿(𝑤 + 2760𝜋)] Solución práctica: Código:

Ítem Grupal de transformada de Fourier Constante a: 24

Solución parte teórica: 𝑏𝑦(𝑡) = 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 𝑎 ∗ 60𝑡 + 10)(í𝑡𝑒𝑚𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑙 )

La transformada es directa se encuentra en la tabla 9.1 𝑦(𝑡) = 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 24 ∗ 60𝑡) 𝑋(𝑤) = 𝑗2𝜋[𝛿(𝑤 − 2880𝜋 ) − 𝛿 (𝑤 + 2880𝜋)]

Ahora aplicamos el desplazamiento en el tiempo como 𝑥 (𝑡 − 𝛼 ) → 𝑒 −𝑗𝛼𝑤 𝑋(𝑤)

El valor de 𝛼 es 10 por lo tanto la transformada queda

𝑒 −10𝑗𝑤 ∗ 𝑗2𝜋[𝛿(𝑤 − 2880𝜋) − 𝛿 (𝑤 + 2880𝜋)] |𝑋(𝑤)| = 2𝜋[𝛿(𝑤 − 2880𝜋) + 𝛿 (𝑤 + 2880𝜋)]

Solución práctica:

EJERCICIO 2 CONVOLUCIÓN DISCRETA (TABULAR Y GRÁFICA)

Nombre del estudiante: JONATHAN ALBERTO GOMEZ Código universitario: 1032422827 Constante a: 24 Constante b: 24

Solución parte teórica:

2.2. Ejercicio 2 - Convolución discreta (tabular y gráfica): Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro Ambardar, determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n]. Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script con el método gráfico de convolución, en Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script (práctica): 𝑥[𝑛] = [1, 𝑎, −1,2′, 1, −2, 𝑏] ℎ[𝑛] = [0.5𝑎, 0.5, 𝑏′, 0.5] Constante a: 24 Constante b: 24 DESARROLLO Remplazamos 𝑥[𝑛] = [1,24, −1, ′2′, 1, −2,24] ℎ[𝑛] = [0.5𝑎, 0.5, 𝑏′, 0.5] Supongamos que ambas 𝑋(𝑛) ∗ 𝐻(𝑛) comienzan en n = 0 El método de lápiz y papel expresa la entrada como 𝑥[𝑛] = 2𝛿[𝑛] − 𝛿[𝑛 − 1] + 3𝛿[𝑛 − 2]y la tabula la respuesta a cada impulso y la respuesta total como sigue:

𝑋[𝑛]

1

24

-1

2

𝐻[𝑛]

12

0.5

24

0.5

12

288

-12

24

0.5

12

-0.5 1

24

Entrada

-2

24

12

-24

-288

0.5

-1

12

576

-24 48

24

-48

576

0.5

12

-0.5

1

0.5

-1

600

1

24

-266

-35.5 575 12

Respuesta

2𝛿[𝑛]

2ℎ[𝑛]

−𝛿[𝑛 − 1]

−ℎ[𝑛 − 1]

3𝛿[𝑛 − 2]

3ℎ[𝑛 − 2]

𝑠𝑢𝑚𝑎 = 𝑋[𝑛]

1

𝑠𝑢𝑚𝑎 = 𝐻[𝑛] 12

288.5

24

El resultado de la convolución serán los valores de la suma de las columnas 𝑦[𝑛] = [12,288.5,24,600,1,24, −266, −35.5,575,12] Solución práctica:

Código:

Imágenes resultantes: 1032422827

Código desarrollado en software Matlab, para verificación parte teórica:

12

EJERCICIO 3 SERIES DE FOURIER

Nota: cada estudiante debe agregar su solución individual del ejercicio 3. Nombre del estudiante: JONATHAN ALBERTO GOMEZ Código universitario: 1032422827 Constante a: 24 Constante b: 24

Solución parte teórica:

2.3. Series de Fourier: Usando como guía el capítulo 8 de la página 197 del libro Ambardar, dibuje cuatro (4) periodos de la siguiente señal x(t) y calcule los coeficientes trigonométricos de la serie de Fourier.

𝑎

a) 𝑥 (𝑡) = 𝑏 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 − 𝑎) 𝑐𝑜𝑛𝑇 = 𝑎𝑠 - Encuentre los coeficientes a0, ak y bk Para encontrar los coeficientes de la serie de fourier, se tienen las siguientes expresiones matemáticas. Constante a: 24 Constante b: 24

DESARROLLO 24

a) 𝑥 (𝑡) = 24 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 − 24) 𝑐𝑜𝑛𝑇 = 24𝑠 Coeficientes de la serio Trigonométrica de Fourier Coeficiente 𝑎0

𝑎0 =

1 ∫ 𝑥 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑇

𝑎0 =

1 ∫ 1 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 − 24)𝑑𝑡 24 𝑇

𝑎𝑘 =

2 ∫𝑥 (𝑡)𝑐𝑜𝑠(2𝛱𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑇

Coeficiente 𝑎𝑘

𝑎𝑘 =

2 24 24 2 24 ∫ ∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 = 24 24 24 24 24

𝑎𝑘 =

2 24 2 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡) 24 ∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 = | ) ( (2𝜋𝑘𝑓0 ) 24 24 24 24

1 1 ) (24)) 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑘 ( ) (24)) 24 24 − 1 1 ( ) 2𝜋𝑘 24 2𝜋𝑘 (24) ( ) ( ) 24 𝑠𝑒𝑛(1.02 ∗ 2𝜋𝑘) − 𝑠𝑒𝑛(0.979 ∗ 2𝜋𝑘 ) 𝑎𝑘 = ( ) 23 𝜋𝑘

2 𝑎𝑘 = 23

𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑘 (

Coeficiente 𝑏𝑘

𝑏𝑘 =

𝑏𝑘 =

2 24.5 24 2 24 ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 = 24 23.5 24 24 24

𝑏𝑘 = 𝑏𝑘 =

2 𝑙2 ∫ 𝑥 (𝑡)𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑙1

2 24 2 −𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡) 24 ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡)𝑑𝑡 = | ) ( (2𝜋𝑘𝑓0 ) 24 24 24 24

2 1 1 1 − 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑘 (24) (24)|2𝜋𝑘) − −𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑘 (24) (24)|2𝜋𝑘 (24)) 24

𝑏𝑘 =

24 − 𝑐𝑜𝑠(1.03 ∗ 2𝜋𝑘 ) + 𝑐𝑜𝑠⁡(0.968 ∗ 2𝜋𝑘 |𝜋𝑘 ) 24

Solución práctica:

Código:

Imágenes resultantes: 1032422827

EJERCICIO 4 TRANSFORMADA DE FOURIER Nota 1: cada estudiante debe agregar su solución individual del ejercicio 4. Nota 2: El ítem que es grupal, sólo se debe anexar una respuesta, entre los integrantes del grupo seleccionan cual. Nombre del estudiante: JONATHAN ALBERTO GOMEZ Código universitario: 1032422827 Constante a: 24 Constante b: 24

Solución parte teórica:

2.4. Ejercicio 4 – Transformada de Fourier: Usando como guía los ejemplos 9.4 de la página 259 del libro Ambardar y las tablas 9.1 y 9.2, determine la transformada de Fourier de las señales x(t) y y(t). Posteriormente verifique su respuesta diseñando un script en el software Matlab u Octave y anexe el resultado junto con el script (práctica): a) 𝑥 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 𝑏 ∗ 60𝑡) b) 𝑦(𝑡) = 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 𝑎 ∗ 60𝑡 + 10)ítem Grupal Constante a= 24 Constante b = 24

Remplazamos: a) 𝑥 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 24 ∗ 60𝑡)

La transformada es directa 𝑋(𝑤) = 𝜋[𝛿(𝑤 − 2880𝜋 ) + 𝛿 (𝑤 + 2880𝜋)]

Magnitud : |𝑋(𝑤)| = 𝜋[𝛿 (𝑤 − 2880𝜋) + 𝛿(𝑤 + 2880𝜋)]

Solución práctica:

Código:

Imágenes resultantes: 1032422827

Código desarrollado en software Matlab, para verificación parte teórica:

Ítem Grupal: Constante a: 24

Solución parte teórica: 𝑏𝑦(𝑡) = 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 𝑎 ∗ 60𝑡 + 10)(í𝑡𝑒𝑚𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑙 )

La transformada es directa se encuentra en la tabla 9.1 𝑦(𝑡) = 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 24 ∗ 60𝑡) 𝑋(𝑤) = 𝑗2𝜋[𝛿(𝑤 − 2880𝜋 ) − 𝛿 (𝑤 + 2880𝜋)]

Ahora aplicamos el desplazamiento en el tiempo como

𝑥 (𝑡 − 𝛼 ) → 𝑒 −𝑗𝛼𝑤 𝑋(𝑤)

El valor de 𝛼 es 10 por lo tanto la transformada queda 𝑒 −10𝑗𝑤 ∗ 𝑗2𝜋[𝛿(𝑤 − 2880𝜋) − 𝛿 (𝑤 + 2880𝜋)] |𝑋(𝑤)| = 2𝜋[𝛿(𝑤 − 2880𝜋) + 𝛿 (𝑤 + 2880𝜋)]

CONCLUSIONES

Según la teoría de la convolución validamos que es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. también que la diferencia que existe entre el espectro resultante de ambas está formada por un patrón que se repite continuamente

BIBLIOGRAFÍA (en normas APA o IEEE)

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXX