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Taller 5 Estadistica 1) Supongamos que un grupo de profesionales en un pais A tienen un salario promedio de US$26.888 y varianza US$14.400. En un pais B otro grupo de profesionales con iguales caracteristicas reciben un salario promedio de US$8.570 con desviacion estandar de US$80. Cual grupo de salarios presenta una menor variabilidad?. 𝑆

𝐴 Definamos el coeficiente de variacion como 𝐶𝐴 = ̅̅̅̅ ∙ 100 = 𝑋 𝐴

para el grupo A 𝐶𝐴 =

√𝑆𝐴 𝑋̅𝐴

∙ 100, por lo tanto

√14400 ∙ 100 = 0.44 26888

Y para el grupo B 80 ∙ 100 = 0.93 8570 Conclusion: El grupo de salarios A presenta menor variabilidad 2) En un inventario realizado en la bodega de un almacen se encontraron 200 articulos que fueron importados a diferentes precios (en dolares) |𝑋𝑖 − 𝑋̅| |𝑋𝑖 − 𝑋̅| ∙ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 𝑓𝑖 𝑋𝑖2 ∙ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 ∙ 𝑓𝑖 𝑋𝑖2 𝐶𝐵 =

20.5 20 420.25 8405 32.0 30 1024 30720 48.6 50 2362 118100 50.0 60 2500 150000 60.4 40 3648 145920 Total 200 453145 a) Calcular la desviacion estandar.

𝑘

𝑥̅ = ∑ 𝑖=1 𝑘

𝑆2 = ∑ 𝑖=1

410 960 2430 3000 2416 9216

25.6 14.1 2.5 3.9 14.3

512 423 125 234 572 1866

𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖 9216 = = 46.1 𝑛 200

𝑌𝑖2 ∙ 𝑓𝑖 453145 − 𝑋̅ 2 = − 46.082 = 2266 − 2123 = 143 𝑛 200

Conclusion la desviacion estandar 𝑆 = √143 = 11.96 b) Calcular le desviacion media. 𝑘 |𝑋𝑖 − 𝑋̅| ∙ 𝑓𝑖 1866 𝐷𝑀 = ∑ = = 9.33 𝑛 200 𝑖=1

c) Calcular coeficiente de variacion. 𝑆 11.96 𝐶 = ∙ 100 = ∙ 100 = 25.94 ̅ 46.1 𝑋 3) En el primer semestre de este año 30 empresas tuvieron en promedio $374 millones en gastos con una varianza de $80 millones. Por un error cada una de las empresas no contabilizo $7 millones en los gastos. Corregir el promedio y la varianza.

7 ) ∙ 374 = 1.019 ∙ 374 = 381 374 Dicho ajuste corresponde al 1.87% 𝑉(1.019∙𝑥) = 1.0192 ∙ 𝑉𝑥 = 1.019 ∙ 𝑉𝑥 = 1.019 ∙ 80 = 83.06 𝑋̅ = (1 +

4) 80 empleados de una compañia tiene un salario promedio de $125.000 y una varianza $12.000. Si reciben un reajuste del 20 %. Calcular el nuevo promedio y varianza. 20 𝑋̅ = (1 + ) ∙ 125 = 1.2 ∙ 125 = 150 100 𝑉(1.2∙𝑥) = 1.22 ∙ 𝑉𝑥 = 1.44 ∙ 𝑉𝑥 = 1.44 ∙ 12 = 17.28 5) Se administra un antibiotico al ganado para combatir cierta enfermedad, el peso (en gramos) del antibiotico depende del peso del animal, el cual debe ser medido con mucha precision, puesto que una sobredosis puede ser perjudicial para el animal. A continuacion se muestra la distribucion de frecuencia del peso de las dosis. Peso (gr) 𝑋𝑖 15—20 20—25 25—30 30—35 35—40 Total

17.5 22.5 27.5 32.5 35.5

𝑓𝑖

𝑋𝑖 ∙ 𝑓𝑖

𝑋𝑖2

𝑋𝑖2 ∙ 𝑓𝑖

𝐹𝑖

𝐻𝑖

7 25 31 20 11 94

122.5 562.5 852.5 650 390.5 2578

306.25 506.25 756.25 1056.25 1260.25

2143.75 12656.25 23443.75 21125 13862.75 73231

7 32 63 83 94

7.44 34.04 67 88 100

a) Calcular los estadigrafos de posicion y dispersion que le parezcan adecuados (no todos), explique su decision. Para la media, 𝑘

𝑥̅ = ∑ 𝑖=1

𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖 2578 = = 27.42 𝑛 94

Para la desviacion estandar 𝑘 2

𝑆 = ∑ 𝑖=1

𝑌𝑖2 ∙ 𝑓𝑖 73231 − 𝑋̅ 2 = − 27.422 = 779 − 751.8 = 27.2 𝑛 94

Conclusion 𝑆 = √27.2 = 5.21 b) Investigadores afirman que una dosis con peso mayor o igual a 30 gr. sera peligroso. Segun la informacion de que dispone, que porcentaje de la dosis se clasifica como peligrosa? Al valor 30 gr le corresponde una frecuencia relativa de 67%. Esto quiere decir que 67% de la muestra es menor a 30 gr y el complemento 33% es mayor o igual

a 30 gr y se considera peligrosa. c) Construya histograma y poligono de frecuencias asociado a los datos. 35 30 25 20 15 10 5 0 15-20

20-25

25-30

30-35

35-40

6) Use sus conocimientos para completar las siguientes frases. a) Si calculo la media de los valores absolutos de las desviaciones de las observaciones respecto a la media de ellas, obtenga el valor de . b) Si calculo la media del cuadrado de las desviaciones de las observaciones respecto a la media aritmetica de ellas, obtengo el valor de . c) Si debo comparar el grado de variabilidad de dos series de observaciones, debo utilizar dispersiones que se obtienen dividiendo la por la . d) Si mido la estatura y el peso de una serie de alumnos, para determinar cual de las dos series de valores tiene mayor grado de variaciones debo utilizar medidas de . e) Una variable normalizada o o simplemente calificacion indicada a cuantas unidades de desviacion estandar esta una puntuacion . f) Si 𝑋̅ = 21 y 𝑠 = 3, la puntuacion 𝑋 = 18 esta g) Jose obtuvo calificacion 𝑍 = −0.82 y Luis 𝑍 = −0.78, entonces el resultado obtenido por Jose es mejor que el obtenido por . 7) Un postulante presento examen de admision a dos universidades; en la universidad A obtuvo 325 puntos y en ella la calificacion media fue de 305 puntos con desviacion estandar de 26. En la universidad B obtuvo 210 puntos y en ella la calificacion media fue de 195 puntos con desviacion estandar de 18. Halle en que examen fue mejor el resultado.

Universidad A Universidad B

𝑋̅

𝑆

𝑋1

𝑋1 − 𝑋̅

305 195

26 18

325 210

20 15

𝑋𝑖 − 𝑋̅ 𝑆 0.77 0.83

𝑍=

Conclusion: La variable normalizada 𝑍 = 0.77 indica que el postulante tuvo en la Universidad A menor dispersion respecto al promedio del curso 8) En una prueba deportiva la media para varones es 140 puntos con una desviacion estandar 24; para mujeres la media es 162 con una desviacion 22. Ana y su hermano Juan participaron en el evento; Juan obtuvo 151 puntos y Ana 171. Hallar: a) Quien tuvo el mejor resultado.

Varones Mujeres

𝑋̅

𝑆

𝑋𝑖

𝑋𝑖 − 𝑋̅

140 162

24 22

151 171

11 9

𝑋𝑖 − 𝑋̅ 𝑆 0.46 0.41

𝑍𝑖 =

𝛷𝑍 (𝑧) 67.72 65.91

Siendo 𝑋1 el resultado de Juan y 𝑋2 el resultado de Ana, 𝑍2 es la menor dispersion y por lo tanto Ana tuvo el major resultado. b) El rango percentil de Juan y el rango de Ana. Asumiendo que los datos tienen una distribucion normal. Definimos la funcion de distribucion acumulada 𝛷𝑍 (𝑧) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) 𝜋 −𝑦 2 1 𝛷𝑍 (𝑧) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = ∫ 𝑒 2 𝑑𝑦 2 𝜋 −∞ Y buscamos en una tabla de referencia para los valores 𝑍1 = 0.46 y 𝑍2 = 0.41 Conclusion: 𝛷𝑍 (0.46) = 67.72%, por lo tanto el valor 151 de Juan se encuentra aproximadamente en el rango percentil 67 𝛷𝑍 (0.41) = 65.91%, por lo tanto el valor 171 de Ana se encuentra aproximadamente en el rango percentil 65