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• Andres S De la Hoz

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TALLER II (PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD) DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

Caso 1. Para satisfacer la demanda de los granjeros de utilizar pinos blancos jóvenes como protección contra el viento, los empleados del servicio forestal tomaron muestras de los granjeros del estado. Hallaron que el 30 % había adquirido árboles del servicio forestal en años anteriores, el 40 % había anticipado el pedido de árboles para el año siguiente, el 10% había adquirido árboles en el pasado y anticipado el pedido de árboles para el año siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que un granjero seleccionado aleatoriamente haya adquirido árboles en el pasado o haya anticipado el pedido para el año siguiente? ¿Cuál es la probabilidad de que un granjero seleccionado aleatoriamente haya adquirido árboles en el pasado, pero no haya realizado ningún pedido por adelantado para el año siguiente? Si a cada granjero que solicita árboles se le conceden como máximo 100 y hay 5000 granjeros en el estado, hallar una aproximación del número máximo de árboles necesarios para completar todas las peticiones para el año siguiente. Solución. Sea A1 el suceso de los granjeros que habían adquirido arboles del servicio forestal en años anteriores y A2 el suceso de los granjeros que había anticipado el pedido de árboles para el año siguiente, entonces: P[A1]=0.3, P[A2]=0.4 y P[A1 y A2]=0.1 -

¿Cuál es la probabilidad de que un granjero seleccionado aleatoriamente haya adquirido árboles en el pasado o haya anticipado el pedido para el año siguiente?

Para esto hemos de hallar, P[A1 o A2]. Aplicando la regla general de la adición, obtenemos P[A1 o A2]= P[A1] + P[A2] - P[A1 y A2] = 0.3 + 0.4 – 0.1 = 0.6 -

¿Cuál es la probabilidad de que un granjero seleccionado aleatoriamente haya adquirido árboles en el pasado, pero no haya realizado ningún pedido por adelantado para el año siguiente?

Para resolver el segundo problema, se va utilizar un diagrama de Venn.

A2

A1

0.2

0.1

S(1)

0.3

0.4 Figura 1: Diagrama de Venn

Con el diagrama podemos calcular los valores de P[A1 o A2] = 0.6, P[A1] = 0.3, P[A2] =0.4, P[A1 y A2] = 0.1 y P[(A1 o A2)’] = 0.4. Ahora podemos resolver el problema buscando la región apropiada en el diagrama de Venn. Puede verse que la probabilidad asociada a esta región es 0.3. -

Si a cada granjero que solicita árboles se le conceden como máximo 100 y hay 5000 granjeros en el estado, hallar una aproximación del número máximo de árboles necesarios para completar todas las peticiones para el año siguiente.

Primero se halla que cantidad de granjeros pertenecen a cada región del diagrama de Venn. El 10% de los granjeros serian 500 y esta cantidad de granjeros sería los que habían adquirido árboles en el pasado y anticipado el pedido de árboles para el año siguiente. El 30% de los granjeros serian 1500 y esta cantidad de granjeros sería los que solo habían anticipado el pedido de árboles para el año siguiente. El 20% de los granjeros serian 1000 y esta cantidad de granjeros sería los que solo habían adquirido árboles del servicio forestal en años anteriores. Ahora se calculará la cantidad de árboles necesarios para completar todas las peticiones para el año siguiente, sabiendo que el 40% de los granjeros (ósea 2000) son aquellos que pidieron por anticipados árboles. El cálculo seria el siguiente: (Cantidad de granjeros que anticipan el pedido) x (Cantidad máxima de árboles por granjero) (2000) x (100) = 200000 árboles.

Caso 2. Cierta compañía envía 40% de sus paquetes de correspondencia nocturna vía un servicio de correo Express E1. De estos paquetes, 2% llega después del tiempo de entrega garantizado (sea L el evento "entrega demorada"). Suponga que 50% de los paquetes nocturnos se envían vía servicio de correo Express E2 y el 10% restante se envía por E3. De los paquetes enviados vía E2 sólo 1% llega demorados, en tanto que 5% de los paquetes manejados por E3 llega demorados. Si se selecciona al azar un registro de envíos nocturnos de los archivos de la compañía a) ¿Cuál es la probabilidad de que el paquete se fue vía E1 y llegue demorado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado al azar llegue tarde? c) Si un paquete seleccionado al azar llega a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que no fue mandado vía E1? Solución. Se realizará un diagrama de árbol para mayor compresión del problema. P(E1) = 0.4 P(E2) = 0.5 Express E2

P(E3) = 0.1 P(L1) = 0.02 P(L2) = 0.01 P(L3) = 0.05

Figura 2: Diagrama de árbol de ejercicio.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el paquete se fue vía E1 y llegó demorado? Siendo P(E1) = 0.4 la probabilidad de que un paquete sea enviado por el servicio de correo Express E1 y P(L1) = 0.02 la probabilidad de que el paquete enviado con Express E1 llegue demorado, entonces: P(E1 demore) = P(E1) ∙ P(L1) = (0.4) ∙ (0.02) = 0.008

¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado al azar llegue tarde? Siendo P(E1) = 0.4, P(E2) = 0.5 y P(E3) = 0.1 la probabilidad de que un paquete sea enviado por los servicios de correo Express E1, E2 y E3 respectivamente y P(L1) = 0.02, P(L2) = 0.01 y P(L3) = 0.05 la probabilidad de que el paquete enviado con Express E1, E2 y E3 respectivamente llegue demorado, entonces la suma de todas las probabilidades de que el paquete demore sería la solución del ejercicio. P(demore) = P(E1) ∙ P(L1) + P(E2) ∙ P(L2) + P(E3) ∙ P(L3) = (0.4) ∙ (0.02) + (0.5) ∙ (0.01) + (0.1) ∙ (0.05) = (0.008) + (0.005) + (0.005) = 0.018 Si un paquete seleccionado al azar llega a tiempo, ¿Cuál es la probabilidad de que no fue mandado vía E1? Se sabe que la probabilidad de un paquete que demoro se halla enviado con E1 es: P(E1 demore) = 0.008 Entonces: P([E1 demore]’) = P(E1 A tiempo) = 0.392 La probabilidad de que el paquete llegue a tiempo será: P(A tiempo) = 0.982 Entonces la probabilidad de que el paquete no enviado por E1 llegue a tiempo en un espacio muestral donde el paquete llegue a tiempo es: 1 - P(E1 A tiempo) / P(A tiempo) = 1 – 3.99 = 0.601

Caso 3. A centenar de mujeres casadas se les preguntó qué método de control natal preferían. La siguiente tabla muestra las 100 respuestas de clasificación entrecruzada por nivel educación y método de control.

Encuentre las siguientes probabilidades:

Solución. a) P(S) = 30/100 = 0.3 b) P(V ∪ C) = P(V) + P(C) – P(V ∩ C) = (25/100) + (44/100) – (15/100) = (0.25) + (0.44) - (0.15) = (0.54) c) P(A) = 33/100 = 0.33 ̅ ) = 1 - P(W) d) P(𝑊 = 1 – (15/100) = 1 – 0.15 = 0.85 e) P(A|W) = P(A ∩ W) / P(W) = (10/100) / (15/100) = 0.66

f) P(𝐵̅) = 1 – P(B) = 1 – (23/100) = 1 – 0.23 = 0.77 g) P(T ∩ B) = (7/100) = 0.07 ̅̅̅̅̅̅̅̅ h) P(𝑇 ∩ C ) = 1 - P(T ∩ C) = 1 – (20/100) = 1 – 0.2 = 0.8