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TALLER NUMERO DOS DE ESTADISTICA SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

JUAN CARLOS PINTO SALAMANCA CODIGO: 201421354 EDGAR LEONARDO SILVA DOMINGUEZ CODIGO: 201421397 VICTOR MAUEL SIERRA RODRIGUEZ CODIGO: 2014

ESTADISTICA II

PRESENTADO A: JAIME ALBERTO GARCIA

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL FACULTAD SEDE SOGAMOSO BOYACA 2017

Ejercicios de la sección 5-5. 5-28 Suponga que X tiene una distribución continua uniforme en el intervalo [1.5, 5.5]. a) ¿Determine la media, la varianza y la desviación estándar de X? b) ¿Cuál es P (X < 2,5)

SOLUCION

f ( x) 

1 1 1    0.25 b  a 5.5  1.5 4

.30 .20 .10 1

2

3

4

5

6

a)

x 

5.5  1.5 7   3.5 2 2

 2x 

(5.5  1.5) 2 4   1.33 12 3

x 

4  1.1547 3

b) P( X  2.5)  

2.5

1.5

2.5

1 x 2.5 1.5 dx      0.25  25% 4 4 1.5 4 4

5-29. Suponga que X tiene una distribución continua uniforme en el intervalo [−1, 1]. a) ¿Determine la media, la varianza y la desviación estándar de X? b) Determine el valor de x tal que P ( - x < X < x) = 0,90 SOLUCION

0,05

0,45 0,45 -1

f ( x) 

0,05 1

1 1 1    0.5 b  a 1  (1) 2

x 

11 0 2

(1  (1)) 2 4 2    0.333 a)  x  12 12 6 2

x 

2  0.577 6

b) p(-x< X 50.1) = F (50.1) = 2(50.1) – 99.5 = 0.7 5-31 El grosor del reborde de un componente aeronáutico tiene una distribución uniforme entre 0,95 y 1,05 milímetros. a) b) c) d)

Determine la función de distribución acumulada del grosor de los rebordes. Determine la proporción de los rebordes que exceden 1,02 milímetros ¿Qué grosor exceden 90% de los rebordes? Determine la media y la varianza del grosor de los rebordes.

a. Sea S el espacio muestral: s={0.95,0.96,0.97,0.98,0.99,1,1.01,1.02,1.03,1.04,1.05} Donde por ser una distribución uniforme cada uno de los elementos de este espacio tiene un probabilidad de 1/11=0.091 Fx(x)=x1px1+x2px2+x3px3+x4px4+x5px5+x6px6+x7px7+x8px8+x9px9+x10px10 Fx(x)=(0.95∗0.091)+(0.96∗0.091)+(0.97∗0.091)+(0.98∗0.091)+(0.99∗0.091)+(1∗0.0 91)+(1.01∗0.091)+(1.02∗0.091)+(1.03∗0.091)+(1.04∗0.091)+(1.05∗0.091) Fx(x)=(0.086)+(0.087)+(0.088)+(0.089)+(0.090)+(0.091)+(0.092)+(0.093)+(0.094)+ (0.095)+(0.095)=1 b.

P(x)=1/10=0.1 p(x>1.02)=0.01+0.01+0.01=0.3 c. El 90% corresponden a 9 casillas, por tanto: p(x>90)=0.95+0.1=0.96 d. •

La media de la distribución uniforme está dada por: μ=∑k1xik μ=0.95+0.96+0.97+0.98+0.99+1+1.01+1.02+1.03+1.04+1.0511 μ=1

•

La varianza de la distribución uniforme está dada por: σ2=∑k1(xi−μ)2k σ2=(0.95−1)+(0.96−1)+(0.97−1)+(0.98−1)+(0.99−1)+(1−1)+(1.01−1)+(1.02−1)+ (1.03−1)+(1.04−1)+(1.05−1)11 σ2=(−0.05)+(−0.04)+(−0.03)+(−0.02)+(−0.01)+(0)+(0.01)+(0.02)+(0.03)+(0.04)+ (0.05)11 σ2=011=0

5-32. El espesor del recubrimiento foto protector aplicado a las obleas en la fábrica de semiconductores en un sitio particular de la oblea tiene una distribución uniforme entre 0,2050 y 0,2150 micrones. a) Determine la función de distribución acumulada del espesor del recubrimiento foto protector. b) Determine la proporción de obleas cuyo espesor del recubrimiento foto protector excede 0,2125 micrones. c) ¿Qué espesor exceden 10% de las obleas? d) Determine la media y la varianza del espesor del recubrimiento

a) La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua uniforme es: ∫xa1/(b−a)du =x/(b−a)−a/(b−a) al simplificar queda =(x−a)/(b−a) entonces para el problema es : ∫x0.2050(1/(0.2150−0.2050))du =x/(0.2150−0.2050)−0.2050/(0.2150−0.2050) =(x/0.0100)−(20.5) =(x−0.2050)/(0.0100) Por lo tanto la función de distribución acumulada completa es: F(x)=⎧⎩⎨0(x−0.2050)/(0.0100)1si x0.2125)=1−F(0.2125) Utilizando la FDA hallada en el punto a) tenemos: P(X>0.2125)=1−F(0.2125) P(X>0.2125)=1−((0.2125−0.2050)/(0.0100)) P(X>0.2125)=0.250 c) si P ( X < x) = 0.1 entonces 1 – F(X) = 0.1 y F(X) = 0.9 para eso 100x – 20.50 = 0.9 entonces x = 0.214

d) Su media está dada por μX=1/2(b+a) reemplazando valores μX=1/2(0.2150+0.2050) μX=0.2100 Su varianza está dada por var(X)=1/12(b−a)2 var(X)=1/12(0.2150−0.2050)2 var(X)=8.333e−6 5-33. La función de densidad de probabilidad del tiempo necesario para terminar una operación de ensamblaje es f(x) = 0,1 para 30 < X < 40 segundos. a) Determine la porción de unidades ensambladas cuya terminación necesita más de 35 segundos. b) ¿Qué tiempo excedido por 90% de las unidades ensambladas? c) Determine la media y la varianza del tiempo de ensamble. SOLUCION 40

a) P (x < 35) = ∫35 0.1 𝑑𝑥 = 0.1 x |40 35 = 0.5 b)¿Qué tiempo es excedido por 90% de las unidades ensambladas? P(X>x)=0,90seg P(X>x)=∫40x0,1dx=0,1(40−x)=0,90 de donde se deduce que: x=31 segundos Tiempo excedido = 31 segundos c) Determine la media y la varianza del tiempo de ensamblaje. μ=E[x]=a+b2=E[x]=30+402=E[x]=35seg VARIANZA σ2=v[x]=(b−a)212=(40−30)212=8.33seg2

EJERCICIOS DE LA SECCION 5.6 5.34 Use la tabla II del apéndice para determinar las siguientes probabilidades de la variable aleatoria normal estándar Z. a) P (Z < 1,32) = 0,90685 b) P (Z < 3,0) = 0,99865 c) P (Z > 1,45) tenemos que 1 – 0,92647 = 0,07353 d) P (Z > -2,15) = P (Z < 2,15) = 0,98422 e) P ( -2,34 < Z < 1,76) = P (Z < 1,76) - P (Z > 2,34) = 0,95116

5.35 Use la tabla II del apéndice para determinar las siguientes probabilidades de la variable aleatoria normal estándar Z. a) P (-1 < Z < 1) P (Z < 1) - P (Z > 1) 0,84134 – (1- 0,84134) = 0,68268 b) P (-2 < Z < 2) P (Z < 2) – [1 - P (Z < 2)] = 0,9545 c) P (-3 < Z < 3) P (Z < 3) – [1 - P (Z < 3)] = 0,9973 d) P (Z>3) 1 – P (Z < 3) = 0,00135 e) P (0 < Z < 1) P (Z < 1) – P (Z < 0) 0,84134 – 0,5 = 0,34134

5.36 Suponga que Z tiene una distribución normal estándar. Use la tabla II del apéndice para determinar el valor de z que resuelve cada una de las expresiones siguientes: a) P (Z < z) = 0,9 valor de z = 1,28 b) P (Z z) = 0,1 si P (Z > z) = 0,1 entonces P (Z > z) = 0,90 por lo tanto z = 1,28 d) P (Z > z) = 0,9 si P (Z > z) = 0,9 entonces P (Z > z) = 0,10 por tanto z = -1,28 e) P (-1,24 < Z < z) = 0,8 tenemos que: P (Z < z) - P (Z < -1,24) P (Z < z) – 0,10749 Entonces P (Z < z) = 0,8 + 0,10749 = 0,90749 por lo tanto z = 1,33 5.37 Suponga que Z tiene una distribución normal estándar. Use la tabla II del apéndice para determinar el valor de z que resuelve cada una de las expresiones siguientes: Como en las tablas no se encuentra el dato exacto debemos realizar una interpolación la cual se halla con la siguiente formula: 𝑦 = 𝑦0 +

(𝑦1 − 𝑦0 ) (𝑥 − 𝑥0 ) (𝑥1 − 𝑥0 )

a) P (-z < Z < z) = 0,95 𝑦 = 1,64 +

(1,65 − 1,64) (0,95 − 0,9495) (0,9505 − 0,9495)

Luego z = 1,645 b) P (-z < Z z) = 0,68

(2,33 − 2,32) (0,99 − 0,9898) (0,9901 − 0,9898)

𝑦 = 0,46 +

(0,47 − 0,46) (0,68 − 0,6772) (0,6868 − 0,6772)

Luego z = 0,463 d) P (-z < Z > z) = 0,9973 de acuerdo a la tabla el valor de z = 2,78

5.38 Suponga que X tiene una distribución normal con una media de 10 y una desviación estándar de 2. Determine lo siguiente: a) P (X < 13) P (Z < (13 - 10) /2) P (Z < 1,5) = 0,9332 b) P (X < 9) = 1 - P (X < 9) = 1 - P (Z < (9 - 10) /2) = 1 – P (Z< 0,5) = 1 – [1 – P (Z< 0,5)] = P (Z < 0,5) = 0,6915 c) P (6 < X < 14) 6−10

= 𝑃(

2

x) = 0,95 = 𝑃 (𝑍 >

𝑋−10

𝑋−10

2

2

) = 1 - 𝑃 (𝑍
Luego (

𝑋−5

𝑋−5

4

4

) = 0,95 entonces = 𝑃 (𝑍
9) = 0,2 = 𝑃 (𝑍

𝑋−5 4

< 𝑍 < 1) = 0,2

) = 0,05

Entonces P (Z < 1) - 𝑃 (𝑍 < 𝑃 (𝑍
2,4) = 0,0082

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la anchura de una raya espectral este entre 0,47 y 0,63 micrones (milésimas de milímetro)? P (0,47 < X > 0,63) = P (-0,6 < Z < 2,6) = P (Z < 2,6) - P (Z < -0,6) = 0,9953 - 0,2743 = 0,721

c) ¿Debajo de que valor esta el 90% de las anchuras de las rayas espectrales? P (X < x) = 𝑃 (𝑍
12) = 0,999 entonces 𝑃 (𝑍 < Por tanto

12−µ 0,05

12−µ 0,05

) = 0,999

= -3,09 y µ = 12,1545

5.47 El tiempo de reacción de un conductor a un estímulo visual tiene una distribución normal con una media de 0,4 segundos y una desviación estándar de 0,05 segundos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una reacción requiera más de 0,5 segundos? P (X > 0,5) = 𝑃 (𝑍
2) = 1 – 0,9772 = 0,0228

)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una reacción requiera entre 0,4 y 0,5 segundos? P (0,4 < X < 0,5) = P (0 < Z < 2) = P (Z < 2) – P (Z < 0) = 0,4772

c) ¿Cuál es el tiempo de reacción que se excede 90% de las veces? P (X < x) = 0,90 P (𝑍
1) = 1 - P (Z > 1) =1 – 0,8413 = 0,1587 P (X < 89,7) = P (𝑍
t1 ) = 1−e^−α(ti+t2) / e−αt1 P( X < t1 + t2 | X > t1) = 1−e ^ −αt2 e^−αt1 / e−αt1 P( X < t1 + t2 | X > t1 ) = 1−e^−αt2 P( X < t1 + t2 | X > t1 ) = P (X 5 Sea la función de densidad de una variable aleatoria y determinar la función de distribución correspondiente. f(x) = kx para valores entre 0 ≤ x ≤ 5

5

∫ k𝑥 dx = 1 0

𝑥2

k

2

evaluada de 0 a 5 luego k = 2/25

y su función de distribución es 1 25

𝑥2

para valores entre 0 ≤ x ≤ 5

0 𝑠𝑖 𝑥 < 3 6.12.5 Dada la función 𝑓(𝑥) {4𝑥 − 12 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 5} 0 𝑠𝑖 𝑥 > 4 a) comprobar que f(x) es una función de densidad 5

∫ (4x − 12) dx = 1 0

2𝑥 2 − 12𝑥 = 1 evaluada de 0 a 5 tenemos como resultado -60 por tanto no es función de densidad. Para lo cual debemos hallar un valor k. K es igual a -1/10 b) calcular la esperanza matemática de la v.a. X que tiene por función de densidad f(x)

6.12.6 la función de densidad de la variable aleatoria continua X es: 3𝐾𝑥 3 𝑠𝑖 0 < 𝑋 ≤ 1 𝑓(𝑥) {𝑘(4 − 𝑥) 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 4} 0 𝐸𝑁 𝐸𝐿 𝑅𝐸𝑆𝑇𝑂 a) Calcular el valor de k b) Hallar la función de distribución de la variable X c) Calcular la media de X

6.12.7la variable aleatoria y simboliza el tiempo de una llamada telefónica y la función de densidad y es: 𝑓(𝑡) {

0 𝑠𝑖 𝑡 < 0 } 𝛽𝑒 𝑠𝑖 𝑡 > 0 −𝑘𝑡/4

Para un valor de k mayor que cero a) b) c) d)

Determinar el valor de β Dar la función de distribución si k=4 m, calcular la probabilidad de que una llamada dure más de 5 minutos ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure entre 5 y 10 minutos?

6.12.8 la función de densidad de la variable aleatoria X es: 0 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑐𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑋 < 2 𝑓(𝑥) { 2−𝑥 } 𝑐𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 2

a) Determinar el valor de c b) Hallar la función de distribución de la variable aleatoria X. c) Calcular la probabilidad del suceso AUB, siendo A = {x € R I x≤1,5} y B {x € R I x>1,5} d) e) f) g)

Calcular la probabilidad de que X este comprendida entre 1,5y 3 Hallar p(x>3Ix1,76); P(Z-0,13); P(Z