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TAREA 2- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS.

DOCENTE.

MARCO ANTONIO ZAMBRANO

OSCAR EDUARDO ECHENIQUE DOMINGUEZ GRUPO: 100408_284

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS ALGEBRA LINEAL CÓDIGO DEL CURSO: 100408_284 MONTERÍA – CORDOBA 2019

INTRODUCCION El algebra a través de la historia a tenido un uso importante, a través de él hombre ha logrado diseñar, construir y desarrollar estructuras que han maravillado el mundo, y es que el algebra cuenta con un sin número de elementos que permiten resolver diversas situaciones problémicas donde se encuentre incurso ecuaciones ya sean lineales o cuadráticas, es por ello es que gran parte de la historia el objetivo del algebra se ha centrado en la resolución de ecuaciones, ahora bien desde inicios de siglo antepasado tomo fuerza un área del algebra que se alimentaba de problemas que llegaban de la geometría, el análisis de número y de la teoría de ecuaciones, que al final terminaron en el estudio de unos elementos de tipo abstracto, a esto se le conoce hoy en día como algebra moderna, durante el presente trabajo se buscó que el estudiante se relacionara con un área específica de esta algebra como lo es el algebra lineal, curso de vital importancia para contribuir a que el estudiante desarrolle la capacidad lógica– deductiva necesaria para resolver problemas tipo abstracto relacionados al campo de la matemática.

Dentro del presente trabajo se trabajaron lo siguientes temas, en primer lugar sistemas de ecuaciones, para ello fue necesario comprender que son, que papel juegan y como se resuelven, dentro de este encontramos temas importantes como es la ecuación de la recta, métodos de solución de ecuaciones lineales tales como la eliminación gaussiana, la regla de Cramer, método de matriz inversa, el método Gauss-Jordán y factorización LU, temas vistos con anterioridad, además vimos como trabajar las ecuaciones para transformarlas de simétricas a paramétricas y viceversa, también se toco el tema de los planos y como determinar sus ecuaciones, además se hablo de temas de rectas y planos perpendiculares, ortogonales, paralelos, de intersecciones. Finalmente se trabajo en geogebra como método para trazar las gráficas y como método para confirmar algunos resultados.

Los estudiantes de carreas de ingeniería y ciencias, deben de estar relacionados con estos temas, ya que les permitirá desempeñarse de la manera más exitosa durante el desarrollo de las asignaturas siguientes y finalmente durante de su etapa laboral y profesional, ya que estará en la capacidad de resolver problemas de tipo abstracto allegados al área del algebra lineal, los que los convertirá en profesionales íntegros y competitivos para entrar en un mercado que es cada vez más difícil y duro, donde solo los más preparados suelen triunfar.

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Desarrollar en el estudiante las habilidades y destrezas necesarias para la resolución de problemas relacionados con algebra lineal. OBEJTIVOS ESPECIFICOS  Acercar al estudiante a temas sistemas de ecuaciones, ecuaciones de la recta y el plano, ecuaciones paramétricas y simétricas.  Reconocer los métodos para la solución de sistemas de ecuaciones.  Aplicar los métodos de solución de ecuaciones lineales para darle solución a problemas presentados  Aprender como determinar la ecuación del plano y la recta.

Ejercicio 1: Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Para el desarrollo del ejercicio 1, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2. a. Descripción del ejercicio 1: Luego de haber estudiado los contenidos indicados, presente un cuadro sinóptico que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 2, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración. Debe informar en el foro el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero 

¿Cuáles son los métodos de solución para los sistemas de ecuaciones? De ejemplos.

b) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio de la eliminación Gaussiana. Valide su resultado por medio de Geogebra*. En una casa campo a las afueras de Bogotá, se encuentran 11 animales entre Pavos, Patos y Gallinas. Cada Pavo come tres kilos de alpiste al día, cada Pato come dos kilos al día y cada Gallina también dos kilos. Si en total se necesitan 25 kilos de

alpiste por día y se sabe que el número de Gallinas es el triple respecto al número de Patos. ¿Cuántos Pavos, Patos y Gallinas hay? 1. Datos      

Pavos (Comen 3 Kilos de alpiste) Patos (Comen 2 Kilos de alpiste) Gallinas (Comen 2 Kilos de alpiste) Gallinas = 3 Veces los patos Total de Animales: 11 Total de alpiste consumido al mes: 25 Kilos

2. Asignación de variables   

Pavos: x Patos: y Gallinas: z

3. Formulación del sistema de ecuaciones 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11 Ecuación 1 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 25 Ecuación 2 𝑧 = 3𝑦 Ecuación 3 4. Remplazamos ecuación 3 en las ecuaciones 1 y 2. 

Remplazando 3 en 1 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11 𝑥 + 𝑦 + 3𝑦 = 11 𝑥 + 4𝑦 = 11



Remplazando 3 en 2 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 25 3𝑥 + 2𝑦 + 2(3𝑦) = 25 3𝑥 + 2𝑦 + 6𝑦 = 25

3𝑥 + 8𝑦 = 25

5. Estableciendo las nuevas ecuaciones 4 y 5 𝑥 + 4𝑦 = 11 3𝑥 + 8𝑦 = 25 6. Con las nuevas ecuaciones podemos establecer una matriz para determinar la solución. 1 4 11 | | | 3 8 25 7. Apliquemos eliminación gaussiana para hallar la matriz escalonada.



A F2 le restamos 3 veces F1 𝐹2 → 3𝐹1 1 4 11 1 | | | →| 3 8 25 0



4 11 | | −4 −8

Dividamos a F2 entre -4

𝐹2 −4

1 4 11 | | | 0 1 2 

Nuestra matriz escalonada queda 1 4 11 | | | 0 1 2



Establezcamos nuestro nuevo sistema de ecuaciones es: 𝑥 + 4𝑦 = 11 𝑦=2



Realizando sustituciones hacia atrás determinamos el valor de x

Ya sabiendo que 𝑦 = 2 remplazamos 𝑥 + 4𝑦 = 11 𝑥 + 4𝑦 = 11 𝑥 + 4(2) = 11 𝑥 + 8 = 11 𝑥 = 11 − 8 𝑥=3 

Reemplazando 𝑦 = 2 en Z= 3y: 𝑧 = 3𝑦 𝑧 = 3(2) 𝑧=6

8. El valor de cada incógnita y que además da respuesta a la pregunta ¿Cuántos Pavos, Patos y Gallinas hay? Es: X=3 Y=2 Z=6 Lo que significa que hay 3 Pavos, 2 Patos y 6 Gallinas. 9. Comprobamos las ecuaciones 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 25 Remplazamos los valores de x, y, z en las ecuaciones correspondientes.



𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 11 3 + 2 + 6 = 11 11 = 11

Por lo tanto hay 3 pavos, 2 patos y 6 gallinas y la suma de Pavos, Patos y Gallinas es de 11 animales. 

3(3) + 2(2) + 2(6) = 25 9 + 4 + 12 = 25 25 = 25 Por lo tanto los pavos comen 9 Kilos, los patos comen 4 Kilos, las gallinas 12 kilos para un total de 25 Kilos.



Solución con GeoGebra

c. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto 7, −2, 9 y es perpendicular a cada 𝑥−2 𝑦 𝑧+3 𝑦−2 𝑧 una de las rectas 2 = −2 = 3 y 𝑥 + 4 = 5 = −2.  Establecemos las rectas L1 y L2 𝐿1 =

𝑥−2 𝑦 𝑧+3 = = 2 −2 3

𝐿2 = 𝑥 + 4 =

𝑦−2 𝑧 = 5 −2

 Establecemos las ecuaciones paramétricas L1 y L2 L1: Ecuaciones Paramétricas 𝑥 = 2 + 2𝑡 𝑦 = −2𝑡 𝑧 = 3 + 3𝑡 Vector de dirección de L1. 𝑣1 = (2, -2, 3) ⃗⃗⃗⃗ L2: Ecuaciones Paramétricas 𝑥 = −4𝑡 𝑦 = −2 + 5𝑡 𝑧 = −2𝑡 Vector de dirección de L2. 𝑣2 = (-4, 5, -2) ⃗⃗⃗⃗  Vectores de dirección L1 y L2 𝑣1 = 2i – 2j + 3k ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 = −4i + 5j – 2k ⃗⃗⃗⃗  Hallaremos un vector perpendicular a los vectores de dirección, realizando el producto cruz entre ambos: 𝑖 𝑗 𝑘 −2 3 2 −2 2 3 𝑤 ⃗⃗ = | 2 −2 3 | = 𝑖 | |− 𝑗| |+𝑘| | 5 −2 −4 5 −4 −2 −4 5 −2 𝑤 ⃗⃗ = 𝑖((−2 ∗ −2) − (3 ∗ 5)) − 𝑗((2 ∗ −2) − (−4 ∗ 3)) + 𝑘((2 ∗ 5) − (−4 ∗ −2)

𝑤 ⃗⃗ = 𝑖(4 − 15) − 𝑗(−4 − (−12)) + 𝑘(10 − 8)

𝑤 ⃗⃗ = 𝑖(4 − 15) − 𝑗(−4 + 12) + 𝑘(10 − 8) 𝑤 ⃗⃗ = −11𝑖 − 8𝑗 + 2𝑘 𝑤 ⃗⃗ = (−11, −8, 2)  Ya teniendo el vector dirección de la Recta L pedida podemos entonces formular la ecuación de la recta L. L = (7,-2,9) + k(-11,-8,2) Donde k pertenece a los números reales.

d. Demostrar si las rectas que se presenta a continuación son ortogonales:

𝐿1 =

𝑥 + 4 𝑦 − 6 𝑧 − 10 ; ; 8 −2 4

𝐿2 =

𝑥−4 𝑦−8 𝑧+8 ; ; −2 4 8

 Observar la dirección de la recta ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 y ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 o ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 = 8𝑖 + −2𝑗 + 4𝑘

o ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 = −2𝑖 + 4𝑗 + 8𝑘  Realizar producto escalar de ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 y ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 𝑣1 * ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 = (8,-2,4) * (-2,4,8) 𝑣1 * ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 = -16 + (-8) + 32 𝑣1 * ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 = 8 Como el valor es diferente de 0 es decir 8, significa que nuestros vectores no son ortogonales y por lo tanto las rectas L1 y L2 tampoco lo son.

e. Definan la ecuación del plano que pasa por los puntos P= (4,6,2), Q= (3,-3,6) y R= (10,4,-6). Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. ⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑃𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗  Formamos los vectores 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (3 − 4)𝑖 + (−3 − 6)𝑗 + (6 − 2)𝑘

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (−1)𝑖 + (−9)𝑗 + (4)𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −1𝑖 − 9𝑗 + 4𝑘 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑅 = (10 − 4)𝑖 + (4 − 6)𝑗 + (−6 − 2)𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (6)𝑖 + (−2)𝑗 + (−8)𝑘 𝑃𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑅 = 6𝑖 − 2𝑗 − 8𝑘  Hallamos un vector perpendicular a ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 y ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑅 simultáneamente. 𝑖 𝑗 𝑘 −9 4 −1 4 −1 −9 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 * 𝑃𝑅 = |1 −9 4 | = 𝑖 | |− 𝑗| |+𝑘| | −2 −8 6 −8 6 −2 6 −2 −8 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑃𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ((−9 ∗ −8) − (−2 ∗ 4)) – ((−1 ∗ −8) − (6 ∗ 4)) + ((−1 ∗ −2) − (6 ∗ −9)) 𝑃𝑄

⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑃𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ((72) − (−8)) – ((8) − (24)) + (2 − (−54)) 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑃𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ((72 + 8) – (8 − 24) + (2 + 54) 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑃𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 80𝑖 – 16𝑗 + 56𝑘 𝑃𝑄  Usando cualquiera de los puntos del plano podemos encontrar la ecuación, en este caso usaremos el punto Q: 80𝑖 – 16𝑗 + 56𝑘 Remplazamos los valores de Q 80(𝑥 − 3) – 16(𝑦 + 3) + 56(𝑧 − 6) Aplicamos propiedad distributiva 80𝑥 − 240 – 16𝑦 + 48 + 56𝑧 − 336 = 0 Realizamos agrupación de términos

80𝑥 − 16𝑦 + 56𝑧 = 240 − 48 + 336 80𝑥 − 16𝑦 + 56𝑧 = 240 − 48 + 336 80𝑥 − 16𝑦 + 56𝑧 = 528 La ecuación de plano es: 80𝑥 − 16𝑦 + 56𝑧 + 528 = 0

f. Ejercicio 6. Creación de un Blog. El grupo colaborativo creará un Blog, donde cada estudiante incluirá las siguientes entradas relacionadas con la Tarea 2: 1) Esquema conceptual elaborado (Cuadro sinóptico) con el título respectivo. 2) Vídeo con la explicación del ejercicio seleccionado. 3) Reflexión personal sobre la importancia y aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos en el área de formación profesional o tecnológica que estudia en la UNAD.

 https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=5513399668056618252#editor/targe t=post;postID=7233129133698159011;onPublishedMenu=usersettings;onClosed Menu=usersettings;postNum=0;src=link

CONCLUSIONES. Dentro del presente taller pudimos apreciar la importancia en primer lugar de comprender los conceptos básicos para la solución de determinantes, y matrices en cada una de sus formas además de saber resolver inversas y aplicar cada uno de los métodos, ya que juegan un papel relevante en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, otro aspecto importante radica en comprender que las ecuaciones y su resolución nos llevaran de manera mucho más fácil a interpretar geométricamente las rectas y planos construidos a partir de ellas, y de esta manera podemos comprender algunos aspectos de nuestra realidad de manera muchos mas abstracta y estaremos en la capacidad de realizar esta abstracción gracias es estos.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 5 a la 18. Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 20 a la 77. Aranda, E. (2013). Algebra lineal con aplicaciones y phyton. Valladolid: Universidad de valladolid. Del Valle Sotelo, J. (2011). Algebra lineal para estudiantes de ingenieria y ciencias. . Mexico D.F.: MacGraw-Hill/Intereamicana de editores.