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• Henry López Patiño

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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA ESPECIALIZACIÓN EN FINANZAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS

JUSTIFICACIÓN Todos de una u otra forma, tenemos relación con el dinero, así sea simplemente para adquirir los bienes y servicios básicos para nuestra subsistencia; y en una sociedad capitalista como la nuestra, el manejo del dinero viene acompañado por una serie de elementos utilizados en las estrategias comerciales de las empresas, tales como por ejemplo las compras a crédito. De tal manera que, aunque sólo tengamos relación con el dinero para la adquisición de bienes y servicios de primera necesidad, tendremos que enfrentarnos a una serie de situaciones en las que se requiere tomar decisiones para determinar si aprovechamos un descuento, si compramos de contado o mejor, a crédito y a cambio pagamos intereses, etc. Adicinalmente, el actual ambiente competitivo de las empresas, ocasionado entre otras razones por la globalización, obliga a las empresas a ser más eficientes; por este motivo, cada vez se hace más importante tener en cuenta los conceptos financieros a la hora de tomar decisiones.

OBJETIVOS a. Reconocer los conceptos básicos de las Matemáticas Financieras. b. Analizar información que permita la toma de decisiones en negocios donde la variable principal es el dinero. c. Resolver situaciones empresariales que requieran la aplicación de los conceptos de Matemáticas Financieras. d. Utilizar Microsoft Excel como una herramienta útil en la toma de decisiones para situaciones que requieran de las Matemáticas Financieras.

CONTENIDOS TEMÁTICOS 1. Conceptos Básicos. 2. Interés Simple. 3. Interés Compuesto. Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 1 de 114

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4. 5. 6. 7. 8.

Tasas de Interés. Anualidades. Gradientes Aritméticos. Gradientes Geométricos. Amortización de Créditos.

ESTRATEGIA METODOLÓGICA DE TRABAJO Para el desarrollo de los objetivos propuestos en el curso, la estrategia metodológica incluye: a. Presentación de los conceptos teóricos por parte del docente mediante el uso de video-beam y manual de referencia. b. Solución de ejemplos y talleres prácticos, orientados en el computador mediante el uso de Microsoft Excel y con la ayuda de video-beam. c. Solución de ejercicios y talleres por parte de los estudiantes.

PLAN DE EVALUACIONES A UTILIZAR a. Dos evaluaciones prácticas en el aula de clase, utilizando el computador como herramienta de apoyo. b. Un trabajo para desarrollar en grupo, por fuera del aula de clase.

BIBLIOGRAFÍA       

Ayres, Frank. Matemáticas Financieras. Mc Graw Hill. Baca, Gabriel. Fundamentos de Ingeniería Económica, cuarta edición. Mc Graw Hill. Baca, Guillermo. Ingeniería Económica, séptima edición. Fondo Educativo Panamericano. García, Jaime A. Matemáticas Financieras con Ecuaciones de Diferencia Finita, cuarta edición. Pearson. Márquez, Nora. Matemáticas Financieras. Universitaria de Investigación y Desarrollo. Rodríguez, Javier. Matemáticas Financieras. Editorial AlfaOmega. Álvarez Arango, Alberto. Matemáticas Financieras, 3 edición. McGraw-Hill, Bogotá 2005. ISBN: 958-41-0362-8.

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Serrano Rodríguez, Javier. Matemáticas financieras y evaluación de proyectos. Uniandes, Santafe de Bogotá 2001. ISBN: 958-682-234-6. Sánchez Vega, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Ecoe Ediciones. Santafé de Bogotá 1997. ISBN: 958-648-147-6.

NOMBRE DEL DOCENTE Neill Felipe Cubides Ariza

FORMACIÓN PROFESIONAL DEL DOCENTE Magister en Administración con Énfasis en Finanzas del Convenio entre la Universidad Autónoma de Bucaramanga - UNAB y el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey – ÍTEMS, en agosto del año 2007. Especialista en Diseño de Soluciones Financieras de la Universidad Autónoma de Bucaramanga – UNAB, en diciembre de 2003. Ingeniero Financiero de la Universidad Autónoma de Bucaramanga – UNAB, en diciembre de 2000. Analista y Programador de Sistemas de Prosistemas Ltda. en Junio de 1993.

TELÉFONOS Y E-MAIL TELÉFONO: (1) 5878750 ext. 12263 CELULAR: 3005530498

E-MAIL: [email protected]

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MATERIAL Y LECTURAS DE APOYO

MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS 1. CONCEPTOS BÁSICOS

1.1

EL CONCEPTO DE INTERÉS (I)

Los economistas clásicos reconocen los tres factores de producción definidos por Adam Smith, cada uno de los cuales tiene una remuneración por su uso: a. La tierra (recompensada por la renta). b. El trabajo (recompensado por el salario). c. El capital (recompensado por el interés). El concepto general implica que cuando se usa un bien ajeno, se debe pagar algo a cambio de dicho uso, así por ejemplo, si una persona necesita dinero, debe pagar algo a cambio de que se lo presten. La razón del por qué se deben pagar intereses a cambio del uso del dinero, radica en el hecho que quien ahorra o quien presta dinero, está sacrificando la oportunidad de utilizar hoy, dicho dinero para satisfacer una necesidad, tal como comprar ropa de lujo, comprar un mejor carro, etc.; de tal forma que, quien ahorra o presta dinero hace un sacrificio, y a cambio, requerirá una recompensa por dicho sacrificio; de otra forma, no tendría sentido el sacrificio, y nadie ahorraría ni prestaría dinero. En conclusión, una persona puede estar dispuesta a hacer el sacrificio de ahorrar o prestar dinero hoy, si a cambio obtiene una mayor cantidad de dinero en el futuro. Podría entonces afirmarse que, si no existiera el pago de intereses a cambio del uso de un dinero ajeno, no existiría el ahorro ni el préstamo de dinero. Con lo expresado hasta este momento, podemos definir el interés como el pago o retribución que se hace por el uso del dinero.

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1.2

TASA DE INTERÉS (i)

La Tasa de Interés es el interés que se paga por el uso del dinero, pero expresado en términos porcentuales (%).

1.3

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

En razón a lo expresado anteriormente, podemos expresar el concepto del valor del dinero en el tiempo como que: no es lo mismo tener un millón de pesos hoy, que tener un millón de pesos dentro de un mes, debido a que si se tiene un millón de pesos hoy, se puede invertir (para que gane intereses), y dentro de un mes se tendrá más de un millón. En razón al concepto del valor del dinero en el tiempo, en Matemáticas Financieras, no es correcto comparar ni hacer operaciones matemáticas (como sumas o restas) con cantidades de dinero que están en periodos de tiempo diferentes; es decir que, en Matemáticas Financieras, si se tenía un millón de pesos hace un mes, y se recibe un millón de pesos hoy, no necesariamente se tienen hoy 2 millones de pesos (porque el millón de pesos que se recibió hace un mes, pudo haber sido invertido y haber ganado intereses, de tal forma que hoy ya se tiene más de un millón de pesos por dicha inversión). Debido a que por la existencia de los intereses, como ya se explicó anteriormente, el dinero cambia de valor con el tiempo, se hace necesario estudiar las diferentes situaciones que se pueden presentar con el manejo de estos conceptos; este estudio, es el tema que compete a las Matemáticas Financieras, de tal forma que el concepto del valor del dinero en el tiempo, y el concepto de interés, se convierten en la razón de ser de las matemáticas financieras. Si las tasas de interés no existieran, el dinero no cambiaría de valor con el tiempo, y no existirían las matemáticas financieras.

1.4

VALOR PRESENTE ( P )

En razón a que el dinero cambia de valor en el tiempo, en el estudio de las Matemáticas Financieras se hace necesario utilizar la variable tiempo, y con ella nace el concepto de valor presente, término con el cual se hace referencia al dinero que se posee al comienzo de un proyecto, negocio, o inversión; al valor presente también se le conoce con el nombre de capital inicial. De igual Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 5 de 114

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forma, cuando se toma una cantidad de dinero y se lleva hacia atrás en el tiempo, se dice que se está calculando un valor presente.

1.5

VALOR FUTURO ( F )

Se le llama valor futuro al dinero que se posee en un momento cualquiera después de haber comenzado un proyecto, y corresponde al resultado de sumar el valor presente con los intereses devengados ( F  P  I ); así mismo, cuando se toma una cantidad de dinero y se lleva hacia adelante en el tiempo, reconociendo unos intereses generados, se dice que se está calculando un valor futuro.

1.6

FLUJO DE CAJA

Diagrama en el cual se ilustran las entradas y salidas de dinero ocurridas durante un lapso de tiempo determinado; el flujo de caja también se conoce con el nombre de diagrama económico o diagrama de tiempo - valor. En el flujo de caja, el tiempo n se ilustra mediante una línea horizontal en la cual el tiempo va aumentando de izquierda a derecha; el valor presente generalmente se representa en el punto inicial o punto cero; las entradas de dinero se grafican mediante una flecha vertical hacia arriba, y las salidas de dinero se grafican mediante una flecha vertical hacia abajo, en donde el tamaño de la flecha está relacionado con la cantidad de dinero que entró o salió, así:

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EJEMPLO 1: Hoy se piden prestados $1’200.000,oo, y a cambio se pagarán dentro de 2 años $1’800.000,oo; hacer el flujo de caja. En este ejemplo, el valor presente P es $1’200.000,oo, el valor futuro F es $1’800.000,oo, y el tiempo o periodo n es 2 años.

2. INTERÉS SIMPLE

2.1

CONCEPTO

Los intereses devengados en un periodo no ganan intereses en el periodo siguiente, es decir que no se pagan ni se cobran intereses sobre intereses. Para analizar esta definición, miremos el ejemplo 2. EJEMPLO 2: Supongamos que se ahorra $1’000.000,oo en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés del 10% simple anual, si no se toca el dinero de esta cuenta sino hasta dentro de 3 años, el progreso de esta cuenta se debe dar de la siguiente forma:

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Periodo ( Año ) 0 1 2 3  





2.2

Intereses Periodo

Intereses Acumulados

1’000.000*10%=100.000 1’000.000*10%=100.000 1’000.000*10%=100.000

100.000 200.000 300.000

Saldo 1’000.000 1’100.000 1’200.000 1’300.000

Observemos que en este ejemplo el valor de los intereses en cada uno de los periodos es igual, y se puede calcular mediante la fórmula I  P * i , donde P=1’000.000,oo e i=10%. El valor de los intereses acumulados es equivalente al valor de los intereses del periodo multiplicado por el número del periodo, por tal razón podemos concluir que para calcular el valor de los intereses en interés simple podemos utilizar la fórmula: I  P * i * n . Para calcular el valor total de los intereses al final del tiempo del proyecto, que para este caso son tres años, sin tener que hacer el cálculo periodo por periodo, podemos utilizar la fórmula anterior así: I  P * i * n  I  1'000.000 *10% * 3  I  300.000 El valor total de los intereses al final de los tres años es de 300.000,oo.

FÓRMULAS

2.2.1 Valor Futuro Como ya se dijo anteriormente, F  P  I , y como en interés simple I  P * i * n , podemos remplazar I en la fórmula de la siguiente manera: F  P  P * i * n , y si finalmente sacamos como factor común a P , tendremos que F  P(1  i * n) 2.2.2 Tasa de Interés Para averiguar la tasa de interés, podemos utilizar la fórmula de valor futuro: F  P1 i * n , y de ella despejar la fórmula para la tasa de interés; para esto, lo primero que haremos será tomar la P que está multiplicando, y pasarla al otro F  1  i * n ; ahora, el 1 que está sumando, lo lado de la ecuación, a dividir: P F  1  i * n ; y la n que etá pasamos al otro lado de la ecuación, a restar: P

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F 1  i ; finalmente, se multiplicando, la pasamos al otro lado del igual, a dividir: P n F 1 P puede organizar la fórmula así: i  n 2.2.3 Tiempo

F 1 Para averiguar el tiempo, podemos utilizar la fórmula de interés simple: i  P , n y de ella despejar la fórmula para el tiempo; para esto, lo primero que haremos será tomar la n que está dividiendo y pasarla al otro lado de la ecuación, a F multiplicar: i * n   1 ; ahora, la i que está multiplicando la pasamos al otro lado P F 1 de la ecuación, a dividir: n  P . i 2.2.4 Valor Presente Para averiguar el valor presente podemos utilizar la fórmula de valor futuro: F  P1 i * n , y de ella despejar la fórmula para el valor presente; para esto, lo primero que haremos será tomar la expresión que está entre paréntesis y que está F  P , y luego multiplicando y pasarla al otro lado de la ecuación, a dividir: 1  i * n  F se puede organizar la fórmula así: P  . 1  i * n 

2.3

EJEMPLOS

Con las fórmulas de interés simple se pueden solucionar múltiples situaciones, veamos algunos ejemplos:

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EJEMPLO 3: Se piden prestados $35’000.000,oo a una tasa de interés de 25% simple anual, y un plazo de 5 años; si el préstamo se paga en una sola cuota (capital más intereses) al final de los 5 años, ¿cuánto es el monto que se debe pagar en dicha fecha?  

Es muy importante, al solucionar este tipo de situaciones, identificar correctamente los datos; así, en este caso nos preguntan F, y conocemos que P vale $35’000.000,oo, e i vale 25% simple anual. Debido a que la tasa de interés está dada anual, el valor de n debe ser dado en años (5 años para este caso); si la tasa de interés hubiera sido dada mensual, n hubiera valido 60 (60 meses).

CONCLUSIÓN: El periodo de tiempo debe ser dado en las mismas unidades que la tasa de interés. 

El flujo de caja para este ejemplo será:



Basándonos en la fórmula de valor futuro podemos dar respuesta a la pregunta planteada de la siguiente forma: F  P1  i * n  F  35'000.0001  0,25 * 5  F  35'000.0001  1,25  F  35'000.000(2,25)  F  78'750.000 Rta: Después de cinco años hay que pagar por el crédito $78’750.000,oo



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EJEMPLO 4: ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual que nos pagan, si con $50’000.000,oo nos pagan un préstamo de $35’000.000,oo después de un plazo de 5 años?  







Datos del ejemplo: F= 50’000.000,oo; P=35’000.000,oo; n=60 meses; i=? Observemos que para este ejemplo n=60 meses; recuerde que el periodo de tiempo debe ser dado en las mismas unidades que la tasa de interés, y como el ejemplo pregunta la tasa de interés mensual, el periodo de tiempo debe darse en meses; en el ejemplo, el plazo es de 5 años, lo que equivale a 60 meses. El flujo de caja para este caso será:

Con la fórmula de tasa de interés podemos calcular la tasa de interés simple 50'000.000 F 1 1 35 ' 000 . 000 P i   i   mensual del ejemplo, de la siguiente forma: n 60 1,428571  1 0,428571 i i   i  0,007143  i  0,7143% 60 60 Rta: Como 0,007143 es equivalente a 0,7143% (recuerde que 0,7143  0,007143 ); podemos concluir que la tasa de interés simple mensual 100 que se paga en la situación planteada es de 0,7143%.

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OTRA SOLUCIÓN AL EJEMPLO 4: Otra forma de solucionar el ejemplo 4 es trabajar con un n=5 (puesto que el tiempo es 5 años), y obtener la tasa de interés simple anual (debido a que el tiempo está dado en años) para luego convertirla a mensual así: 

Datos del ejemplo: F=50’000.000,oo; n=5;



El flujo de caja para este caso será:



50'000.000 F 1 1 1,428571  1 0,428571 35 ' 000 . 000 P i i  i  i   i  0,085714  n 5 5 5

P=35’000.000,oo; i=?

i  8,5714%





La tasa de interés simple anual de este ejemplo es de 8,5714%; para hallar la tasa de interés simple mensual, se divide la tasa de interés simple anual por la 8,5714%  0,7143% . (Observe que el cantidad de meses que tiene un año así: 12 resultado es igual al obtenido por el primer método). Rta: La tasa de interés simple mensual que se paga en la situación planteada es de 0,7143%.

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EJEMPLO 5: ¿En cuánto tiempo se duplica una inversión que recibe una tasa de interés del 8% simple anual?   





Para este ejemplo, inicialmente sólo conocemos un dato: i=8%, y sabemos que se desea averiguar n=?. Por esta razón, es necesario suponer los datos que hacen falta así: P=100 (pudiera ser cualquier otro valor), y F=200 (el ejemplo solicita que se duplique la inversión inicial). Flujo de caja:

Con la fórmula de tiempo podemos calcular el tiempo del ejemplo, de la 200 F 1 1 2 1 1  n  100 n n  n  12,5 siguiente forma: n  P 0,08 0,08 0,08 0,08 Rta: Debido a que la tasa de interés utilizada en el ejemplo es anual, el resultado obtenido para n está dado en años; por tal razón, la inversión aquí planteada se duplicaría en 12,5 años.

EJEMPLO 6: ¿Cuál es el precio de un carro que vendemos con una cuota inicial de contado del 30% y una letra de cambio a 6 meses con valor de $18’500.000,oo incluidos los intereses? Suponga que la tasa de interés es 16% simple anual.

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

Para este caso tenemos los siguientes datos: n=0,5 años (recordemos que el periodo de tiempo se debe dar en las mismas unidades que la tasa de interés); F=18’500.000,oo (el valor de la letra se cancelará al final de los 6 meses); i=16% simple anual.



Como se observa en la gráfica, inicialmente trabajaremos únicamente con el valor que nos quedaron debiendo del carro, el cual resulta siendo un valor F en razón a que nos lo pagarán dentro de seis meses, y adicionalmente, en él están sumados el capital más los intereses ( F  P  I ). Con la fórmula de valor presente podemos calcular el valor presente del ejemplo, de la siguiente forma: F 18´500.000 18´500.000 18´500.000 P P P P  1  i * n  1  0,16 * 0,5 1  0,08 1,08 P  17'129.629,63 Por tal razón, el 70% que se financió equivale a $17’129.629,63 (recordemos que el 30% del valor del automóvil se canceló de contado al comienzo del negocio). Para poder responder ¿cuál es el precio del automóvil?, debemos recurrir a una regla de tres de la siguiente forma:



 

De

tal forma que el precio del automóvil estará 17'129.629,63 *1 17'129.629,63 X  X   X  24'470.899,47 0,7 0,7

dado

por:

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

2.4

Rta: El precio del automóvil es de $24’470.899,47.

USOS

El interés simple es normalmente utilizado en los negocios hechos por personas no conocedoras de los temas financieros. Adicionalmente, la Ley 546 de 1999 prohibió expresamente la figura de la capitalización de intereses en los créditos de vivienda (es decir que en estos casos se utiliza el interés simple), normatividad que rige a partir del 23 de diciembre de 1999, fecha en la cual ésta fue promulgada; no obstante lo anterior, es pertinente aclarar que en estas obligaciones es viable la actualización del capital con la Unidad de Valor Real UVR-

TALLER 1. INTERÉS SIMPLE. a. ¿Qué capital produce $15’000.000,oo de intereses en 18 meses, al 24% simple anual? $41’666.666,67 b. ¿En cuánto tiempo un capital de $15’000.000,oo produce intereses de $7’000.000,oo, si se invierte al 30% simple anual? 1,56 años c. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si un capital de $15’000.000,oo se convierte en $20’000.000,oo en 18 meses? 22% simple anual d. Una inversión de $15’000.000,oo a 18 meses, ofrece una rentabilidad de 20% simple anual, ¿qué tasa de rentabilidad simple mensual ofrece esta inversión? 1,67% simple mensual e. Una mercancía vale al contado $38’000.000,oo; si se paga una cuota inicial del 20% y el saldo es cancelado con un interés simple anual del 25% y un plazo de 60 meses, determinar el valor que deberá pagarse al vencimiento. $68´400.000,oo f. Usted tiene $11’000.000,oo y le ofrecen dos alternativas de inversión: en la primera, puede invertir su dinero a una tasa de 1% simple mensual; y en la segunda, le ofrecen que dentro de un año le pagan $1’000.000,oo de intereses. ¿Cuál alternativa es mejor? Opción 1 $12´320.000,oo g. Un constructor necesita $1.000’000.000,oo para financiar un proyecto, para lo cual, el banco A le ofrece una tasa de interés de 1,5% simple mensual, y el banco B le ofrece prestarle el dinero a cambio que después de 3 años le devuelva $1.600’000.000,oo. ¿Qué decisión le recomienda tomar? Banco A $1.540´000.000

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3. INTERÉS COMPUESTO 3.1

CONCEPTO

En el interés compuesto, los intereses generados se capitalizan, es decir que los intereses obtenidos en un período, ganan intereses en el período siguiente, y por esta razón se habla de intereses sobre intereses; debido a que en el interés compuesto hay intereses sobre intereses, no es correcto multiplicar ni dividir las tasas de interés (en el capítulo 4. TASAS DE INTERÉS, se analiza con más profundidad esta situación). De conformidad con la Ley 45 de 1990, las partes en un negocio gozan de autonomía para determinar la cuantía, plazo y periodicidad en que deben cancelarse los intereses, permitiendo que los mismos puedan incrementar el capital de la obligación de forma que periódicamente se añadan al saldo de la deuda los intereses vencidos. Para aclarar la forma como funciona el concepto de interés compuesto, analicemos la situación del ejemplo 2, pero ahora, utilizando interés compuesto. EJEMPLO 7: Supongamos que se consigna $1’000.000,oo en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés del 10% anual, si se deja quieto el dinero de esta cuenta durante 3 años, el comportamiento del dinero que hay en ella se debe dar de la siguiente forma: Periodos ( Años ) 0 1

INTERESES PERIODO ( I ) 0 I1 = P * i 1’000.000 * 10% 100.000

INTERESES ACUMULADOS 0 I1 100.000

2

I2 = F1 * i I1 + I2 1’100.000 * 10% 100.000+110.000 110.000 210.000

3

I3 = F2 * i I1 + I2 + I3 1’210.000 * 10% 210.000+121.000 121.000 331.000

SALDO 1’000.000 F1 = P + I1 1’000.000 + 100.000 = 1’100.000 F1 = P + (P * i) = P (1 + i) F2 = F1 + I2 1’100.000 + 110.000 = 1’210.000 F2 = F1 + (F1 * i) = F1 (1 + i) F2 = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)2 F3 = F2 + I3 1’210.000+121.000 = 1’331.000 F3 = F2 + (F2 * i) = F2 (1 + i) F3 = [P (1 + i)2] (1 + i) = P (1 + i)3

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3.2

FÓRMULAS

3.2.1 Valor Futuro  

 



En el ejemplo 7 tenemos los siguientes datos: n=3 años; P=1’000.000,oo; i=10% anual. Para calcular el valor que se pagará al final del tercer periodo, necesitamos deducir la fórmula de valor futuro cuando se trabaja con interés compuesto. Observe que el valor futuro del primer año, es igual al valor presente de dicho año, más los intereses generados en ese tiempo; así: F1  P  I1 . Y como I1  P * i  F1  P  P * i   F1  P1  i  . De igual forma, el futuro del segundo año es igual a su valor presente (hay que recordar que el valor presente del segundo año corresponde al valor futuro del primer año: F1 ) más los intereses generados durante ese segundo año. De tal forma que para el segundo año tenemos que: F2  F1  I 2  F2  F1  F1 * i   F2  F1 (1  i)  F1  P1  i   F2  P1  i 1  i  

F2  P1  i  Y finalmente para el tercer año tenemos: 2 2 F3  F2  I 3  F3  F2  F2 * i   F3  F2 1  i   F2  P1  i   F3  P1  i  1  i   2



F3  P1  i 

3

 

De donde podemos concluir que: Fn  P1  i   F  PF / P; i%; n n

Aplicando al ejercicio, tenemos que: Fn  P1  i   F3  1'000.0001  0,1  F  1'331.000 n

3

3.2.2 Valor Presente Para averiguar el valor presente, podemos utilizar la fórmula de valor futuro: n F  P1  i  , y de ella despejar la variable de valor presente; para esto, lo primero que haremos será tomar la expresión que está entre paréntesis y que está F multiplicando y pasarla al otro lado de la ecuación a dividir:  P , y luego se 1  i n F puede organizar la fórmula así: P  . 1  i n

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3.2.3 Tiempo Para averiguar el tiempo podemos utilizar la fórmula de valor futuro: F  P1  i  , y de ella despejar la variable tiempo; para esto, lo primero que haremos será tomar el P que está multiplicando y pasarlo al otro lado de la ecuación a dividir: F n  1  i  ; para continuar, hay que bajar la n del exponente, lo cual se logra P F n aplicando log a ambos lados de la expresión, así: log   log 1  i  ; aplicando P las propiedades de los logaritmos, de la expresión anterior obtenemos: F log   n log 1  i  ; ahora, tomamos la expresión logarítmica del lado derecho, P que está multiplicando, y la pasamos al otro lado de la ecuación a dividir: F F log  log   P   n ; y luego se puede organizar la fórmula así: n  P . log 1  i  log 1  i  n





3.2.4 Tasa de Interés Para averiguar la tasa de interés podemos utilizar la fórmula de valor futuro: n F  P1  i  , y de ella despejar la variable de tasa de interés; para esto, lo primero que haremos será tomar el P que está multiplicando y pasarlo al otro lado de la F n  1  i  ; para continuar, hay que quitar el exponente n del ecuación a dividir: P paréntesis, lo cual se logra sacando raíz n en ambos términos de la ecuación, así:

F n n    1  i  ; aplicando las propiedades de los radicales, en el lado derecho P de la ecuación podemos cancelar la raíz n con el exponente n y obtenemos: F F n    1  i  , lo que es equivalente a escribir n    1  i ; ahora tomamos el 1 P P del lado derecho, que está sumando, y lo pasamos al otro lado de la ecuación a F F restar: n    1  i ; y luego se puede organizar la fórmula así: i  n    1 . P P n

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3.3

EJEMPLOS

EJEMPLO 8: Un crédito que se concedió hoy por valor de $100,oo se financia a un año con una tasa de interés del 10% mensual. ¿Cuánto se recibe al final del año por el crédito? 



   

En este ejemplo, debemos observar que el tiempo está dado en un periodo diferente al periodo de la tasa de interés, por tal razón, es necesario cambiar el periodo del tiempo para que sea igual al periodo de la tasa de interés (más adelante veremos que es posible cambiar la tasa de interés para que quede en la misma periodicidad del tiempo); así, tenemos que n es igual a 12 meses, P equivale a $100, e i es 10% mensual. Una vez identificados los datos, procedemos a elaborar el flujo de caja:

La situación se puede plantear como: F  PF / P; i%; n . Para resolver: n 12 12 F  P1  i   F  1001  0.1  F  1001.1  F  313.84 Lo que significa que al final de un año, se recibe por el crédito $313.84. Rta: Al final de un año, se recibe por el crédito: $313.84.

EJEMPLO 9: Un crédito que se concedió hoy por valor de $200.000,oo se financia a diez meses en cuatro pagos así: $40.000,oo dentro de un mes a partir de hoy, $50.000,oo a los dos meses a partir de hoy, $10.000,oo a los seis meses a partir de hoy, y el resto a diez meses; si se cobra un interés del 3% mensual, ¿de cuánto es la cuota que se debe cobrar dentro de diez meses?

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En el caso aquí planteado, se conoce que P es $200.000,oo y hay cuatro valores futuros, cada uno con un n diferente, sin embargo, de los cuatro valores futuros, solamente se conocen tres, F1 igual a $40.000,oo con un n1 de 1 mes; F2 igual a $50.000,oo con un n2 de 2 meses; F3 igual a $10.000,oo con un n3 de 6 meses; y el ejemplo solicita hallar el cuarto valor futuro. El flujo de caja para este ejemplo se puede mostrar así:

Debemos tener en cuenta que la suma de los cuatro valores futuros debe ser igual al valor presente, por tal razón lo que se debe hacer es sumar los tres valores que se conocen, y el resultado restárselo al valor presente; ¡PERO CUIDADO!, recuerde que el concepto del valor del dinero en el tiempo nos impide sumar cantidades que se encuentran en diferentes fechas, por tal motivo, debemos ubicar todas las cantidades en una misma fecha; para esto, lo primero que haremos será hallar el valor presente de los tres valores futuros que conocemos, (al hallar el valor presente de los tres valores futuros, básicamente lo que estamos averiguando es cuánto de ese pago es abono a capital) Con la fórmula de valor presente podemos calcular el valor presente del F1 40.000 40.000 ejemplo de la siguiente forma: P1   P1   P1   n 1  0,03 1,03 1  i  P1  38.834,95 F2 50.000 50.000 P2   P2   P2   P2  47.129,80 n 2 1,0609 1  i  1  0,03

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P3   



 

F3

1  i 

n

 P3 

10.000

1  0,03

3

 P3 

10.000  P3  8.374,84 1,1941

Ahora, sumamos los tres valores presentes: PT  P1  P2  P3  PT  38.834,95  47.129,80  8.374,84  PT  94.339,59 Esto quiere decir que de los $200.000,oo que se prestaron, hasta este punto, solo han sido pagados $94.339,59 (el resto del dinero corresponde a intereses); por tal razón, podemos calcular el saldo de la deuda, restando dicho valor de los $200.000,oo iniciales así: 200.000  94.339,59  105.660,41 Lo anterior implica que el saldo de la deuda es de $105.660,41; pero, como este saldo se cobra en la cuota número cuatro, en el mes diez, se debe calcular el valor futuro de la cuota en dicho mes (recuerde que F  P  I , es decir, vamos a calcular cuánto debemos pagar dentro de diez meses, incluidos n 10 los intereses), así: F  P1  i   F  105.660,411  0,03  F  141.998,76 Lo que quiere decir, que la cuarta cuota que se cobrará dentro de diez meses, es de $141.998,76. Rta: La cuota que se debe cobrar dentro de diez meses es de $141.998,76.

EJEMPLO 10: Un crédito que se concedió hoy por valor de $200.000,oo y un interés del 1% mensual se debe cancelar con $210.202,01 ¿en cuánto tiempo?  

En este ejercicio, conocemos que P es $200.000, i es 1% mensual, F es de $210.202,01, y nos solicitan hallar n. El flujo de caja es:

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

  

Con la fórmula de tiempo podemos calcular el tiempo del ejemplo de la siguiente forma: F  210.202,01  log  log  log 1,05 0,0212 P 200.000    n n n n n5 log 1  i  log 1  0,01 log 1,01 0,0043 Lo que implica que el tiempo de plazo para cobrar los $210.202,01 es de 5 meses. Rta: El crédito nos lo cancelan en 5 meses.

EJEMPLO 11: Se consignaron $300.000,oo en una cuenta de ahorros, si a los 16 meses se tienen $351.497,81, hallar la tasa de interés bimestral que rinde el dinero. 







Observe que la tasa de interés se solicita bimestral, pero el tiempo está dado en meses, por tal razón, es necesario dar el tiempo en bimestres, de tal forma que tenemos n igual a 8 bimestres, P igual a $300.000,oo y F igual a $351.497,81. El flujo de caja se puede bosquejar de la siguiente forma:

Con la fórmula de tasa de interés podemos calcular la tasa de interés del ejemplo de la siguiente forma:

 351.497,81  F i  n   1  i  8    1  i  8 1,17  1  i  1,02  1  i  0,02  i  2% 300 . 000 , oo P   Lo que significa que la tasa de interés bimestral es de 2%.

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

Rta: El dinero rinde una tasa de interés bimestral de 2%.

EJEMPLO 12: Hoy usted recibe un préstamo por valor de $2’000.000,oo para pagarlo dentro de 2 años; la tasa de interés pactada fue del 1% mensual durante el primer año, y del 2% mensual durante el segundo año. ¿Cuánto tendrá que pagar al final de los 2 años? 





  

Como se puede observar en el ejercicio se nos solicita hallar el valor futuro de una cantidad, pero con un detalle en particular: la tasa de interés es diferente para cada año. El flujo de caja se puede plantear de la siguiente forma:

Para resolver esta situación, se debe hallar el valor futuro al final del primer año, con la tasa de interés de dicho año, y el resultado se toma como valor presente del segundo año. Para la primera parte del ejemplo los datos que tenemos son: P=2’000.000,oo; i=1% mensual; n=12 meses; F=? Por tal razón, el saldo al final del primer año es: n 12 F  P1  i   F  2'000.0001  0,01  F  2'253.650,06 . El saldo hallado al final del primer año se toma como valor presente para el segundo año, y en consecuencia para dicho año tenemos los siguientes datos: P=2’253.650,06; i=2% mensual; n=12 meses; F=?

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

El saldo al final del segundo año será: F  P1  i   n

F  2'253.650,061  0,02  F  2'858.173,20 Rta: Al final de los dos años tendrá que pagar 2’858.173,20. 12



TALLER 2. INTERÉS COMPUESTO a. Una persona debe pagar $1’500.000,oo dentro de 4 meses, $1’500.000,oo dentro de 6 meses y $2’000.000,oo dentro de un año. La persona le plantea al acreedor la posibilidad de efectuar un solo pago de $4’800.000,oo en el mes cinco. Si se aceptan estas condiciones, cuál es la tasa de interés efectiva anual que se pagaría por la deuda? b. Una persona debe cancelar dentro de un año $2’000,000.oo con una tasa de interés del 2% bimestral. Si esta persona desea cancelar la deuda hoy, ¿cuánto debe pagar? $1’775.942,76 c. Una persona hace los siguientes depósitos en una cuenta de ahorros que paga el 3% trimestral: $300.000,oo hoy, $500.000,oo dentro de un mes, y $500.000,oo dentro de dos meses. Hallar la cantidad total acumulada en la cuenta de ahorros dentro de cinco meses. ¿Qué depósito único hoy es equivalente a los tres depósitos realizados? $1’350.248,85 $1’285.341,24 d. ¿Al cabo de cuánto tiempo, una inversión de $1’300,000.oo se convierte en $1’433,250.oo sabiendo que el dinero rinde el 5% semestral? 2 semestres e. ¿Qué tasa de interés anual le han cobrado en un almacén de automóviles, si por un repuesto que vale $100,000.oo en efectivo, le cobran $121,000.oo dentro de 4 semestres? 10% anual f. Por un crédito que le otorgaron hoy, le corresponde pagar $5’000.000,oo dentro de 8 meses; si durante los dos primeros meses le cobran el 5% trimestral, y durante los 6 meses restantes le cobran el 6% trimestral, ¿cuánto fue el valor del crédito? $4’307.567,33 g. ¿En cuánto tiempo se duplica una inversión que recibe una tasa de interés del 12,2462% semestral? 6 semestres h. Se compra una casa pagando el 20% de su valor hoy, y $100’000.000,oo dentro de 5 años; si la tasa de interés es 24% E.A. ¿cuánto vale la casa? $42’638.467,52 i. ¿Cuánto tiempo será necesario para que: 1º. Una inversión de $ 4’000.000,oo se convierta en $ 4’200.000,oo con una tasa de interés del 8% anual? 0,63 años 2º. Una inversión de $ 5’000.000,oo se convierta en $ 6’000.000,oo con una tasa de interés del 4% semestral. 4,65 semestres j. Un artículo tiene un valor de contado de $185.000,oo. Se adquiere a crédito con una cuota inicial del 10% del valor de contado y un pago de $200.000,oo Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 24 de 114

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dentro de diez meses. Hallar la tasa anual de interés que se cobra por la financiación. 24,61% anual k. ¿Qué es mejor: invertir en una empresa que garantiza duplicar la inversión al cabo de dos años, o invertir en una cuenta de ahorros que paga el 12% semestral? Duplicar: 18,92% semestral l. ¿Qué tasa de interés trimestral convierte, al cabo de tres años, el valor presente P en el valor futuro F, en cada uno de los siguientes casos: 1º. P=$2’000.000,oo; F=$3’000.000,oo. 3,44% trimestral 2º. P=$12’000.000,oo; F=$15’000.000,oo. 1,88% trimestral 3º. P=$14’000.000,oo; F=$20’000.000,oo. 3,02% trimestral 4º. P=$500.000,oo; F=$1’500.000,oo. 9,59% trimestral

4. TASAS DE INTERÉS Como ya se explicó en los conceptos básicos, la tasa de interés es el pago o retribución que se hace por el uso del dinero, expresado en porcentaje.

4.1

INTERÉS SIMPLE

Es la tasa que al final del periodo se aplica únicamente sobre el capital inicial. Esto implica que el capital permanece constante durante el tiempo de la operación financiera, así como los intereses devengados al final de cada periodo.

4.2

INTERÉS COMPUESTO

El interés de un período es calculado sobre el saldo del periodo anterior (capital inicial más la cantidad acumulada de intereses ganados en periodos anteriores); cuando se habla de intereses sobre intereses, es lo que financieramente se conoce como capitalización. El interés compuesto supone la capitalización de los intereses causados y no pagados. En los mercados financieros se utilizan diferentes clases de tasas de interés compuesto para suministrar información, las principales son:

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4.2.1 Tasa de Interés Efectiva Se da este nombre a la tasa de interés que realmente (o efectivamente) se aplica en el período de capitalización sobre el capital para liquidar los intereses (esto sugiere que hay tasas de interés que no son las que efectivamente se aplican al capital para liquidar los intereses). La tasa de interés efectiva está compuesta por el valor de la tasa y el periodo de capitalización. Ejemplos: 1% mensual 3% bimestral

4% trimestral 5% semestral

15% anual

La tasa de interés efectiva es la tasa de interés que utilizamos anteriormente para resolver los ejercicios de interés compuesto; para recordar la forma de utilizarla veamos el ejemplo 13: EJEMPLO 13 Hoy se invierten $100.oo en un proyecto que genera el 10% trimestral, determinar el valor total acumulado: al final del primer y segundo trimestre, y después de un año. Este ejemplo lo resolveremos de forma rápida, puesto que el capítulo anterior estuvo destinado a la solución de este tipo de situaciones.     

Los datos que conocemos son: P=100,oo; i=10%; n1=1; n2=2; n3=4. Valor total acumulado al final del primer trimestre: n 1 F  P1  i   F  1001  0.1  F  110 Valor total acumulado al final del segundo trimestre: n 2 F  P1  i   F  1001  0.1  F  121 Valor total acumulado al final del cuarto trimestre: n 4 F  P1  i   F  1001  0.1  F  146,41 Rta: El valor acumulado al final del primer trimestre es $110,oo; al final del segundo trimestre es $121,oo; al final del cuarto trimestre es $146,41.

La tasa de interés efectiva se acostumbra a clasificar en dos tipos de tasas de interés de la siguiente forma:

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4.2.1.1

Tasa de interés efectiva anual

Se da este nombre a la tasa de interés efectiva que se paga en un año, y se acostumbra a escribir de varias formas, por ejemplo: 10% anual, 10% E.A., 10% efectivo anual, 10% efectivo, 10%. De conformidad con el parágrafo 2° del artículo 64 de la Ley 45 de 1990, toda tasa de interés en la cual no se indique una periodicidad de pago determinada se entenderá expresada en términos de interés efectivo anual. Basados en los datos del ejemplo 13, vamos a relacionar la tasa trimestral de dicho ejemplo con la tasa E.A. implícita en el mismo; es decir, vamos a dar respuesta a la pregunta ¿cuál es la tasa de interés E.A. que genera el proyecto del ejemplo 13?  

Los datos que conocemos son: P = 100,oo; F = 146,41; n = 1 año. Podemos hallar la tasa de interés E.A. así: F 146,41 in 1  i  1  1  i  1,4641  1  i  0,4641  i  46,41% E. A. P 100

De lo anterior podemos afirmar que recibir el 10% trimestral es equivalente a recibir el 46,41% E.A (puesto que el valor futuro después de una año es igual en ambos casos), ¡OJO! el 10% trimestral no es equivalente al 40% E.A., sino como acabamos de demostrar, es equivalente al 46,41% E.A; esta situación nos permite explicar por qué en el capítulo 3. INTERÉS COMPUESTO, se dijo que “no es correcto multiplicar ni dividir las tasas de interés”. 4.2.1.2

Tasa de interés periódica

Tasa de interés efectiva que se paga en periodos menores a un año, como por ejemplo: 1% mensual, 4% trimestral, 3% bimestral, 5% semestral, 1% periódica mensual, 4% efectiva trimestral, 5% efectiva semestral. Al igual que hicimos con la tasa de interés efectiva anual, basados en los datos del ejemplo 13 vamos a relacionar la tasa de interés periódica trimestral utilizada en el ejemplo 13, con la tasa de interés semestral implícita en ese mismo ejemplo; en otras palabras, la situación a resolver es ¿cuál es la tasa de interés semestral que genera el proyecto del ejemplo 13?  

Los datos que conocemos son: P = 100,oo; F = 121; Podemos hallar la tasa de interés semestral así:

n = 1 semestre.

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in

F 121 1  i  1  1  i  1,21  1  i  0,21  i  21%semestral P 100

De lo anterior podemos afirmar que semestral, ¡OJO: NO 20%!.

el 10% trimestral es equivalente al 21%

De lo dicho hasta este momento surgen las siguientes preguntas: ¿Cómo podemos hallar ¿Cómo podemos hallar ¿Cómo podemos hallar ¿Cómo podemos hallar

la tasa equivalente E.A. de 10% trimestral? la tasa equivalente semestral de 10% trimestral? la tasa equivalente trimestral de 46,41% E.A.? la tasa equivalente trimestral de 21% semestral?

4.2.2 Tasa de Interés Nominal Tasa de Interés que resulta de tomar una tasa de interés efectiva y multiplicarla por la cantidad de periodos que tiene en un año, esto quiere decir que si tomo la tasa de interés del 10% trimestral y la multiplico por 4 (porque un año tiene 4 trimestres), el resultado no será una tasa de interés E.A., sino una tasa de interés nominal; se dice que la tasa de interés nominal es aquella que expresada anualmente se capitaliza varias veces al año. Hay que tener en cuenta que la tasa de interés nominal no refleja la realidad en cuanto a los intereses devengados anualmente, no sirve para realizar cálculos de pago de intereses, ni sirve para hacer operaciones de valor del Dinero en el Tiempo. 4.2.2.1

Cálculo de la tasa de interés nominal

Para calcular la tasa de interés nominal, multiplicamos la tasa de interés periódica por el número de periodos que hay en el año así: 1% mensual 3% bimestral 4% trimestral 5% semestral 15% anual

= = = = =

1% *12 3% * 6 4% * 4 5% * 2 15% *1

= 12% = 18% = 16% = 10% = 15%

anual nominal mensual. anual nominal bimestral. anual nominal trimestral. anual nominal semestral. anual nominal anual.

De los ejemplos anteriores podemos concluir la fórmula de interés nominal: in  i p * n , en donde i n representa la tasa de interés nominal, i p representa la tasa de interés periódica, y n representa el número de periodos que hay en un año; a

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su vez, de la fórmula anterior podemos despejar i p de la siguiente forma: i p 

in , n

la cual aplicamos en los siguientes ejemplos: 12% anual nominal mensual 18% anual nominal bimestral 4.2.2.2

12% 12 18% = 6 =

= 1% mensual. = 3% bimestral.

Formas de presentación de la tasa de interés nominal

A continuación se presentan algunos ejemplos de las formas como se pueden escribir las tasas de interés nominal: 36% nominal anual capitalizable trimestralmente. 36% nominal capitalizable trimestralmente. 36% nominal trimestral. 36% capitalizable trimestralmente. 36% anual liquidable por trimestre vencido. 36% trimestre vencido. 36% TV. 36% ATV. 36% anual nominal anual. 36% nominal anual. 36% nominal. 36%. No obstante lo anterior, en los mercados financieros se observan algunas situaciones especiales:

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Sin embargo, de conformidad con los literales f), g) y h) del numeral 1 del Capítulo I del Título II de la Circular Externa 07 de 19961, las entidades financieras deben informar a sus clientes el valor real a pagar por los créditos a ellos otorgados, por lo cual los contratos que instrumentan las operaciones activas deben tener las tasas de interés expresadas en términos efectivos anuales, independientemente de que se pacte su equivalencia en tasas nominales. 4.2.2.3

Equivalencia de tasas efectivas y nominales

Para el uso de Excel se puede utilizar la siguiente guía:

4.2.2.3.1

¿CÓMO PODEMOS HALLAR LA TASA EQUIVALENTE E.A. DE 10% TRIMESTRAL?

Para resolver esta pregunta, utilizaremos los datos con los cuales hemos trabajado hasta ahora; de allí debemos resaltar que: 

$100,oo invertidos durante 4 trimestres a una tasa de 10% trimestral producen n 4 $146,41: F  P1  i   146,41  1001  0,1 .



$100,oo invertidos durante 1 año a una tasa de 46,41% E.A. producen n 1 $146,41: F  P1  i   146,41  1001  0,4641 .



Debido a que el valor futuro es el mismo en ambos casos (146,41), podemos 4 1 igualar las dos ecuaciones anteriores así: P1  iT   P1  i EA  , en donde iT representa la tasa de interés trimestral, y a su vez i EA representa la tasa de



interés E.A. Si tenemos en cuenta que en ambas ecuaciones el valor presente es el mismo (100), podemos simplificar esta variable en el sistema de ecuaciones de la 4 1 4 1 siguiente forma: P1  iT   P1  iEA   1  iT   1  iEA  .

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

Si la incógnita es la tasa de interés E.A., despejamos la variable 4 1 4 correspondiente a la misma: 1  iT   1  i EA   1  iT   1  iEA . En conclusión, i EA  1  iT   1 . 4

Si aplicamos la fórmula anterior a los datos del ejemplo 13, tendremos que: 4 4 4 i EA  1  iT   1  i EA  1  0,1  1  i EA  1,1  1  i EA  1,4641  1  i EA  0,4641 

i EA  46,41% Lo anterior implica que el 10% trimestral es equivalente al 46,41% E.A. (situación que ya se había demostrado antes); finalmente, podemos generalizar la fórmula anterior para cuando queramos hallar la tasa de interés E.A. partiendo de una tasa n de interés periódica: iEA  1  i p   1 , en donde n es la cantidad de periodos (de la tasa periódica) que tiene un año. Apliquemos la fórmula anterior para resolver el ejemplo 14: EJEMPLO 14 Un proyecto de inversión ofrece una rentabilidad de 3% mensual, ¿cuál es la rentabilidad anual que ofrece el proyecto?  

 

Los datos que conocemos son ip = 3%; n = 12. Para calcular la rentabilidad anual, utilizamos la fórmula de la siguiente forma: n 12 12 i EA  1  i p   1  i EA  1  0,03  1  i EA  1,03  1  i EA  1,425761  1 

i EA  0,425761  i EA  42,5761% E. A. Lo anterior quiere decir que el 3% mensual es equivalente al 42,5761% E.A. Rta: El proyecto ofrece una rentabilidad anual del 42,5761%.

4.2.2.3.2

¿CÓMO PODEMOS HALLAR LA SEMESTRAL DE 10% TRIMESTRAL?

TASA

EQUIVALENTE

Para resolver esta pregunta, nuevamente utilizaremos los datos del ejemplo 13: 

$100,oo invertidos durante 2 trimestres a una tasa de 10% trimestral producen n 2 $121: F  P1  i   121  1001  0,1 .



$100,oo invertidos durante 1 semestre a una tasa del 21% semestral producen n 1 $121: F  P1  i   121  1001  0,21 .

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

Debido a que el valor futuro es el mismo en ambos casos (121), podemos 2 1 P1  iT   P1  iS  , en donde iT igualar las dos ecuaciones anteriores así: representa la tasa de interés trimestral, y a su vez i S representa la tasa de interés semestral. Si tenemos en cuenta que en ambas ecuaciones el valor presente es el mismo (100), podemos simplificar esta variable en el sistema de ecuaciones de la 2 1 2 1         P 1  i  P 1  i  1  i  1  i T S T S siguiente forma: . Si la incógnita es la tasa de interés semestral, despejamos la variable 1  iT 2  1  iS 1  1  iT 2  1  iS . En conclusión, correspondiente a la misma: 2 iS  1  iT   1. La anterior fórmula la podemos generalizar para utilizarla cada vez que necesitemos convertir de una tasa periódica pequeña a una tasa periódica m i i  1  i pmenor   1 más grande, de la siguiente forma: pmayor , donde pmayor es la i tasa de más grande que queremos hallar, pmenor es la tasa de interés menor que ya se conoce, y m es el número de periodos pequeños que caben dentro del periodo grande.







Si aplicamos la fórmula anterior a los datos del ejemplo 13, tendremos que: m 2 2 i pmayor  1  i pmenor   1  i pmayor  1  0,1  1  i pmayor  1,1  1  i pmayor  1,21  1 

i pmayor  0,21  i pmayor  21%semestral Lo anterior implica que el 10% trimestral es equivalente al 21% semestral (situación que ya se había demostrado antes). Apliquemos la fórmula anterior para resolver el ejemplo 15: EJEMPLO 15 Para desarrollar un proyecto se requiere un crédito de $40’000.000,oo, por el cual nos cobran una tasa de interés de 3% bimestral, ¿cuál es la tasa de interés trimestral que nos cobran por el crédito? 

Para solucionar la situación planteada, analizamos los siguientes datos: ipmenor = 3% puesto que un bimestre es menor a un trimestre. m = 1,5 puesto que en un trimestre caben 1,5 bimestres.

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

Para calcular la rentabilidad trimestral, utilizamos la fórmula de la siguiente forma: m 1, 5 1, 5 i pmayor  1  i pmenor   1  i pmayor  1  0,03  1  i pmayor  1,03  1 

i pmayor  1,045336  1  i pmayor  0,045336  i pmayor  4,5336%trimestral.  

Lo anterior quiere decir que el 3% bimestral es equivalente al 4,5336% trimestral. Rta: El proyecto ofrece una rentabilidad trimestral del 4,5336%.

4.2.2.3.3

¿CÓMO PODEMOS HALLAR TRIMESTRAL DE 46,41% E.A.?

LA

TASA

EQUIVALENTE

Para resolver esta pregunta, utilizaremos la fórmula de i EA y de ella despejamos ip :

i EA  1  i p   1  i EA  1  1  i p   n 1  i EA  n 1  i p   n 1  i EA  1  i p  n



n

n

1  i EA  1  i p Utilizando esta nueva fórmula podemos tomar una tasa de interés E.A. y convertirla en periódica, para este caso tenemos: i p  n 1  i EA  1  i p  4 1  0,4641  1  i p  4 1,4641  1  n





i p  1,1  1  i p  0,1  i p  10%trimestral En conclusión, el 46,41% E.A. es equivalente al 10% trimestral.

Apliquemos la fórmula anterior para resolver el ejemplo 16: EJEMPLO 16 Un proyecto de inversión ofrece una rentabilidad de 30% anual, ¿cuál es la rentabilidad bimestral que ofrece el proyecto?  

Los datos que conocemos son iEA = 30%; n = 6. Para calcular la rentabilidad bimestral, utilizamos la fórmula de la siguiente forma: i p  n 1  i EA  1  i p  6 1  0,30  1  i p  6 1,30  1  i p  1,0447  1  i p  0,0447 

i p  4,47%bimestral  

Lo anterior quiere decir que el 30% E.A. es equivalente al 4,47% bimestral. Rta: El proyecto ofrece una rentabilidad anual del 4,47% bimestral.

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4.2.2.3.4

¿CÓMO PODEMOS HALLAR LA TRIMESTRAL DE 21% SEMESTRAL?

TASA

EQUIVALENTE

Para resolver esta pregunta, utilizaremos la fórmula de i pmayor y de ella despejamos

i pmenor : i pmayor  1  i pmenor   1  i pmayor  1  1  i pmenor   m 1  i pmayor  m 1  i pmenor   m



m



m

m

1  i pmayor  1  i pmenor  m 1  i pmayor  1  i pmenor

Utilizando esta nueva fórmula podemos tomar una tasa de interés periódica y convertirla en una tasa periódica menor, para este caso tenemos: i pmenor  m 1  i pmayor  1  i pmenor  2 1  0,21  1  i pmenor  2 1,21  1  i pmenor  1,10  1 

i pmenor  0,10  i pmenor  10%  

En conclusión, el 21% semestral es equivalente al 10% trimestral.

TALLER 3. TASAS DE INTERÉS a. Hallar la tasa efectiva mensual equivalente al: 1º. 12% anual. 0,95% mensual 2º. 5% trimestral. 1,64% mensual 3º. 10% semestral. 1,60% mensual b. Hallar la tasa efectiva anual equivalente al: 1º. 6% semestral 12,36% E.A. 2º. 10% trimestral. 46,41% E.A. c. ¿Qué tasa E.A. es equivalente a 1% periódica mensual vencida? 12,68% E.A. d. ¿Qué tasa semestral es equivalente a 4% trimestral? 8,16% semestral e. ¿Qué tasa bimestral es equivalente a 1% mensual? 2,01% bimestral f. ¿Qué tasa semestral es equivalente a 2% bimestral? 6,12% semestral g. ¿Qué tasa de interés trimestral es equivalente al 16% anual nominal trimestral? 4% trimestral h. ¿Qué tasa de interés semestral es equivalente al 20% anual nominal semestral? 10% semestral i. ¿Qué tasa de interés anual nominal mensual es equivalente al 20% E.A.? 18,37% anual nominal mensual j. ¿Qué tasa de interés anual nominal bimestral es equivalente al 24% E.A.? 21,90% anual nominal bimestral k. ¿Qué tasa de interés E.A. es equivalente al 30% anual nominal trimestral? 33,55% E.A. Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 35 de 114

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l. m. n. o. p. q. r.

¿Qué tasa de interés E.A. es equivalente al 44% anual nominal semestral? 48,84% E.A. ¿Qué tasa de interés mensual es equivalente al 30% anual nominal bimestral? 2,47% mensual ¿Qué tasa de interés trimestral es equivalente al 60% anual nominal semestral? 14,02% trimestral ¿Qué tasa de interés anual nominal mensual es equivalente al 7% bimestral? 41,29% anual nominal mensual ¿Qué tasa de interés anual nominal trimestral es equivalente al 10% semestral? 19,52% anual nominal trimestral ¿Qué tasa de interés mensual es equivalente al 8% bimestral? 3,92% mensual ¿Qué tasa de interés trimestral es equivalente al 12% semestral? 5,83% trimestral

4.2.3 Tasa de interés vencida La liquidación de los intereses se hace al final del periodo; cuando no se especifica si una tasa de interés es vencida o anticipada, se entiende que es vencida. La gran mayoría de operaciones financieras funcionan con tasa vencida. 4.2.4 Tasa de interés anticipada La liquidación de los intereses se hace al principio del periodo; es necesario especificar que su liquidación es por anticipado, por ejemplo: 2,5% mensual anticipada, 29% anual anticipada, 7% trimestral anticipada, 32% anual nominal trimestre anticipado. Para hallar la equivalencia entre tasas vencidas y anticipadas se utilizan las siguientes fórmulas: i i  vencido anticipado 1  i vencido

ianticipada ivencido  1  ianticipada

Para el uso de Excel se puede utilizar la siguiente guía:

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TALLER 4. TASAS DE INTERÉS ANTICIPADAS a. ¿Qué tasa efectiva anual es equivalente a 10,5% anual nominal mes anticipado? 11,12% E.A. b. ¿Qué tasa efectiva anual es equivalente a 12,5% anual nominal bimestre anticipado? 13,46% E.A. c. ¿Qué tasa E.A. es equivalente a 3,5% trimestral anticipado? 15,32% E.A. d. ¿Qué tasa anual nominal semestre anticipado es equivalente a 10% E.A.? 9,31% anual nominal semestre anticipado e. ¿Qué tasa anual nominal mes anticipado es equivalente a 20,5% E.A.? 18,50% anual nominal mes anticipado f. ¿Qué tasa anual nominal bimestral es equivalente a 21,5% anual nominal semestral? 20,77% anual nominal bimestral g. ¿Qué tasa anual nominal trimestral es equivalente a 3,5% periódica bimestral vencida? 21,18% anual nominal trimestral h. ¿Qué tasa semestral anticipada es equivalente a 12,5% anual nominal trimestral anticipado? 6,15% semestral anticipada i. Una corporación presta $ 100,oo a un año y estipula una tasa del 36% anual nominal trimestre anticipada, ¿cuál es la tasa periódica trimestral vencida que se paga? 9,89% trimestral j. ¿Qué tasa anual nominal mensual anticipada es equivalente al 38% anual nominal trimestre vencido? 35,76% anual nominal mensual anticipada Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 37 de 114

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4.2.5 Tasa de interés discreta Es la tasa de interés que se aplica cuando el periodo de capitalización se mide en intervalos fijos de tiempo tales como años, semestres, trimestres, meses, días, etc; el número de periodos de capitalización es finito. La tasa se presenta en forma nominal y efectiva. Ejemplos: 42% anual, 8% trimestral, 0,013% diario, 18% semestral, 3% mensual, 10% anual nominal semestral. F  P(1  i) n 4.2.6 Tasa de interés continuo Tasa de interés nominal expresada anualmente y cuyo periodo de capitalización es lo más pequeño posible, en términos matemáticos, esto quiere decir que el número de periodos de capitalización crece indefinidamente. La tasa de interés compuesto continuo es utilizada en la valoración de opciones y otros productos derivados; por ejemplo, en los mercados de divisas, la cotización de contratos forward representa un instrumento que genera utilidades que se reinvierten continuamente. por ejemplo 35% capitalizable continuamente.

F  P * e nr

P  F * e  nr

ie  e r  1

r  Ln1  ie 

EJEMPLO 17 ¿Cuál es la tasa de interés Efectiva Anual equivalente al 30% c.c.

ie  e r  1  ie  e 0.30  1  ie  0,34986  ie  34,986%E. A. Para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla utilizando la función EXP de la siguiente forma:

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Rta: La tasa de interés E.A. es 34,986%. EJEMPLO 18 ¿Cuál es la tasa de interés Compuesta Continua equivalente al 34,986% E.A.?

 

ie  e r  1  ie  1  e r  Lnie  1  Ln e r  Lnie  1  rLne  Lnie  1  r  r  Ln1  ie   r  Ln1  0,34986  r  Ln1,34986  r  0,30  r  30%c.c.

Para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla utilizando la función LN de la siguiente forma:

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Rta: La tasa de interés compuesta continua es 30%. EJEMPLO 19 a. Si hoy se depositan $50.000,oo en una corporación que reconoce el 30% anual con capitalización continua, ¿cuánto se tendrá acumulado al final del quinto año?

F  P * e nr  F  50000 * e 5*0,3  F  50000 * e 5*0,3  F  50000 * e1,5  F  50000 * 4,48  F  224084,85 Para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla utilizando la función EXP de la siguiente forma:

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Rta: Al final del quinto año se tendrá acumulado $224.084,45 b. Una persona deposita hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga un interés del 27% anual capitalizable continuamente. Si dentro de 3 años el saldo es de $ 855.000,oo, hallar el valor del depósito.

P  F * e  nr  P  855000 * e 3*0, 27  P  855000 * e 0,81  P  855000 * 0,44  P  380353,65 Para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla utilizando la función EXP de la siguiente forma:

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Rta: El valor del depósito es de $380.353,65 4.2.7 Otras Tasas 4.2.7.1

Tasa de inflación

Es la medida de incremento continuo en los precios de los bienes y servicios de una economía en un periodo de teiempo determinado; a su vez, si los precios disminuyen, se dice que hay deflación. 4.2.7.1.1

ÍNDICE DE PRECIOS AL CONSUMIDOR (IPC)

Indicador que permite medir la inflación mediante la observación de los precios de bienes y servicios de primera necesidad para los consumidores (a estos bienes y servicios suele llamársele la canasta familiar). 4.2.7.1.2

ÍNDICE DE PRECIOS AL PRODUCTOR (IPP)

Indicador que permite medir la inflación mediante la observación de los precios de bienes y servicios necesarios para la producción. 4.2.7.1.3

VALORES CORRIENTES

Un valor corriente es aquel que ya contiene la inflación, es decir, un valor corriente es el valor de un bien o servicio en el comercio (puesto que los Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 49 de 114

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precios comerciales de los bienes y servicios ya han sido afectados por la inflación). 4.2.7.1.4

VALORES CONSTANTES

Un valor constante es aquel que no contiene la inflación, y se obtiene al tomar un valor corriente y restarle la inflación (a este proceso se le llama deflactar). 4.2.7.2

Tasa de devaluación

Es la medida de la pérdida de valor de la unidad monetaria nacional frente a una moneda extranjera; en Colombia, se dice que hay devaluación cuando el dólar americano sube de precio (puesto que el dólar sube de precio debido a que el peso colombiano perdió valor frente a él). Para calcular la devaluación, se preciofina l  1 , recordando que el resultado debe aplica la fórmula i DEV  precioante rior expresarse en porcentaje; ejemplo: si el dólar subió de precio, pasando de $1.800,oo a $1.900,oo ¿cuánto fue la devaluación?

preciofina l 1900  1  i DEV   1  i DEV  1,0556  1  i DEV  0,0556  precioante rior 1800  5,56%

i DEV  i DEV

Rta: La devaluación fue del 5,56%. De la misma forma, si la unidad monetaria nacional gana valor frente a una moneda extranjera, se dice que hay revaluación (situación que se presenta, por ejemplo, cuando el dólar americano baja de precio); ejemplo: si el dólar bajó de precio, pasando de $1.900,oo a $1.800,oo ¿cuánto fue la revaluación?

preciofina l 1800  1  i REV   1  i REV  0,9474  1  i REV  0,0526  precioante rior 1900  5,26%

i REV  i REV

Rta: La revaluación fue del 5,26%. El precio del dólar en Colombia se publica bajo el nombre de TRM (tasa representativa del mercado), el cual es calculado por el Banco de la República, y corresponde al precio promedio ponderado al que se negociaron dólares americanos en las operaciones interbancarias y de transferencias desarrolladas Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 50 de 114

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por los intermediarios de los intermediarios bancarios (la TRM se calcula diariamente). 4.2.7.3

DTF

Tasa de interés promedio ponderado semanal que pagan los bancos, las corporaciones financieras y las compañías de financiamiento comercial, para los CDT a 90 días; es calculada y publicada por el Banco de la República, de forma anual nominal trimestre anticipado y E.A. (con dos cifras decimales). La DTF le permite a los inversionistas evaluar la tasa de rentabilidad que están recibiendo por sus inversiones. Un CDT (Certificado de Deposito a Término) es un título valor que emite un banco, corporación financiera o compañía de financiamiento comercial; se hace por un plazo o término de tiempo determinado que debe ser como mínimo de 30 días. El CDT es redimible o reembolsable sólo en los plazos y términos pactados al momento de constituir el CDT, lo que quiere decir, que si el CDT se pactó a 360 días el banco no lo pagará ni podrá ser obligado a pagarlo hasta tanto se venza dicho término; no obstante, el CDT puede ser negociado o endosado. Un CDT se renueva de forma automática, y los rendimientos financieros están sometidos a retención en la fuente. Los depósitos a término fijo de menos de un mes se llaman CDAT. 4.2.7.4

TCC

Tasa de interés promedio ponderado semanal que pagan las corporaciones financieras para los CDT a 90 días; se expresa y utiliza de la misma forma que la DTF. 4.2.7.5

TBS (tasa básica del sector)

Tasa de interés promedio ponderado que pagan los CDT y los CDAT; se calcula diariamente para ocho plazos diferentes, tomándola por separado para el sector bancario, para el sector de las corporaciones financieras y para el sector de las compañías de financiamiento comercial.

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4.2.7.6

TIB (tasa inter-bancaria)

Es la tasa promedio a la que negocian entre sí los intermediarios financieros en el mercado de liquidez a muy corto plazo. 4.2.7.7

Prime rate (tasa preferencial)

Tasa de interés que cobran los bancos de Estados Unidos a las grandes compañías que adquieren créditos en ese país. 4.2.7.8

LIBOR (London inter bank offer rate)

Tasa de interés a la cual se negocian los eurodólares (los eurodólares son depósitos denominados en dólares estadounidenses que se mantienen en bancos fuera de los Estados Unidos); la LIBOR es la tasa de interés a la cual un banco está dispuesto a prestarle a otros bancos. 4.2.7.9

Tasas de oportunidad

Es la tasa de rentabilidad que un inversionista obtiene por las inversiones que acostumbra hacer; es una tasa individual o personal y depende exclusivamente de la oportunidad de inversión y condiciones del mercado de cada inversionista. 4.2.7.10

Tasas de interés combinadas

Es el resultado de la aplicación simultánea de dos tasas, situación que se presenta, por ejemplo, en las operaciones con moneda extranjera, puesto que en ellas intervienen la tasa de interés y la tasa de devaluación (o revaluación, según sea el caso); es decir, que si se adquiere un crédito en dólares hay que pagar una tasa de interés, pero al mismo tiempo, si el peso pierde valor respecto al dólar (devaluación) hay que pagar más pesos por el mismo crédito. Para este tipo de situaciones se requiere hallar una tasa equivalente a las dos que se aplican a la operación, para lo cual se debe tener en cuenta que para sumar tasas de interés, se deben multiplicar de la siguiente forma: iT  1  i1 1  i2   1 . Sin embargo, cuando se habla de la tasa DTF o TCC más unos puntos porcentuales (a estos puntos porcentuales adicionales se les conoce con el nombre de spread), simplemente se suman, sin hacer uso de la tasa combinada; de la misma forma se hace cuando se suma un spread a la LIBOR. Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 52 de 114

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Para restar tasas de interés se deben dividir de la siguiente forma:

1  i1  1  iT 1  i2

EJEMPLO 20 a. El 10 de abril de 2008, se adquirió un préstamo en dólares a un interés del 15% anual (el tipo de cambio en esa fecha fue de $1.799,07 por dólar), y un plazo de un año; si el préstamo se pagó en una sola cuota al final del plazo, y el tipo de cambio el 10 de abril de 2009 fue de $2.388,11 por dólar, ¿Cuál es el costo porcentual del préstamo, teniendo en cuenta que nosotros utilizamos pesos?  En este ejemplo, el costo porcentual del préstamo es el resultado de sumar la tasa de interés que se paga por el préstamo más la tasa de devaluación; por tal razón, lo primero que hay que hacer es calcular la tasa de devaluación:

preciofina l 2388,11  1  i DEV   1  i DEV  1,3274  1  i DEV  0,3274  precioante rior 1799,07  32,74%

i DEV  i DEV

 Ahora, se suman la tasa de interés que se paga por el préstamo más la tasa de devaluación, teniendo en cuenta que ambas deben estar en las mismas unidades (para este caso, ambas están anuales, puesto que la devaluación fue calculada para un periodo anual):

iT  1  i1 1  i2   1  iT  1  0,151  0,3274  1  iT  1,15 *1,3274  1  iT  1,5265  1  iT  0,5265  iT  52,65% La respuesta anterior se puede comprobar si se soluciona el ejemplo de forma lógica, para lo cual vamos a suponer que el crédito fue de 100 dólares y utilizamos Excel de la siguiente forma:  Primero, hay que averiguar, cuando se recibieron los 100 dólares del préstamo, cuántos pesos colombianos se recibieron:

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 Ahora, hay que averiguar, dentro de un año, cuánto se tiene que pagar en dólares, al banco, por el préstamo:

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 Sabiendo que el valor futuro del préstamo es de 115 dólares, ahora hay que averiguar a cuánto equivale en pesos colombianos:

 Finalmente, estructuramos un ejercicio de interés compuesto con los datos en pesos, para averiguar la tasa de interés:

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Rta: El valor total del préstamo es de 52,65% E.A. b. Una persona invierte $100,oo y al final del año recibe $130,oo. Si la inflación fue del 20% anual ¿cuál fue la rentabilidad real de la inversión?  Para empezar a solucionar este ejemplo, hay que averiguar la tasa de rentabilidad que ganó la inversión:

 Ahora, debido a que la inflación disminuye la capacidad adquisitiva del dinero, cuando un inversionista obtiene una rentabilidad sobre sus Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 56 de 114

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inversiones, dicha rentabilidad se ve disminuida en razón a que la capacidad adquisitiva o el poder de compra del dinero ha disminuido; en otras palabras, la inflación disminuye la rentabilidad real de las inversiones, llamando rentabilidad real al aumento que realmente tuvo la capacidad adquisitiva de la inversión (al reconocer que ahora el dinero vale menos que cuando empezó la inversión). Bajo este concepto, para averiguar la rentabilidad real de una inversión, hay que tomar la tasa de rentabilidad y restarle la inflación, teniendo en cuenta que las dos deben estar en la misma periodicidad (para este caso, ambas están anuales):

iR 

1  i INVERSIÓN 1  i INFLACIÓN

 1  iR 

1  0,3  1  i R  1,0833  1  i R  0,0833  i R  8,33% 1  0,2

Rta: La rentabilidad real de la inversión fue de 8,33% anual. c. Un crédito en moneda legal se pacta con una Tasa de Interés del DTF Efectivo Anual + 5 Puntos, ¿cuál es la tasa mensual de interés del crédito, cuando el DTF es del 25% E.A.?  Para empezar a solucionar este ejemplo, hay que tener en cuenta que, comos ya se dijo, cuando se habla de la tasa DTF o TCC más unos puntos porcentuales, simplemente se suman, sin hacer uso de la tasa combinada:

iT  DTF  Puntos  iT  25%  5%  iT  30% 

La tasa total es del 30% E.A., la cual, al convertirla a mensual es igual al 2,21% mensual.

d. Un CDT fue emitido con tasa DTF más 2 puntos porcentuales, si la DTF es del 6% anual nominal trimestre anticipado ¿de cuánto es la Tasa de Interés mensual que paga el CDT?  Para empezar a solucionar este ejemplo, hay que tener en cuenta que, comos ya se dijo, cuando se habla de la tasa DTF o TCC más unos puntos porcentuales, simplemente se suman, sin hacer uso de la tasa combinada:

iT  DTF  Puntos  iT  6%  2%  iT  8%

Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 57 de 114

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

La tasa total es del 8% anual nominal trimestre anticipado, la cual, al convertirla a mensual es igual al 0,68% mensual.

e. Un CDT fue emitido con tasa de referencia basada en el IPC actual del 2% más un margen del 5% efectivo anual. ¿De cuánto es la Tasa de Interés mensual que paga el CDT?  Para empezar a solucionar este ejemplo, hay que tener en cuenta que, comos ya se dijo, para sumar tasas de interés, se deben multiplicar de la siguiente forma:

iT  1  i1 1  i2   1  iT  1  0,021  0,05  1  iT  1,02 *1,05  1  iT  1,0710  1  iT  0,0710  iT  7,10% 

La tasa total es de 7,10% E.A., la cual, al convertirla a mensual es igual al 0,57% mensual.

TALLER 5. TASAS DE INTERÉS a. ¿Cuál es la tasa de interés E.A. equivalente al 10% c.c.? 10,52% E.A. b. ¿Cuál es la tasa de interés Compuesta Continua equivalente al 24% E.A.? 21,51% c.c. c. Si hoy se depositan $500.000,oo en una corporación que reconoce el 10% anual con capitalización continua, ¿cuánto se tendrá acumulado al final de tres años? $674.929,40 d. Una persona deposita hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga un interés del 15% anual capitalizable continuamente. Si dentro de 2 años el saldo es de $1’000.000,oo, hallar el valor del depósito. $740.818,22 e. El 10 de abril de 2009, se hizo una inversión en dólares a un interés del 5% anual (el tipo de cambio en esa fecha fue de $2.388,11 por dólar), y un plazo de un año; si la inversión se redime con los intereses al final del plazo, y el tipo de cambio el 10 de abril de 2010 fue de $1.921,32 por dólar, ¿Cuál fue la rentabilidad porcentual de la inversión, teniendo en cuenta que nosotros utilizamos pesos? - 15,52% anual f. Una persona invierte $30’000.000,oo y al final del año recibe $70’000.000,oo. Si la inflación fue del 8% anual ¿cuál fue la rentabilidad real de la inversión? 116,05% anual g. Si un préstamo se otorga a la DTF más 15 puntos, y suponiendo que la DTF sea del 7% anual nominal trimestre anticipado, ¿cuánto es la Tasa de Interés Efectiva Anual del préstamo? 25,39% E.A. Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 58 de 114

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h. Un CDT fue emitido con tasa de referencia basada en el IPC actual del 3% más un margen del 6% efectivo anual. ¿De cuánto es la Tasa de Interés mensual que paga el CDT? 0,73% mensual

5. SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES Flujos de caja formados por pagos iguales y periódicos, usamos el término anualidad para referirnos a periodos que pueden ser diarios, quincenales, mensuales, bimestrales, trimestrales, semestrales o anuales.

5.1

TERMINOLOGÍA

P = Valor Presente. A = Valor de cada pago periódico. i = tasa de interés por periodo.

5.2

F = Valor Futuro. n = número de pagos periódicos.

ANUALIDAD VENCIDA

Los pagos se realizan al final de cada período, como el pago de créditos de electrodomésticos, vehículo o estudio.

 1  i n  1 P  A n   i1  i    1  i n  1 F  A  i  

P  AP/A, i%, n 

F  AF/A, i%, n 

EJEMPLO 21 a. Hallar el valor de contado de un artículo que a crédito se adquiere con 18 cuotas de $20.000,oo cada una por mes vencido, sabiendo que se cobra un interés del 2,5% mensual. $287.067,27 b. Durante un año y medio, se hacen depósitos por mes vencido de $12.000,oo cada uno, en una institución de ahorro que paga un interés del 3% mensual. Calcular la suma total acumulada en la cuenta de ahorros al final de este tiempo. $280.973,22

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TALLER 6. ANUALIDADES VENCIDAS a. Un carro tiene un valor de contado de $12’800.000,oo. Se desea adquirir a crédito así: una cuota inicial de $8’800.000,oo y el resto financiado a 8 meses con cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés que se cobra por la financiación es del 1,5% mensual, hallar el valor de las cuotas. $534.336,10 b. Se tiene una deuda hoy de $200.000,oo y debe cubrirse en 5 cuotas mensuales iguales; si la tasa de interés que se cobra es del 7% mensual, ¿cuánto es el valor de la cuota? $48.778,14 c. La familia Jaimes está ahorrando $400.000,oo mensuales que deposita al final de cada mes en una cuenta de ahorros que le reconoce un interés del 2% bimestral, ¿cuánto se tendrá ahorrado después de un año? $5’071.604,34 d. Una casa que vale $100’000,000.oo se puede comprar con una cuota inicial de $20’000,000.oo y 60 cuotas mensuales vencidas. Hallar el valor de cada cuota sabiendo que la tasa de interés es de 25% anual nominal semestre anticipado. $2’443.097,44 e. Un crédito se puede pagar de una de las dos siguientes formas: 1º. 24 cuotas mensuales vencidas de $25,000.oo cada una. 2º. 2 cuotas anuales. Si la tasa de interés es de 1% mensual, ¿cuál debe ser el valor de las cuotas anuales? $317.062,58

5.3

ANUALIDAD ANTICIPADA

Los pagos se realizan al inicio de cada período.

 1  i n  1 1  i  P  A n    i 1  i  

 1  i n  1 F  A 1  i  i  

EJEMPLO 22 a. El propietario de una casa recibe por concepto de arriendo de la misma $350.000,oo mensuales, de los cuales deposita el 40% cada mes en una corporación de ahorro que paga 2,5% de interés mensual. Realiza cada depósito el mismo día que recibe la renta. Si la casa estuvo arrendada por espacio de dos años, hallar la cantidad total acumulada en la cuenta de ahorros al final de los dos años. $4’642.086,95

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b. Se tiene una obligación que un primer momento se habia pactado cubrir en 18 cuotas de $15.000,oo por mes anticipado; se decide pagarla de contado. Si la tasa de interés acordada es del 3% mensual, hallar el valor de contado. $212.491,78

5.4

ANUALIDAD DIFERIDA

El primer pago se realiza algunos periodos después de iniciada la operación financiera. EJEMPLO 23 a. Un activo, que de contado tiene un valor de $2’200.000,oo, puede adquirirse financiado a 24 cuotas mensuales, de las cuales la primera se pagará dentro de 3 meses. ¿Cuál es el valor de la cuota si la tasa de interés es del 1% mensual? $105.643,23 b. Si se ahorran cuotas mensuales de $100.000,oo de enero a abril, y una institución financiera nos reconoce una tasa de interés del 0,2% mensual, cuánto tendremos ahorrado en julio? $403.613,63

5.5

ANUALIDAD PERPETUA

El número de periodos es indefinido. No existe el último pago.

P

A i

EJEMPLO 24 El mantenimiento de un activo, de vida útil perpetua, va a tener un costo anual de $ 120.000,oo. Se desea construir un fondo con un depósito único hoy, en una cuenta de ahorros que paga un interés del 30% anual, de tal manera que cada año pueda retirarse de esta cuenta la suma necesaria para cubrir el costo de mantenimiento. Hallar el valor del depósito. $400.000,oo TALLER 7. ANUALIDADES ANTICIPADAS, DIFERIDAS Y PERPETUAS a. Dentro de 5 meses se desea comprar una casa cuya cuota inicial es de $10’000.000,oo, por tal razón se desea ahorrar a partir de hoy una cuota fija al Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 61 de 114

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b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

comienzo de cada mes en una institución que paga el 10% anual. ¿De cuánto debe ser la cuota fija para poder contar al final de los 5 meses con el dinero de la cuota inicial? $1´952.784,99 Un activo, que de contado tiene un valor de $2’200.000,oo, puede adquirirse financiado a 24 cuotas mensuales, de las cuales, hoy se debe pagar la primera. ¿Cuál es el valor de la cuota si la tasa de interés es del 1% mensual? $102.536,28 Hoy se desea pensionar a un trabajador con un sueldo mensual de $500.000,oo (el cual se empezará a pagar dentro de un mes); si el fondo de pensiones reconoce una rentabilidad sobre los aportes, del 10% E.A. ¿cuánto debe tener aportado dicho trabajador hoy, para que los fondos alcancen? $62´702.683,06 La familia Lizcano antiguamente pagaba de arriendo $200,000.oo mensuales, y ahora paga un 20% menos. Si el valor que se está ahorrando por concepto de arriendo, lo deposita al comienzo de cada mes en una cuenta de ahorros que le reconoce un interés del 6% semestral, ¿cuánto se tendrá ahorrado después de un año? $511.563,97 Hoy se compró un computador a crédito, para cancelarlo en cuotas mensuales de $150.000,oo durante 2 años, de las cuales hoy se debe pagar la primera. Si nos cobran una tasa de interés del 3% trimestral ¿cuánto vale el computador de contado? $3´221.831,22 Un carro tiene un valor de contado de $12’800.000,oo. Se desea adquirir a crédito con 8 cuotas mensuales iguales, de las cuales, la primera se debe pagar hoy. Si la tasa de interés que se cobra por la financiación es del 1,5% mensual, hallar el valor de las cuotas. $1´684.606,42 Se tiene una deuda hoy de $200.000,oo y debe cubrirse en 5 cuotas mensuales iguales anticipadas; si la tasa de interés que se cobra es del 1,5% mensual, ¿cuánto es el valor de la cuota? $41.199,87 La familia Jaimes está ahorrando $400.000,oo mensuales que deposita al comienzo de cada mes en una cuenta de ahorros que le reconoce un interés del 2% bimestral, ¿cuánto se tendrá ahorrado después de un año? $5’122.069,31 El 30 de junio del próximo año nos vamos de excursión, por tal razón, a partir de octubres, recogemos una cuota mensual al final de cada mes, y hasta el mes de diciembre; si una institución financiera nos reconoce una tasa de interés del 0,5% mensual, de cuánto debe ser la cuota mensual que ahorremos, para que al 30 de junio del próximo año cada uno cuente con un fondo de $3’000.000,oo? $965.681,62 Por un electrodoméstico que se compró a finales de noviembre, se deben pagar 10 cuotas mensuales de $50.000,oo, a partir de finales de febrero; si me

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cobran una tasa del 1,5% mensual, cuánto vale el electrodoméstico de contado? $447.581,09

6. GRADIENTE ARITMÉTICO Serie de pagos periódicos donde cada pago se obtiene aumentando o disminuyendo una cantidad constante al inmediatamente anterior. Por ejemplo una deuda se paga en cuotas mensuales de $45.000,oo, $50.000,oo, $55.000,ooy así sucesivamente durante un año. El gradiente aritmético puede ser vencido, anticipado, diferido o perpetuo.

6.1

NOTACIÓN

P: Valor Presente. n: Número de Periodos. A: Primera Cuota (Base).

6.2

F: Valor Futuro. i: Interés de cada periodo. g: Incremento o disminución.

GRADIENTE ARITMÉTICO VENCIDO CRECIENTE O DECRECIENTE

Los pagos se realizan al final de cada período.

1 - 1  i  n  G 1  1  i -n -n  P  A  n 1  i     i i   i  

P  AP/A, i%, n   GP/G, i%, n 

 1  i n  1 G  1  i n  1  F  A  n   i i i    

F  AF/A, i%, n   GF/G, i%, n 

C n  A  n - 1G g es positiva cuando el gradiente es creciente y es negativa cuando el gradiente es decreciente.

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6.3

GRADIENTE ARITMÉTICO ANTICIPADO CRECIENTE O DECRECIENTE

Los pagos se realizan al inicio de cada período. 6.4

GRADIENTE ARITMÉTICO DIFERIDO CRECIENTE O DECRECIENTE

El primer pago se realiza algunos periodos después de iniciada la operación financiera. 6.5

GRADIENTE ARITMÉTICO PERPETUO

El número de períodos es indefinido. No existe el último pago.

P

A g  i i2

6.6 GRADIENTE ARITMÉTICO ESCALONADO Muchas veces se encuentran proyectos o formas de financiación que involucran cantidades uniformes periódicos dentro de cierto periodo pero que periodo a periodo se incrementan o disminuyen en otra cantidad constante. EJEMPLO 25 Un préstamo realizado hoy se debe cancelar en 5 años con costos mensuales iguales dentro de cada año pero año tras año la cuota se incrementa en $10.000,oo si el valor de la cuota mensual durante el primer año es de $180.000,oo Encontrar el valor del préstamo si está financiado al 2% mensual. Ciclo 01

Ciclo 12 13

Ciclo 24 25

Ciclo 36

48

60

$180.000,oo $190.000,oo F1 F2

F3 Fn

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Esta forma de pago se puede similar a un gradiente aritmético donde los pagos se realizan cada año, con las siguientes características: F1 F1

= Valor Futuro de las anualidades del primer año = A para el nuevo gradiente

F2

= Valor futuro de las anualidad del segundo año

F2 - F1

= g gradiente

El nuevo gradiente quedó:

F1 F2 F3

 1.0212  1 F 1 =180.000    2'414.176,15  0.02   1.0212  1 F 2 = 190.000    2'548.297,04  0.02  g  F2  F1  134.120,89 A i n

= 2’414.176.15 = 26,8242% anual = 5 años

 1.2682425  1   1.2682425  1  50.26424  P  2'414.176,15  134 . 120 , 89   5 2 5  0.2682421.268242   0.268242 1.268242  P=6’790.882,78

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TALLER 8 - GRADIENTES ARITMÉTICOS a. Se compra un artículo a crédito para pagarlo en 6 cuotas con una tasa de interés de 24% anual nominal mensual, si la primera cuota es de $80.000,oo y aumenta en $2.000,oo cada mes, ¿cuál es el valor del artículo? $475.474,73 b. ¿Cuál es el valor del artículo si en el ejercicio anterior el pago de las cuotas es anticipado? $484.984,23 c. Amortizar $100.000,oo en 4 pagos trimestrales suponiendo una tasa del 16% E.A. y una disminución de la cuota en $12.000,oo. $44.850,08 d. Resolver el ejercicio anterior con pagos anticipados. $43.851,80 e. Hallar el valor de contado de un artículo que a crédito se adquiere con cuotas mensuales que aumentan en $2.000,oo. La tasa de Interés es del 2,5% mensual y en total son 8 cuotas. Valor de la primera cuota $50.000,oo $406.840,03 f. Un padre consigna una cantidad de dinero en un banco que paga un interés del 3% mensual, con el objetivo que su hijo pueda retirar $5’000.000,oo al comienzo del primer año, $6’000.000,oo al comienzo del segundo año, $7’000.000,oo al comienzo del tercer año, y así sucesivamente por espacio de diez años. ¿Cuánto consignó el padre en el banco? $22’935.262,58 g. Una empresa vende cada año 5000 unidades mensuales de su producto a un precio de $1.000,oo la unidad durante el primer año, a $1.200,oo la unidad durante el segundo año, a $1.400,oo la unidad durante el tercer año y así sucesivamente. La empresa ahorra la décima parte de su ingreso mensual, en una corporación financiera que paga el 0,5% mensual. Hallar el valor total que la empresa tendrá ahorrado al cabo de siete años. $80’774.997,71 h. Si se ahorran cuotas mensuales de enero a julio, en donde la primera cuota es de $170.000,oo y cada mes aumenta en $10.000,oo, y una institución financiera nos reconoce una tasa de interés del 0,1% mensual, cuánto tendremos ahorrado en diciembre? $1’410.959,99 7. GRADIENTE GEOMÉTRICO

7.1

CONCEPTO

Un Gradiente Geométrico consiste en una serie de pagos periódicos, donde cada pago se obtiene aumentando o disminuyendo el pago inmediatamente anterior en un porcentaje constante.

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7.2

CARACTERÍSTICAS

a. Todos los pagos son periódicos, es decir, que se pagan en una misma periodicidad de tiempo, por ejemplo: mensualmente, trimestralmente, etc. b. El porcentaje en que aumenta cada pago (el Gradiente) es siempre el mismo. c. La tasa de interés es siempre la misma. d. La tasa de interés está expresada en la misma periodicidad de los pagos.

7.3

NOTACIÓN

P: Valor Presente. n: Número de Periodos. A: Primera Cuota (Base).

7.4

F: Valor Futuro. i: Interés de cada periodo. g: Gradiente, incremento o disminución

GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO

7.4.1 Concepto Se presenta cuando los pagos del Gradiente Geométrico se realizan al final de cada periodo. 7.4.2 Fórmulas Debido a que Microsoft Excel no tiene funciones que permitan solucionar situaciones en las que se requiere trabajar con Gradientes Geométricos, es necesario trabajar dichas situaciones utilizando las fórmulas de Gradiente Geométrico, no obstante, a continuación se detalla cada una de las fórmulas, junto con la forma de utilizarlas en Microsoft Excel, teniendo en cuenta que cuando en el Gradiente Geométrico, las cuotas disminuyen, se dice que el gradiente es decreciente, y el valor de G es negativo. 7.4.2.1

Presente de un gradiente geométrico vencido cuando i es diferente de G

A   1  G    P 1   i - G   1  i  

n

  

 Gi

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En esta fórmula se hace la aclaración que su aplicación está condicionada al hecho que la tasa de interés sea diferente del gradiente, puesto que, si se observa con detalle, se puede apreciar que en el caso que la tasa de interés sea igual al gradiente se tendría un valor indeterminado; para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla de la siguiente forma:

EJEMPLO 26 Un juego de sala se puede comprar a crédito mediante el pago de 3 cuotas anuales vencidas, que aumentan cada año en un 20%; si la primera cuota es de $1’000.000,oo y la tasa de interés es del 24% E.A., hallar el valor de contado del juego de sala. 



Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 3; G es el gradiente geométrico, que equivale a 20%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $1’000.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 24%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja, en el cual se puede observar que el Gradiente Geométrico se grafica como una curva que representa la forma exponencial como se incrementa el valor de cada pago.

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

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:



Rta: El valor de contado del juego de sala es $2’342.150,31.

EJEMPLO 27 Para comprar un computador portátil fue necesario pagar hoy, de contado, el 20% de su precio, y firmar un pagaré mediante el cual se adquirió el compromiso de pagar 4 cuotas semestrales vencidas que aumenta cada una el 5%; si la primera

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cuota tiene un valor de $500.000,oo y la tasa de interés es del 12% semestral, hallar el valor de contado del computador portátil. 





Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 4; G es el gradiente geométrico, que equivale a 5%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $500.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 12%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:

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







El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $1’625.170,03; sin embargo, este valor representa tan solo el 80% del precio del computador portátil, puesto que inicialmente se pagó de contado el 20% restante. Es decir, que una vez pago el 20% del valor del computador portátil, se quedó debiendo $1’625.170,03, equivante al 80% restante. Para averiguar el 100% del valor del computador portátil, es necesario hacer una regla de 3 de la siguiente forma:

Para resolver la regla de 3, es necesario multiplicr en cruz y dividir, de tal 1'625.170,03 *100% 1'625.170,03 X   X  2'031.462,53 forma que X  80% 0,8 Rta: El valor de contado del computador portátil es $2’031.462,53.

EJEMPLO 28 Hoy se adquiere una deuda que se financia a 24 cuotas mensuales vencidas, que aumentan el 1% cada una, con una tasa de interés del 2% mensual; si la primera cuota es de $150.000,oo, y se pagará dentro de 3 meses, ¿cuánto es el valor del crédito? 



Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 24; G es el gradiente geométrico, que equivale a 1%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $150.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 2%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:

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

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:



El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $3’158.680,28; sin embargo, este valor representa el valor presente en el mes 2, puesto que la primera cuota se pagó en el mes 3. Por tal razón, es necesario calcular el valor presente en el mes 0, teniendo como datos: n es el número de periodos, que equivale a 2; i es la tasa de interés, que equivale a 2%; F es el valor futuro, que equivale a $3’158.680,28. Para averiguar el valor presente en el mes 0, se utiiza la tabla de Excel que se tiene diseñada para tal efecto:



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

Rta: El valor del crédito es de $3’036.024,87.

EJEMPLO 29 Hoy se recibió un crédito por valor de $1’600.000,oo para pagarlo mediante 7 cuotas trimestrales que disminuye cada una en el 0,5%, sabiendo que la tasa de interés que se cobra es del 6% trimestral, hallar el valor de las dos primeras cuotas. 



Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 7; G es el gradiente geométrico, que equivale a -0,5%; P es el valor presente, que equivale a $1’600.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 6%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:

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Observe que en este caso, cambia la forma de la curva que representa las cuotas, en razón a que las cuotas disminuyen de valor. 

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones, dejando en blanco el valor de la primera cuota, pues el mismo se desconoce.

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

Posteriormente, estando ubicado sobre la fórmula del Valor Presente, se utiliza la herramienta Buscar objetivo, para averiguar el valor de la primera cuota:

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Como se puede observar en la gráfica anterior: en Definir la celda: se registra el nombre de la celda donde se encuentra la fórmula; en Con el valor: se digita el valor que ya se conoce para el Valor Presente; en Para cambiar la celda: se registra el nombre de la celda en la que se encuentra el dato que se quiere averiguar, para este caso, el valor de la Primera Cuota. 

Una vez se da Aceptar en la herramienta de Buscar Objetivo, se obtiene el valor de la Primera Cuota:

 

Rta: El valor de la primera cuota es de $290.605,38. Para averiguar el valor de la segunda cuota, es necesario disminuir el valor de la primera cuota en 0,5% de la siguiente forma: C 2  C1  C1 * 0,5%  C 2  290.605,38  290.605,38 * 0,5% 



C 2  290.605,38  1.453,03  C 2  289.152,35 Rta: El valor de la segunda cuota es de $289.152,35.

EJEMPLO 30 Resolver el ejemplo anterior, suponiendo que las cuotas disminuyen el 6%.

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



 

En este caso, los datos del ejemplo son: n es el número de cuotas, que equivale a 7; G es el gradiente geométrico, que equivale a -6%; P es el valor presente, que equivale a $1’600.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 6%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:

Hay que resaltar, que en este ejemplo el valor de la tasa de interés no es igual al gradiente, puesto que el gradiente es negativo debido a que las cuotas disminuyen de valor. A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones, y se resuelve el ejemplo utilizando la herramienta de Excel, Buscar objetivo, tal como se hizo en el ejemplo anterior:

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  

Rta: El valor de la primera cuota es de $337.597,04. Para averiguar el valor de la segunda cuota, es necesario disminuir el valor de la primera cuota en 6%, tal como se hizo en el ejemplo anterior, para obtener un resultado de $317.341,22 Rta: El valor de la segunda cuota es de $317.341,22.

7.4.2.2

P

nA 1 i

Presente de un gradiente geométrico vencido cuando i es igual a G

 Gi

En esta fórmula se hace la aclaración que su aplicación está condicionada al hecho que la tasa de interés sea igual al gradiente, de otra forma, se debe utilizar la fórmula vista anteriormente; para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla de la siguiente forma:

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EJEMPLO 31 Resolver el EJEMPLO 26, suponiendo que las cuotas aumentan en el 24%. 



Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 3; G es el gradiente geométrico, que equivale a 24%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $1’000.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 24%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:

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

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:



Rta: El valor de contado del juego de sala es $2’419.354,84.

7.4.2.3

F

Futuro de un gradiente geométrico vencido cuando i es diferente de G



A 1  i n  1  G  n i-G



 Gi

En esta fórmula se hace la aclaración que su aplicación está condicionada al hecho que la tasa de interés sea diferente del gradiente, puesto que, si se observa con detalle, se puede apreciar que en el caso que la tasa de interés sea igual al gradiente se tendría un valor indeterminado; para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla de la siguiente forma:

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EJEMPLO 32 Un empleado inició trabajando en una empresa el 1 de enero de 1993 con un salario anual de $4’000.000,oo, y desde entonces, cada año compra un título valor por el equivalente al 10% de su salario anual; suponiendo que cada año le han aumentado el salario en el 10%, y que los títulos valores le reconocen una rentabilidad del 12% E.A., hallar cuánto tendrá acumulado si redime todos los títulos valores el 31 de diciembre de 2009. 



Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 17; G es el gradiente geométrico, que equivale a 10%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $400.000,oo (el 10% de $4’000.000,oo); i es la tasa de interés, que equivale a 12%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:

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

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:



Rta: El 31 de diciembre de 2009 se tendrá ahorrado $36’231.412,07

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EJEMPLO 33 Se necesita reunir $18’000.000,oo para dentro de 17 meses, para lo cual se harán depósitos mensuales en un banco, de tal forma que cada uno sea la mitad del anterior; determinar la tasa de interés que paga el banco, suponiendo que la primera cuota es de $8’000.000,oo 





Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 17; G es el gradiente geométrico, que equivale a 50% (se está trabajando con un gradiente geométrico decreciente); A es el valor de la primera cuota, que equivale a $8’000.000,oo; F es el valor futuro, que equivale a $18’000.000,oo. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones, y se resuelve el ejemplo utilizando la herramienta de Excel, Buscar objetivo:

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

Rta: El banco paga una tasa de interés de 0,79% mensual.

7.4.2.4

Futuro de un gradiente geométrico vencido cuando i es igual a G

F  An1  i 

n -1

 Gi

En esta fórmula se hace la aclaración que su aplicación está condicionada al hecho que la tasa de interés sea igual al gradiente, de otra forma, se debe utilizar la fórmula vista anteriormente; para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla de la siguiente forma:

EJEMPLO 34 Resolver el EJEMPLO 32, suponiendo que los títulos valores reconocen una rentabilidad del 10% E.A. 

Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 17; G es el gradiente geométrico, que equivale a 10%; A es el valor de la primera cuota, que

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

equivale a $400.000,oo (el 10% de $4’000.000,oo); i es la tasa de interés, que equivale a 10%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:



A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:



Rta: El 31 de diciembre de 2009 se tendrá ahorrado $31’245.816,31.

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7.4.2.5

Valor de una cuota específica

C n  A 1  G 

n -1

Esta fórmula se utiliza indiferentemente para gradientes vencidos y anticipados, sin importar si se está trabajando con un valor presente o con un valor futuro; para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla de la siguiente forma:

EJEMPLO 35 Una persona desea crear un fondo para utilizarlo como su pensión de retiro dentro después de 20 años de trabajo; el fondo consiste en la compra de un título valor anualmente con una rentabilidad de 7% E.A. Si la persona desea tener una pensión de retiro equivalente a 30 sueldos mensuales iguales a los devengados durante el último año de trabajo, hallar la inversión hecha en el primero y último título valor que la persona debería comprar si empieza a trabajar con un salario mensual de $500.000,oo, recibirá cada año un aumento del 5%, y la inversión hecha en cada título valor aumentará en un 10%.

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



  

Debido a que la persona del ejemplo, desea ahorrar el equivalente a 30 sueldos mensuales iguales a los que devengará durante el último año de trabajo, es necesario empezar por averiguar cuánto será el sueldo mensual de esta persona dentro de 20 años; para esto, se debe primero identificar los datos con que se cuenta: n es el número de cuotas, que equivale a 20; G es el gradiente geométrico, que equivale a 5%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $500.000,oo. Una vez identificados los datos, se digitan los mismos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:

De esta forma se tiene que en el último año de trabajo, la persona devengará un salario mensual de $1’263.475,10. Para saber el valor de la pensión de retiro, se multiplica el salario mensual del último año de trabajo, por 30, obteniendo como resultado $37’904.252,93. Con lo hecho hasta este momento, se tienen los siguientes datos: n es el número de cuotas, que equivale a 20; G es el gradiente geométrico, que equivale a 10%; F es el valor futuro, que equivale a $37’904.252,93; i es la tasa de interés, que equivale a 7%.

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

Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:



A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones, y se resuelve el ejemplo utilizando la herramienta de Excel, Buscar objetivo:

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 



Rta: La inversión del primer título valor que la persona debería comprar es de $397.900,98. Para averiguar la inversión del último título valor, se debe tener en cuenta que éste equivalea a la cuota 19, puesto que en el último año no hay la necesidad de comprar título valor, en razón a que en ese momento se requiere tener el dinero en efectivo; por tal motivo, para hallar la inversión del título valor 19, se debe primero identificar los datos con que se cuenta: n es el número de cuotas, que equivale a 19; G es el gradiente geométrico, que equivale a 10%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $397.900,98. A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:

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

7.5

Rta: La inversión hecha en el título valor 19 es de $2’212.296,55.

GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO

7.5.1 Concepto Se presenta cuando los pagos del Gradiente Geométrico se realizan al comienzo de cada periodo. 7.5.2 Fórmulas Debido a que Microsoft Excel no tiene funciones que permitan solucionar situaciones en las que se requiere trabajar con Gradientes Geométricos, es necesario trabajar dichas situaciones utilizando las fórmulas de Gradiente Geométrico, no obstante, a continuación se detalla cada una de las fórmulas, junto con la forma de utilizarlas en Microsoft Excel, teniendo en cuenta que cuando en el Gradiente Geométrico, las cuotas disminuyen, se dice que el gradiente es decreciente, y el valor de G es negativo.

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7.5.2.1

Presente de un gradiente geométrico anticipado cuando i es diferente de G

n   A   1  G        1  i   G  i P  1   i - G   1  i       

Esta fórmula es la misma que se utilizó para el gradiente vencido, multiplicando el resultado por (1+i); por esta razón, al igual que en la fórmula de gradiente vencido, la aplicación de esta fórmula está condicionada al hecho que la tasa de interés sea diferente del gradiente, puesto que, si se observa con detalle, se puede apreciar que en el caso que la tasa de interés sea igual al gradiente se tendría un valor indeterminado. Para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla de la siguiente forma:

EJEMPLO 36 Una lavadora se puede comprar a crédito mediante el pago de 40 cuotas mensuales anticipadas, que aumentan cada mes en el 1%; si la primera cuota es de $20.000,oo y la tasa de interés es del 1,5% mensual, hallar el valor de contado de la lavadora. Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 92 de 114

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





Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 40; G es el gradiente geométrico, que equivale a 1%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $20.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 1,5%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja, en el cual se puede observar que el Gradiente Geométrico se grafica como una curva que representa la forma exponencial como se incrementa el valor de cada pago.

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:

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

Rta: El valor de contado de la lavadora es $727.736,82.

EJEMPLO 37 Resolver el EJEMPLO 28, mediante la utilización de un gradiente anticipado. 





Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 24; G es el gradiente geométrico, que equivale a 1%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $150.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 2%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:

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



El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $3’221.853,88; sin embargo, este valor representa el valor presente en el mes 3, puesto que la primera cuota se pagó en el mes 3. Por tal razón, es necesario calcular el valor presente en el mes 0, teniendo como datos: n es el número de periodos, que equivale a 3; i es la tasa de interés, que equivale a 2%; F es el valor futuro, que equivale a $3’221.853,88. Para averiguar el valor presente en el mes 0, se utiiza la tabla de Excel que se tiene diseñada para tal efecto:

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

Rta: El valor del crédito es de $3’036.024,87.

7.5.2.2

P  nA

Presente de un gradiente geométrico anticipado cuando i es igual a G

 Gi

En esta fórmula se hace la aclaración que su aplicación está condicionada al hecho que la tasa de interés sea igual al gradiente, de otra forma, se debe utilizar la fórmula vista anteriormente; para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla de la siguiente forma:

Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 96 de 114

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EJEMPLO 38 Resolver el EJEMPLO 36, suponiendo que las cuotas aumentan en el 1,5%. 



Para dar solución a este ejemplo, se debe primero identificar los datos del mismo: n es el número de cuotas, que equivale a 40; G es el gradiente geométrico, que equivale a 1,5%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $20.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 1,5%. Una vez identificados los datos, se procede a ilustrar el ejemplo mediante el flujo de caja:

Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 97 de 114

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

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:



Rta: El valor de contado de la lavadora es $800.000,oo.

7.5.2.3

Futuro de un gradiente geométrico anticipado cuando i es diferente de G





 A 1  i n  1  G  n  1  i   G  i F i - G  Esta fórmula es la misma que se utilizó para el gradiente vencido, multiplicando el resultado por (1+i); por esta razón, al igual que en la fórmula de gradiente vencido, la aplicación de esta fórmula está condicionada al hecho que la tasa de interés sea diferente del gradiente, puesto que, si se observa con detalle, se puede apreciar que en el caso que la tasa de interés sea igual al gradiente se tendría un valor indeterminado. Para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla de la siguiente forma:

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EJEMPLO 39 El propietario de un apartamento lo arrendó el 1 de enero de 1999 con un canon de $100.000,oo, si el dinero recibido por concepto de arriendo del primer mes de cada año, lo utiliza para comprar títulos valores que le reconocen una rentabilidad del 9% E.A. durante los dos primeros años, y del 6% E.A. de ahí en adelante, ¿cuánto tendrá acumulado si redime la totalidad de los títulos valores el 31 de diciembre de 2009, sabiendo que el canon de arrendamiento ha aumentado en el 5% cada año? 

Para dar solución a este ejemplo, se debe tener en cuenta que el mismo es tá compuesto por 2 ejercicios de gradientes diferentes, los cuales se pueden diferenciar por la tasa de interés, tal como se grafica a continuación:

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

Para facilitar la solución de este ejemplo, se resolverá por separado cada uno de los ejercicios que lo componen; a continuación se grafica el primer ejercicio a resolver:



En el gráfico anterior se pueden identificar los siguientes datos para el gradiente conformado por las cuotas 1 y 2 (que se pagan en los periodos 0 y 1): n es el número de cuotas, que equivale a 2; G es el gradiente geométrico, que equivale a 5%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $100.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 9%.

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

A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:



El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $233.260,oo; sin embargo, este valor representa unicamente el valor futuro en el año 2, de las dos primeras cuotas, tal como lo ilustra la gráfica anterior. Por tal razón, es necesario calcular el valor futuro en el año 11, teniendo como datos: n es el número de periodos, que equivale a 9; i es la tasa de interés, que equivale a 6%; P es el valor presente, que equivale a $233.260,oo. Para averiguar el valor futuro en el mes 11, se utiiza la tabla de Excel que se tiene diseñada para tal efecto:



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

El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $394.087,86; sin embargo, este valor representa unicamente el valor futuro el año 11, de las dos primeras cuotas, tal como lo ilustra la gráfica:



A continuación se grafica el segundo ejercicio a resolver:

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

Como se observa en el gráfico anterior, para este segundo ejercicio se desconoce el valor de la primera cuota (la cual representa la tercera cuota del ejemplo completo); por tal razón es necesario utilizar la tabla de Excel que se diseñó para averiguar el valor de una cuota dentro del gradiente geométrico:

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 

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



El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $110.250,oo, valor que equivale a la tercera cuota del gradiente del ejemplo, y a la primera cuota del segundo ejercicio que hace parte del ejemplo. En este momento, se pueden identificar los siguientes datos para el gradiente conformado por las cuotas 3 en adelante (que se pagan en los periodos 2 en adelante): n es el número de cuotas, que equivale a 9; G es el gradiente geométrico, que equivale a 5%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $110.250,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 6%. A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones:

El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $1’614.498,66; sin embargo, este valor representa el valor futuro en el año 11, de las cuotas 3 en adelante, tal como lo ilustra la gráfica anterior. Por tal razón, es necesario sumar los dos valores futuros en el año 11, obteniendo como resultado: $2’008.586,52. Rta: El 31 de diciembre de 2009 se tendrá acumulado $2’008.586,52.

Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 104 de 114

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7.5.2.4

Futuro de un gradiente geométrico anticipado cuando i es igual a G

F  An1  i   G  i n

En esta fórmula se hace la aclaración que su aplicación está condicionada al hecho que la tasa de interés sea igual al gradiente, de otra forma, se debe utilizar la fórmula vista anteriormente; para utilizar esta fórmula en Microsoft Excel, se puede crear una tabla de la siguiente manera:

EJEMPLO 40 Resolver el EJEMPLO 39, suponiendo que el canon de arrendamiento aumentó el 6% cada año. 

Tal como se manifestó en el EJEMPLO 39, este ejemplo está compuesto por 2 ejercicios de gradientes diferentes, los cuales se pueden diferenciar por la tasa de interés, tal como se grafica a continuación:

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



Al igual que en el EJEMPLO 39, para facilitar la solución, se resolverá por separado cada uno de los ejercicios que componen este ejemplo; para el primer ejercicio a resolver, se pueden identificar los siguientes datos (que corresponden al gradiente conformado por las cuotas 1 y 2: n es el número de cuotas, que equivale a 2; G es el gradiente geométrico, que equivale a 6%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $100.000,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 9%. A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones, teniendo en cuenta que i es diferente de G:

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

El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $234.350,oo, valor que representa el valor futuro en el año 2, de las dos primeras cuotas. Por tal razón, es necesario calcular el valor futuro en el año 11, teniendo como datos: n es el número de periodos, que equivale a 9; i es la tasa de interés, que equivale a 6%; P es el valor presente, que equivale a $234.350,oo; estos datos se digitan en la tabla de Excel que se tiene diseñada para tal efecto:



El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $395.929,39, valor que representa el valor futuro el año 11, de las dos primeras cuotas. Para resolver el segundo ejercicio, es necesario averiguar el valor de la primera cuota (la cual representa la tercera cuota del ejemplo completo), utilizando la tabla de Excel que se diseñó para tal efecto:



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

7.6

El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $112.360,oo, valor que equivale a la tercera cuota del gradiente del ejemplo, y a la primera cuota del segundo ejercicio que hace parte del mismo. En este momento, se pueden identificar los siguientes datos para el gradiente conformado por las cuotas 3 en adelante (que se pagan en los periodos 2 en adelante): n es el número de cuotas, que equivale a 9; G es el gradiente geométrico, que equivale a 6%; A es el valor de la primera cuota, que equivale a $112.360,oo; i es la tasa de interés, que equivale a 6%. A continuación, se digitan los datos en la tabla de Excel que se adecuó para este tipo de situaciones, teniendo en cuenta que para este caso, i es igual a G:

El resultado obtenido en la tabla de Excel, es de $1’708.468,70; sin embargo, este valor representa el valor futuro en el año 11, de las cuotas 3 en adelante. Por tal razón, es necesario sumar los dos valores futuros en el año 11, obteniendo como resultado: $2’104.398,10. Rta: El 31 de diciembre de 2009 se tendrá acumulado $2’104.398,10.

GRADIENTE GEOMÉTRICO PERPETUO

7.6.1 Concepto Se presenta cuando el Gradiente Geométrico tiene un número de pagos muy grande, por ejemplo, suponiendo que una empresa nunca se acabará, los dividendos de la misma se pueden considerar como una serie infinita; cuando se trabaja con Gradientes Geométricos Perpetuos se debe tener en cuenta que el Valor Futuro es infinito.

Mg. NEILL FELIPE CUBIDES ARIZA Pág. 108 de 114

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA ESPECIALIZACIÓN EN FINANZAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS

7.6.2 Presente de un Gradiente Geométrico Perpetuo 0

1

k

P

A ig

si i es mayor que g

Nota: En esta fórmula se hace la aclaración que su aplicación está condicionada al hecho que la tasa de interés sea mayor al gradiente, puesto que no es posible trabajar gradiente geométrico perpetuo cuando i = g ó cuando i es menor que g (i