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NOMBRE: COD. ASIGNATURA: DOCENTE:

Daniel Bocanegra Rincón 2111995 Matemáticas Avanzadas Jorge Villamizar

-

Sergio Macías 2111

PRIMERA ENTREGA DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.

Espacios Vectoriales:

GROSSMAN, Stanley. Algebra Lineal. 𝟓𝒕𝒂 𝑬𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏. Pág. 298

2). Determine si el conjunto dado es un espacio vectorial, si no lo es, enuncie los axiomas que no se cumplen. Sea V el Conjunto de matrices diagonales de 𝑛 𝑥 𝑛, bajo la multiplicación (es decir, 𝐴 ⊙ 𝐵 = 𝐴𝐵).

Sol. Axioma 1. Sean 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑉, Entonces 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝑉

𝑎11 0 0 𝑎22 𝐴= [ ⋮ ⋮ 0 0

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑎𝑛𝑛

Y

𝑏11 0 0 𝑏22 B= [ ⋮ ⋮ 0 0

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑏𝑛𝑛

𝑎11 + 𝑏11 0 … 0 0 𝑎22 + 𝑏_22 … 0 𝐴+𝐵 = [ ] ⋮ 0 ⋮ ⋮ … 𝑎𝑛𝑛 + 𝑏𝑛𝑛 0 0

Dado que la suma de dos matrices diagonales dará como resultado otra matriz diagonal, entonces es posible decir que la matriz A+B pertenece al conjunto V, se cumple el axioma 1.

Axioma 2. Sean 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝑉, Entonces (𝑋 + 𝑌) + 𝑍 = 𝑋 + (𝑌 + 𝑍).

𝑥11 0 0 𝑥22 𝑋= [ ⋮ ⋮ 0 0

… … ⋮ …

𝑦11 0 0 𝑦22 Y= [ ⋮ ⋮ 0 0

0 0 ] 0 𝑥𝑛𝑛

… … ⋮ …

𝑧11 0 0 𝑧22 𝑍= [ ⋮ ⋮ 0 0

0 0 ] 0 𝑦𝑛𝑛

(𝑿 + 𝒀) + 𝒁 = 𝑿 + (𝒀 + 𝒁)

𝑥11 + 𝑦11 0 0 𝑥22 + 𝑦22 [ ⋮ ⋮ 0 0

𝑧11 0 … 0 0 𝑧22 … 0 ]+[ ⋮ 0 ⋮ ⋮ … 𝑥𝑛𝑛 + 𝑦𝑛𝑛 0 0

𝑥11 + 𝑦11 + 𝑧11 ⋮ [ 0

⋯ ⋱ ⋯

… … ⋮ …

𝑥11 0 0 0 𝑥22 0 ]= [ 0 ⋮ ⋮ 𝑧𝑛𝑛 0 0

… … ⋮ …

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑧𝑛𝑛

¿?

𝑦11 + 𝑧11 0 0 0 𝑦11 + 𝑧11 0 ]+[ 0 ⋮ ⋮ 𝑥𝑛𝑛 0 0

0 𝑥11 + 𝑦11 + 𝑧11 ⋮ ⋮ ]= [ 𝑥𝑛𝑛 + 𝑦𝑛𝑛 + 𝑧𝑛𝑛 0

⋯ 0 ⋱ ⋮ ] ⋯ 𝑥𝑛𝑛 + 𝑦𝑛𝑛 + 𝑧𝑛𝑛

Se cumple entonces el segundo axioma.

Axioma 3. ∀ 𝐴 ∈ 𝑉 ∃ 𝑀 ∈ 𝑉 ∶ 𝐴 + 𝑀 = 𝐴.

𝑎11 0 0 𝑎22 𝐴= [ ⋮ ⋮ 0 0

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑎𝑛𝑛

𝑎11 + 𝑚11 0 𝐴+𝑀 = [ ⋮ 0

;

𝑎22

𝑚11 0 0 𝑚22 𝑀= [ ⋮ ⋮ 0 0 0 + 𝑚22 ⋮ 0

… 0 … 0 ] ⋮ 0 … 𝑚𝑛𝑛

… …

0 0 ] ⋮ … 𝑎𝑛𝑛 + 𝑚22

𝑎𝑖𝑖 + 𝑚𝑖𝑖 = 𝑎𝑖𝑖 ⇒ 𝑚𝑖𝑖 = 0 ; 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑛 ℝ 0 𝑀 = [0 ⋮ 0 Entonces se cumple el axioma 3.

0 … 0 0 … 0] ⋮ ⋮ 0 0 … 0

… 0 … 0 ] ⋮ 0 … 𝑦𝑛𝑛 + 𝑧𝑛𝑛

Axioma 4. ∀ 𝐴 ∈ 𝑉 ∃ 𝐼 ∈ 𝑉 ∶ 𝐴 + 𝐼 = 𝑀. 𝑎11 0 0 𝑎22 𝐴= [ ⋮ ⋮ 0 0

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑎𝑛𝑛

𝑖11 0 0 𝑖22 𝐼= [ ⋮ ⋮ 0 0

;

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑖𝑛𝑛

𝑨 + 𝑰 = 𝑴 ¿? 𝑎11 + 𝑖11 0 𝐴+𝑀 = [ ⋮ 0

0 𝑎22 + 𝑖22 ⋮ 0

… …

0 0 ] ⋮ … 𝑎𝑛𝑛 + 𝑖22

𝑎𝑖𝑖 + 𝑖𝑖𝑖 = 0 ⇒ 𝑖𝑖𝑖 = −𝑎𝑖𝑗 ; 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑛 ℝ −𝑎11 0 0 −𝑎22 𝐼= [ ⋮ ⋮ 0 0

… 0 … 0 ] ⋮ 0 … −𝑎𝑛𝑛

Se cumple entonces el axioma 4.

Axioma 5. ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑉 ⇒ 𝑋 + 𝑌 = 𝑌 + 𝑋

𝑥11 0 0 𝑥22 𝑋= [ ⋮ ⋮ 0 0

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑥𝑛𝑛

;

𝑿+𝒀=𝒀+𝑿

𝑥11 + 𝑦11 0 [ ⋮ 0

0 𝑥22 + 𝑦22 ⋮ 0

… … …

𝑦11 0 0 𝑦22 𝑌= [ ⋮ ⋮ 0 0

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑦𝑛𝑛

¿?

𝑦11 + 𝑥11 0 0 0 ]= [ ⋮ ⋮ 𝑥𝑛𝑛 + 𝑦22 0

0 𝑦22 + 𝑥22 ⋮ 0

… … …

0 0 ] ⋮ 𝑦𝑛𝑛 + 𝑥22

Debido a que las operaciones que ocurren en cada posición de la matriz obedecen a las propiedades de los ℝ, por la propiedad conmutativa de la suma para los reales podemos decir entonces que 𝑥𝑖𝑖 + 𝑦𝑖𝑖 = 𝑦𝑖𝑖 + 𝑥𝑖𝑖 , y por tanto 𝑋 + 𝑌 = 𝑌 + 𝑋, de este modo se cumple el axioma 5.

Axioma 6. ∀ 𝑋 ∈ 𝑉 𝑦 𝛼 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 ⇒ 𝛼𝑋 ∈ 𝑉. 𝑥11 0 0 𝑥22 𝑋= [ ⋮ ⋮ 0 0

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑥𝑛𝑛

𝛼𝑥11 0 𝛼𝑋 = [ ⋮ 0

;

0 𝛼𝑥22 ⋮ 0

… 0 … 0 ] ⋮ 0 … 𝛼𝑥𝑛𝑛

Realizando una inspección simple, podemos notar que la matriz X al multiplicarla bajo la condición de multiplicación de este ejercicio seguirá siendo una matriz diagonal y su dimensión no cambiara, por tanto se cumple el axioma 6. Axioma 7. 𝑠𝑒𝑎 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑉 𝑦 𝛼 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 ⇒ 𝛼(𝑋 + 𝑌) = 𝛼𝑋 + 𝛼𝑌. 𝑥11 0 0 𝑥22 𝑋= [ ⋮ ⋮ 0 0

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑥𝑛𝑛

𝑦11 0 0 𝑦22 𝑌= [ ⋮ ⋮ 0 0

;

𝜶(𝑿 + 𝒀) = 𝜶𝑿 + 𝜶𝒀

𝑥11 + 𝑦11 0 𝛼∗[ ⋮ 0

𝛼(𝑥11 + 𝑦11 ) 0 [ ⋮ 0

𝛼𝑥11 0 0 0 ]= [ ⋮ ⋮ … 𝑥𝑛𝑛 + 𝑦22 0

0 𝑥22 + 𝑦22 ⋮ 0

… …

0 𝛼(𝑥22 + 𝑦22 ) ⋮ 0

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑦𝑛𝑛

¿?

𝛼𝑦11 0 0 … 0 … 0 0 𝛼𝑦22 … 0 𝛼𝑥22 … 0 ]+ ⋮ 0 ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋮ … 𝛼𝑥𝑛𝑛 0 … 𝛼𝑦𝑛𝑛 ] 0 0 [

𝛼𝑥11 + 𝛼𝑦11 0 0 0 ]=[ ⋮ ⋮ … 𝛼(𝑥𝑛𝑛 + 𝑦22 ) 0 … …

0 𝛼𝑥22 + 𝛼𝑦22 ⋮ 0

… …

0 0 ] ⋮ … 𝛼𝑥𝑛𝑛 + 𝛼𝑦22

Debido a que las operaciones que ocurren en cada posición de la matriz obedecen a las propiedades de los ℝ, entonces podemos decir que 𝛼(𝑥𝑖𝑖 + 𝑦𝑖𝑖 ) = 𝛼𝑥𝑖𝑖 + 𝛼𝑦𝑖𝑖 y por ende se cumple el axioma 7. Axioma 8. 𝑆𝑒𝑎 𝑋 ∈ 𝑉 𝑦 𝛼, 𝛽 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 ⇒ (𝛼 + 𝛽)𝑋 = 𝛼𝑋 + 𝛽𝑋. 𝑥11 0 0 𝑥22 𝑋= [ ⋮ ⋮ 0 0 (𝛼 + 𝛽)𝑥11 0 [ ⋮ 0

0 (𝛼 + 𝛽)𝑥22 ⋮ 0

… … ⋮ …

⋮ …

… …

0 0 ] 0 𝑥𝑛𝑛

;

(𝜶 + 𝜷)𝑿 = 𝜶𝑿 + 𝜷𝑿

𝛼𝑥11 0 0 0 𝛼𝑥22 0 ]=[ 0 ⋮ ⋮ (𝛼 + 𝛽)𝑥𝑛𝑛 0 0

𝛽𝑥11 0 … 0 0 𝛽𝑥22 … 0 ][ ⋮ 0 ⋮ ⋮ … 𝛼𝑥𝑛𝑛 0 0

¿?

… 0 … 0 ] ⋮ 0 … 𝛽𝑥𝑛𝑛

(𝛼 + 𝛽)𝑥11 0 [ ⋮ 0

0 (𝛼 + 𝛽)𝑥22 ⋮ 0

⋮ …

𝛼𝑥11 + 𝛽11 𝑥11 0 0 0 ]=[ 0 ⋮ (𝛼 + 𝛽)𝑥𝑛𝑛 0

… …

0 𝛼𝑥22 + 𝛽11 𝑥22 ⋮ 0

… …

⋮ …

0 0 ] 0 𝛼𝑥𝑛𝑛 + 𝛽𝑛𝑛

Debido a que las operaciones que ocurren en cada posición de la matriz obedecen a las propiedades de los ℝ, entonces podemos decir que (𝛼 + 𝛽)𝑥𝑖𝑖 = 𝛼𝑥𝑖𝑖 + 𝛽𝑥𝑖𝑖 y por ende se cumple el axioma 8. Axioma 9. 𝑆𝑒𝑎 𝑋 ∈ 𝑉 𝑦 𝛼, 𝛽 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 ⇒ 𝛼(𝛽𝑋) = (𝛼𝛽)𝑋. 𝑥11 0 0 𝑥22 𝑋= [ ⋮ ⋮ 0 0 𝛽𝑥11 0

𝛼∗[

(𝛼𝛽)𝑥11 0 [ ⋮ 0

⋮ 0

0 𝛽𝑥22

… … ⋮ …

⋮ 0

0 (𝛼𝛽)𝑥22 ⋮ 0

⋮ …

… …

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑥𝑛𝑛

0 0 ]= 0 𝛽𝑥𝑛𝑛

𝜶(𝜷𝑿) = (𝜶𝜷)𝑿

;

(𝛼𝛽)𝑥11 0

[

0 (𝛼𝛽)𝑥22

⋮ 0

⋮ 0

(𝛼𝛽)𝑥11 0 0 0 ]= [ 0 ⋮ (𝛼𝛽)𝑥𝑛𝑛 0

¿?

… …

0 0 ] 0 (𝛼𝛽)𝑥𝑛𝑛

⋮ …

0 (𝛼𝛽)𝑥22 ⋮ 0

⋮ …

… …

0 0 ] 0 (𝛼𝛽)𝑥𝑛𝑛

Como se puede observar, se cumple el axioma 9. Axioma 10. 𝑆𝑒𝑎 𝑋 ∈ 𝑉 ⇒ 1 ∗ 𝑋 = 𝑋 ; 1 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟. 𝑥11 0 0 𝑥22 𝑋= [ ⋮ ⋮ 0 0 1𝑥11 0 0 1𝑥22 1∗𝑋 = [ ⋮ ⋮ 0 0

… … ⋮ …

0 0 ] 0 𝑥𝑛𝑛

… 0 … 0 ] ⋮ 0 … 1𝑥𝑛𝑛

Debido a que las operaciones que ocurren en cada posición de la matriz obedecen a las propiedades de los ℝ, entonces podemos decir que 1𝑥𝑖𝑖 = 𝑥𝑖𝑖 y por ende se cumple el axioma 10.

Conclusión: Dado que todos los 10 axiomas se cumplen, es posible afirmar que V es un espacio Vectorial.

24). Demuestre que el conjunto de números reales positivos forma un espacio vectorial bajo las operaciones: 𝑽 = {ℝ+ } 𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦 𝛼𝑥 = 𝑥 𝛼 Sol. Axioma 1. Sean 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑉, Entonces 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝑉. 𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦. Dado que para los ℝ se cumple que al multiplicar dos números positivos obtendremos un número positivo, es correcto afirmar que se cumple el axioma 1. Axioma 2. Sean 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝑉, Entonces (𝑋 + 𝑌) + 𝑍 = 𝑋 + (𝑌 + 𝑍). (𝒙 + 𝒚) + 𝒛 = 𝒙 + (𝒚 + 𝒛)

¿?

(𝑥𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦𝑧) 𝑥𝑦𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 Se cumple el axioma 2. Axioma 3. ∀ 𝑋 ∈ 𝑉 ∃ 𝑀 ∈ 𝑉 ∶ 𝑋 + 𝑀 = 𝑋. 𝑥 + 𝑀 = 𝑥𝑀 = 𝑥 𝑥 𝑀= 𝑥 𝑀=1 Como si existe el modulo, se cumple el axioma 3. Axioma 4. ∀ 𝑋 ∈ 𝑉 ∃ 𝐼 ∈ 𝑉 ∶ 𝑋 + 𝐼 = 𝑀. 𝑥+𝐼 =1 1 𝐼= 𝑥 Como existe el inverso aditivo, se cumple el axioma 4. Axioma 5. ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑉 ⇒ 𝑋 + 𝑌 = 𝑌 + 𝑋 . 𝒙+𝒚=𝒚+𝒙

¿?

𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 Por la propiedad conmutativa de la multiplicación en ℝ 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 y se cumple el axioma 5.

Axioma 6. ∀ 𝑋 ∈ 𝑉 𝑦 𝛼 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 ⇒ 𝛼𝑋 ∈ 𝑉. 𝛼𝑥 = 𝑥 𝛼 Considerando las propiedades de las potencias para un 𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑥 𝛼 ≥ 0, para 𝑎 ∈ ℝ, así se puede afirmar que 𝛼𝑋 ∈ 𝑉 y se cumple el axioma 6. Axioma 7. 𝑠𝑒𝑎 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑉 𝑦 𝛼 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 ⇒ 𝛼(𝑋 + 𝑌) = 𝛼𝑋 + 𝛼𝑌. 𝛂(𝐗 + 𝐘) = 𝛂𝐗 + 𝛂𝐘

¿?

𝛼(𝑥𝑦) = 𝑥 𝛼 + 𝑦 𝛼 (𝑥𝑦)𝛼 = 𝑥 𝛼 𝑦 𝛼 𝑥 𝛼 𝑦𝛼 = 𝑥 𝛼 𝑦𝛼 Se cumple el axioma 7. Axioma 8. 𝑆𝑒𝑎 𝑋 ∈ 𝑉 𝑦 𝛼, 𝛽 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 ⇒ (𝛼 + 𝛽)𝑋 = 𝛼𝑋 + 𝛽𝑋. (𝛼 + 𝑏)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 𝑥 𝛼+𝛽 = 𝑥 𝛼 + 𝑥 𝛽 𝑥𝛼𝑥𝛽 = 𝑥𝛼𝑥𝛽 Se cumple el axioma 8. Axioma 9. 𝑆𝑒𝑎 𝑋 ∈ 𝑉 𝑦 𝛼, 𝛽 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 ⇒ 𝛼(𝛽𝑋) = (𝛼𝛽)𝑋. 𝛼(𝛽𝑥) = (𝛼𝛽)𝑥 𝛼(𝑥 𝛽 ) = 𝑥 𝛼𝛽 𝛼 𝑥 𝛽 = 𝑥 𝛼𝛽 𝑥 𝛼𝛽 = 𝑥 𝛼𝛽 Se cumple el axioma 9. Axioma 10. 𝑆𝑒𝑎 𝑋 ∈ 𝑉 ⇒ 1 ∗ 𝑋 = 𝑋 ; 1 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟. 1𝑥 = 𝑥 1 𝑥1 = 𝑥 Se cumple el axioma 10.

Conclusión: Dado que para el conjunto V todos los axiomas se cumplen, se puede considerar V como un espacio vectorial.

GREENBERG, Michael D. Advanced Engineering Mathematics. 𝟐𝒏𝒅 𝑬𝒅𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏. Pág. 438

3). Prove that(−1)𝑢 = −𝑢.

Sol. 0𝑢 − 𝑢 = 0𝑢 + (−1)𝑢

Por el axioma 8

0𝑢 − 𝑢 = (0 − 1)𝑢

Por el axioma 6

−𝑢 = (−1)𝑢

Por el axioma 3

0𝑢 = 0 ; 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎

14). Show that the solutions of a linear homogenous differential equation, constitute a vector space, the so-called Solution space of that differential equation.

Sol.

Sea la EDH 𝑎1 (𝑥)

𝑑𝑦 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0 𝑑𝑥

Y la solución a la EDH 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑖 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

;

𝑎 (𝑥)

𝑝(𝑥) = 𝑎1 (𝑥) 0

Hagamos V El espacio de todas las soluciones a la EDH.

Axioma 1. Sean 𝐹1 (𝑥), 𝐹2 (𝑥) ∈ 𝑉, Entonces 𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑥) ∈ 𝑉.

𝐹1 (𝑥) = 𝑐1 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝐹2 (𝑥) = 𝑐2 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑋) = (𝑐1 + 𝑐2) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 Hagamos 𝐶 = 𝑐1 + 𝑐2 𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑋) = 𝐶 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 Es claro de este modo que 𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑋) también será solución a la EDH y por ende se cumple el axioma 1.

Axioma 2. Sean 𝐹1 (𝑥), 𝐹2 (𝑥), 𝐹3 (𝑥) ∈ 𝑉, Entonces (𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑥)) + 𝐹3 (𝑥) = 𝐹1 (𝑥) + (𝐹2 (𝑥) + 𝐹3 (𝑥)). 𝐹1 (𝑥) = 𝑐1 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝐹2 (𝑥) = 𝑐2 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝐹3 (𝑥) = 𝑐3 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

(𝑭𝟏 (𝒙) + 𝑭𝟐 (𝒙)) + 𝑭𝟑 (𝒙) = 𝑭𝟏 (𝒙) + (𝑭𝟐 (𝒙) + 𝑭𝟑 (𝒙))

¿?

(𝑐1 + 𝑐2 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐3 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐1 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + (𝑐2 + 𝑐3 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 (𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 Por tanto se cumple el axioma 2. Axioma 3. ∀ 𝐹(𝑥) ∈ 𝑉 ∃ 𝑀(𝑥) ∈ 𝑉 ∶ 𝐹(𝑥) + 𝑀(𝑥) = 𝐹(𝑥). 𝐹(𝑥) = 𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑀(𝑥) = 𝑐𝑚 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝐹(𝑥) + 𝑀(𝑥) = (𝑐 + 𝑐𝑚 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑐 + 𝑐𝑚 = 𝑐 𝑐𝑚 = 𝑐 − 𝑐 𝑐𝑚 = 0 Entonces: 𝑀(𝑥) = 0 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 0

Se cumple el axioma 3.

Axioma 4. ∀ 𝐹(𝑥) ∈ 𝑉 ∃ 𝐼(𝑥) ∈ 𝑉 ∶ 𝐹(𝑥) + 𝐼(𝑥) = 𝑀(𝑥). 𝐹(𝑥) = 𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝐼(𝑥) = 𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝐹(𝑥) + 𝑀(𝑥) = (𝑐 + 𝑐𝑖 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 0 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝑐 + 𝑐𝑖 = 0 𝑐𝑖 = −𝑐 Entonces: 𝐼(𝑥) = −𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

Se cumple el axioma 4.

Axioma 5. ∀ 𝐹1 (𝑥), 𝐹2 (𝑥) ∈ 𝑉 ⇒ 𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑥) = 𝐹2 (𝑥) + 𝐹1 (𝑥) . 𝐹1 (𝑥) = 𝑐1 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝐹2 (𝑥) = 𝑐2 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑥) = (𝑐1 + 𝑐2 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝐹2 (𝑥) + 𝐹1 (𝑥) = (𝑐2 + 𝑐1 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

Como para los ℝ se cumple que 𝑐1 + 𝑐2 = 𝑐2 + 𝑐1 , entonces se cumple el axioma 5.

Axioma 6. ∀ 𝐹(𝑥) ∈ 𝑉 𝑦 𝛼 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 ⇒ 𝛼𝐹(𝑥) ∈ 𝑉. 𝐹(𝑥) = 𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝛼𝐹(𝑥) = 𝛼𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝛼𝐹(𝑥) = 𝑐1 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

Se cumple el axioma 6.

Axioma 7. 𝑠𝑒𝑎 𝐹1 (𝑥), 𝐹2 (𝑥) ∈ 𝑉 𝑦 𝛼 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 ⇒ 𝛼(𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑥)) = 𝛼𝐹1 (𝑥) + 𝛼𝐹2 (𝑥). 𝐹1 (𝑥) = 𝑐1 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝐹2 (𝑥) = 𝑐2 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝛼(𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑥)) = 𝛼𝐹1 (𝑥) + 𝛼𝐹2 (𝑥) 𝛼 ∗ ((𝑐1 + 𝑐2 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ) = 𝛼𝑐1 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + 𝛼𝑐2 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝛼(𝑐1 + 𝑐2 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = (𝛼𝑐1 + 𝛼𝑐2 ) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 Como en ℝ 𝛼(𝑐1 + 𝑐2 ) = 𝛼𝑐1 + 𝛼𝑐2 entonces se cumple el axioma 7.

Axioma 8. 𝑆𝑒𝑎 𝐹(𝑥) ∈ 𝑉 𝑦 𝛼, 𝛽 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 ⇒ (𝛼 + 𝛽)𝐹(𝑥) = 𝛼𝐹(𝑥) + 𝛽𝐹(𝑥). 𝐹(𝑥) = 𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

(𝛼 + 𝛽)𝐹(𝑥) = 𝛼𝐹(𝑥) + 𝛽𝐹(𝑥). ((𝛼 + 𝛽)𝑐) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = (𝛼𝑐 + 𝛽𝑐)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 Como en ℝ (𝛼 + 𝛽)𝑐 = 𝛼𝑐 + 𝛽𝑐 entonces se cumple el axioma 8.

Axioma 9. 𝑆𝑒𝑎 𝐹(𝑥) ∈ 𝑉 𝑦 𝛼, 𝛽 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 ⇒ 𝛼(𝛽𝐹(𝑥)) = (𝛼𝛽)𝑓(𝑥). 𝐹(𝑥) = 𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝛼(𝛽𝐹(𝑥)) = (𝛼𝛽)𝑓(𝑥). 𝛼 ∗ (𝛽𝑐) ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼𝛽𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝛼𝛽𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼𝛽𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

Se cumple el axioma 9.

Axioma 10. 𝑆𝑒𝑎 𝐹(𝑥) ∈ 𝑉 ⇒ 1 ∗ 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥)

; 1 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟.

𝐹(𝑥) = 𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

1𝐹(𝑥) = 1 ∗ 𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 1𝐹(𝑥) = 𝑐 ∗ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

Se cumple el axioma 10.

Conclusión: Como se cumple todos los axiomas podemos decir que el conjunto solución de una EDH es un espacio vectorial.

Sub espacios Vectoriales, conjunto generador y espacio generado: GROSSMAN, Stanley. Algebra Lineal. 𝟓𝒕𝒂 𝑬𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏.

Pág. 304 16). Determinar si el subconjunto H del espacio vectorial V, es subespacio de V. 𝑉 = 𝐶[0,1] 𝐻 = {𝑓 𝜖 𝐶[0,1]: 𝑓(0) = 𝑓(1) = 0}

Sol. Cerradura 1. Sea 𝑓1 , 𝑓2 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑓1 + 𝑓2 ∈ 𝐻. 𝑓1 (0) = 0

𝑓1 (1) = 0

𝑓2 (0) = 0

𝑓2 (1) = 0

𝑓1 (0) + 𝑓2 (0) = 0

f1 (1) + 𝑓2 (1) = 0

Sabiendo del cálculo que al sumar dos funciones continuas en un intervalo el resultado será también una función continua en este intervalo, se cumple la primera cerradura.

Cerradura 2. Sea 𝑓 ∈ 𝐻, 𝛼 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 ⇒ 𝛼𝑓 ∈ 𝐻.

𝑓1 (0) = 0

𝑓1 (1) = 0

𝛼𝑓1 (0) = 𝛼 ∗ 0

𝛼𝑓1 (1) = 𝛼 ∗ 0

𝛼𝑓1 (0) = 0

𝛼𝑓1 (1) = 0

Como en los ℝ 𝛼 ∗ 0 = 0, se cumple la segunda cerradura. Conclusión: H es sub espacio vectorial de V.

19). Determinar si el subconjunto H del espacio vectorial V, es sub espacio de V. 𝑉 = 𝐶[𝑎, 𝑏 ]

𝑎 0 ; 𝑚 > 0}

Cerradura 1. Sea 𝑃1 , 𝑃2 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑃1 + 𝑃2 ∈ 𝐻. Sean 𝑃1 𝑦 𝑃2, puntos que pertenecen a la línea de la figura mostrada entonces: 𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1

;

𝑦1 = 𝑚 ∗ 𝑥1

𝑃2 = 𝑥2 , 𝑦2

;

𝑦2 = 𝑚 ∗ 𝑥2

𝑃1 + 𝑃2 = (𝑥1 + 𝑥2 ) , (𝑦1 + 𝑦2 ) 𝑃1 + 𝑃2 = (𝑥1 + 𝑥2 ) , (𝑚 ∗ (𝑥1 + 𝑥2 )) Por tanto se cumple la primera cerradura.

Cerradura 2. Sea 𝑃1 ∈ 𝐻, 𝛼 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 ⇒ 𝛼𝑃1 ∈ 𝐻. 𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1

𝑦1 = 𝑚 ∗ 𝑥1

;

𝛼𝑃1 = 𝛼 ∗ (𝑥1 , 𝑦𝑖 ) Analicemos el caso de un 𝛼 < 0, por ejemplo 𝛼 = −1 𝛼𝑃1 = 𝛼 ∗ (𝑥1 , 𝑦𝑖 ) = (−1) ∗ (𝑥1 , 𝑦𝑖 ) 𝛼𝑃1 = −𝑥1 , −𝑦𝑖 Como 𝐻 no permite valores negativos para 𝑥 𝑛𝑖 𝑦 entonces 𝛼𝑃1 ∉ 𝐻, así que no se cumple la segunda cerradura Conclusión: 𝐻 no representa un sub espacio de ℝ2 .

b. The wedge-shaped region including its boundary lines that extends to infinity in both directions.

Sol. Hagamos 𝐻 el conjunto de los puntos que pertencen a la región demarcada entre las dos líneas rectas mostradas, de este modo: 𝐻 = {𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ∶ 𝑚1 𝑥𝑖 ≤ 𝑦𝑖 ≤ 𝑚2 𝑥𝑖

;

𝑚2 > 𝑚1

}

Cerradura 1. Sea 𝑃1 , 𝑃2 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑃1 + 𝑃2 ∈ 𝐻. 𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1

;

𝑚1 𝑥1 ≤ 𝑦1 ≤ 𝑚2 𝑥1

𝑃2 = 𝑥2 , 𝑦2

;

𝑚1 𝑥2 ≤ 𝑦2 ≤ 𝑚2 𝑥2

𝑃1 + 𝑃2 = (𝑥1 + 𝑥2 ) , (𝑦1 + 𝑦2 )

;

𝑚1 𝑥1 ≤ 𝑦1 ≤ 𝑚2 𝑥1 ; 𝑚1 𝑥2 ≤ 𝑦2 ≤ 𝑚2 𝑥2

𝑃1 + 𝑃2 = (𝑥1 + 𝑥2 ) , (𝑦1 + 𝑦2 )

;

𝑚1 (𝑥1 + 𝑥2 ≤ 𝑦1 + 𝑦2 ≤ 𝑚2 (𝑥1 + 𝑥2 )

Por tanto se cumple la primera cerradura.

Cerradura 2. Sea 𝑃1 ∈ 𝐻, 𝛼 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 ⇒ 𝛼𝑃1 ∈ 𝐻. 𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1

;

𝑚1 𝑥1 ≤ 𝑦1 ≤ 𝑚2 𝑥1

𝛼𝑃1 = 𝛼 ∗ (𝑥1 , 𝑦𝑖 )

;

𝑚1 (𝛼𝑥1 ) ≤ 𝛼𝑦1 ≤ 𝑚2 (𝛼𝑥1 )

Por tanto se cumple la segunda cerradura. Conclusión: 𝐻 representa un sub espacio vectorial de ℝ2 .

c. The upper half part of the plane 𝑦 ≥ 0

Sol. Hagamos 𝐻 el conjunto de los puntos que pertencen a la región demarcada entre las dos líneas rectas mostradas, de este modo: 𝐻 = {𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ∶ 𝑦𝑖 ≥ 0 }

Conclusión:

4). a. Sol.

Conclusión: d.

Sol.

Conclusión:

5). a. Sol.

Conclusión: b. Sol.

Conclusión: c. Sol.

Conclusión: d. Sol.

Conclusión: e. Sol.

Conclusión: f. Sol.

Conclusión: g.

Sol.

Conclusión: h. Sol.

Conclusión:

6). a. Sol.

Conclusión: g. Sol.

Conclusión:

7). e. Sol.

Conclusión: