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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

TAREA 1 PROGRAMACIÓN LINEAL

PROFESOR: RICARDO LOPEZ GUEVARA

INTEGRANTE: ACOSTA ESPINOZA, CÉSAR ARTURO

2019 - 1

Conjunto de problemas 2.2A, ejercicio: 1 Solución: 2.2A-Ejercicio 1 Ejercicio a y

Ejercicio b y

Ejercicio c y

Ejercicio d y

Ejercicio e y

Conjunto de problemas 2.2A, ejercicio: 4 2.2A-Ejercicio 4 Una compañía que funciona 10 horas al día fabrica dos productos en tres procesos secuenciales. La siguiente tabla resume los datos del problema:

Determine la combinación óptima de los dos productos. Solución: Variables

Función objetivo

Modelo matemático de programación lineal

Sujeto a:

Análisis de gráfico

Ubicamos los puntos del área factible A= (0,0) B= (0,30) D= (60,0) C= (52.94,14.12) Valor óptimo del objetivo:

Usando la coordenada del punto A (0;0)

Usando la coordenada del punto B (0;30)

Usando la coordenada del punto D (60;0)

Usando la coordenada del punto C (52.94,14.12)

La solución óptima es la fabricación de 52.94 “productos 1” de

y 14.12 “productos 2” de

que

nos da un resultado óptimo de $148.24.

Conjunto de problemas 2.2A, ejercicio: 5 2.2A-Ejercicio 5 Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Ambos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad diaria máxima es de 240 lb. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A y de 4 lb por unidad de B. Las utilidades de A y B son de $20 y $50, respectivamente. Determine la combinación óptima de productos para la compañía. Solución: Variables

Función objetivo

Modelo matemático de programación lineal

Sujeto a:

Graficando:

Ubicamos los puntos del área factible A= (0,0) B= (100,0) D= (100,10) C= (80,20) Determinamos el valor óptimo del objetivo:

Usando la coordenada del punto A (0;0)

Usando la coordenada del punto B (100,0)

Usando la coordenada del punto D (100,10)

Usando la coordenada del punto C (80,20)

CONCLUSION: La solución óptima es la fabricación de 80 productos A de

y 20 productos B de

que nos da un

resultado óptimo de $2600.

Conjunto de problemas 2.2A, ejercicio: 15 2.2A-Ejercicio 15 Top Toys planea una nueva campaña de publicidad por radio y TV. Un comercial de radio cuesta $300 y uno de TV $2000. Se asigna un presupuesto total de $20,000 a la campaña. Sin embargo, para asegurarse de que cada medio tendrá por lo menos un comercial de radio y uno de TV, lo máximo que puede asignarse a uno u otro medio no puede ser mayor que el 80% del presupuesto total. Se estima que el primer comercial de radio llegará a 5000 personas, y que cada comercial adicional llegará sólo a 2000 personas nuevas. En el caso de la televisión, el primer anuncio llegará a 4500 personas y cada anuncio adicional a 3000. ¿Cómo debe distribuirse la suma presupuestada entre la radio y la TV? Solución: Formulación del problema. Variables

Función objetivo

Modelo matemático de programación lineal

Sujeto a:

Graficando mediante el PHPSIMPLEX:

Ubicando las coordenadas de los puntos que forman el área o región factible

Valor óptimo del objetivo: Usando la coordenada del punto C (53.33;2)

Espectadores

Usando la coordenada del punto D (13.33,8)

Espectadores

Usando la coordenada del punto H (26.67,1)

Espectadores

Usando la coordenada del punto J (1.67,1)

Espectadores

La solución óptima es la producción de 53.33 comerciales por radio de de

que nos da un resultado óptimo de 117160 espectadores.

Conjunto de problemas 2.2B , ejercicio: 1

y 2 comerciales por TV

Ejercicio a

Solución:

Ejercicio b

Solución:

Ejercicio c

Solución:

Conjunto de problemas 2.2B, ejercicio: 4 John debe trabajar cuando menos 20 horas a la semana para complementar sus ingresos al mismo tiempo que asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas de menudeo. En la tienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora. Para decidir cuántas horas trabajar en cada tienda, John desea basar su decisión en la tensión del trabajo. Basado en entrevistas con otros empleados, John estima que , en una escala del 1 al 10, los factores de tensión son 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Como la tensión aumenta cada hora, supone que la tensión total en cada tienda al final de la semana es proporcional a las horas que trabaja en las tiendas. ¿Cuántas horas debe trabajar John en cada tienda? Solución: Proceso de formulación de problema: Variable

Función objetivo

Modelo matemático

Sujeto a

Graficamos y sombreamos la región factible con sus respectivas coordenadas:

A= (10,10) B= (12,10) C= (12,8)

Valor óptimo del objetivo: Usando la coordenada del punto A= (10,10)

Usando la coordenada del punto B= (12,10)

Usando la coordenada del punto C= (12,8)

Interpretación final La solución óptima es trabajar 10 horas semanales en la tienda 1 de tienda 2 de

y 10 horas semanales en la

que nos da un resultado óptimo de 140 puntos de tensión.

Conjunto de problemas 2.2B, ejercicio: 7 Un centro de reciclaje industrial utiliza dos chatarras de aluminio, A y B, para producir una aleación especial. La chatarra A contiene 6% de aluminio, 3% de silicio, y 4% de carbón. La chatarra B contiene 3% de aluminio, 6% de silicio, y 3% de carbón. Los costos por tonelada de las chatarras A y B son de $100 y $80, respectivamente. Las especificaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de 6%; (2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%, y (3) el contenido de carbón debe ser de entre 3 y 7%. Determine la mezcla óptima de las chatarras que deben usarse para producir 1000 toneladas de la aleación.

Variable

Función objetivo

Variables de estudio

Modelo matemático

Sujeto a 00%

Graficamos utilizando el PHPSIMPLEX

Valor óptimo del objetivo: Usando la coordenada del punto B= (1,0)

Usando la coordenada del punto C= (0.33,0.67)

Interpretación final: La solución óptima es tener una aleación final con una concentración de 33% de chatarra A de 67% de chatarra B de

que nos da un resultado óptimo de $86.67

Conjunto de problemas 2.3A, ejercicios 2 2. Desarrolle el modelo Excel Solver para los siguientes problemas: Ejercicio a Ozark Farms consume diariamente un mínimo de 800 lb de un alimento especial, el cual es una mezcla de maíz y soya con las siguientes composiciones:

Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteína y un máximo de 5% de fibra. El objetivo es determinar la mezcla diaria de alimento a un costo mínimo. Solución:

Variable

Función objetivo

Modelo matemático

Sujeto a

y

Utilizando el solver, ponemos los datos a evaluar

Vemos que se asemeja con la solución del libro.

Al hacer uso del solver comprobamos que la solución óptima es que en la empresa se va a necesitar diariamente 470.59 libras de maíz en la mezcla de y 329.41 libras de soya en la mezcla de

que nos da un resultado óptimo de $

Ejercicio b Problema 16 Burroughs Garment Company fabrica camisas para caballero y blusas de dama para las tiendas de descuento Wallmart, corporación que aceptará toda la producción surtida por Burroughs. El proceso de producción incluye el corte, la costura y el empaque. Burroughs emplea 25 trabajadores en el departamento de corte, 35 en el de costura, y 5 en empaque. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, 5 días a la semana. La siguiente tabla muestra los requerimientos de tiempo y utilidades por unidad para las dos prendas:

Variable

Función objetivo

Modelo matemático

Sujeto a

Análisis final del solver: Al hacer uso del solver comprobamos que la solución óptima es que en la empresa se va fabricar 480 camisas de y 840 blusas de que nos da un resultado óptimo de $

Ejercicio C Problema 5, conjunto 2.2b OilCo está construyendo una refinería para producir cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para avión. La demanda mínima (en barriles por día) de cada uno de esos productos es de 14,000, 30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Iraq y Dubai firmaron un contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción especificadas por la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo), la nueva refinería puede recibir por lo menos 40% de su crudo de Iraq y el resto de Dubai. OilCo pronostica que la demanda y las cuotas de petróleo crudo no cambiarán durante los próximos 10 años. Las especificaciones de los dos crudos conducen a mezclas de productos diferentes: Un barril de crudo de Iraq rinde .2 barriles de diesel, .25 barriles de gasolina, 1 barril de lubricante y .15 barriles de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: .1, .6, 1.5 y .1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería (barriles por día). Variable

Función objetivo

Paso 4: Modelo matemático

Sujeto a

Análisis final del solver: Al hacer uso del solver comprobamos que la solución óptima es que en la refinería se va requerir 55000 barriles de crudo iraquí de y 30000 barriles de crudo de Dubai de que nos da un resultado óptimo de

barriles de crudo para la refinería

RESOLVER LOS EJERCICIOS DEL LIBRO EEPEN GOULD QUE SE ADJUNTA: 4. 3.12 EJEMPLO 1: ASTRO Y COSMO (UN PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS). Una compañía fabricante de TV produce dos modelos de aparatos televisores, el Astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada modelo, e intervienen dos departamentos en la producción de cada modelo. La capacidad de la línea de producción del Astro es de 70 apara tos de TV por día. La capacidad de la línea Cosmo es de 50 televisores diarios. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento, se requiere una hora de trabajo para cada modelo Astro y dos horas de trabajo para cada aparato Cosmo. En la actualidad, puede asignarse un máximo de 120 horas de trabajo diarias para la producción de ambos tipos de aparato en el departamento A. En el departamento B se construye el chasis. Aquí se requiere una hora de trabajo para cada televisor Astro y también una hora para cada modelo Cosmo. Actualmente se pueden asignar 90 horas de trabajo al departamento B para la producción de ambos modelos. La contribución a las ganancias es de 20 y 10 dólares, respectivamente, por cada televisor Astro y

Cosmo. Esta información se presenta resumida en la tabla 3.7. Si la compañía sabe que podrá vender todos los aparatos Astro y Cosmo que sea capaz de fabricar, ¿cuál deberá ser el plan de producción por día (es decir, la producción diaria) para cada modelo? Repase usted el modelo E y F de PROTRAC, Inc. e intente formular la situación descrita de Astro y Cosmo como un modelo de programación lineal. Escriba el modelo simbólico de PL, luego desarrolle el modelo de PL en una hoja de cálculo electrónica y optimícelo después con Solver.

Solución: Variable

Función objetivo

Modelo matemático

Sujeto a

Graficamos y sombreamos la región factible

Valor óptimo del objetivo:

Usando la coordenada del punto E= (20,50)

Usando la coordenada del punto C= (60,30)

Usando la coordenada del punto H= (60,30)

Usando la coordenada del punto L= (0,50)

Usando la coordenada del punto J= (70,0)

La solución óptima es la fabricación diaria de 70 televisores Astro de que nos da un resultado óptimo de Uso del Solver:

y 20 televisores Cosmo de

Al hacer uso del solver comprobamos que los resultados son iguales a lo que se calculó manualmente. La solución óptima es la fabricación diaria de 70 televisores Astro de y 20 televisores Cosmo de

que nos da un resultado óptimo de

5. 3.13 EJEMPLO 2: MEZCLA DE ALIMENTOS (UN PROBLEMA DE MEZCLA) Una lata de 16 onzas de alimento para perro debe contener, cuando menos, las siguientes cantidades de proteínas, carbohidratos y grasas: proteínas, 3 onzas; carbohidratos, 5 onzas; grasas, 4 onzas. Es necesario mezclar distintas proporciones de 4 tipos de alimentos a fin de producir una lata de comida para perro, con el mínimo costo, que satisfaga este requerimiento. La tabla 3.8 muestra el contenido y precio de 16 onzas de cada una de las diferentes mezclas de alimentos.

Solución: Variable

Función objetivo

Modelo matemático

Sujeto a

Ejercicio 6 Crepier tiene como productos principales la fabricación de bolsos y mochilas para escolares, cuyos precios de venta por unidad son de $ 40 y $ 25 respectivamente. El proceso de fabricación consta de dos etapas: corte y costura. En la etapa de corte, se pueden cortar 10 bolsos/hora o 20 mochilas/hora y se dispone diariamente de 8 horas. En la etapa de costura, un bolso requiere 4 horas máquina, una mochila requiere 3 horas máquina y se dispone diariamente de 420 horas máquina. Se estima que diariamente se debe fabricar por lo menos 50 unidades en total (bolsos más mochilas). Finalmente la fabricación de bolsos al día debe ser menor o igual a la fabricación de mochilas al día, debido a que los escolares les gustan más las mochilas. a) Defina las variables de decisión del modelo y formule el modelo de programación lineal que permita optimizar la fabricación de estos productos a Crepier. b) Utilizando el método gráfico, determine la región factible, la solución óptima, el valor óptimo de la función objetivo e indíquelos claramente en el gráfico. c) Utilice Lingo y Solver de Excel para verificar su desarrollo manual.

Solución: a) Defina las variables de decisión del modelo y formule el modelo de programación lineal que permita optimizar la fabricación de estos productos a Crepier.

Variable

Paso 2: Función objetivo

Modelo matemático

Sujeto a

b) Utilizando el método gráfico, determine la región factible, la solución óptima, el valor óptimo de

Programación lineal Para hallar las coordenadas:

Graficando: Sombreamos la región factible

En el caso de la coordenada (25,25) se determina al usar las ecuaciones:

Graficamos la función del objetivo:

Valor óptimo del objetivo:

Usando la coordenada (0;0)

$

Usando la coordenada (0;50)

$

Usando la coordenada (25;25)

$

El valor óptimo del objetivo para maximizar es:

(RESPUESTA)

c) Utilice Lingo o Solver de Excel para verificar su desarrollo manual. Se adjunta las imágenes haciendo uso del solver Se adjunta las imágenes haciendo uso del Lingo

Lanzando como resultados:

Interpretación final Ya sea el lingo obtenemos la misma respuesta con respecto a lo calculado manualmente La solución óptima es la fabricación de 25 bolsos escolares por día de y 25 mochilas escolares por día de

que nos da un resultado óptimo de

Ejercicio 7 En una fábrica ESPAÑOLA de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero se vende a 450 pesetas y contiene 150 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 80 gramos de roscos de vino. El segundo surtido se vende a 560 pesetas y contiene 200 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 100 gramos de roscos de vino. Se dispone de un total de 200 kilogramos de polvorones, 130 kilogramos de mantecados y 104 kilogramos de roscos de vino. La empresa de embalajes sólo le puede suministrar 1200 cajas. a) ¿Cuántos surtidos de cada tipo convendrían fabricar para que el beneficio sea máximo? Utilice el método gráfico. b) Utilice Lingo y Solver de Excel para verificar su desarrollo manual. Solución:

a) ¿Cuántos surtidos de cada tipo convendrían fabricar para que el beneficio sea máximo? Utilice el método gráfico.

Proceso de formulación de problema: Variable

Función objetivo

Paso 4: Modelo matemático

Sujeto a

Graficando: Sombreamos la región factible

Valor óptimo del objetivo:

Usando la coordenada del punto O (0;0)

Pesetas

Usando la coordenada del punto A (0;1000)

Pesetas

Usando la coordenada del punto A (1200;0)

Pesetas

Usando la coordenada del punto D (800;400)

Pesetas

El valor óptimo del objetivo para maximizar es:

(RESPUESTA)

b) Utilice Lingo o Solver de Excel para verificar su desarrollo manual.

Se adjunta las imágenes haciendo uso del Lingo

Lanzando como resultados:

Interpretación final Ya sea utilizando el solver o el lingo obtenemos la misma respuesta con respecto a lo calculado manualmente La solución óptima es la elaboración de 800 surtidos tipo 1 de y 400 surtidos tipo 2 de

que nos da un resultado óptimo de

Pesetas