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• Julio Rafael Patiño Escolar

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´ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ´ TALLER NUMERO 3 DE CAVECTORIAL 1. Determine el Dominio de f y el valor en los puntos indicados y ademas trazar la gr´afica donde muestre en conjunto de puntos que est´en en el Domino: 1 + y2 − 1 f (x, y) = cos−1 (x − y) f (x, y) = ln(xy −  1)  x f (x, y) = arcsin y2 1 f (x, y) = p 2 2 p x + y − 25 p f (x, y) = x2 + y 2 − 81 + 49 − x2 − y 2

a) f (x, y) = b) c) d) e) f)

x2

g) f (x, y) = ln x + ln(seny) x2 + y 2 h) f (x, y) = 2 x − y2 i ) f (x, y) = ln(x2 − y 2 ) x j ) f (x, y) = ln y √ √ k ) f (x, y) = x + y 3 4 5 2. Dada la funci´on f definida por f (x, y, z) = ex y z , halle sus de∂f ∂f ∂f rivadas parciales , y en el punto P (1, 1, 1). ∂x ∂y ∂z 2 ∂ 2u 2∂ u =a . 3. La Ecuaci´on de Onda: ∂t2 ∂x2 Donde a es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante. Si f y g son funciones de una sola variable y dos veces derivable, compruebe que la funci´on u(x, t) = f (x + at) + g(x − at) satisface la ecuaci´on de onda. 4. En los siguientes ejercicios demuestres que u(x, y) satisface la ∂ 2u ∂ 2u ecuacion + =0 ∂x2 ∂y 2 a) u(x, y) = ln(x2 + y 2 ) b) u(x, y) = tan−1

2xy − y2

x2

William Ramirez Quiroga

1

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c) u(x, y) = tan−1

x x2 + 2 y x + y2

d ) Sea w = x2 y + y 2 z + z 2 x verifique que

∂w ∂w ∂w + + = ∂x ∂y ∂z

(x + y + z)2 5. Hallar el vector gradiente de f (x, y) = (

x3 y − xy 3 ) en el punto x2 + y 2

Q = (1, 1) 6. (2 PUNTOS) Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado: a) f (x, y) = exy + yz en el punto Q = (1, 1, 1) en direccion a d = (1, −1, 1) b) f (x, y, z) = xsen(yz) en el punto Q = (1, 3, 0) en la direccion del vector v = i + 2j − k

William Ramirez Quiroga

2

UNIVERSIDAD DE LA COSTA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO VECTORIAL FACULTAD DE INGENIERÍA

Nayr Anaya H1 Julio Patiño E2 Ricardo Sibaja3 Juan Hernandez3 Elián Narvaez3 Calculo Vectorial Grupo: CD Profesor: William Ramírez Quiroga 1. Determine el Dominio de 𝑓 y el valor en los puntos indicados y además trazar la gráfica donde muestre en conjunto de puntos que estén en el Domino: 1

a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 +𝑦 2 −1 Resultado {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 1} Rango 𝐹 ∈ 𝑅 = 𝐹 ≤ 1 𝐹 > 0

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos −1(𝑥 − 𝑦) Resultado {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : −1 ≤ 𝑥 − 𝑦 ≤ 1} Rango 𝐹 ∈ 𝑅 = 0 ≤ 𝐹 ≤ 𝜋

c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥𝑦 − 1) Resultado {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑥𝑦 > 1} Rango 𝐹 ∈ 𝑅 = −∞ + ∞

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𝑥

d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐 sin(𝑦 2 )

Resultado {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑦 ≠ 0 𝑥 + 𝑦 2 > 0 𝑥 ≤ 𝑦 2 } Rango 𝐹 ∈ 𝑅 = −1.5 ≤ 𝐹 ≤ 1.5 e) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

1 √𝑥 2 +𝑦 2 −25 2 2

Resultado {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 : 𝑥 + 𝑦 2 > 25} Rango 𝐹 ∈ 𝑅 = 𝐹 > 0

f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 − 81 + √49 − 𝑥 2 − 𝑦 2 Asumiendo una función de valor real Resultado {∅} Rango ∅ g)

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𝑥 2 +𝑦 2

h) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 −𝑦 2

Resultado {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑥 2 ≠ 𝑦 2 } Rango 𝐹 ∈ 𝑅 = 𝐹 ≤ −1 𝐹 ≥ 1

i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 2 − 𝑦 2 ) Resultado {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑥 2 > 𝑦 2 } Rango 𝑅

𝑥

j) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln 𝑦

Resultado {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑦 > 0 ln 𝑥 ≠ 0} Rango 𝑅

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k) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + √𝑦 Resultado {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0} Rango 𝑅 +

2. Dada la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥

3𝑦4𝑧5

𝜕𝑓

𝜕𝑓

en el punto 𝑃(1,1,1) Solución: 𝜕𝑓 = 3𝑥 2 𝑦 4 𝑧 5 𝜕𝑥 𝜕𝑓 = 4𝑥 3 𝑦 3 𝑧 5 𝜕𝑦 𝜕𝑓 = 3𝑥 3 𝑦 4 𝑧 4 𝜕𝑧

Evaluando en 𝑃(1,1,1)

𝑒𝑥

3𝑦4𝑧5

𝑒𝑥

3𝑦4𝑧5

𝑒𝑥

3𝑦4𝑧5

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 = 3𝑒, = 4𝑒, = 5𝑒 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕2 𝑢

𝜕2 𝑢

3. La Ecuación de Onda: 𝜕𝑡 2 = 𝑎2 𝜕𝑥 2 Donde 𝑎 es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones de una sola variable y dos veces derivable, compruebe que la función 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝑔(𝑥 − 𝑎𝑡) satisface la ecuación de onda. Solución: Las derivadas de 𝑢(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑥 están dadas por: 𝜕𝑢 = 𝑓 ′ (𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝑔′ (𝑥 + 𝑎𝑡), 𝜕𝑥

𝜕𝑓

, halle sus derivadas parciales 𝜕𝑥 , 𝜕𝑦 y 𝜕𝑧

𝜕 2𝑢 = 𝑓 ′′ (𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝑔′′(𝑥 + 𝑎𝑡) 𝜕𝑥 2

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Las derivadas de 𝑢(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑡 están dadas por: 𝜕𝑢 𝜕 2𝑢 = 𝑎𝑓 ′ (𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝑎𝑔′ (𝑥 + 𝑎𝑡), = 𝑎2 𝑓′′(𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝑎2 𝑔′′(𝑥 + 𝑎𝑡) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 2 Sustituyendo obtenemos 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 2 ′′ (𝑥 2 ′′ (𝑥 2 |𝑓′′(𝑥 2 =𝑎 𝑓 + 𝑎𝑡) + 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑡) = 𝑎 + 𝑎𝑡) + 𝑔′′(𝑥 + 𝑎𝑡)| = 𝑎 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 𝜕2 𝑢

𝜕2 𝑢

4. En los siguientes ejercicios demuestre que 𝑢(𝑥, 𝑦) satisface la ecuación 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦 2 = 0 a) 𝑢(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 ) Solución: 𝒖(𝒙, 𝒚) = 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) →

𝜕𝑢(𝑥, 𝑦) 2𝑥 𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑦) 2(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 4𝑥 2 = 2 → = (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 𝜕𝑥 𝑥 + 𝑦2 𝜕𝑥 2

𝒖(𝒙, 𝒚) = 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) →

𝜕𝑢(𝑥, 𝑦) 2𝑦 𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑦) 2(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 4𝑦 2 = 2 → = (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 𝜕𝑦 𝑥 + 𝑦2 𝜕𝑦 2

2(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 4𝑥 2 2(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 4𝑥 2 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑥 2 + 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑦 2 + = (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 4𝑥 2 − 4𝑥 2 + 4𝑦 2 − 4𝑦 2 →= =0 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 2𝑥𝑦

b) 𝑢(𝑥, 𝑦) = tan−1 𝑥 2 −𝑦 2 Solución: 𝝏𝒖(𝒙, 𝒚) = 𝝏𝒙

1 2

(

2𝑥𝑦 1+( 2 ) 𝑥 − 𝑦2 )

∗

2𝑦(𝑥 2 − 𝑦 2 ) − 2𝑥(2𝑥𝑦) =( (𝑥 2 − 𝑦 2 )2

1 2𝑥 2 𝑦 − 2𝑦 3 − 4𝑥 2 𝑦 )∗ 2 2 4𝑥 𝑦 (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 1+ 2 2 2 (𝑥 − 𝑦 )

1 −2𝑥 2 𝑦 − 2𝑦 3 (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 −2𝑦 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) ) ∗ = ( ) ∗ 4𝑥 2 𝑦 2 + (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 4𝑥 2 𝑦 2 + (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 2 2 2 (𝑥 − 𝑦 ) (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 −2𝑦 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) →= ( 2 ) ∗ (𝑥 + 𝑦 2 )2 (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 𝜕𝑢 −2𝑦 = 𝜕𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝜕 2 𝑢 −2𝑥(−2𝑦) 4𝑥𝑦 = = 𝜕𝑥 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 →= (

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𝝏𝒖(𝒙, 𝒚) = 𝝏𝒚

1 2

( →= (

→= (

2𝑥𝑦 1+( 2 ) 𝑥 − 𝑦2 )

∗

2𝑥(𝑥 2 − 𝑦 2 ) + 2𝑦(2𝑥𝑦) =( (𝑥 2 − 𝑦 2 )2

1 2𝑥 3 − 2𝑥𝑦 2 + 4𝑥𝑦 2 )∗ 2 2 4𝑥 𝑦 (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 1+ 2 2 2 (𝑥 − 𝑦 )

1 2𝑥 3 + 2𝑥𝑦 2 (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 2𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) ) ∗ = ( ) ∗ 4𝑥 2 𝑦 2 + (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 4𝑥 2 𝑦 2 + (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 2 2 2 (𝑥 − 𝑦 )

4𝑥 2 𝑦 2

2𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) )= 4 4 2 2 4 + 𝑥 − 2𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑥 + 2𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 4

𝜕𝑢 2𝑥 = 2 (𝑥 + 𝑦 2 ) 𝜕𝑦 𝜕2𝑢 −2𝑦(2𝑥) −4𝑥𝑦 = 2 = 2 2 2 2 (𝑥 + 𝑦 ) (𝑥 + 𝑦 2 )2 𝜕𝑦 2 2 𝜕 𝑢 𝜕 𝑢 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 4𝑥𝑦 −4𝑥𝑦 + 2 =0 2 2 2 (𝑥 + 𝑦 ) (𝑥 + 𝑦 2 )2 𝑥

𝑥2

c) 𝑢(𝑥, 𝑦) = tan−1 𝑦 + 𝑥 2 +𝑦 2 𝜕𝑢 = 𝜕𝑥

1 𝑦

+

2𝑥(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 𝑥 2 ∗ 2𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 2 𝑦 3 + 2𝑥𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 𝑦(𝑥 + 𝑦)2 = + = = (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2

𝑥2 1+ 2 𝑦 𝑥 − 2 𝜕𝑢 −2𝑥𝑦 2 −𝑥 2𝑥 2 𝑦 −𝑥 3 − 𝑥𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦 𝑥(𝑥 + 𝑦)2 𝑦 = + = − = = − 𝑥 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 𝜕𝑦 1+ 2 𝑦 𝜕 2 𝑢 2𝑦(𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 + 𝑦 2 )2 − 𝑦(𝑥 + 𝑦)2 4𝑥(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2𝑦(𝑥 + 𝑦)[−𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ] = = (𝑥 2 + 𝑦 2 )4 (𝑥 2 + 𝑦 2 )3 𝜕𝑥 2 2 2 2 )2 2 2 2) 𝜕 𝑢 2𝑥(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦 − 𝑥(𝑥 + 𝑦) 4𝑦(𝑥 + 𝑦 2𝑥(𝑥 + 𝑦)[𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ] = = (𝑥 2 + 𝑦 2 )4 (𝑥 2 + 𝑦 2 )3 𝜕𝑦 2

𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢 2𝑥(𝑥 + 𝑦)[−𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 ] 2(𝑥 + 𝑦)[𝑥 2 (𝑦 − 𝑥) + 𝑦 2 (𝑦 − 𝑥)] + = = (𝑥 2 + 𝑦 2 )3 (𝑥 2 + 𝑦 2 )3 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 2 2 2(𝑦 − 𝑥 ) = 2 (𝑥 + 𝑦 2 )3

d) Sea 𝑤 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 𝑧 + 𝑧 2 𝑥 verifique que 𝜕𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑧 2 𝜕𝑥

𝜕𝑤 = 𝑥 2 + 𝑦𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑤 = 𝑦 2 + 𝑧𝑥 𝜕𝑧

𝜕𝑤 𝜕𝑥

𝜕𝑤

+ 𝜕𝑦 +

𝜕𝑤 𝜕𝑧

= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2

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𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 + + = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Verifique 𝑥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑦 2 + 𝑦𝑧 + 𝑧 2 + 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 𝑥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑦(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑧 2 − 𝑥𝑦 + 𝑧𝑥 − 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 − 𝑧𝑦 𝑥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑦(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑥𝑦 − 𝑧𝑥 − 𝑧𝑦 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑥𝑦 − 𝑧𝑥 − 𝑧𝑦 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 − 𝑥𝑦 − 𝑧𝑥 − 𝑧𝑦 ≠ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 𝑥 3 𝑦−𝑥𝑦 3

5. Hallar el vector gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦) = (

𝑥 2 +𝑦 2

) en el punto 𝑄 = (1,1)

Solución: 𝛻𝑓(𝑎) =

𝜕 𝜕 (𝑎)𝑖⃗ + (𝑎)𝑗⃗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕 𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 3 𝑦(𝑥 4 + 4𝑥 2 𝑦 2 − 𝑦 4 ) ( )= 𝜕𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 𝜕 𝑥 3 𝑦 − 𝑥𝑦 3 𝑥 5 − 4𝑥 3 𝑦 2 − 𝑥𝑦 4 ) ( 2 ) = 𝜕𝑥 𝑥 + 𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 Si 𝑄 = (1,1) {∇𝑓(1, , ) =

(1+4+1) (2)2

𝑖⃗ +

1−4−1 (2)2

𝑗⃗

∇𝑓(1,1) = (1, −1) 6. (2 PUNTOS) Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado: a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 en el punto 𝑄 = (1,1,1) en dirección a 𝑑 = (1, −1,1) Solución: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 → ∇𝑓(1,1,1) = (𝑦𝑒 𝑥𝑦 , 𝑥𝑒 𝑥𝑦 , 𝑦)(1,1,1) = (𝑒, 𝑒, 1) 𝑑 = (1, −1,1) vector unitario ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑑 =

(1,−1,1) √3

Derivada direccional 𝐷𝑑 𝑓 = ∇𝑓(1,1,1) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑑 = (𝑒, 𝑒, 1) ∗

(1,−1,1) √3

=

1 √3

(𝑒 − 𝑒 + 1) =

1 √3

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b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧) en el punto 𝑄 = (1,3,0) en dirección del vector 𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘