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• Saday Castrillo

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Punto 1. Análisis: Tenemos una velocidad inicial que experimenta una aceleración, a=−g+k v 2 donde g es la gravedad, k es una constante y v es la velocidad de la partícula. Determinar la altura máxima alcanzada por la partícula, Xmax =? Cuando la velocidad final es igual a 0.

 

a=−g+k v 2 dx dv =v =a dt dt dx dv = v a vf

xf

∫ dx=∫ 0

v0

v dv −( g +k v 2 )

(1)Se sustituyeu u=g +k v 2 du =2 kv dv dv =

1 dv 2 kv

(2)Se sustituye en laintegral v ∗1 −μ ∫ dx=∫ 2 kv du 0 v xf

vf

0

xf

vf

−1 du ∫ dx= 2 k ∫ u 0 v 0

x x0 = f

−1 ln ⁡(u)vv 2k

[

x f =−

f 0

vf

1 ln ⁡(g+k v 2) 2k v

]

0

Por propiedad de log xf =

1 g+ k v 2 ln ⁡ 2k g+ k v 2

(

)

La altura max se logra cuando v f =0

x max =

1 g+ k v 2 ln ⁡ 2k g+k (0)

x max =

1 k ln ⁡ 1+ v 02 2k g

( (

Grafica

)

)

y v f =0 −a=−( g +k v 2 )

h max v0

−a=−( g +k v 2 ) x Punto 2. Análisis    

Movimiento rectilíneo. La partícula tiene una aceleración de a a = (-2v) m/s2, donde v es en m/s. Cuando x = 0 y t = 0 la velocidad es igual a 20 m/s. Determinar la posición, velocidad y aceleración de la partícula en función del tiempo.

a=−2 v a=

dv dt

t

v

0

20

dv ∫ dt=∫ −2 v t=

−1 ln ⁡(v )v20 2

t=

−1 [ ln ( v ) −ln ( 20 ) ] 2

Propiedad de log t=

−1 v ∗ln 2 20

( )

Se despeja v −2 t=ln

( 20v )

v =e−2 t 20 v=( 20∗e−2 t )

m s

( 1 ) Sustituye v en a a=( 20 e−2 t ) (−2 ) a=−40 e−2 t

m s2

dx =v dt dx=vdt x

t

∫ dx=∫ ( 20 e−2 t ) dt 0

0

u=−2t du =−2 dt dt = x

du −2 t

∫ dx=∫ 20 e−2t 0

0

du −2

x x0=−10 eut0 x x0=−10 e−2 t t0 x=−10 ( e−2 t −e−2 (0 )) x=10 ( 1−e−2t ) m Resultados v=20 e−2 t

m s

u=40 e−2 t

m s2

x=10(1−e−2 t )m Grafica 0

y

y

x

Punto 3 Análisis   

La partícula viaja a lo largo de la parábola y = bx2, b es una constante. Su componente de velocidad a lo largo del eje y es vy=ct2, c es una constante. Determinar lo componentes x y y de la aceleración de la partícula.

y=b x2 ( 1 ) v y =c t 2 dy =v y dt y

t

∫ dy=∫ c t2 dt 0

0

c y= t 3 3 Se sustituye y en ( 1 ) c 3 t =b x 2 3 c t3 3 =x 2 b 1 ct3 2 =x 3b x= x=

√

c t3 3b

√

c 2 t 3b

3

Para hallar vx se deriva x

x

d dt

3

1

[√ ] √

c 2 3 c 2 t = t 3b 2 3b

Y la aceleracion se halla derivando la velocidad 3 c ax=v x = t 4 3b

(√

'

ax=

3 4

√

−1 2

)

c ∗1 3b √t

ay =v y ' =2 ct Grafica

y

vy

v vx

x