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UNIDAD 1 TAREA 1- VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

DOCENTE.

MARCO ANTONIO ZAMBRANO

OSCAR EDUARDO ECHENIQUE DOMINGUEZ DIEGO ANDREY MORENO EDWIN XAVIER TIBANA GRUPO: 100408_284

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS ALGEBRA LINEAL CÓDIGO DEL CURSO: 100408_284 MONTERÍA – CORDOBA 2019

INTRODUCCION El algebra a través de la historia a tenido un uso importante, a través de él hombre ha logrado diseñar, construir y desarrollar estructuras que han maravillado el mundo, y es que el algebra cuenta con un sin numero de elementos que permiten resolver diversas situaciones problémicas donde se encuentre incurso ecuaciones ya sean lineales o cuadráticas, es por ello es que gran parte de la historia el objetivo del algebra se ha centrado en la resolución de ecuaciones, ahora bien desde inicios de siglo antepasado tomo fuerza un área del algebra que se alimentaba de problemas que llegaban de la geometría, el análisis de numero y de la teoría de ecuaciones, que al final terminaron en el estudio de unos elementos de tipo abstracto, a esto se le conoce hoy en día como algebra moderna, durante el presente trabajo se busco que el estudiante se relacionara con un área especifica de esta algebra como lo es el algebra lineal, curso de vital importancia para contribuir a que el estudiante desarrolle la capacidad lógica – deductiva necesaria para resolver problemas tipo abstracto relacionados al campo de la matemática.

Dentro del presente trabajo se desarrollaron una serie de ejercicios enfocados a temas como lo son vectores, de los cuales el estudiante debería aprender a determinar el Angulo existente entre ellos, la magnitud, su dirección y sentido, además es necesario tener el conocimiento en operaciones con matrices como son la suma, multiplicación, resta y multiplicación por un escalar, posteriormente el estudiante debía adentrarse en el tema de las matrices y sus correspondientes operaciones, es decir, suma, multiplicación, resta y multiplicación por escalar, elementos necesario para poder desarrollar lo que se denomina como matrices escalonadas, matrices reducidas, matrices triangulares a través de operaciones elementales, para finalmente llegar a un tema importante como lo es matrices inversas a través del método de Gauss – Jordán o a través del método de la matriz adjunta, donde para ello es necesario entender los conceptos de determinantes, cofactores, y aplicar temas como la traspuesta de una matriz y aplicarlos a la formula para determinar una matriz inversa.

Los estudiantes de carreas de ingeniería y ciencias, deben de estar relacionados con estos temas, ya que les permitirá desempeñarse de la manera mas exitosa durante el desarrollo de las asignaturas siguientes y finalmente durante de su etapa laboral y profesional, ya que estará en la capacidad de resolver problemas de tipo abstracto allegados al área del algebra lineal, los que los convertirá en profesionales íntegros y competitivos para entrar en un mercado que es cada vez más difícil y duro, donde solo los mas preparados suelen triunfar.

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Desarrollar en el estudiante las habilidades y destrezas necesarias para la resolución de problemas relacionados con algebra lineal.

OBEJTIVOS ESPECIFICOS ➢ Acercar al estudiante a temas como vectores y sus operaciones básicas. ➢ Calcular el ángulo entre vectores, la magnitud, la dirección. ➢ Facilitar la resolución de matrices inversas mediante los métodos de Gauss- Jordán y la fórmula de matrices inversas ➢ Contribuir a facilitar el aprendizaje de operaciones con matrices. ➢ Adquirir las destrezas en el calculo de la determinante y las adjuntas mediante los métodos correspondientes.

Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes. Descripción del ejercicio: Luego de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, se debe diseñar de forma colaborativa una Infografía que ilustre los contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción herramientas Online Colaborativas para la diagramación, como Canva. El primer estudiante en ingresar al Foro asumirá el rol de Revisor, creará una cuenta en la herramienta online “canva” o la de su preferencia y pegará el enlace para la edición y creación de la infografía en el foro de trabajo colaborativo: foro Tarea 1 – Vectores, matrices y determinantes (utilizar únicamente los correos institucionales). Cada uno de los estudiantes, edita la infografía correspondiente al tema seleccionado previamente, y que anunció en el foro, para que no coincida con la elección de otro compañero. Deben escoger uno de los siguientes temas: B. Vectores en R2 y R3: Algunas operaciones con vectores, producto punto y producto cruz.

TRABAJO COLABORATIVO Estudiantes Link OSCAR EDUARDO ECHENIQUE https://www.canva.com/design/ DADn6fm4Ubw/Zvjhm_FNyIo DIEGO ANDREY MORENO S_FaO3I36pQ/edit EDWIN XAVIER TIBANA

Item desarrollado B C E

VIDEO CON SUSTENTACION DE EJERICIOS Estudiantes

Link

Item desarrollado

OSCAR EDUARDO ECHENIQUE

https://youtu.be/E7BcNz4Aez0

B

DIEGO ANDREY MORENO

https://youtu.be/61WbFpTP-QU

C

EDWIN XAVIER TIBANA

https://screencast-o matic.com/watch/cq6D2Ju4kC

E

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 2. Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante. ⃗ = (−𝟒, 𝟐) Y 𝒘 ⃗⃗⃗ = (−𝟑, −𝟐) B. 𝒗 2.1. Determina el Angulo 𝐜𝐨𝐬 𝜽 =

cos 𝜃 =

cos 𝜃 =

cos 𝜃 =

cos 𝜃 =

cos 𝜃 =

⃗ ∗ ⃗𝒘 ⃗⃗ 𝒗 |𝒗 ⃗ | ∗ |𝒘 ⃗⃗⃗ | (−4, 2) ∗ (−3, −2) √(−4)2 + (2)2 ∗ √(−3)2 + (−2)2 (−4 ∗ −3) + (2, −2) √(−4)2 + (2)2 ∗ √(−3)2 + (−2)2 (12) + (−4) √(16 + 4) ∗ √(9 + 4) (8) √(20) ∗ √(13) 8 √260

𝜃 = cos −1

8

|

√260

𝜃 = 60.25° 2.2. Sumar vectores ⃗ = (−𝟒, 𝟐) 𝒗 ⃗⃗⃗ = (−𝟑, −𝟐) 𝒘 𝑣 + 𝑤 = (−4, 2) + (−3, −2) 𝑣 + 𝑤 = (−4 + (−3)) + (2 + (−2)) 𝑣 + 𝑤 = (−4 − 3) + (2 − 2) 𝑣 + 𝑤 = (7,0) 𝒖 = (𝟕, 𝟎) 2.3. Determinar la Magnitud 𝒖 = (𝟕, 𝟎)

𝒎 = √(𝟕)𝟐 + (𝟎)𝟐 𝒎 = √𝟒𝟗 𝒎= 𝟕 2.4. Determinar la dirección. 𝐭𝐚𝐧 𝜽 =

𝟎 −𝟕

tan 𝜃 = 0 θ = tan−1 0 𝜃=0 Pero hay que tener en cuenta la ubicación real del vector en plano R2, en este orden de ideas el vector se encuentre perpendicular al eje negativo de las x entre en cuadrante II y III, asi que por ende hay que realizarle la suma del ángulo que se forma. Entonces: 𝜃=0 𝜃 = 0 + 180° 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎° Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3 ⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟓𝒋 + 𝟑𝒌 y 𝒗 ⃗ = −𝟐𝒊 + 𝟗𝒋 − 𝒌 determine su producto cruz y calcule Dados los vectores 3D 𝒖 el resultado de la siguiente operación: 𝟑

C. (𝟓 𝒖 − 𝒗) ∗ (𝒖 + 𝒗) 3. Producto Cruz de los siguientes vectores. ⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟓𝒋 + 𝟑𝒌 𝒖 ⃗ = −𝟐𝒊 + 𝟗𝒋 − 𝒌 𝒗 ➢ Resolver 𝑢 ⃗ 𝑥⃗⃗⃗𝑣 = (3, 5, 3) ∗ (−2, 9, −1) 𝑢 ⃗ 𝑥⃗⃗⃗𝑣 = 𝑖((−5 ∗ −1) − (9 ∗ 3) ) + 𝑗((3 ∗ −1) − (−2 ∗ 3)) + 𝑘(3 ∗ 9 − (−2 ∗ −5)) 𝑢 ⃗ 𝑥⃗⃗⃗𝑣 = 𝑖 (5 − 27 ) + 𝑗((−3) − (−6)) + 𝑘(27 − 10) 𝑢 ⃗ 𝑥⃗⃗⃗𝑣 = 𝑖 (−22 ) + 𝑗(−3) + 𝑘(17) ⃗𝒘 ⃗⃗ = − 𝟐𝟐𝒊 − 𝟑𝒋 + 𝟏𝟕𝒌

3.1. Resolver la siguiente operación con vectores 𝟐

(𝒖 − 𝒗) (𝟑 𝒖 + 𝒗) 𝟐

(𝟑𝒊, −𝟓𝒋 + 𝟑𝒌 ) − (−𝟐𝒊 + 𝟗𝒋 − 𝒌) ∗ ( (𝟑𝒊, −𝟓𝒋 + 𝟑𝒌 ) + (−𝟐𝒊 + 𝟗𝒋 − 𝒌)) 𝟑

2 ((3, −5,3 ) − (−2,9, −1)) ∗ ( ∗ (3, −5,3 ) + (−2, 9, −1)) 3

6 10 6 ((3, −5,3 ) − (−1)(−2,9, −1)) ∗ (( , − , ) + (−2, 9, −1)) 3 3 3

((3, −5,3 ) + (2, −9,1)) ∗ ((2, −

(5, −14, 4) ∗ (0,

17 3

10 , 2) + (−2, 9, −1)) 3

, 1)

➢ Producto escalar

a·b = ax·bx + ay·by + az·bz 17 238 250 5 · 0 + (-14) · (- ) + 4 · 1 = 0 + + 4 = 3 3 3

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Descripción del ejercicio 4 Dadas las siguientes matrices: 𝟑 −𝟏 𝟑 𝟎 𝑨 = |−𝟐 𝟏 𝟐 −𝟒| −𝟏 𝟎 −𝟓 𝟐

𝟓 −𝟐 𝟑 −𝟏 𝑩 = |𝟑 −𝟒 𝟏 −𝟐| −𝟏 𝟎 −𝟑 𝟒

4. Resolver la siguiente operación de matrices (𝑩𝑻 + 𝑪) ∗ 𝟐(𝑩 − 𝑨)

𝟎 −𝟐 −𝟑 𝟑 −𝟏| 𝑪=| 𝟒 −𝟏 𝟎 𝟒 −𝟐 −𝟒 𝟐

𝟎 −𝟐 −𝟑 𝟑 −𝟏 𝟓 −𝟐 𝟑 −𝟏 𝑻 𝟓 −𝟐 𝟑 −𝟏 𝟑 −𝟏|) ∗ 𝟐 ( |𝟑 −𝟒 | − |−𝟐 𝟏 (|𝟑 −𝟒 𝟏 −𝟐| + | 𝟒 𝟏 −𝟐 −𝟏 𝟎 𝟒 −𝟏 𝟎 −𝟑 𝟒 −𝟏 𝟎 −𝟑 𝟒 −𝟏 𝟎 −𝟐 −𝟒 𝟐

𝟑 𝟎 𝟐 −𝟒|) −𝟓 𝟐

➢ Transponer a la matriz B y realizar ley distributiva de 2 por la matriz B y la matriz A 5 3 −1 0 −2 −3 3 −1 3 0 5 −2 3 −1 3 −1|) ∗ ((2 ∗ |3 −4 −2 −4 0 |+ | 4 |) − (2 ∗ |−2 1 2 −4|)) (| 1 −2 −1 0 4 3 1 −3 −1 0 −3 4 −1 0 −5 2 −2 −4 2 −1 −2 4

➢ Sumar la matriz traspuesta B con la matriz C. Además, realiza la multiplicación de la matriz B por 2 y de la matriz A por 2. 5 1 −4 10 −4 6 −2 6 −2 6 0 2 −1 −1|) ∗ (| 6 −8 2 −4| − |−4 2 4 −8 |) (| 2 1 1 −2 0 −6 8 −2 0 −10 4 −3 −6 6 ➢ Restar la matriz B, con la matriz A: o Se debe multiplicar la matriz A por (-1) 5 1 −4 10 −4 6 −2 6 −2 6 0 2 −1 −1|) ∗ (| 6 −8 2 −4| − (−1) |−4 2 4 −8 |) (| 2 1 1 −2 0 −6 8 −2 0 −10 4 −3 −6 6 o

Ahora se deben Sumar la Matriz B con la Matriz A con signos cambiados.

5 1 −4 10 −4 6 −2 −6 2 −6 0 2 −1 −1|) ∗ (| 6 −8 2 −4| + |4 −2 −4 8 |) (| 2 1 1 −2 0 −6 8 2 0 10 −4 −3 −6 6 ➢ Multiplicar la Matriz Resultante de la suma de la matriz B y la matriz C, Con la Matriz resultante de la multiplicación por 2 y resta de la matriz B y la matriz A: 5 1 −4 0 −2 4 −2 2 −1 −1|) ∗ (|10 −10 −2 4|) (| 2 1 1 0 0 4 4 −3 −6 6 ➢ Resultado es: 𝟑𝟎 −𝟐𝟎 −𝟏𝟖 −𝟐𝟐 −𝟐 𝟔 −𝟐 −𝟏𝟐| (𝑩𝑻 + 𝑪) ∗ 𝟐(𝑩 − 𝑨) = | 𝟏𝟖 −𝟏𝟒 𝟐 𝟒 −𝟕𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟔 𝟔

𝟑𝟎 −𝟐𝟎 −𝟏𝟖 −𝟐𝟐 −𝟐 𝟔 −𝟐 −𝟏𝟐| 𝑴= | 𝟏𝟖 −𝟏𝟒 𝟐 𝟒 −𝟕𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟔 𝟔

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes Descripción del ejercicio 5 Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordan y Determinantes 𝟏 (𝑨−𝟏 = 𝑫𝒆𝒕𝑨 ∙ 𝑨𝒅𝒋𝑨). 𝟏 −𝟐 −𝟏 𝟎 𝑴=| 𝟑 𝟎 𝟐 𝟏

𝟐 −𝟏 𝟐 𝟎

−𝟏 −𝟑| −𝟏 𝟏

5. Hallar la inversa de la matriz M, por medio del método de Gauss – Jordán

1 −1 𝑀= ( 3 2

−2 2 −1 1 0 −1 −3|0 0 2 −1 0 1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0) 0 1

𝑭𝟐 − (−𝟏)𝑭𝟏 → 𝑭𝟐 Multiplicamos la fila 1 por (-1) y la restamos a la fila 2: 1 𝑀 = (0 3 2

−2 −2 0 1

2 −1 1 0 1 −4|1 1 2 −1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0

0 0) 0 1

𝑭𝟑 − 𝟑𝑭𝟏 → 𝑭𝟑 Multiplicamos fila 1 por (3) y la restamos a la fila 3 1 𝑀 = (0 0 2

−2 2 −1 1 −2 1 −4| 1 6 −4 2 −3 1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0) 0 1

𝑭𝟒 − 𝟐𝑭𝟏 → 𝑭𝟒 Multiplicamos fila 1 por (2) y la restamos a la fila 4 1 𝑀 = (0 0 0

𝑭𝟐⁄

−𝟐

−2 −2 6 5

2 −1 1 1 −4| 1 −4 2 −3 −4 3 −2

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0) 0 1

→ 𝑭𝟐 Dividimos la fila 2 por -2

1 𝑀= 0 0 (0

0 0 0 −2 2 −1 1 1 1 1 1 − 2 2 |− 2 − 2 0 0 | 6 −4 2 −3 0 1 0 5 −4 3 −2 0 0 1)

𝑭𝟑 − 𝟔𝑭𝟐 → 𝑭𝟑 Multiplicamos la fila 2 por (6) y lo restamos a la fila 3 1 𝑀= 0 0 (0

2 −1 1 0 0 0 −2 1 1 1 − 2 |− − 1 2 2 0 0 | 2 0 −1 −10 0 3 1 0 5 −4 3 −2 0 0 1)

𝑭𝟒 − 𝟓𝑭𝟐 → 𝑭𝟒 Multiplicamos la fila 2 por (5) y lo restamos a la fila 4

𝑀=

1 −2 0 1 0 0 (0 0

0 2 −1 1 1 1 1 − 2 2 |− 2 − 2 −1 −10| 0 3 3 1 5 − 2 −7 2 2

0 0

0 0

1 0

0 1)

𝑭𝟑/−𝟏 → 𝑭𝟐 Dividimos la fila 3 por -1

𝑀=

1 −2 0 1 0 0 (0 0

0 2 −1 1 0 0 1 1 1 − 2 2 |− 2 − 2 0 0 1 −10| 0 −3 −1 0 3 1 5 − −7 0 1) 2 2 2

𝟑

𝑭𝟒 − (− 𝟐)𝑭𝟑 → 𝑭𝟒 Multiplicamos la fila 3 por -3/2 y la restamos a la fila 4 1 𝑀= 0 0 (0

1 0 0 −2 2 −1 1 1 1 − − 1 −2 2 | 2 2 0 −1 0 1 −10 | 0 −3 1 3 −2 0 0 8 2 −2

0 0 0 1)

𝑭𝟒⁄ → 𝑭𝟒 Dividimos la fila 4 por 8 𝟖

1 𝑀= 0 0 (0

1 0 0 0 −2 2 −1 1 1 1 − − 0 0 1 −2 2 | 2 2 −1 0 0 1 −10 | 0 −3 1 1 3 1 0 0 1 16 − 4 − 16 8)

𝑭𝟑 − 𝟏𝟎𝑭𝟒 → 𝑭𝟑 Multiplicamos la fila 4 por 10 y los restamos a la fila 3

1 0 0 0 1 1 2 −1 1 −2 − − 0 0 | 2 1 2 − 2 0 1 𝑀= 2 5 1 7 5 − 0 0 1 0 |− 8 − 2 8 4 1 1 3 1 0 0 0 1 ( 16 − 4 − 16 8 )

𝑭𝟐 − 𝟐𝑭𝟒 → 𝑭𝟐 Multiplicamos la fila 4 por 2 y la restamos a la fila 2 1 2 −1 − 5 1 −2 | 8 −1/2 0 𝑀= 0 1 5 0 0 1 0 |− 8 0 0 0 1 1 ( 16

0 0 1 −2 1 −4

0 0 3 1 8 −4 7 5 −4 8 3 1 − 16 8 )

𝑭𝟏 − (−𝟏)𝑭𝟒 → 𝑭𝟏 Multiplicamos la fila 4 por -1 y la restamos a la fila 1 17 1 3 16 − 4 − 16 2 0| 5 1 −2 3 −1/2 0 − 8 0 0 1 8 𝑀= 7 0 0 1 0 −5 −1 2 8 0 0 0 1 | 8 1 1 3 ( 16 − 4 − 16

1 8 1 −4 5 − 4 1 8 )

𝟏

𝑭𝟐 − (− 𝟐)𝑭𝟑 → 𝑭𝟐 Multiplicamos la fila 3 por -1/2 y la restamos a la fila 2

1 0 0 0

𝑀=

−2 1 0 0

2 0 1 0

(

17 16 0| 15 0 − 16 0 5 − 1| 8 1 16

1 3 −4 − 16 1 13 − 4 16 1 7 −2 8 1 3 − 4 − 16

1 8 7 −8 5 −4 1 8 )

𝑭𝟏 − 𝟐𝑭𝟑 → 𝑭𝟏 Multiplicamos la fila 3 por 2 y la restamos a la fila 1

1 0 0 0

𝑀=

(

−2 1 0 0

0 0 1 0

37 5 31 16 4 − 16 0| 15 1 13 0 − 16 − 4 16 0 5 1 7 − −2 8 1| 8 1 1 3 16 − 4 − 16

21 8 7 − 8 5 −4 1 8 )

𝑭𝟏 − (−𝟐)𝑭𝟐 → 𝑭𝟏 Multiplicamos la fila 2 por -2 y la restamos a la fila 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

(

7 1 5 16 4 − 16 0| 15 1 13 0 − 16 − 4 16 0 5 1 7 −8 −2 8 1| 1 1 3 16 − 4 − 16

7 8 7 −8 5 −4 1 8 )

➢ La matriz inversa de la matriz M, por el método de Gauss- Jordán es:

1 −2 −1 0 3 0 2 1

𝑀=

2 −1 2 0

(

1 −1 𝑀= ( 3 2

−2 2 0 −1 0 2 1 0

7

𝑀−1

1

16 4 15 1 − − 16 4 = 5 1 − − 8 2 1 1 − ( 16 4

7 1 5 16 4 − 16 −1| 15 1 13 −3 − 16 − 4 16 −1 5 1 7 − −2 8 1 | 8 1 1 3 16 − 4 − 16

7 8 7 −8 5 −4 1 8 )

7 1 5 − 16 4 16 15 1 13 −1 − − −3) = 16 4 16 −1 5 1 7 − − 1 8 2 8 1 1 3 ( 16 − 4 − 16

5

7

16 13

8 7 − 8 5 − 4 1

−

16 7 8 3 − 16

7 8 7 − 8 5 − 4 1 8 )

8 )

5.1. Determinar la inversa de la matriz M mediante el método de adjunta. 𝑨−𝟏 =

𝟏 𝒅𝒆𝒕 𝑨

𝑨𝒅𝒋 (𝑨) donde: Adj (A) = 𝑪𝒐𝒇 (𝑨)𝒕 = 𝑪𝒕

Entonces: 𝑴−𝟏 =

𝟏 𝑨𝒅𝒋 (𝑴) 𝒅𝒆𝒕 𝑴

𝑴−𝟏

𝑪𝟏, 𝟏 𝟏 𝟏 𝑪𝟏, 𝟐 = ∗ 𝑪𝒕 = ∗( 𝑪𝟏, 𝟑 | | 𝒅𝒆𝒕 𝑴 𝑴 𝑪𝟏, 𝟒

𝑪𝟐, 𝟏 𝑪𝟐, 𝟐 𝑪𝟐, 𝟑 𝑪𝟐, 𝟒

𝑪𝟑, 𝟏 𝑪𝟑, 𝟐 𝑪𝟑, 𝟑 𝑪𝟑, 𝟒

𝑪𝟒, 𝟏 𝑪𝟒, 𝟐 ) 𝑪𝟒, 𝟑 𝑪𝟒, 𝟒

➢ Hallar la determinante. El método de eliminación de Gauss 1 −1 𝑀= ( 3 2

−2 2 −1 0 −1 −3) 0 2 −1 1 0 1

𝑭𝟐 − (−𝟏)𝑭𝟏 → 𝑭𝟐 Multiplicamos la fila 1 por (-1) y lo restamos a la fila 2 1 𝑀 = (0 3 2

−2 −2 0 1

2 −1 1 −4) 2 −1 0 1

𝑭𝟑 − 𝟑𝑭𝟏 → 𝑭𝟑 Multiplicamos la fila 1 por 3 y lo restamos a la fila 3 1 𝑀 = (0 0 2

−2 2 −1 −2 1 −4) 6 −4 2 1 0 1

𝑭𝟒 − 𝟐𝑭𝟏 → 𝑭𝟒 Multiplicamos la fila 1 por 2 y lo restamos a la fila 4 1 𝑀 = (0 0 0

−2 −2 6 5

2 −1 1 −4) −4 2 −4 3

𝑭𝟑 − (−𝟑)𝑭𝟐 → 𝑭𝟑 Multiplicamos la fila 2 por (-3) y la restamos a la fila 3. 1 𝑀 = (0 0 0

−2 2 −1 −2 1 −4 ) 0 −1 −10 5 −4 3

𝟓

𝑭𝟒 − (− 𝟐)𝑭𝟐 → 𝑭𝟒 Multiplicamos la fila 2 por (-5/2) y la restamos a la fila 4 1 0 𝑀= ( 0 0

−2 2 −1 −2 1 −4 −1 −10) 0 0 −3/2 −7

𝟑

𝑭𝟒 − (𝟐)𝑭𝟑 → 𝑭𝟒 Multiplicamos la fila 3 por (3/2) y la restamos a la fila 4 1 𝑀 = (0 0 0

−2 2 −1 −2 1 −4 ) 0 −1 −10 0 0 8

Matriz Triangular.

➢ La determínate de la matriz M es: 1 |𝑀| = (−1 3 2

−2 2 −1 1 −2 2 −1 0 −1 −3) = (0 −2 1 −4 ) = 1 x (-2) x (-1) x 8 = 16 0 2 −1 0 0 −1 −10 1 0 1 0 0 0 8

|𝑀| = 16

➢ Hallar la Adjunta. Método de cofactores

0 𝐶1,1 = (−1)(1+1) 𝑥 |0 1

−1 −3 2 −1| = 7 0 1

−1 −1 −3 𝐶1,2 = (−1)(1+2) 𝑥 | 3 2 −1| = -1 * 15 = -15 2 0 1

−1 0 −3 𝐶1,3 = (−1)(1+3) 𝑥 | 3 0 −1| = -10 2 1 1

−1 0 −1 𝐶1,4 = (−1)(1+4) 𝑥 | 3 0 2 | = -1 * (-1) = 1 2 1 0

−2 2 −1 𝐶2,1 = (−1)(2+1) 𝑥 | 0 2 −1| = -1 *(-4) = 4 1 0 1

1 𝐶2,2 = (−1)(2+2) 𝑥 |3 2

2 −1 2 −1| = -4 0 1

1 𝐶2,3 = (−1)(2+3) 𝑥 |3 2

−2 −1 0 −1| = -1 * 8 = -8 1 1

1 𝐶2,4 = (−1)(2+4) 𝑥 |3 2

−2 2 0 2| = -4 1 0

(3+1)

𝐶3,1 = (−1)

0 2 1 𝑥 | 2 0 3| = - 5 −2 0 1

1 2 1 𝐶3,2 = (−1)(3+2) 𝑥 |−1 −1 −3| = -1 * (-13) = 13 2 0 1

1 −2 −1 𝐶3,3 = (−1)(3+3) 𝑥 |−1 0 −3| = 14 2 1 1

1 −2 2 𝐶3,4 = (−1)(3+4) 𝑥 |−1 0 −1| = -1 * 3 = -3 2 1 0

−2 2 −1 𝐶4,1 = (−1)(4+1) 𝑥 | 0 −1 −3| -1 * (-14) = 14 0 2 −1

(4+2)

𝐶4,2 = (−1)

1 2 −1 𝑥 |−1 −1 −3| = -14 3 2 −1

1 −2 −1 𝐶4,3 = (−1)(4+3) 𝑥 |−1 0 −3| = - 1* 20 = -20 3 0 −1

1 −2 𝐶4,4 = (−1)(4+4) 𝑥 |−1 0 3 0

➢ La matriz adjunta es:

2 −1| = 2 2

7 −15 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = ( 4 −4 −5 13 14 −14

−10 −8 14 −20

1 7 −4) ⇒ 𝐶 𝑡 = (−15 −3 −10 2 1

4 −5 14 −4 13 −14) −8 14 −20 2 −4 −3

➢ La matriz Inversa de la matriz M, mediante el método de cofactores y matriz adjunta es:

𝑀−1

7 1 1 −15 = ∗ 𝐶𝑡 = ∗( −10 |16| 𝑑𝑒𝑡 𝑀 1

𝑀−1

7 1 16 4 15 1 − − 16 4 = 5 1 − − 8 2 1 1 ( 16 − 4

4 −5 −4 13 −8 14 −4 −3

7 1 5 − 16 4 16 15 1 13 14 − − −14) = 16 4 16 −20 5 1 7 − − 2 8 2 8 1 1 3 ( 16 − 4 − 16

7 8 7 − 8 5 − 4 1 8 )

5 7 16 8 13 7 − 16 8 7 5 − 8 4 3 1 − 16 8 ) −

DESARROLLO DEL EJERICIO C DIEGO ANDREY MORENO

Descripción del ejercicio 2 Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante. C. ⃗𝒗 = (𝟑, 𝟓) y ⃗𝒘 ⃗⃗ = (𝟔, −𝟑) ⃗ ∙𝒘 𝒗 ⃗⃗

𝒄𝒐𝒔𝜽 = ‖𝒗‖‖𝒘‖

Angulo entre vectores: ⃗ ∙𝒘 ⃗⃗⃗ = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟓 = 𝟑 𝒗

‖𝒘‖ = √(𝟔)𝟐 + (−𝟑)𝟐 = √𝟒𝟓 = 𝟑√𝟓 ‖𝒗‖ = √(𝟑)𝟐 + (𝟓)𝟐 = √𝟑𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

𝟑 𝟑√𝟓√𝟑𝟒

=

𝟏 √𝟏𝟕𝟎

𝜽 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (

𝟏 √𝟏𝟕𝟎

)

𝜽 = 𝟖𝟓. 𝟔°

Suma de vectores ⃗𝒗 + ⃗𝒘 ⃗⃗ = (𝟑, 𝟓) + (𝟔, −𝟑) = (𝟗, 𝟐) Magnitud ‖𝒗 ⃗ +𝒘 ⃗⃗⃗ ‖ = √(𝟗)𝟐 + (𝟐)𝟐 = √𝟖𝟓

Dirección: 𝒚 𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) 𝒙 𝟐 𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) 𝟗 𝜽 = 𝟏𝟐. 𝟓𝟑°

Descripción del ejercicio 3 ⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟓𝒋 + 𝟑𝒌 y 𝒗 ⃗ = −𝟐𝒊 + 𝟗𝒋 − 𝒌 determine su producto cruz y calcule Dados los vectores 3D 𝒖 el resultado de la siguiente operación:

𝒊 ⃗ × 𝒗 ⃗ =| 𝟑 𝒖 −𝟐

𝒋 𝒌 −𝟓 𝟑 | 𝟗 −𝟏

⃗ × 𝒗 ⃗ = (𝟓 − 𝟐𝟕)𝒊 − (−𝟑 + 𝟔)𝒋 + (𝟐𝟕 − 𝟏𝟎)𝒌 𝒖 ⃗ × 𝒗 ⃗ = −𝟐𝟐𝒊 − 𝟑𝒋 + 𝟏𝟕𝒌 𝒖

𝟑

C. ( 𝒖 − 𝒗) ∙ (𝒖 + 𝒗) 𝟓

𝟑 𝟓

𝟗

𝟗

⃗ = 𝒊 − 𝟑𝒋 + 𝒌 𝒖 𝟓 𝟓

𝟑 𝟏𝟗 𝟏𝟒 ⃗ − 𝒗 ⃗ = 𝒖 𝒊 − 𝟏𝟐𝒋 + 𝒌 𝟓 𝟓 𝟓 ⃗ + 𝒗 ⃗ = 𝒊 + 𝟒𝒋 + 𝟐𝒌 𝒖 𝟑 𝟏𝟗 𝟐𝟖 𝟏𝟗𝟑 ⃗ − 𝒗 ⃗ ) ∙ (𝒖 ⃗ + 𝒗 ⃗)= ( 𝒖 − 𝟒𝟖 + =− 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓

Descripción del ejercicio 4 Dadas las siguientes matrices: 𝟑 −𝟏 𝟑 𝟎 𝑨 = |−𝟐 𝟏 𝟐 −𝟒| −𝟏 𝟎 −𝟓 𝟐

𝟓 −𝟐 𝟑 −𝟏 𝑩 = |𝟑 −𝟒 𝟏 −𝟐| −𝟏 𝟎 −𝟑 𝟒

𝟎 −𝟐 −𝟑 𝟑 −𝟏| 𝑪=| 𝟒 −𝟏 𝟎 𝟒 −𝟐 −𝟒 𝟐

Realizar las siguientes operaciones: 𝑻

C. (𝑨 + 𝑪𝑻 ) ∙ 𝟑𝑩 𝟎 𝟒 𝑪𝑻 = |−𝟐 𝟑 −𝟑 −𝟏

−𝟏 −𝟐 𝟎 −𝟒 | 𝟒 𝟐

−𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝑨 + 𝑪𝑻 =|−𝟒 𝟒 𝟐 −𝟖 | 𝟒 −𝟒 −𝟏 −𝟏

(𝑨 + 𝑪

𝑻 )𝑻

𝟑𝑩 = |

𝟑 −𝟒 −𝟒 𝟒 −𝟏| =| 𝟑 𝟐 𝟐 −𝟏 −𝟐 −𝟖 𝟒

𝟗 −𝟑 𝟏𝟓 −𝟔 𝟗 −𝟏𝟐 𝟑 −𝟔 | −𝟑 𝟎 −𝟗 𝟏𝟐

𝑻

(𝑨 + 𝑪𝑻 ) ∙ 𝟑𝑩 =

-3

30

-21

63

84

-66

48

-45

51

-36

33

-30

-114

108

-78

102

Descripción del ejercicio 5 Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordan y Determinantes 𝟏 (𝑨−𝟏 = ∙ 𝑨𝒅𝒋𝑨). 𝑫𝒆𝒕𝑨

𝟑 𝟎 −𝟐 𝟐 C. 𝑴 = | 𝟏 −𝟏 𝟎 −𝟐

𝟑 𝟎 −𝟐 𝟐 𝒅𝒆𝒕 𝑴 = | 𝟏 −𝟏 𝟎 −𝟐

𝟐 𝟎 𝟑 𝟎

𝟐 𝟎 𝟑 𝟎

𝟏 𝟑| 𝟎 𝟏

𝟏 𝟑| 𝟎 𝟏

𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟎 𝟐 = −𝟐 ∗ |−𝟐 𝟎 𝟑| + 𝟏 ∗ |−𝟐 𝟐 𝟎| 𝟏 𝟑 𝟎 𝟏 −𝟏 𝟑 = −𝟐 ∗ [(𝟎 − 𝟔 + 𝟔) − (𝟎 + 𝟎 + 𝟐𝟕)]+ [(𝟏𝟖 + 𝟎 + 𝟒) − (𝟒 + 𝟎 + 𝟎)] 𝒅𝒆𝒕 𝑴 = 𝟓𝟒 + 𝟏𝟖 = 𝟕𝟐

Matriz de cofactores

2 -1 -2

0 3 0

3 0 1

0 - -1 -2

2 3 0

0 2 -2 0 2 -1

-

-2 1 0

0 3 0

3 0 1

1 0 1

3 1 0

2 3 0

1 0 1

2 0 0

1 3 1

3 - -2 0

2 0 0

2 0 3

1 3 0

3 -2 1

2 0 3

-

-2 1 0

2 -1 -2

3 0 1

3 1 0

0 -1 -2

1 3 1

3 -2 0

1 3 0

3 - -2 1

-

-2 1 0

2 -1 -2

0 3 0

1 0 1

3 1 0

0 -1 -2

2 3 0

0 2 -2

1 3 1

3 - -2 0

0 2 -2

2 0 0

0 2 -1

1 3 0

3 -2 1

0 2 -1

2 0 3

-

Cof M=

24 -8 -16 0

24 6 -6 12

Adj M=

A^-1 =

6 7 -4 -27

1/3 0 -0 1/6

-6 5 28 -9

-8 7 5 14

12 14 -8 18

-16 -4 28 -8

- 1/9 0 0 1/5

- 2/9 -0 2/5 - 1/9

0 -27 -9 18

0 - 3/8 - 1/8 1/4

DESARROLLO DEL EJERICIO E EDWIN XAVIER TIBANA

1. Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante.

⃗ = (−𝟓, −𝟒) Y 𝒘 ⃗⃗⃗ = (𝟒, 𝟑) 𝒗 Formula ➢ cos Ɵ =

𝑉.𝑊 |V||W|

➢ 𝑉. 𝑊 = (−5). 4 + (−4). 3 ➢

𝑉. 𝑊 = −20 − 12

𝑉. 𝑊 = −32

➢ |𝑉| = √(−5)2 + (−4)2 ➢ |𝑉| = √41

|𝑉| = √25 + 16

= 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟"𝑉"

➢ |𝑊| =

√42 + 32

➢ |𝑊| =

√25

➢ cos Ɵ =

𝑉.𝑊

|𝑊| = √16 + 9

|𝑊| = 5 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 "𝑊"

Sustituir formula

=

|V||W|

cos Ɵ =

−32 √41∗√25

= -0.999512

➢ cos Ɵ = -0.999512 ➢ Ɵ = 𝑐𝑜𝑠 −1 = 178°

Gráfico en GeoGebra

Magnitud vector resultante

𝑉 + 𝑊 = 𝑉 (−5 + 4) , (−4 + 3) ‖𝑣𝑤‖ = √(−1)2 + (−1)2

Dirección = tan 𝜃 = 45

1

𝑦 𝑥

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) = 45 1

𝑉 + 𝑊 = (−1, −1) ‖𝑣𝑤‖ = √2 = 1.4142 𝑣 𝑤 = 〈−1, −1 〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

tan 𝜃 =

𝜃 = 180° + 45 = 225°

1 1

1

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) = 1

Gráfico GeoGebra

⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟓𝒋 + 𝟑𝒌 y Dados los vectores 3D 𝒖 ⃗ = −𝟐𝒊 + 𝟗𝒋 − 𝒌 𝒗 Determine su producto cruz y calcule el resultado de la siguiente operación: ➢

𝟓 𝟐

(𝒖 − 𝟐𝒗) ∙ (𝟒𝒖 − 𝒗)

Antes de empezar a calcular el producto vectorial o producto cruz, es importante resaltar que este es el resultado de un nuevo vector 𝑖 𝑗 𝑘 𝑈 ∗ 𝑉 = [𝑢1 𝑢2 𝑢3] 𝑣1 𝑣2 𝑣3 Ahora procedemos a sustituir los valores 𝑖 𝑈∗𝑉 =[ 3 −2

−5 → 𝑋 →= | 𝑈 𝑉 9

𝑗 −5 9

3 3| i−| −1 −2

𝑘 3] −1

3 |j + | 3 −1 −2

−5| 𝑘 9

•

→ 𝑋 →= ((−5). (−1) − 9.3)i − 3. (−1) − (−2). (3)j + 3.9 − (−2). (−5)k

•

→ 𝑋 →= (5 − 27)𝑖 − (3 − 6)𝑗 + (27 − 10)𝑘

•

→ 𝑋 →= −22𝑖 − 3j+ 17k

𝑈 𝑈 𝑈

𝑉 𝑉 𝑉

𝑈 ∗ 𝑉 = −22 i − 3 j + 17 k este es el producto cruz

El producto de un escalar por un vector: el resultado de multiplicar un escalar a un vector es otro vector. 4 u = 4(3 i − 5 j + 3 k ) 4 𝑢 = 12𝑖 − 20𝑗 + 12𝑘

Ahora procedemos con la resta de los vectores (4𝑢 − 𝑣) (4𝑢 − 𝑣) (4𝑢 − 𝑣) (4𝑢 − 𝑣)

= (12𝑖 − 20𝑗 + 12𝑘) − (−2𝑖 + 9𝑗 − 𝑘) = 12𝑖 − 20𝑗 + 12𝑘 + 2 𝑖 − 9 𝑗 + 𝑘 = (12 + 2)𝑖 + (−20 − 9)𝑗 + (12 + 1)𝑘 = 14 𝑖 − 29 𝑗 + 13 𝑘

En el siguiente paso continuamos con el escalar por un vector 2𝑣 = 2(−2 𝑖 + 9 𝑗 − 𝑘) 2𝑣 = −4 𝑖 + 18 𝑗 − 2 𝑘 Luego de las operaciones anteriores podemos proceder con la resta de los vectores (𝑢 − 2𝑣) = (3𝑖 − 5𝑗 + 3𝑘) − (−4𝑖 + 18𝑗 − 2𝑘) (𝑢 − 2𝑣) = 3𝑖 − 5𝑗 + 3𝑘 + 4𝑖 − 18𝑗 + 2𝑘 (𝑢 − 2𝑣) = (3 + 4)𝑖 + (−5 − 18)𝑗 + (3 + 2)𝑘 (𝑢 − 2 𝑣) = 7 𝑖 − 23 𝑗 + 5 𝑘

5/2(𝑢 − 2 𝑣)) = 5/2(7𝑖 − 23𝑗 + 5𝑘) 5/2(𝑢 − 2 𝑣) = 35/2 𝑖 − 115/2 𝑗 + 25/2 𝑘 Para culminar con la operación planteada continuamos con el producto escalar o producto punto: es producto de dos vectores el resultado es un escalar 5/2(𝑢 − 2𝑣). (4𝑢 − 𝑣) 5/2(𝑢 − 2𝑣). ( 𝑢 − 𝑣) = ( 35/2𝑖 − 115/2𝑗 + 25/2𝑘)( 14𝑖 − 29𝑗 + 13𝑘) 5/2(𝑢 − 2𝑣). (4𝑢 − 𝑣) = [(35/2)(14)] + [(−115/2)(−29)] + [(25/2)(13)] 5/2(𝑢 − 2𝑣). (4𝑢 − 𝑣) = 245 − 3335/2 + 325/2 5/2(𝑢 − 2 𝑣). (4 𝑢 − 𝑣) = 2075 El producto cruz entre dos vectores U y V es: 𝑈 ∗ 𝑉 = −22𝑖 − 3𝑗 + 17𝑘 La siguiente operación de vectores da como resultado:

5 (𝑈 − 2𝑉 ). (4𝑈 − 𝑉 ) = 2075 2

2. Dadas las siguientes matrices:

𝟑 −𝟏 𝟑 𝟎 𝑨 = |−𝟐 𝟏 𝟐 −𝟒| −𝟏 𝟎 −𝟓 𝟐

𝟓 −𝟐 𝑩 = |𝟑 −𝟒 −𝟏 𝟎

𝟑 −𝟏 𝟏 −𝟐| −𝟑 𝟒

𝟎 𝑪=| 𝟒 −𝟏 −𝟐

−𝟐 𝟑 𝟎 −𝟒

−𝟑 −𝟏| 𝟒 𝟐

Realizar las siguientes operaciones:

(𝑩𝑻 ∙ 𝑪) + (𝑨𝑻 ∙ 𝑪)

➢

➢ Calcular B

• • • • • • • • •

𝟓 −𝟐 𝟑 −𝟏 𝑻 𝑩 = |𝟑 −𝟒 𝟏 −𝟐| −𝟏 𝟎 −𝟑 𝟒

𝟎 −𝟐 −𝟑 𝟑 −𝟏| 𝑪=| 𝟒 −𝟏 𝟎 𝟒 −𝟐 −𝟒 𝟐

𝐶11 = 5 × 0 + −2 × 4 + 3 × −1 + 1 × −2 𝐶12 = 5 × −2 + −2 × 3 + 3 × 0 + 1 × −4 𝐶13 = 5 × −3 + −2 × −1 + 3 × 4 + 1 × 2 𝐶21 = 3 × 0 + −4 × 4 + 1 × −1 + −2 × −2 𝐶22 = 3 × −2 + −4 × 3 + 1 × 0 + −2 × −4 𝐶23 = 3×−3+−4×−1+1×4+−2×2 𝐶31 = −1×0+0×4+−3×−1+4×−2 𝐶32 = −1×−2+0×3+−3×0+4×−4 𝐶33 = −1×−3+0×−1+−3×4+4×2

−𝟏𝟑 |−𝟏𝟑 −𝟓

−𝟐𝟎 −𝟏𝟎 −𝟏𝟒

𝟏 −𝟓| −𝟏

𝟎 −𝟐 −𝟑 𝟑 −𝟏 𝟑 𝟎 𝟑 −𝟏| ➢ 𝑨𝒕 |−𝟐 𝟏 𝟐 −𝟒| ∗ 𝑪 | 𝟒 −𝟏 𝟎 𝟒 −𝟏 𝟎 −𝟓 𝟐 −𝟐 −𝟒 𝟐

• • • • • • • • •

𝐶11 = 3×0+−1×4+3×−1+0×−2 𝐶12 = 3 × −2 + −1 × 3 + 3 × 0 + 0 × −4 𝐶13 = 3×−3+−1×−1+3×4+0×2 𝐶21 = −2×0+1×4+2×−1+−4×−2 𝐶22 = −2×−2+1×3+2×0+−4×−4 𝐶23 = −2×−3+1×−1+2×4+−4×2 𝐶31 = −1×0+0×4+−5×−1+2×−2 𝐶32 = −1×−2+0×3+−5×0+2×−4 𝐶33 = −1×−3+0×−1+−5×4+2×2

−𝟕 | 𝟏𝟎 𝟏 −𝟏𝟑 |−𝟏𝟑 −𝟓 𝟏𝟑 + −𝟕 |−𝟏𝟑 + 𝟏𝟎 −𝟓 + 𝟏

−𝟐𝟎 −𝟏𝟎 −𝟏𝟒

−𝟗 𝟐𝟑 −𝟔

𝟒 𝟓 | −𝟏𝟑

𝟏 −𝟕 −𝟓| + | 𝟏𝟎 −𝟏 𝟏

−𝟐𝟎 + −𝟗 −𝟏𝟎 + 𝟐𝟑 −𝟏𝟒 + −𝟔

𝟏+𝟒 −𝟓 + 𝟓 | = −𝟏 + 𝟏𝟑

−𝟗 𝟐𝟑 −𝟔

𝟒 𝟓 | −𝟏𝟑

−𝟐𝟎 | −𝟑 −𝟒

−𝟐𝟗 𝟏𝟑 −𝟐𝟎

𝟓 𝟎| 𝟏𝟐

Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordán y Determinantes (𝑨−𝟏 =

𝟏 𝑫𝒆𝒕𝑨

∙ 𝑨𝒅𝒋𝑨). 𝟐 𝑴 = |𝟏 𝟎 𝟐

𝟑 −𝟏 𝟎 𝟎 −𝟐 𝟑 | 𝟐 −𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 −𝟏

Método Gauss Jordán

𝟐 𝑴 = |𝟏 𝟎 𝟐

𝟑 𝟎 𝟐 𝟏

−𝟏 𝟎 −𝟐 𝟑 | −𝟑 𝟏 𝟑 −𝟏

𝟏 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏

(-1)f2 ---f1

𝟏 𝟐 ➢ | 𝟎 𝟐

𝟎 𝟑 𝟐 −𝟏

−𝟐 −𝟑 𝟎 −𝟏 −𝟎| 𝟏 𝟑 −𝟏 𝟎 𝟑 𝟎 𝟎

−𝟏 𝟎 𝟎 𝟎

𝟏 ➢ |𝟎 𝟎 𝟐

𝟎 𝟑 𝟐 −𝟏

−𝟐 −𝟑 𝟎 𝟑 𝟔 |𝟏 𝟑 −𝟏 𝟎 𝟕 𝟔 𝟎

−𝟏 𝟐 𝟎 𝟐

𝟏 ➢ |𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 𝟐 𝟑

−𝟐 −𝟑 𝟎 −𝟏 −𝟕 −𝟔| 𝟏 −𝟐 𝟑 −𝟏 𝟎 𝟎 𝟑 𝟔 𝟏 𝟐

𝟎 𝟎 𝟎 −𝟏 f3-2f2 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 F4- 3f2

𝟏 ➢ |𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

−𝟐 −𝟕 𝟏𝟕 𝟐𝟒

𝟎 𝟎 𝟏 𝟎

𝟏 ➢ |𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

𝟎 −𝟏 −𝟐 −𝟑 −𝟕 −𝟔 | 𝟎 −𝟐 𝟏 𝟏𝟏/𝟏𝟕 𝟎 𝟒/𝟏𝟕 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟏 𝟖

−𝟑 𝟎 −𝟏 −𝟔| 𝟏 −𝟐 𝟏𝟏 𝟎 𝟒 𝟐𝟒 𝟏 𝟖

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 F4-2f1 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏

𝟎 −𝟏 𝟐 𝟑

f2- 2f1

(-1)f4---f2

(1/17)f3

𝟎 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟏/𝟏𝟕 𝟐/𝟏𝟕 𝟎 𝟑 F4-24f3

𝟏 𝟎 ➢ | 𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

−𝟐 −𝟑 𝟎 −𝟏 −𝟕 −𝟔 𝟎 −𝟐 𝟏 𝟏𝟏/𝟏𝟕 | 𝟎 𝟒/𝟏𝟕 𝟎 𝟏𝟒𝟒/𝟏𝟕 𝟏 𝟒𝟎/𝟏𝟕

𝟎 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟏/𝟏𝟕 𝟐/𝟏𝟕 −𝟐𝟒/𝟏𝟕 𝟑/𝟏𝟕

(17/144) f4 𝟏 ➢ |𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

F2+7f3

−𝟐 𝟎 𝟏𝟕/𝟒𝟖 −𝟏/𝟏𝟔 −𝟕 𝟎| 𝟏𝟕/𝟐𝟒 −𝟏/𝟑 𝟏 𝟎 −𝟏𝟏/𝟏𝟒𝟒 𝟏/𝟏𝟖 𝟎 𝟏 𝟏𝟕/𝟏𝟒𝟒 𝟓/𝟏𝟖

−𝟏/𝟐 𝟏/𝟏𝟔 −𝟏 −𝟕/𝟖 𝟏/𝟏𝟔 𝟓/𝟒𝟖 −𝟏/𝟏𝟔 𝟏/𝟒𝟖

f1+2f3

𝟏 ➢ |𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟐𝟗/𝟏𝟒𝟒 −𝟏/𝟏𝟖 𝟎| 𝟐𝟓/𝟏𝟒𝟒 𝟏/𝟏𝟖 𝟎 −𝟏𝟏/𝟏𝟒𝟒 𝟏/𝟏𝟖 𝟏 𝟏𝟕/𝟏𝟒𝟒 𝟓/𝟏𝟖

−𝟏/𝟔 𝟏/𝟔 𝟏/𝟔 −𝟏/𝟔

𝟏𝟑/𝟒𝟖 −𝟕/𝟒𝟖 𝟓/𝟒𝟖 𝟏/𝟒𝟖

= 𝑀−1

Calculo determinante es el producto de la diagonal 𝟐 𝟑 −𝟏 𝟎 ➢ | 𝟎 𝟐 𝟐 −𝟏

−𝟏 𝟎 𝟐 𝟑 | 𝒇𝟐 + 𝒇𝟏/𝟐 𝟑 −𝟏 𝟑 𝟎 𝒇𝟒 − 𝒇𝟏

𝟐 𝟑 𝟎 𝟑/𝟐 ➢ | 𝟎 𝟐 𝟎 −𝟒

−𝟏 𝟎 𝟑/𝟐 𝟑 | 𝒇𝟐___𝒇𝟒 𝟑 −𝟏 𝟒 𝟎

𝟐 𝟑 ➢ | 𝟎 −𝟒 𝟎 𝟑/𝟐 𝟎 𝟐

−𝟏 𝟎 𝟒 𝟎 | 𝒇𝟑 + 𝟑/𝟖𝒇𝟐 𝟑/𝟐 𝟑 𝟑 −𝟏

F4+1/2f2 𝟐 𝟑 ➢ 𝟎 −𝟒 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

−𝟏 𝟎 𝟒 𝟎 𝟑 𝟑 𝟓 −𝟏

f4-5/3f3

𝟐 𝟑 ➢ 𝟎 −𝟒 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

−𝟏 𝟎 𝟒 𝟎 𝟑 𝟑 𝟓 −𝟔

det (M) =(2)(-4)(3)(-6)

Det (m) = 144 Matriz cofactores Determinante de cada uno de los componentes de la matriz 0 ➢ 𝐦𝟏𝟏 = | 2 −1

2 3 3

3 0-2(-1)+3(6+3) | = −1 2+27 29 0

−1 𝐦𝟏𝟐 = | 0 2

2 3 3

3 (-1)[-1(0+3)-2(2)+3(-6) |= −1 (-1)[-3-4-18] 0 25

−1 ➢ 𝐦𝟏𝟑 = | 0 2

0 2 −1

-1(-1)+3(-4) 3 −1| = 1-12 -11 0

−1 𝐦𝟏𝟒 = | 0 2

3 ➢ 𝐦𝟐𝟏 = | 2 −1

−1 3 3

0 (-1)[3(3)+(-1)] −1| = (-1)[9-1] 0 -8

2 𝐦𝟐𝟐 = |0 2

2 ➢ 𝐦𝟐𝟑 = |0 2

3 2 −1

0 −1| = 0

2 (-1)[2(-1)-3(2)] 𝐦𝟐𝟒 = |0 (-1)[-2-6] 2

3 2 −1

0 2 −1 −1 3 3

2 3|= 3

(-1)[-1(6+3)+2(-4)] (-1)[-9-8] 17

0 −1|= 0

2(3)+2 6+2 8

−1 3 |= 3

2(6+3)-3(-6)-1(-4)] 18+18+4 40

3 ➢ 𝐦𝟑𝟏 = | 0 −1

−1 2 3

0 3| = 0

3(-9)+1(3) -27+3 -24

2 𝐦𝟑𝟐 = |−1 2

−1 2 3

0 3|= 0

(-1)[2(-9)+1(-6)] (-1)[-18-6] 24

2 ➢ 𝐦𝟑𝟑 = |−1 2

3 0 −1

0 3|= 0

2(3)-3(-6) 6+18 24

2 𝐦𝟑𝟒 = |−1 2

3 0 −1

−1 2 |= 3

(-1)[2(2)-3(-3-4)-1(1)] (-1)[4+21-1] -24

3 ➢ 𝐦𝟒𝟏 = |0 2

−1 2 3

0 3 |= −1

(-1)[3(-2-9)+(-6)] 2 (-1)[-33-6] 𝐦𝟒𝟐 = |−1 39 0

−1 2 3

3 0 2

0 3 |= −1

2 (-1)[2(-6)-3(1) 𝐦𝟒𝟒 = |−1 (-1)[-12-3] 0 15

3 0 2

2 ➢ 𝐦𝟒𝟑 = |−1 0

29 25 −8 8 ➢ 𝑀′ = | −24 24 39 −21

−11 17 8 40| 24 −24 15 3

0 3 |= −1

−1 2 |= 3

29 −8 𝑨𝒅𝒋(𝑴) = | 25 8 −11 8 17 40

29/144 −1/18 24/144 1/18 𝑀 −1 𝒂𝒅𝒋(𝑴)𝒅𝒆𝒕(𝑴) = | −11/144 1/18 17/144 −1/18

2(-2-9)+1(1) -21

2(-4)-3(-3)-1(-2) -8+9+2 3

−24 39 24 −21| 24 15 −24 3

−1/6 13/48 1/6 7/48 | 1/6 5/48 −1/6 1/48

CONCLUSIONES

➢ Durante el desarrollo del presente trabajo, fue evidente la importancia de poder resolver matrices inversas mediante distintos métodos, es nos abre la posibilidad de ver desde diferentes puntos de vista o perspectivas un problema de algebra lineal y a su vez determinar distintas formas de resolver, permitiéndonos enfrentarnos a cualquier problema sin el temor a fracasar. ➢ Es necesario que los estudiantes comprendan que adquirir el conocimiento básico como son las operaciones con matrices es decir la suma, resta, multiplicación y multiplicación por un escalar, traspuesta, son esenciales para adentrarnos en temas de mayor complejidad como es la resolución de matrices inversas, determinantes adjuntas o sistemas de ecuaciones lineales. ➢ Los vectores y sus operaciones son importantes nos permiten comprender el mundo desde una perspectiva mas abstracta, y de esta forma llegar a conclusiones de la realidad o sucesos matemáticos de mejor manera.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 5 a la 18. Disponible en Entorno de conocimiento. Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 20 a la 77. Disponible en Entorno de conocimiento. Aranda, E. (2013). Algebra lineal con aplicaciones y phyton. Valladolid: Universidad de valladolid. Del Valle Sotelo, J. (2011). Algebra lineal para estudiantes de ingenieria y ciencias. . Mexico D.F.: MacGraw-Hill/Intereamicana de editores.