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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 INFORME TÉCNICO DE RESULTADOS

INTEGRANTES GRUPO PRÁCTICA 3 FECHA DE ENTREGA

LAURA ORTIZ AGUIRRE OMAR ALEXÁNDER CHAZATAR YAMPUEZAN JOAN FERNANDO FIGUEROA AGUDELO MANUELA OSPINA ARBOLEDA V 10-13, GRUPO 3 OPERACIONES DE SEPARACIÓNY CLASIFICACIÓN:TAMIZADO 07/09/2018

1. DESCRIPCIÓN DE LA PRÁCTICA Durante la sesión práctica llevada a cabo en el laboratorio de mineralogía, se determina la densidad real de un material mediante el método de la probeta. Luego mediante el método del cuarteo se homogeniza la muestra de tal manera que quede una distribución uniforme de los diferentes tamaños de partículas, se pesa 97.1 g de muestra. Mediante el criterio de la primera malla, se selecciona la serie de tamices adecuados para la granulometría, para la muestra se comienza con una malla -4+6, se seleccionaron mallas de diferentes series. Una vez se seleccionaron las series de tamices, se montaron en el agitador de tamices y se alimentó la muestra de material sobre la primera malla, se tapa la serie. y se opera en un periodo de 10 minutos. Se realiza el tamizado en dos series de tamices, es decir la muestra que quedaba en el colector del primer tamizado de la primera serie de tamices seleccionada, se pasaba por una segunda serie de tamices consecutivos al último número de malla empleado en el tamizado anterior, esto se debe a que en el primer tamizado el porcentaje de material que quedaba en el primer colector era superior al 5% de la muestra inicial. Finalizado esto, se pesaron las fracciones retenidas sobre cada tamiz. 2. DATOS A continuación se reportan los datos obtenidos en la sesión práctica. Tabla 1. Nomenclatura empleada. Símbolo M V ρ AGD AGA Δφn ̅𝑛 𝐷

φn Dn φn T>

Descripción Masa Volumen Densidad Análisis granulométrico diferencial Análisis granulométrico acumulado Fracción retenida entre dos mallas consecutivas Abertura media de las mallas Fracción del total que pasa o es retenida por el tamiz Abertura del tamiz AGA tamaño mayor Página 1 de 20

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 φn T< De Cu Cc

AGA tamaño menor Tamaño efectivo Coeficiente de uniformidad Coeficiente de curvatura

̅𝑉𝑆 𝐷

Diámetro medio volumen superficie

Aw Nw

Área superficial Número de partículas

Tabla 2. Densidad del material. Parámetro M muestra Vinicial Vfinal Vdespalzado ρ

Valor 17.6 44 52 8 2.2

Unidad g ml ml ml g/ml

Tabla 3. Datos obtenidos del proceso de tamizado. Número de malla -4+6 -6+8 -8+10 -10+14 -14+16 -16+20 -20+30 -30+40 -40+60 -60+80 -80+100 -100+140 -140+200 -200+325 -325+400 -400+500 Colector

M retenida (g)

Dn (mm)

M tamiz (g)

M conjunto (g)

2.000 1.500 3.700 9.400 7.400 5.600 8.300 10.600 7.800 12.600 9.800 0.100 11.200 3.600 2.900 0.600 0.000

4.750 3.350 2.360 2.000 1.400 1.180 0.850 0.600 0.425 0.250 0.180 0.150 0.106 0.075 0.045 0.038 0.000

647.100 475.600 445.000 521.300 553.700 477.000 536.400 407.300 349.000 430.200 306.900 421.600 293.700 310.900 299.300 309.700 249.000

649.100 477.100 448.700 530.700 561.100 482.600 544.700 417.900 356.800 442.800 316.700 421.700 304.900 314.500 302.200 310.300 249.000

La suma de la cantidad de muestra retenida en cada malla es 97.1 g, el peso de muestra inicial. Página 2 de 20

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Figura 1. Masa retenida en cada malla de la serie de tamices seleccionada. 3. MODELO DE CÁLCULO Densidad real Expresa la relación entre la masa de un material y el volumen real ocupado por el mismo, excluyendo espacios vacíos. 𝜌=

𝑀𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑉𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜

(1)

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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 Abertura media de la malla ̅𝑛 = 𝐷

𝐴𝑛 + 𝐴𝑛+1 2

(2)

̅𝑛 = 𝐷

𝐴𝑛 + 𝐴𝑛−1 2

(3)

Donde An es la abertura de la malla n. Coeficiente de uniformidad Es un parámetro que indica condiciones granulométricas de un material relacionadas con su uniformidad. 𝐶𝑢 =

𝐷60 𝐷10

(4)

Donde D60 y D10 es la abertura de la malla que cierne el 60% o el 10% del material. Coeficiente de curvatura Es un parámetro complementario para conocer la gradación de un material, indica si el material posee un amplio margen de tamaños de partículas y cantidades apreciables de cada tamaño intermedio. 𝐶𝑐 =

2 𝐷30 𝐷10 𝐷60

(5)

Donde D30 es la abertura de la malla que cierne el 30% del material. Diámetro o tamaño efectivo Se refiere a la abertura de la malla que retiene el 90% (D90). Área superficial o superficie específica Área superficial o exterior de la masa de partículas por unidad se masa. 𝑛

6𝜆 Δ𝜙𝑛𝑖 𝐴𝑤 = ∑ ̅𝑛𝑖 𝜌 𝐷

(6)

𝑖=1

Donde λ=1.8 es el factor de forma del material Diámetro medio volumen superficie El tamaño medio de las partículas para una mezcla de las mismas se identifica de varias formas diferentes. Uno de los más usados es el diámetro medio volumen- superficie que está relacionado con el área de la superficie específica. ̅𝑉𝑆 = 𝐷

6𝜆 𝜌𝐴𝑤

(7) Página 4 de 20

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Número de partículas Es el número de partículas presente en una masa de material, ya sea un diferencial de material presente entre dos mallas (fracción) o en el total de la muestra. Para calcular, a partir del análisis diferencial, el número de partículas en una fracción de la mezcla. 𝑁𝑤 =

1 Δ𝜙𝑛 ∑ 3 ̅𝑛 𝑎𝜌 𝐷

(8)

Donde a=2 es el factor de forma volumétrico Modelo de Gaudín-Schumann Este modelo se emplea para el ajuste de los tamaños menores o cernido. Para distribuciones gruesas y con pocos puntos. 𝑋 𝑛 𝐹(𝑋) = [ ] 𝐾𝑠𝑐ℎ

(9)

Para linealizar el modelo dado por la ecuación (9) se saca logaritmo base 10 en ambos lados de la ecuación y reorganizando términos se obtiene la siguiente expresión: 𝐿𝑜𝑔(𝐹(𝑋)) = 𝑛𝐿𝑜𝑔(𝑋) + 𝑛𝐿𝑜𝑔(𝐾𝑠𝑐ℎ )

(10)

Donde:    

F(x) es la fracción de tamaño menor a X X es la abertura de la malla n es el parámetro de distribución Ksch es el parámetro de tamaño de distribución

Para saber cómo varia la distribución al cambiar uno de los parámetros se despeja de la ecuación (10) el Log(X): 𝐿𝑜𝑔(𝑋) =

𝐿𝑜𝑔(𝐹(𝑋)) + 𝑛𝐿𝑜𝑔(𝐾𝑠𝑐ℎ ) 𝑛

(11)

Modelo de Rosin-Rammler Este modelo se emplea para el ajuste de los tamaños mayores o retenido. Apropiada para una variedad de distribuciones. 𝑅(𝑋) = 𝑒

[−(

𝑋 𝑚 ) ] 𝐾𝑅𝑅

(12)

Donde:    

R(x) es la fracción de tamaño mayor a X X es la abertura de la malla m es el parámetro de distribución KRR es el parámetro de tamaño de distribución Página 5 de 20

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 Para la linealización de la ecuación (12) se saca a ambos lados de la ecuación logaritmo natural y reorganizando se llega a la expresión análoga al de una línea recta: 𝐿𝑛 [𝐿𝑛 [

1 ]] = 𝑚𝐿𝑛(𝑋) − 𝑚𝐿𝑛(𝐾𝑅𝑅 ) 𝑅(𝑋)

(13)

Si la variación de la distribución con respecto a los parámetros es de interés, se despeja el Ln(x) de la expresión anterior. 𝐿𝑛 [𝐿𝑛 [ 𝐿𝑛(𝑋) =

1 ]] + 𝑚𝐿𝑛(𝐾𝑅𝑅 ) 𝑅(𝑋)

(14)

𝑚

4. RESULTADOS Representación del Análisis granulométrico por tamizado (AGT) Los análisis granulométricos por tamizado se pueden expresar en forma diferencial, AGD, o acumulada, AGA, los cuales se pueden presentar por medio de tablas y gráficas isométricas, semilogarítmicas y logarítmicas. Análisis granulométrico diferencial (AGD) Representa las fracciones retenidas entre dos mallas consecutivas en función de la abertura media de las mallas. Tabla 4. Análisis granulométrico diferencial (AGD) Número de malla -4+6 -6+8 -8+10 -10+14 -14+16 -16+20 -20+30 -30+40 -40+60 -60+80 -80+100 -100+140 -140+200 -200+325 -325+400 -400+500 Colector

Δφn 0.0206 0.0154 0.0381 0.0968 0.0762 0.0577 0.0855 0.1092 0.0803 0.1298 0.1009 0.0010 0.1153 0.0371 0.0299 0.0062 0

̅𝑛 (mm) 𝐷

4.0500 2.8550 2.1800 1.7000 1.2900 1.0150 0.7250 0.5125 0.3375 0.2150 0.1650 0.1280 0.0905 0.0600 0.0415 0.0315 Página 6 de 20

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Figura 1. AGD escala milimétrica.

Figura 2. AGD escala logarítmica.

Fracción retenida entre mallas

00,000 00,000 00,000 00,000 00,000 00,000 00,000 -00,002

-00,001

-00,001

00,000 00,000

00,000

00,001

Log de la abertura media de la malla(mm)

Figura 3. AGD escala semi-logarítmica. Página 7 de 20

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Análisis granulométrico acumulado (AGA) Representa las fracciones del total que pasan o son retenidas por cada tamiz (Фn) en función de la abertura del tamiz. Tabla 2. Análisis granulométrico acumulado (AGA). Número de malla

φn T >

φn T
0.9269

Malla -200+325 -30+40 -80+100 -200+325 Página 9 de 20

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Tabla 4. Coeficiente de uniformidad y curvatura del material. Cu

Cc

8.00

0.72

Propiedades medias El término “medio” se refiere a un elemento individual representativo de un grupo de partículas con propiedades similares pero no idénticas; debe ser susceptible de multiplicarse por el número de partículas para dar el valor total de la propiedad. Otra de las aplicaciones más comunes de los AGT es su uso para determinar algunas propiedades medias de una masa de partículas. Tabla 5.Propiedades medias de cada fracción. Δφn

Awi

Dvsi

Nwi

0.0206

0.0250

196.6275

0.0001

0.0154

0.0266

184.8137

0.0002

0.0381

0.0858

57.2103

0.0008

0.0968

0.2796

17.5606

0.0045

0.0762

0.2900

16.9269

0.0081

0.0577

0.2789

17.5994

0.0125

0.0855

0.5788

8.4816

0.0510

0.1092

1.0457

4.6947

0.1843

0.0803

1.1684

4.2014

0.4749

0.1298

2.9629

1.6569

2.9674

0.1009

3.0028

1.6348

5.1063

0.0010

0.0395

124.2880

0.1116

0.1153

6.2568

0.7846

35.3672

0.0371

3.0334

1.6183

39.0101

0.0299

3.5329

1.3895

94.9690

0.0062

0.9630

5.0977

44.9312

Tabla 6. Propiedades medias de la muestra total. Aw 23.5700

Dvs 0.2083

Nw 223.1990 Página 10 de 20

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Modelo de Gaudín-Schumann

Figura 7. Modelo de Gaudín-Schumann. Tabla 7. Parámetros del modelo de Gaudín-Schumann nLog(Ksch)

Log(Ksch)

n

Ksch

-0.17158

-0.19564

0.87705

0.63733

Figura 8. Variación de la distribución al aumentar o disminuir los parámetros.

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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 Modelo de Rosin-Rammler

Figura 9. Modelo de Rosin-Rammler. Tabla 8. Parámetros del modelo de Rosin-Rammler. mLn(KRR)

Ln(KRR)

m

KRR

0.349699366

0.3002904

1.1645373

1.350250863

Figura 9. Variación de la distribución al aumentar o disminuir los parámetros. Página 12 de 20

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 5. ANALISIS DE RESULTADOS Las figuras 1,2 y 3 muestran las gráficas AGD en escala milimétrica, logarítmica y semilogarítmica; dichas gráficas muestran la cantidad máxima y mínima de muestra retenida en cada malla empleada, indicando que según las aberturas que los tamices tengan retendrán más o menos cantidad. En la escala milimétrica, se tienen escalas iguales en el eje vertical y horizontal, donde cada división corresponde a un milímetro; cuando en esta escala no se obtiene una línea recta al graficar los datos experimentales, es necesario graficar en otro tipo de escala pues no se obtiene con ella información; con la gráfica 1 es evidente que no se obtiene una línea recta, y es necesario emplear entones las escalas logarítmica y semilogarítmica. En la logarítmica los ejes tienes escalas logarítmicas; mientras que en la escala semilogarítmica, un eje tiene divisiones iguales como en la escala milimétrica, mientras que el otro eje tiene una escala logarítmica, por ello se le da el nombre de semilogarítmica o semilog; en este tipo de escalas, no hay que hallar el logaritmo de los datos, sino que cuando se grafica directamente un valor la escala lo convierte en su logaritmo. El objetivo de variar las escalas, es buscar obtener una gráfica que sea más fácil de analizar, según los tipos de datos obtenidos experimentalmente, una escala permitirá observar más fácilmente los datos y por ende analizarlos; por ejemplo, si con la escala milimétrica se obtiene una línea recta, ya no es necesario emplear las otras dos escalas. Las gráficas obtenidas representan el mismo conjunto de datos solo que al variar la escala pueden dar mejor información sobre cómo se distribuye la muestra y sobre su finura, pudiendo emplear cualquiera de ellas según el análisis que se desee hacer. Las propiedades medias son como ya se dijo, aquellos elementos representativos de un conjunto de partículas con propiedades similares más no idénticas de una muestra; debe ser susceptible de multiplicarse por el número de partículas para dar el valor total de la propiedad. Una de las propiedades medias de mayor importancia en los cuerpos sólidos, es el área superficial o superficie específica, puesto que esta propiedad controla la interacción química entre sólidos y líquidos o gases. Determina, por ejemplo, la rapidez con que un sólido se quema, cómo una sustancia en polvo se disuelve en un solvente, de qué manera los materiales de construcción resisten el clima, en qué grado un catalizador promueve una reacción química, o con qué efectividad un adsorbente remueve una sustancia contaminante; de allí su relevante importancia. Puesto que no es práctico determinar el número de partículas que constituyen una muestra, la base para evaluar el área superficial es tomar la unidad de masa. Si se organizan de menor a mayor, los valores obtenidos para el área superficial de la tabla 5 se obtiene la tabla 9.

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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 Tabla 9. Propiedades medias de cada fracción con área organizada de menor a mayor. Awi 0,0250 0,0266 0,0395 0,0858 0,2789 0,2796 0,2900 0,5788 0,9630 1,0457 1,1684 2,9629 3,0028 3,0334 3,5329 6,2568

Dvsi 196,6275 184,8137 124,2880 57,2103 17,5994 17,5606 16,9269 8,4816 5,0977 4,6947 4,2014 1,6569 1,6348 1,6183 1,3895 0,7846

Nwi 0,0001 0,0002 0,0008 0,0045 0,0081 0,0125 0,0510 0,1843 0,4749 2,9674 5,1063 0,1116 35,3672 39,0101 94,9690 44,9312

La cual nos indica que conforme disminuyen los diámetros el área superficial y el número de partículas aumenta, lo que se esperaba que sucediera según las formulas (6,7 y 8) para estas propiedades, éstas indican que área superficial es inversamente proporcional al diámetro y el número de partículas es inversamente proporcional al diámetro al cubo. El valor de Nw que corresponde al número de partículas, sirve para cuantificar cuantos granos se tendrían en pila, con una cantidad conocida de masa del material de estudio. Para materiales en polvo, la cantidad de partículas presentes en un gramo de muestra es grande, lo cual es apreciable conforme a los resultados de la tabla 9 para la arena tratada, en ella, se observa además que como es de esperarse, entre mayor sea el número de partículas, el área superficial también lo será. En la tabla 4 se presentan los datos para el coeficiente de uniformidad y de curvatura del material estudiado; los cuales son 8 y 0,72 respectivamente; ellos confirman que el sólido estudiado es un material arenoso, ya que Cu>6 (coeficiente de uniformidad) y 3>Cc>0 (coeficiente de curvatura) condiciones que indican características para este tipo de sólido. El modelo de Gates-Gaudin-Schumman se ajusta para tamaños menores o el de cernido, cuando se ajustan los datos obtenidos experimentalmente a este modelo, se obtiene que el tamaño más grande de partícula que pasa por la distribución lo indica su parámetro de tamaño, Ksch que tiene un valor para el caso estudiado de 0,63733. De la figura 7 que es el ajuste para este modelo, se observa que no es óptimo para este conjunto de datos estudiado, pues se desvía mucho de la línea de tendencia. Página 14 de 20

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 Con el modelo de Rosin-Rammler que se ajusta a tamaños mayores o retenido, se obtiene de acuerdo a los datos obtenidos y a su respectivo ajuste (figura 9), que a pesar de utilizarse para distribuciones gruesas y con pocos puntos, puede arrojar un mejor ajuste; pues su parámetro para el tamaño, KRR que tiene un valor de 1,35; se ajusta mucho mejor al tamaño de la abertura de malla más grande empleada para la realización del experimento. Observando los ajustes de los modelos, es decir las figuras 7 y 9, se puede concluir, que el modelo que mejor se ajusta al conjunto de datos estudiados; corresponde al de RosinRammler, pues este se acerca más a la línea de tendencia obtenida, por lo que se puede concluir que tiene un mejor ajuste para la escala de tamaños presentes en el material. Si se aumenta el parámetro de tamaño de distribución del Modelo de Schuhman se observa como las curvas se aproximan; mientras que al hacer lo mismo con el parámetro de tamaño de distribución del modelo de Rosin- Rammler se observa como la curva cambia su pendiente, haciéndose más grande conforme aumenta el tamaño de distribución. Las gráficas 4, 5 y 6 se comportan de acuerdo a los esperado, la tabla 9 muestra que el diámetro medio y el número de partículas son inversa y directamente proporcional al área respectivamente; y del ajuste de los modelos se ve que los datos obtenidos se pueden ajustar de forma aproximada al modelo de Rosin-Rammler; lo que verifica la confiabilidad de los resultados tomados a nivel de laboratorio. Sin embargo, considerando unas posibles causas de error, estas podrían ser: que no se hizo un buen cuarteo y, por ende, no se tomó la muestra más idónea para realizar el tamizado; que la muestra estudiada estaba compuesta por partículas muy pequeñas, muchas de ellas polvo, que fácilmente se pudieron perder durante el proceso, o que hubiera material retenido sobre los tamices que tuvieran el mismo diámetro de abertura; sin embargo, esta no es una fuente de error en este caso, pues la suma de todas las masas retenidas por cada malla sumó el total de la masa inicial. 6. PROFUNDIZACIÓN I.

¿Cómo afecta a la operación de tamizado y al análisis granulométrico la densidad aparente, la porosidad, la forma de las partículas y la humedad del material?

La Densidad aparente se puede definir como la relación que existe entre el peso/ volumen de una masa de solidas empacados libremente al azar, esto es, en un mismo volumen de solidos a mayor peso menor densidad aparente, sin embargo está muy relacionada con el tamaño de partícula, a menor tamaño de partícula se espera una mayor densidad aparente para una muestra de un mismo material, dado que los espacios vacíos entre partículas se ven ocupados, ahora bien, dependiendo del tamaño de las partículas van a pasar o no por cada tamiz en el análisis granulométrico, así, muestras de solidos de altas densidades aparentes se espera que se necesiten tamices de luces peñas, tamices de series altas para hacer un buen análisis. Página 15 de 20

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 Se puede definir la porosidad como la fracción de espacios vacíos que hay dentro de una masa de sólidos, a menor porosidad los materiales son muy cohesivos, esto quiere decir que exhiben condiciones de fluidez muy mala. En análisis granulométrico por tamizado, muestras de solidos muy porosos, no van a necesitar de mayor esfuerzo para atravesar el tamiz, en cambio, muestras poco porosas, necesitarán largos tiempos de vibración para poder atravesar la serie me tamices y debido a su baja fluidez. La forma de partículas irregulares puede escribirse en función de un factor de forma, tomando por ejemplo valor de 1 para partículas de forma esférica, cilíndrica y cubica, 1,2 para restos de vidrio molido y 1,4 para polvo de carbón. Además, las partículas irregulares pueden ser caracterizadas por diferentes tipos de medidas, como el diámetro equivalente dependiendo de su forma geométrica más cercana, la cual tendrá una relación directa con su fluidez. Una forma adicional de caracterizar partículas irregulares será la esfericidad, que es la relación directa de una esfera de igual volumen que la partícula y el área superficial de la partícula. Todas estas caracterizaciones están relacionadas directamente con la fluidez de los sólidos. Como es de esperarse, partículas más esféricas, mayor fluidez, facilitando el análisis granulométrico por tamizado. Partículas de forma plana o alongada dificultan el análisis, lo cual sugiere una molienda inicial antes del proceso de tamizado. Por su puesto, la humedad de la muestra solida tendrá mucha influencia en la prueba de tamizado en seco, puesto que existe la prueba de tamizado con agua para partículas extremadamente finas. Material seco puede facilitar el proceso de tamizado, pero fácilmente pude adquirir humedad del aire y facultar el análisis debido a la cohesión de las partículas húmedas.

II.

Analice qué relación puede tener el área disponible para el tamizado con las consideraciones de selección y/o diseño del tamiz.

A la hora de elegir el tamiz adecuado y la serie de tamices para hacer el análisis granulométrico se debe tener muy presente el tamaño de partícula, se sabe que existen tamices muy grandes que tienen luces completas, pero puede que los tamices no cumplan con las necesidades. Los tamices generalmente tienen 200 mm de diámetro como área disponible, con serie 200 las más utilizadas, se pueden usar series (hasta 400) más finas pero en investigaciones de laboratorio, entonces, puede que en el ámbito de minimizar perdidas y hacer una prueba más estrictas se puedan diseñar tamices de diámetros más pequeños. III.

¿Cuál es la diferencia entre Función de Densidad y Función de Distribución?

Si en un experimento aleatorio a cada suceso aleatorio elemental le asignamos un valor numérico obtenemos una variable aleatoria, que puede ser discreta o continua. Cuando el conjunto numérico es el de los números enteros la variable aleatoria es discreta. Si el conjunto numérico es el de los números reales la variable aleatoria es continua. Si x es una variable aleatoria continua, sólo puede tomar ciertos valores en un intervalo. Página 16 de 20

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 Si x1, x2, x3,…xn son los valores de x y p1, p2, p3,…pn las probabilidades de los sucesos correspondientes a los valores de x se llama función de densidad de probabilidad o distribución de probabilidades de la variable x al conjunto de los pares (xi, pi) {(𝑥1 , 𝑝1 ), (𝑥2 , 𝑝2 ), (𝑥3 , 𝑝3 ), … (𝑥𝑛 , 𝑝𝑛 )} Formados por los valores de x y sus probabilidades correspondientes. Si el conjunto de valores de x tiene n elementos: ∑ 𝑝𝑖 = 1 Y si es infinito numerable: 𝑛

lim ∑ 𝑝𝑖 = 1

𝑛=∞

𝑖=1

La función de probabilidad P(x) de la variable aleatoria x es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad pi En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la variable aleatoria x tome exactamente un determinado valor xi, sino conocer la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada Función de distribución

Sea x una variable aleatoria. La probabilidad de que x sea menor o igual que un valor t, se escribe P (x ≤ t) y esta probabilidad será función de t. Si a esta función la designamos por F(t) 𝐹(𝑡) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑡) Esta función se llama función de distribución. Si xi es creciente con i y suponemos que t está comprendido entre dos de estos valores: 𝑥ℎ−1 < 𝑡 < 𝑥ℎ La condición: 𝑥 ≤ 𝑡 → 𝑥 = 𝑥1 ó 𝑥 = 𝑥2 … 𝑥 = 𝑥ℎ ↓ 𝑃(𝑥 ≤ 𝑡) = 𝑃(𝑥1 ) + 𝑃(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑃(𝑥ℎ ) Luego la función de distribución F(t) es la suma de las probabilidades de todos los sucesos x = xi tales que xi ≤ t

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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 IV.

¿Qué parámetros afectan la efectividad y el rendimiento separador de un tamiz?

Una de las mayores preocupaciones en la clasificación es la eficiencia de seleccionado. Básicamente, la eficiencia se mide en cuanto material "que pasa ", permanece en el material "retenido ". Una operación con baja eficiencia puede causar serios problemas, entre los cuales, los siguientes son algunos de ellos: 1. - Sobrecarga de un circuito cerrado de chancado. Un tamizado de baja eficiencia genera más material de recirculación, como parte del material que puede pasar a través de la malla de retorno al circuito, reduciendo el material de salida y sobrecarga, las cintas y demás equipos auxiliares.2. -Incumplimiento de las Especificaciones del Producto. Una clasificación en la etapa final operando con baja eficiencia puede generar productos contaminados con partículas de tamaño fuera de especificación.Hay dos métodos más comunes de cálculo de la eficiencia de seleccionado dependiendo si el producto deseado estará en el material retenido en la malla ó en el material que pasa 7. CONCLUSIONES En primer lugar, el análisis granulométrico pudo llevarse a cabo utilizando un menor número de mallas, pues en algunas (como la malla 6 o la 100) se retiene muy poco material, ocasionando picos en las gráficas que dificultan su análisis. En segundo lugar, se evidencia que la muestra incluye partículas de tamaño muy diferente, lo que se ve reflejado en un coeficiente de uniformidad mayor a 3 y la distribución de tamaños es variada, esto se observa en el coeficiente de curvatura cercano a 1 y en las gráficas del AGA, que no presentan incrementos abruptos y concuerda con lo que se muestra en la figura 1, pues cada malla retuvo una cantidad apreciable de la muestra, a excepción de la malla 100. En tercer lugar, el análisis granulométrico tiene su principal utilidad en permitir conocer la distribución de tamaños en un material sólido, pero también permite estimar propiedades de este para análisis cuantitativos, pues no es muy preciso, ya que las formulas aplicadas para esto no tienen en cuenta porosidad o cavidades en los materiales. Finalmente, los modelos para ajustar los análisis permiten modelar la distribución de tamaños de una masa de sólidos en términos de dos parámetros: el parámetro de distribución (n para Gaudin-Schumann y m para RosinRammler) y el parámetro de tamaño (Ksch y KRR). El parámetro de distribución Página 18 de 20

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA OPERACIONES CON SÓLIDOS 2018-2 indica que tan diferentes son los tamaños de las fracciones en la muestra, un valor de este parámetro mayor indica que los tamaños de cada fracción son muy diferentes. El parámetro de tamaño indica el tamaño medio de la muestra o alrededor de qué tamaño varían los tamaños de cada fracción.

8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Gutiérrez, N. L. (2010). Caracterización del tamaño de partículas. Tacna, Perú. Cosentino, J. M., Sota, J. D., & Avid, F. A. (2011). Forma y tamaño de las partículas y su incidencia en el resultado del Método de Ensayo ASTM C-1260. Concreto y cemento. Investigación y desarrollo, 3(1), 14-24. Allen, Medida del tamaño de partícula, 4th ed., Chapman y Hall, 1990. Bart and Sun, Particle Size Analysis Review, Anal. Chem., 57,151R (1985). Miller y Lines, Críticas en química analítica, 20(2), 75 - 116 (1988) Don W. Green; Robert H. Perry: Perry's Chemical Engineers 'Handbook, octave edition. ANÁLISIS DEL TAMAÑO DE PARTÍCULAS, Capítulo (McGraw-Hill Professional, 2008 1997 1984 1973 1963 1950 1941 1934), AccessEngineering Carbotecnia. Granulometría. Numero de Malla. Publicación en línea. Consultada el 7 de septiembre de 2018. Disponible en https://www.carbotecnia.info/encyclopedia/granulometria/ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco. Facultad de Ciencias Naturales y Ciencias de la Salud (2018) Propiedades delas partículas sólidas. Estado sólido Consultada el 7 de septiembre de 2018. Disponible en http://www.fcn.unp.edu.ar/sitio/tecnofarma/wpcontent/uploads/2013/02/s%C3%B3lidos.pdf Monografías (2018) Investigación sobre tamices de Laboratorio. Publicación en línea. Consultada el 7 de septiembre de 2018. Disponible en https://www.monografias.com/trabajos83/tamices-laboratorio-quimico/tamiceslaboratorio-quimico.shtml Universidad Centroamericana (2018) ANALISIS DE TAMAÑO DE PARTÍCULAS POR TAMIZADO EN AGREGADO FINO Y GRUESO Y DETERMINACIÓN DE MATERIAL MÁS FINO QUE EL TAMIZ No. 200 (75 m) EN AGREGADO MINERAL POR LAVADO. Laboratorio de Materiales de Construcción Publicación en línea. Consultada el 7 de septiembre de 2018. Disponible en http://www.uca.edu.sv/mecanicaestructural/materias/materialesCostruccion/guiasLab/ensayoAgregados/GRANULOME TRIA.pdf Universidad de Alicante. Prácticas de Materiales de Construcción - I-T- Obras Públicas. (2009) Granulometría. Publicación en línea. Consultada el 7 de septiembre de 2018. Disponible en Página 19 de 20

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