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Ejercicios de aplicación Distribución normal de probabilidades

Presentado por: Diana Lizeth Murcia Mora Id 725012 Diana Jimena Yucumá Reyes Id 727449 Karla Alejandra Restrepo Barrios Id 556247

Corporación Universitaria Minuto De Dios – Uniminuto Administración Financiera VIII Semestre Estadística Inferencial Nrc 8950 Neiva Huila 03/09/20

Ejercicios de aplicación Distribución normal de probabilidades

Presentado por: Diana Lizeth Murcia Mora Id 725012 Diana Jimena Yucumá Reyes Id 727449 Karla Alejandra Restrepo Barrios Id 556247

Docente: Nelson Rivera Fierro

Corporación Universitaria Minuto De Dios – Uniminuto Administración Financiera VIII Semestre Estadística Inferencial Nrc 8950 Neiva Huila 03/09/20

Tabla de contenido

1. Introducción …………………………………………………………………………….4 2. Objetivos ………………………………………………………………………………..5 3. Ejercicios de aplicación ………………… ……………………………….…………...6 4. Conclusiones ……………………………………………………………………………16 5. Bibliografías …………………………………………………………………………….17

1. Introducción

En este trabajo se identificó en unos ejercicios planteados si se trata Distribución normal de probabilidades adapta una variable aleatoria continua a una función que depende de la media y la desviación típica. es decir, la función y la variable aleatoria continua tendrán la misma representación pero con ligeras diferencias. (RODO, s.f.) I

2. Objetivos

Hallar la probabilidad existente en diferentes escenarios por el método de distribución normal. ·

3. Ejercicios De Distribución Normal 1. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°. 𝝁 = 𝟐𝟑° 𝝈 = 𝟓° 𝟐𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟐𝟕 𝒁=

𝑿−𝝁 𝝈

𝑍1 = 𝑍2 =

21−23 5

=-0,4 valor en la tabla 0,15542 (16%)

27−23 5

=0,8 valor en la tabla 0,28814 (29%)

𝑃 = 𝑍1 + 𝑍2 = 16 + 29 = 45% (30 días del mes) *45% = 13,5 días. Lo que quiere decir que, en todo el mes, 13.5 días alcanzaran temperaturas entre 21°y27°.

La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica es 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyan normalmente, hallar cuantos estudiantes pesan: 𝝁 = 𝟕𝟎 𝒌𝒈 𝝈 = 𝟑 𝒌𝒈 𝒁= I.

𝑿−𝝁 𝝈

Entre 60 kg y 75 kg: 𝟔𝟎 < 𝑿 ≤ 𝟕𝟓 𝑍1 = 𝑍2 =

60−70

= - 3,33 valor en la tabla 0,49957 (50%)

3

75−70

= 1,67 valor en la tabla 0,45254 (45%)

3

𝑃 = 𝑍1 + 𝑍2 = 50 + 45 = 95% (500 estudiantes) *95%=475. Entonces, de los 500 estudiantes 475 se encuentran entre los 60 y 75 kg de peso.

I.

Más de 90 kg.

𝑿 > 𝟗𝟎 𝑍=

90−70 3

= - 6,66

1 − 𝑃(𝑍 ≤ 6,66) = 1 − 1 = 0

(500 estudiantes) *0 = 0. Entonces, esto quiere decir que, no se puede hallar un solo estudiante por encima de los 90 kg.

II.

Menos de 64 kg.

𝑿 < 𝟔𝟒 𝑍=

64−70 3

= - 2 valor en la tabla 0,07926 (8%)

(500 estudiantes) *8% = 40. Entonces, hay 40 estudiantes que pesan menos de 64 kg.

III.

64 kg exactamente. 𝑷(𝑿 = 𝟔𝟒) = 𝟎

Cuando la distribución es continua, la probabilidad de que la variable tenga un valor exacto siempre es cero (0).

IV.

64 kg o menos. 𝑷(𝑿 ≤ 𝟔𝟒) = 𝟒𝟎

Si revisamos los resultados anteriores, cero estudiantes pesan exactamente 64 kg y 40 estudiantes menos de 64 kg.

2. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:

a) ¿Cuál es la responsabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72? 𝑃(𝑋 > 72) 𝑍=

72−78 36

= - 0,1666 valor en la tabla 0,06356 (6,35%)

La probabilidad de que una persona obtenga una puntuación mayor a 72 al presentar el examen es de 6,35%.

b) Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto 8 (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas). 𝑃(𝑋 ≤ 𝑁) → 0,25 (25%) valor en la tabla 0,09871 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝑁 − 78 = 0,09871 36

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟: 𝑁 = 0,09871 ∗ 36 + 78 = 82 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 82 + 5 = 87 𝑃(𝑍 =

(87−78) 36

)= P(Z > 0,25) = 0,09871 = 𝟗, 𝟗%

El porcentaje de alumnos que son Aptos y además su puntaje esta 5 unidades por encima de la frontera de No-aptos es decir 9,9%.

c) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿Cuál es la prioridad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84? 𝑋 > 84 𝑍=

84 − 78 36

𝑃(𝑍 > 0,17) = 1 − 𝑃(𝑍 < 0,17) = 1 − 𝟎, 𝟎𝟔𝟕𝟒𝟗 = 0,93251 La probabilidad de que un alumno obtenga una puntuación mayor a 72 puntos en el examen es de 0,06749. 𝑃(𝑋 > 84) = 0,93251 𝑃(𝑋 > 72) = 0,06749 𝑃(𝑋 > 84) 0,93251 = = 13,81 𝑃(𝑋 > 72) 0,06749 La probabilidad de que un alumno que obtuvo una puntuación mayor a 72 haya obtenido de hecho una puntuación mayor a 84 es de 13,81.

3. Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución N (65,18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% de población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

Valor en tabla correspondiente a la probabilidad 0,2 (20%), el cual es 0,07926: 𝑃(𝑍 ≤ 𝑍1 ) = 0,2 𝑍1 = 0,07926 𝑍1 =

𝑥1 − 65 = 0,07926 18

𝑋1 = (0,07926)(18) + 65 = 66,42 Ahora localizamos en la tabla el parámetro para la probabilidad de 0.08, el cual es 0,03188, lo que significa que: 𝑃(𝑍 ≤ 𝑍2 ) = 0,08 𝑍2 = 0,03188 Entonces 𝑥2 − 65 𝑍2 = = 0,03188 18

𝑋2 = (0,03188)(18) + 65 = 66 Baja cultura hasta 66,42 puntos. Cultura aceptable entre 66 y 66,42. Excelente cultura a partir de 66.

4. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15:

a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110. 𝟗𝟓 < 𝑿 ≤ 𝟏𝟎𝟎 𝑍1 = 𝑍2 =

95−100 15

=-0,333 valor en la tabla 0,12930 (13%)

110−100 15

=0,666 valor en la tabla 0,24537 (24,5%)

𝑃 = 𝑍1 + 𝑍2 = 13 + 24,5 = 37,5% El porcentaje de la población que obtendrá un puntaje entre 95 y 110 es de 37,5 %

b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población? Se quiere tomar el 50% del centro de la población, entonces tomamos el intervalo que esta entre el 25 %y el 75%

Valor en la tabla de 0,75 (0,27337) y 0,25 (0,09871) 𝑍1 = 0,27337 𝑍2 = 0,09871 𝑋1 − 100 ∗ 15 = 0,27337 𝑋1 = (0,27337*15) +100 = 104 𝑋2 − 100 ∗ 15 = −0,27337 𝑋2 = (−0,27337*15) +100 = 96 El intervalo es entre 96 y 104

Conclusiones •

La distribución normal es la más utilizada, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1. 2.

•

El valor de z es la cantidad de desviaciones estándar a la que está distanciada la variable x del promedio.

•

La media ponderada de usa para obtener un valor promedio de un conjunto de datos en la cual todos los datos no tienen las misma importancia o peso.

•

El teorema central del límite nos permite aproximar la distribución binomial en una distribución normal.

Bibliografías

Matemáticas profe Alex. (Productor). (2020) Diferenciar entre combinación, permutación o variación,

Ejemplo

1

[YouTube].

De

https://www.youtube.com/watch?v=dRN15Or4o00

Martínez Bencardino, C. (2012). Estadística y muestreo (13a. ed.). Bogotá: Ecoe Ediciones.

RODO, P. (s.f.). DISTRIBUCION NORMAL. Obtenido de ECONOMIPEDIA HACIENDO FACIL LA ECONOMIA: https://economipedia.com/definiciones/distribucionnormal.html#:~:text=La%20distribuci%C3%B3n%20normal%20es%20un,media% 20y%20la%20desviaci%C3%B3n%20t%C3%ADpica.