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TALLER EJERCICIOS 1. DINAMICA INGENIERIA MECÁNICA UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO MOVIMIENTO RECTILINEO DE PARTICULAS NOMBRE: KAROL YULIETE RAVELO MENDIVELSO

CODIGO: 20451729551

MOVIMIENTO RECTILINEO DE PARTICULAS 1.) Una partícula se mueve a lo largo del eje 𝑿 con una velocidad inicial de 45𝑚/𝑠 en el origen en el instante inicial 𝑡 = 0. Durante los cuatro primeros segundos carece de aceleración y, a partir de ese momento, sufre la acción de una fuerza retardadora que 𝑚 le comunica una aceleración constante de −8 𝑠 2 . Calcular la velocidad y la coordenada 𝑋 de la partícula en los instantes de 10 𝑦 15 segundos y hallar la coordenada 𝑿 máxima que alcanza. SOLUCIÒN: 𝑉𝑜 = 45

𝑚 𝑠

𝑚

; 𝑎 = −8 𝑠 4 1.) 𝑉 = 𝑉𝑜 + 𝑎𝑡 2. ) 𝑋 = 𝑉𝑡 + 𝑋𝑜

1 3. ) 𝑋 − 𝑋𝑜 = 𝑉𝑜𝑡 + 𝑎 𝑡 2 2

➢ Cuando 𝑡 = 10𝑠 𝑉 = 𝑉𝑜 + 𝑎𝑡 𝑉 = 45 𝑚/𝑠 − 8𝑚/𝑠 2 (10𝑠 – 4𝑠) 𝑉 = −3 𝑚/𝑠 ➢ Cuando 𝑡 = 15𝑠 𝑉 = 45 𝑚/𝑠 – 8 𝑚/𝑠 (15𝑠 − 4𝑠) 𝑉 = −43 𝑚/𝑠

En la ecuación ·No. (2.) despejamos “𝑿”

𝑋 = 𝑉𝑡 + 𝑋𝑜

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑋𝑜 = 0

𝑋 = (45 𝑚/𝑠)(4𝑠) 𝑋 = 180𝑚

Hallamos el tiempo en el que 𝑉 = 0 𝑉 = 𝑉𝑜 + 𝑎𝑡 0 = 45 8

𝑚 𝑚 −8 2 𝑡 𝑠 𝑠

𝑚 𝑚 𝑡 = 45 2 𝑠 𝑠

𝑡=

45 𝑚/𝑠 8 𝑚/𝑠

𝑡 = 5.625𝑠

Hallamos 𝑋 para cuando t = 5.625s cuando la velocidad llega a cero 1 𝑋 − 𝑋𝑜 = 𝑉𝑜𝑡 + 𝑎 𝑡 2 2 1 𝑋 = 𝑉𝑜𝑡 + 𝑎 𝑡 2 + 𝑋𝑜 2 𝑋 = 45

𝑚 𝑚 (5.625𝑠) + ½ (−8 2 )(5.625𝑠)2 + 180𝑚 𝑠 𝑠

𝑋 = 126.5625 𝑚 𝑿𝒎𝒂𝒙 = 180𝑚 + 126.5625𝑚 𝑿𝒎𝒂𝒙 = 306.5625𝑚

2.) El desplazamiento de una partícula está dado por 𝑆 = 𝑡 3 – 15 𝑡 2 + 60𝑡 – 25, donde s y t están en metros y segundos, respectivamente. Represente gráficamente, en función del tiempo, el desplazamiento y la velocidad, durante los primeros 10 segundos. Igualmente, determinar el instante en que la velocidad y la aceleración son cero; así como la posición para ese instante.

SOLUCIÒN: 𝑆 = 𝑡 3 – 15 𝑡 2 + 60𝑡 – 25 𝑆 ′ = 3𝑡 2 − 30𝑡 + 60 𝑆 ‘’ = 6𝑡 − 30

;

;

𝑆‘ = 𝑉

𝑆 ‘’ = 𝑎

F(t) = t^3 -15t^2 +60t -25

75

80 60

velocidad (m/s)

43

47 39

40

29

25

21 20

11 3

7

0

-20 -40

0 -25

2

4

6

tiempo (s)

➢ Hallar 𝑡 cuando 𝑉 = 0 𝑉 = 3𝑡 2 − 30𝑡 + 60 0 = 3𝑡 2 − 30𝑡 + 60 0 3𝑡 2 30𝑡 60 = − + 3 3 3 3

8

10

12

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F(t) = t^3 -15t^2 +60t -25 -25 21 43 47 39 25 11 3 7 29 75

0 = 𝑡 2 − 10𝑡 + 20 −(−30) ± √(−30)2 − 4(3)(60) 𝑡= 2(3) 𝑡=

30 ± √900 − 720 6

𝑡1 =

30 + √180 6

30 − √180 6

;

𝑡2 =

𝑡1 = 5 + √5

;

𝑡2 = 5 − √5

𝑡1 ≅ 2.236𝑠

;

𝑡2 ≅ 2.763

➢ Hallamos “S” en el instante de tiempo que 𝑉 = 0 𝑆 = 𝑡 3 – 15 𝑡 2 + 60𝑡 – 25 3

2

𝑆 = (5 + √5) – 15 (5 + √5) + 60(5 + √5)– 25 𝑆 = 2.6393 𝑚

➢ Hallamos 𝑡 cuando 𝑎 = 0 𝑆 ‘’ = 6𝑡 − 30 0 = 6𝑡 − 30 30 = 6𝑡

𝑡=

30 6

𝑡 = 5𝑠

➢ Hallamos “S” en el instante de tiempo que 𝑎 = 0 𝑆 = 𝑡 3 – 15 𝑡 2 + 60𝑡 – 25 𝑆 = (5)3 – 15 (5)2 + 60(5) – 25 𝑆 = 25𝑚

3.) Una partícula que se encuentra en el origen se mueve a lo largo del eje 𝑥, de acuerdo a la ecuación 𝑣 = 3 + 7𝑡5/3, donde 𝑡 y 𝑣 están respectivamente en 𝑠 𝑦 𝑚/𝑠. Calcular el desplazamiento, la velocidad y la aceleración para 𝑡 = 3,5𝑠.

SOLUCIÒN: 5

𝑣 = 3 + 7𝑡 3 𝑣=

𝑑𝑥 𝑑𝑡

⟹

5 𝑑𝑥 = 3 + 7𝑡 3 𝑑𝑡

5

𝑑𝑠 = 3 + 7𝑡 3 𝑑𝑡 𝑥

𝑡

5

∫ 𝑑𝑠 = ∫ (3 + 7 𝑡 3 )𝑑𝑡 0

0

3 𝑥 = 3𝑡 + 7 ( ) 𝑡 8/3 8 𝑥 = 3𝑡 +

21 8 𝑡3 8 5

𝑣 = 3 + 7 𝑡3 5 2 𝑣′ = 7 ( ) 𝑡 3 3 𝑣′ =

•

35 2 𝑡3 3

⟹

“𝑥” cuando 𝑡 = 3.5𝑠

𝑥 = 3𝑡 + (

21 8 ) 𝑡3 8

𝑥 = 3(3.5) + ( 𝑥 = 84.63 𝑚

8 21 ) (3.5)3 8

𝑣′ = 𝑎

⇒

𝑎=

35 2 𝑡3 3

•

“𝑣” cuando 𝑡 = 3.5𝑠 5

𝑣 = 3 + 7𝑡 3 5

𝑣 = 3 + 7(3.5)3 𝑣 = 59.48 𝑚/𝑠 •

“𝑎” cuando 𝑡 = 3.5𝑠 𝑎=

35 2 𝑡3 3

𝑎=

2 35 (3.5)3 3

𝑎 = 26.89 𝑚/𝑠 2

4.) La aceleración de una partícula se define mediante la relación 𝑎 = 2𝑘 − 5𝑡 2 , donde k es constante. En 𝑡 = 0, la partícula inicia en 𝑥 = 4𝑚 con 𝑣 = 0. Si se sabe que 𝑡 = 1𝑠 𝑦 𝑣 = 25𝑚/𝑠, determine: a) Los tiempos en los que las velocidades es cero. b) La distancia total recorrida por la partícula en 6s.

SOLUCIÒN: 𝑡=0

;

𝑥 = 4𝑚

𝑡 = 1𝑠

;

𝑣 = 25𝑚/𝑠

;

𝑣=0

𝑑𝑣 =𝑎 𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 2𝑘 − 5𝑡 2 𝑑𝑡 𝑣

𝑡

∫ 𝑑𝑣 = ∫ (2𝑘 − 5𝑡 2 ) 𝑑𝑡 0

0

Cuando 𝑡 = 1 5𝑡 3 𝑣 = 2𝑘𝑡 − 3

… 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ò𝑛 (1. )

25 𝑚/𝑠 = 2𝑘(1) − 2𝑘 = 25 + 𝑘=

40 3

5(1)3 3

5 3 … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ò𝑛 (2. )

Sustituyendo…. 𝑑𝑥 40 5 = 𝑣 = 2 ( ) 𝑡 − 𝑡3 𝑑𝑡 3 3

𝑑𝑥 80 5 =𝑣= 𝑡 − 𝑡3 𝑑𝑡 3 3

𝒙

𝑡

∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( 𝟒

0

… 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ò𝑛 (3. )

80 5 𝑡 − 𝑡 3 ) 𝑑𝑡 3 3

40𝑡2 5𝑡4 𝑥−4= − 3 12

… 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ò𝑛 (4. )

a.) Cuando v=0 de la ecuación 3 𝑣= 0=

80 3

𝑡−

5 3

𝑡3

80 5 𝑡 − 𝑡3 3 3

5 0 = 𝑡(16 − 𝑡 2 ) 3 5 𝑡=0 3

;

16 − 𝑡 2 = 0

𝑡=0

;

𝑡2 = 4

Por lo que 𝑡 = 4 segundos b.) 𝑡 = 0𝑠

;

𝑥𝑜 =?

𝑡 = 4𝑠

;

𝑥 =?

𝑡 = 6𝑠

;

𝑋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =?

Reemplazamos los datos en la ecuación No. (4) 𝑥−4=

40𝑡2 5𝑡4 − 3 12

40𝑡2 5𝑡4 𝑥= − 3 12

+4 2

•

𝑥0 =

40(0) 3

− 5120

( )4

+4

𝑥0 = 0 + 4 𝑥0 = 4𝑚 2

•

𝑥4 =

40(4) 3

(4) − 512

4

+4

𝑥4 = 213.33 − 106.66 + 4 𝑥4 = 107𝑚 2

•

𝑥6 =

40(6) 3

(6) − 512

4

+4

𝑥6 = 480 − 540 + 4 𝑥6 = −56𝑚 2

40(0) 5(0)4 𝑥= − +4 3 12 𝑥0 = 0 + 4 𝑥0 = 4𝑚 0≤𝑡≤4 |𝑥4 − 𝑥0 | = |107𝑚 − 4𝑚| |𝑥4 − 𝑥0 | = 103𝑚 |𝑥6 − 𝑥4 | = −56𝑚 − 107𝑚 |𝑥6 − 𝑥4 | = −163𝑚 𝑋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 103𝑚 − 163𝑚 𝑋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −60𝑚

4≤𝑡≤6

5.) Una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria horizontal con una velocidad de 𝑣 = 𝑡2 − 5𝑡, donde t es el tiempo en segundos. Si inicialmente se encuentra en el origen O, determine la distancia recorrida en 4𝑠 y la rapidez promedio de la partícula durante el intervalo.

SOLUCIÒN: •

Distancia recorrida en 𝑡 = 4𝑠 𝑠 = ∫ 𝑑𝑣 𝑠 = ∫ 𝑡 2 − 5𝑡 𝑑𝑡 𝑆 = 1/3 (4)^3 – 5/2 (4)^2 𝑆 = 64/3 – 40 𝑆 = −56/3𝑚

•

Rapidez promedio 𝑟=𝑣=

∆𝑑 ∇𝑡

𝑣 = (0 − (−56/3 𝑚))/(4 𝑠) 𝑣 = 14/3 𝑚/𝑠 𝑣 = 4.66 𝑚/𝑠

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME Y UNIFORMEMENTE ACELERADO

6.) En la etapa final del alunizaje, el módulo lunar desciende bajo el impulso de su propio motor a una altura de h = 7m de la superficie lunar, donde tiene una velocidad de descenso de 1,8m/s. Si el motor de descenso es apagado bruscamente en este punto, calcular la velocidad de impacto del tren de aterrizaje con la luna. La gravedad lunar es 1/6 de la gravedad de la tierra. SOLUCIÒN: ℎ=7

𝑉𝑜 = 1.8 𝑚/𝑠

1 𝑔 = ( ) (9.8𝑚/𝑠 2 ) 6 𝑔=

49 𝑚/𝑠 2 30

𝑣 2 − 𝑣𝑜2 = − 2𝑎(𝑦 − 𝑦) 𝑎=𝑔

𝑦𝑜 = 0

𝑦=ℎ

𝑣 2 = 2(𝑔)(ℎ ) + 𝑣𝑜2 𝑣2 = 2 (

39 𝑚 2 𝑚/𝑠 2 ) (7𝑚 ) + (1.8 ) 30 𝑠

𝑣 2 = −2 ( 𝑣2 = −

343 2 2 𝑚 /𝑠 ) + 3.24 𝑚 2 /𝑠 15

1472 2 𝑚 /𝑠 75

𝑣 = √−

1472 2 2 𝑚 /𝑠 75

𝑣 = −4.43 𝑚/𝑠 La inversa 𝑣 = 4043 𝑚/𝑠

7.) Para comprobar los efectos de ingravidez durante cortos periodos de tiempo se ha proyectado una instalación de pruebas en la que se acelera una cápsula verticalmente desde A a B por medio de un emboló impulsado por gas, lo que le permite ascender de B a C y descender a B en condiciones de caída libre. La cámara de pruebas consiste en un pozo profundo en el que se ha hecho el vacío para eliminar cualquier resistencia apreciable del aire. Si el émbolo suministra una aceleración constante de 35𝑚/𝑠 2 de A hasta B y si el tiempo total de la prueba en las condiciones de ingravidez de B a C es 12𝑠, calcular la altura h requerida para la cámara. Al volver a B la cápsula de prueba se recoge en una cesta con trozos de poliestireno que se introduce en la línea de caída.

SOLUCIÒN: • Altura B a C. 1 𝑡 = (12𝑠) 2 𝑡 = 6𝑠 • 𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡 0 = 𝑣𝑜 + (9.81 𝑣𝑜 = 58.86 •

𝑣 2 − 𝑣𝑜2 = 2𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 ) 𝑣 2 − 𝑣𝑜2 = 2𝑎(𝑥 − 0) 𝑣 2 − 𝑣𝑜2 = 2𝑎 ℎ2 ℎ2 =

𝑣 2 − 𝑣𝑜2 2𝑎

𝑚 2 02 − (58.86 ) 𝑠 ℎ2 = 𝑚 2 (−9.81 2 ) 𝑠 ℎ2 = 176.58𝑚

•

𝑣 2 − 𝑣𝑜2 = 2𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 ) 𝑣 2 − 𝑣𝑜2 = 2𝑎(𝑥 − 0)

𝑚 𝑠

𝑚 ) (6𝑠) 𝑠2

𝑣 2 − 𝑣𝑜2 = 2𝑎 ℎ2 𝑣 2 − 𝑣𝑜2 2𝑎

ℎ2 =

𝑚 2 2 ) 𝑠 −0 𝑚 2 (35 2 ) 𝑠

(58.86 ℎ2 =

ℎ2 = 49.5𝑚 •

𝐻 =?

⇒ H= altura máxima requerida

𝐻 = ℎ1 + ℎ2 𝐻 = 49.5𝑚 + 179.58𝑚 𝐻 = 229.08 𝑚

8.) La bola de acero A, de diámetro D, se desliza libremente a lo largo de la varilla horizontal que termina en la pieza polar del electroimán. La fuerza de atracción depende de la inversa del cuadrado de la distancia y la aceleración resultante de la 𝟐𝑵 bola es 𝒂 = (𝑳−𝒙)𝟐 , donde 𝑵 es una medida de la intensidad del campo magnético. Determinar la velocidad 𝑽 con que la bola golpea la pieza polar si se suelta partiendo del reposo en la posición 𝒙 = 𝟎, 𝟓𝒎.

SOLUCIÒN:

𝑎 =

2𝑁 (𝐿 − 𝑥 )2

𝑉 =?

;

𝑥𝑜 = 0.5 𝑚

2𝑁 𝑑𝑣 = 𝑣 2 (𝐿 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 2𝑁 𝑑𝑣 = 𝑣 2 (𝐿 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫

2𝑁 𝑑𝑥 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣 (𝐿 − 𝑥 2 )

2𝑁 𝑣2 +𝐶 = 𝐿−𝑥 2 2𝑁 𝑣2 + 𝑥𝑜 = 𝐿−𝑥 2 2(

2𝑁 + 𝑥𝑜 ) = 𝑣 2 𝐿−𝑥 2𝑁

√2 ( + 𝑥𝑜 ) = 𝑣 𝐿−𝑥 2𝑁

√2 ( + 0.5𝑚) = 𝑣 𝐿−𝑥

⟹

√(

4𝑁 𝐿−𝑥

+ 1) = 𝑣

9.) Un motociclista en A viaja a 80 𝑘𝑚/ℎ cuando rebasa a un camión el cual viaja a una velocidad constante de 80𝑘𝑚/ℎ. Para hacerlo, el motociclista acelera a 7,3 𝑘𝑚/ℎ2 hasta que alcanza una velocidad máxima de 110𝑘𝑚/ℎ. Si luego mantiene esta velocidad, determine el tiempo que le lleva llegar a un punto situado a 350𝑚 adelante del camión.

SOLUCIÒN: 𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 ± 𝑎𝑡 𝑡=

𝑣𝑓 −𝑣𝑜 𝑎

𝑎=

𝑣𝑓− 𝑣𝑜 𝑡

𝑑 = 𝑣𝑜 𝑡 +

𝑎𝑡 2 2

DATOS: 𝑉𝑂 = 80 𝑎 = 7.3

𝑘𝑚 ℎ

𝑘𝑚 ℎ

𝑣𝑓 = 110

𝑘𝑚 ℎ

•

Para la moto 𝑉𝑓 = 𝑣𝑜2 + 2 𝑎 𝑑 𝑑=

𝑑=

(𝑣𝑓2 − 𝑣02 ) 2 (110)2 −(80)2 2(7.3)

𝑑 = 390.41 𝑘𝑚

=

𝑡=

𝑣𝑓 − 𝑣𝑜 𝑎

𝑡=

110𝑘𝑚/ℎ − 80𝑘𝑚/𝑠 7.3 𝑘𝑚/ℎ2

𝑡 = 4.11 ℎ •

Para el camión 𝑣=

𝑥 𝑡

𝑥=𝑣𝑡 𝑥 = 80

𝑘𝑚 ∙ 4.11 ℎ ℎ

𝑥 = 328.767 𝑘𝑚