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UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: ALEJANDRA M. PULGARIN GALVIS TALLER No. 4 1. Dado que 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑥 es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial 𝑦´´ − 𝑦 = 0 en el intervalo (−∞, ∞); determinar un miembro de la familia que satisfaga las condiciones iniciales 𝑦(0) = 0, 𝑦 ´ (0) = 1. 2. Dado que 𝑦(𝑥) = 𝑐1 + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐3 𝑠𝑒𝑛𝑥 es una familia a tres parámetros de soluciones de 𝑦´´´ + 𝑦´ = 0 en el intervalo (−∞, ∞), defina un miembro de la familia que cumpla las condiciones iniciales 𝑦(𝜋) = 0, 𝑦´(𝜋) = 2, 𝑦´´(𝜋) = −1. 3. Puesto que 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 , es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial 𝑦´´ − 2𝑦´ + 2𝑦 = 0 en el intervalo (−∞, ∞), determinar, si es posible, un miembro de la familia que pueda satisfacer las siguientes condiciones: a. 𝑦(0) = 1 𝑦´(0) = 0 𝜋 b. 𝑦(0) = 𝑦 ( 2 ) = 1 4. Comprobar si las funciones respectivas son linealmente independientes o dependientes en (−∞, ∞): a. 𝑓1 (𝑥) = 𝑥, 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 2 , 𝑓3 (𝑥) = 4𝑥 − 3𝑥 2 b. 𝑓1 (𝑥) = 5, 𝑓2 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥, 𝑓3 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 c. 𝑓1 (𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑓2 (𝑥) = 𝑒 −𝑥 , 𝑓3 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 5. Comprobar que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Formar la solución general. a. 𝑦´´ − 𝑦´ − 12𝑦 = 0; 𝑒 −3𝑥 , 𝑒 4𝑥 ; (−∞, ∞) b. 𝑦´´ − 2𝑦´ + 5𝑦 = 0; 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥, 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥; (−∞, ∞) c. 4𝑦´´ − 4𝑦´ + 𝑦 = 0; 𝑒 𝑥⁄2 , 𝑥𝑒 𝑥⁄2 ; (−∞, ∞) d. 𝑥 2 𝑦´´ + 𝑥𝑦´ + 𝑦 = 0; cos(𝑙𝑛𝑥) , 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥); (0, ∞) e. 𝑥 3 𝑦´´´ + 6𝑥 2 𝑦´´ + 4𝑥𝑦´ − 4𝑦 = 0; 𝑥, 𝑥 −2 , 𝑥 −2 𝑙𝑛𝑥; (0, ∞) 6. Comprobar que la familia biparamétrica de funciones es solución general de la ecuación diferencial no homogénea en el intervalo dado. a. 𝑦´´ − 7𝑦´ + 10𝑦 = 24𝑒 𝑥 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 5𝑥 + 6𝑒 𝑥 ; (−∞, ∞) b. 𝑦´´ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝜋 𝜋 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + (𝑐𝑜𝑠𝑥)(ln(𝑐𝑜𝑠𝑥)); (− , ) c. 2𝑥 2 𝑦´´ + 5𝑥𝑦´ + 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 1 1 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑥 −1⁄2 + 𝑐2 𝑥 −1 + 15 𝑥 2 − 6 𝑥; (0, ∞)

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7. Determinar una solución general de cada ecuación diferencial. a. 𝑦´´ − 8𝑦 = 0 𝑑2𝑦

𝑑𝑦

b. 𝑑𝑥 2 + 8 𝑑𝑥 + 16𝑦 = 0 c. 𝑦´´ + 3𝑦´ − 5𝑦 = 0 d. 2𝑦´´ − 3𝑦´ + 4𝑦 = 0 e. 𝑦´´´ − 5𝑦´´ + 3𝑦´ + 9𝑦 = 0 f.

𝑑4 𝑦 𝑑𝑥 4

+

𝑑3 𝑦 𝑑𝑥 3

+

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

=0

8. Resolver cada ecuación diferencial sujeta a las condiciones iniciales dadas. a. 𝑦´´ + 6𝑦´ + 5𝑦 = 0; 𝑦(0) = 0, 𝑦´(0) = 3 b. 𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 0; 𝑦(0) = 5, 𝑦´(0) = 10 𝜋 𝜋 c. 𝑦´´ + 𝑦 = 0; 𝑦 ( 3 ) = 0, 𝑦´ ( 3 ) = 2 d. 𝑦´´´ − 8𝑦 = 0; 𝑦(0) = 0, 𝑦´(0) = −1, 𝑦´´(0) = 0 e. f.

𝑑4𝑦 𝑑3𝑦 𝑑2 𝑦 − 3 +3 4 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑4 𝑦 − 𝑦 = 0; 𝑦(0) 𝑑𝑥 4

𝑑𝑦

− 𝑑𝑥 = 0; 𝑦(0) = 𝑦´(0) = 0, 𝑦´´(0) = 𝑦´´´(0) = 1 = 𝑦´(0) = 𝑦´´(0) = 0, 𝑦´´´(0) = 1

9. Resolver la ecuación diferencial, sujeta a las condiciones dadas: a. 𝑦´´ − 10𝑦´ + 25𝑦 = 0; 𝑦(0) = 1, 𝑦(1) = 0 𝜋 b. 𝑦´´ + 𝑦 = 0; 𝑦´(0) = 0, 𝑦´ ( 2 ) = 2 10. Resolver las ecuaciones diferenciales por coeficientes indeterminados. 1 a. 𝑦´´ + 𝑦´ + 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 4 b. 𝑦´´ − 8𝑦´ + 20𝑦 = 100𝑥 2 − 26𝑥𝑒 𝑥 c. 4𝑦´´ − 4𝑦´ − 3𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 d. 𝑦´´ + 2𝑦´ = 2𝑥 + 5 − 𝑒 −2𝑥 e. 𝑦´´ + 4𝑦 = (𝑥 2 − 3)𝑠𝑒𝑛2𝑥 f. 𝑦´´ + 𝑦 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 g. 𝑦´´ − 5𝑦´ = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 − 𝑥 + 6 h. 𝑦´´ − 2𝑦´ + 2𝑦 = 𝑒 2𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥) i. 𝑦´´ + 2𝑦´ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 j. 𝑦´´ + 2𝑦´ − 24𝑦 = 16 − (𝑥 + 2)𝑒 4𝑥 k. 𝑦´´´ − 2𝑦´´ − 4𝑦´ + 8𝑦 = 6𝑥𝑒 2𝑥 l. 𝑦´´´ − 𝑦´´ − 4𝑦´ + 4𝑦 = 5 − 𝑒 𝑥 + 𝑒 2𝑥 11. Resolver la ecuación diferencial, sujeta a las condiciones iniciales dadas. 𝜋 1 𝜋 a. 𝑦´´ + 4𝑦 = −2; 𝑦 ( 8 ) = 2 , 𝑦´ ( 8 ) = 2 b. 𝑦´´ + 4𝑦´ + 4𝑦 = (3 + 𝑥)𝑒 −2𝑥 ; 𝑦(0) = 2, 𝑦´(0) = 5 c. 𝑦´´ + 4𝑦´ + 5𝑦 = 35𝑒 −4𝑥 ; 𝑦(0) = −3, 𝑦´(0) = 1 d. 𝑦´´´ + 8𝑦 = 2𝑥 − 5 + 8𝑒 −2𝑥 ; 𝑦(0) = −5, 𝑦´(0) = 3, 𝑦´´(0) = −4

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12. Resolver la ecuación diferencial sujeta a las condiciones de frontera dadas. a. 𝑦´´ + 𝑦 = 𝑥 2 + 1; 𝑦(0) = 5, 𝑦(1) = 0 b. 𝑦´´ − 2𝑦´ + 2𝑦 = 2𝑥 − 2; 𝑦(0) = 0, 𝑦(𝜋) = 𝜋 13. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de variación de parámetros. Proponer un intervalo en que la solución general este definida. a. 𝑦´´ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 b. 𝑦´´ + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 c. 𝑦´´ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 d. 𝑦´´ − 4𝑦 = e. 𝑦´´ − 9𝑦 =

𝑒 2𝑥 𝑥 9𝑥 𝑒 3𝑥

𝑒 3𝑥

f. 𝑦´´ − 3𝑦´ + 2𝑦 = 1+𝑒 𝑥 g. 𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 h. 𝑦´´ − 2𝑦´ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 i. 𝑦´´ + 2𝑦´ + 𝑦 = 𝑒 −𝑥 𝑙𝑛𝑥 j. 3𝑦´´ − 6𝑦´ + 30𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑡𝑎𝑛3𝑥 k. 4𝑦´´ − 4𝑦´ + 𝑦 = 𝑒 𝑥⁄2 √1 − 𝑥 2 l. 𝑦´´´ + 𝑦´ = 𝑡𝑎𝑛𝑥 m. 𝑦´´´ − 2𝑦´´ − 𝑦´ + 2𝑦 = 𝑒 3𝑥 14. Resolver la ecuación diferencial por el método de variación de parámetros, sujeta a las condiciones iniciales 𝑦(0) = 1, 𝑦´(0) = 0 a. 4𝑦´´ − 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥⁄2 b. 2𝑦´´ + 𝑦´ − 𝑦 = 𝑥 + 1 c. 𝑦´´ + 2𝑦´ − 8𝑦 = 2𝑒 −2𝑥 − 𝑒 −𝑥 d. 𝑦´´ − 4𝑦´ + 4𝑦 = (12𝑥 2 − 6𝑥)𝑒 2𝑥 15. Determinar una segunda solución en cada ecuación diferencial usando el método de Reducción de orden y por medio de la fórmula establecida. a. 𝑦´´ − 𝑦´ = 0; 𝑦1 (𝑥) = 1 b. 𝑦´´ + 16𝑦 = 0; 𝑦1 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 c. 4𝑥 2 𝑦´´ + 𝑦 = 0; 𝑦1 (𝑥) = 𝑥 1⁄2 𝑙𝑛𝑥 d. (1 − 2𝑥 − 𝑥 2 )𝑦´´ + 2(1 + 𝑥)𝑦´ − 2𝑦 = 0; 𝑦1 (𝑥) = 𝑥 + 1 e. 𝑥 2 𝑦´´ − 𝑥𝑦´ + 2𝑦 = 0; 𝑦1 (𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) f. 𝑥 2 𝑦´´ − 5𝑥𝑦´ + 9𝑦 = 0; 𝑦1 (𝑥) = 𝑥 3 𝑙𝑛𝑥 16. Aplicar el método de reducción de orden para determinar una solución de la ecuación diferencial no homogénea. La función indicada 𝑦1 (𝑥) es una solución de la ecuación homogénea asociada. Determinar una segunda solución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea. a. 𝑦´´ − 4𝑦 = 2; 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 −2𝑥 b. 𝑦´´ + 𝑦 = 1; 𝑦1 (𝑥) = 1

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